MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolre Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ovolre 22534
Description: The measure of the real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolre  |-  ( vol* `  RR )  = +oo

Proof of Theorem ovolre
StepHypRef Expression
1 ssid 3463 . . . 4  |-  RR  C_  RR
2 ovolcl 22486 . . . 4  |-  ( RR  C_  RR  ->  ( vol* `  RR )  e. 
RR* )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  ( vol* `  RR )  e.  RR*
4 pnfge 11466 . . 3  |-  ( ( vol* `  RR )  e.  RR*  ->  ( vol* `  RR )  <_ +oo )
53, 4ax-mp 5 . 2  |-  ( vol* `  RR )  <_ +oo
6 0re 9674 . . . 4  |-  0  e.  RR
7 ovolicopnf 22533 . . . 4  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( vol* `  ( 0 [,) +oo ) )  = +oo )
86, 7ax-mp 5 . . 3  |-  ( vol* `  ( 0 [,) +oo ) )  = +oo
9 rge0ssre 11775 . . . 4  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
10 ovolss 22493 . . . 4  |-  ( ( ( 0 [,) +oo )  C_  RR  /\  RR  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( 0 [,) +oo ) )  <_  ( vol* `  RR ) )
119, 1, 10mp2an 683 . . 3  |-  ( vol* `  ( 0 [,) +oo ) )  <_ 
( vol* `  RR )
128, 11eqbrtrri 4440 . 2  |- +oo  <_  ( vol* `  RR )
13 pnfxr 11446 . . 3  |- +oo  e.  RR*
14 xrletri3 11485 . . 3  |-  ( ( ( vol* `  RR )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( vol* `  RR )  = +oo  <->  (
( vol* `  RR )  <_ +oo  /\ +oo 
<_  ( vol* `  RR ) ) ) )
153, 13, 14mp2an 683 . 2  |-  ( ( vol* `  RR )  = +oo  <->  ( ( vol* `  RR )  <_ +oo  /\ +oo  <_  ( vol* `  RR ) ) )
165, 12, 15mpbir2an 936 1  |-  ( vol* `  RR )  = +oo
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    C_ wss 3416   class class class wbr 4418   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   RRcr 9569   0cc0 9570   +oocpnf 9703   RR*cxr 9705    <_ cle 9707   [,)cico 11671   vol*covol 22468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fi 7956  df-sup 7987  df-inf 7988  df-oi 8056  df-card 8404  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-q 11299  df-rp 11337  df-xneg 11443  df-xadd 11444  df-xmul 11445  df-ioo 11673  df-ico 11675  df-icc 11676  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-clim 13607  df-sum 13808  df-rest 15376  df-topgen 15397  df-psmet 19017  df-xmet 19018  df-met 19019  df-bl 19020  df-mopn 19021  df-top 19976  df-bases 19977  df-topon 19978  df-cmp 20457  df-ovol 22471
This theorem is referenced by:  i1f0rn  22696  ovoliunnfl  32028  voliunnfl  32030  volsupnfl  32031
  Copyright terms: Public domain W3C validator