MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolsca Structured version   Unicode version

Theorem ovolsca 21794
Description: The Lebesgue outer measure function respects scaling of sets by positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ovolsca.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ovolsca.3  |-  ( ph  ->  B  =  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } )
ovolsca.4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ovolsca  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  =  ( ( vol* `  A )  /  C
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)

Proof of Theorem ovolsca
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolsca.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 ovolsca.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
3 ovolsca.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } )
4 ovolsca.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
51, 2, 3, 4ovolscalem2 21793 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  <_  (
( vol* `  A )  /  C
) )
64recnd 9634 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  CC )
72rpcnd 11270 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
82rpne0d 11273 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
96, 7, 8divrecd 10335 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  /  C
)  =  ( ( vol* `  A
)  x.  ( 1  /  C ) ) )
10 ssrab2 3590 . . . . . 6  |-  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A }  C_  RR
113, 10syl6eqss 3559 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
122rpreccld 11278 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  C
)  e.  RR+ )
131, 2, 3sca2rab 21791 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =  { y  e.  RR  |  ( ( 1  /  C
)  x.  y )  e.  B } )
144, 2rerpdivcld 11295 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  /  C
)  e.  RR )
15 ovollecl 21762 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  (
( vol* `  A )  /  C
)  e.  RR  /\  ( vol* `  B
)  <_  ( ( vol* `  A )  /  C ) )  ->  ( vol* `  B )  e.  RR )
1611, 14, 5, 15syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  e.  RR )
1711, 12, 13, 16ovolscalem2 21793 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  <_  (
( vol* `  B )  /  (
1  /  C ) ) )
184, 16, 12lemuldivd 11313 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol* `  A )  x.  ( 1  /  C
) )  <_  ( vol* `  B )  <-> 
( vol* `  A )  <_  (
( vol* `  B )  /  (
1  /  C ) ) ) )
1917, 18mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  x.  (
1  /  C ) )  <_  ( vol* `  B ) )
209, 19eqbrtrd 4473 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  /  C
)  <_  ( vol* `  B ) )
2116, 14letri3d 9738 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  B )  =  ( ( vol* `  A )  /  C
)  <->  ( ( vol* `  B )  <_  ( ( vol* `  A )  /  C
)  /\  ( ( vol* `  A )  /  C )  <_ 
( vol* `  B ) ) ) )
225, 20, 21mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  =  ( ( vol* `  A )  /  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   1c1 9505    x. cmul 9509    <_ cle 9641    / cdiv 10218   RR+crp 11232   vol*covol 21742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489  df-ovol 21744
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator