MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolsca Structured version   Unicode version

Theorem ovolsca 21133
Description: The Lebesgue outer measure function respects scaling of sets by positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ovolsca.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ovolsca.3  |-  ( ph  ->  B  =  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } )
ovolsca.4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ovolsca  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  =  ( ( vol* `  A )  /  C
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)

Proof of Theorem ovolsca
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolsca.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 ovolsca.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
3 ovolsca.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } )
4 ovolsca.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
51, 2, 3, 4ovolscalem2 21132 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  <_  (
( vol* `  A )  /  C
) )
64recnd 9526 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  CC )
72rpcnd 11143 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
82rpne0d 11146 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
96, 7, 8divrecd 10224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  /  C
)  =  ( ( vol* `  A
)  x.  ( 1  /  C ) ) )
10 ssrab2 3548 . . . . . 6  |-  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A }  C_  RR
113, 10syl6eqss 3517 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
122rpreccld 11151 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  C
)  e.  RR+ )
131, 2, 3sca2rab 21130 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =  { y  e.  RR  |  ( ( 1  /  C
)  x.  y )  e.  B } )
144, 2rerpdivcld 11168 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  /  C
)  e.  RR )
15 ovollecl 21101 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  (
( vol* `  A )  /  C
)  e.  RR  /\  ( vol* `  B
)  <_  ( ( vol* `  A )  /  C ) )  ->  ( vol* `  B )  e.  RR )
1611, 14, 5, 15syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  e.  RR )
1711, 12, 13, 16ovolscalem2 21132 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  <_  (
( vol* `  B )  /  (
1  /  C ) ) )
184, 16, 12lemuldivd 11186 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol* `  A )  x.  ( 1  /  C
) )  <_  ( vol* `  B )  <-> 
( vol* `  A )  <_  (
( vol* `  B )  /  (
1  /  C ) ) ) )
1917, 18mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  x.  (
1  /  C ) )  <_  ( vol* `  B ) )
209, 19eqbrtrd 4423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  /  C
)  <_  ( vol* `  B ) )
2116, 14letri3d 9630 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  B )  =  ( ( vol* `  A )  /  C
)  <->  ( ( vol* `  B )  <_  ( ( vol* `  A )  /  C
)  /\  ( ( vol* `  A )  /  C )  <_ 
( vol* `  B ) ) ) )
225, 20, 21mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  =  ( ( vol* `  A )  /  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803    C_ wss 3439   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   RRcr 9395   1c1 9397    x. cmul 9401    <_ cle 9533    / cdiv 10107   RR+crp 11105   vol*covol 21081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-ioo 11418  df-ico 11420  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-sum 13285  df-ovol 21083
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator