MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolsca Structured version   Unicode version

Theorem ovolsca 20973
Description: The Lebesgue outer measure function respects scaling of sets by positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ovolsca.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ovolsca.3  |-  ( ph  ->  B  =  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } )
ovolsca.4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ovolsca  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  =  ( ( vol* `  A )  /  C
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)

Proof of Theorem ovolsca
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolsca.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 ovolsca.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
3 ovolsca.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } )
4 ovolsca.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
51, 2, 3, 4ovolscalem2 20972 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  <_  (
( vol* `  A )  /  C
) )
64recnd 9404 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  CC )
72rpcnd 11021 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
82rpne0d 11024 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
96, 7, 8divrecd 10102 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  /  C
)  =  ( ( vol* `  A
)  x.  ( 1  /  C ) ) )
10 ssrab2 3432 . . . . . 6  |-  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A }  C_  RR
113, 10syl6eqss 3401 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
122rpreccld 11029 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  C
)  e.  RR+ )
131, 2, 3sca2rab 20970 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =  { y  e.  RR  |  ( ( 1  /  C
)  x.  y )  e.  B } )
144, 2rerpdivcld 11046 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  /  C
)  e.  RR )
15 ovollecl 20941 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  (
( vol* `  A )  /  C
)  e.  RR  /\  ( vol* `  B
)  <_  ( ( vol* `  A )  /  C ) )  ->  ( vol* `  B )  e.  RR )
1611, 14, 5, 15syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  e.  RR )
1711, 12, 13, 16ovolscalem2 20972 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  <_  (
( vol* `  B )  /  (
1  /  C ) ) )
184, 16, 12lemuldivd 11064 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol* `  A )  x.  ( 1  /  C
) )  <_  ( vol* `  B )  <-> 
( vol* `  A )  <_  (
( vol* `  B )  /  (
1  /  C ) ) ) )
1917, 18mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  x.  (
1  /  C ) )  <_  ( vol* `  B ) )
209, 19eqbrtrd 4307 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  /  C
)  <_  ( vol* `  B ) )
2116, 14letri3d 9508 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  B )  =  ( ( vol* `  A )  /  C
)  <->  ( ( vol* `  B )  <_  ( ( vol* `  A )  /  C
)  /\  ( ( vol* `  A )  /  C )  <_ 
( vol* `  B ) ) ) )
225, 20, 21mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  =  ( ( vol* `  A )  /  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2714    C_ wss 3323   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   1c1 9275    x. cmul 9279    <_ cle 9411    / cdiv 9985   RR+crp 10983   vol*covol 20921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-ovol 20923
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator