Theorem ovollecl 21872

Description: If an outer volume is bounded above, then it is real. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovollecl	|- ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( vol* ` A ) <_ B ) -> ( vol* ` A ) e. RR )

Proof of Theorem ovollecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolcl 21867	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( vol* ` A ) e. RR* )
2	1	3ad2ant1 1018	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( vol* ` A ) <_ B ) -> ( vol* ` A ) e. RR* )
3		simp2 998	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( vol* ` A ) <_ B ) -> B e. RR )
4		ovolge0 21870	. . 3 |- ( A C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` A ) )
5	4	3ad2ant1 1018	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( vol* ` A ) <_ B ) -> 0 <_ ( vol* ` A ) )
6		simp3 999	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( vol* ` A ) <_ B ) -> ( vol* ` A ) <_ B )
7		xrrege0 11386	. 2 |- ( ( ( ( vol* ` A ) e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( vol* ` A ) /\ ( vol* ` A ) <_ B ) ) -> ( vol* ` A ) e. RR )
8	2, 3, 5, 6, 7	syl22anc 1230	1 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( vol* ` A ) <_ B ) -> ( vol* ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 974   e. wcel 1804   C_ wss 3461   class class class wbr 4437   ` cfv 5578   RRcr 9494   0cc0 9495   RR*cxr 9630   <_ cle 9632   vol*covol 21852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-rp 11232  df-ico 11546  df-fz 11684  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-ovol 21854

This theorem is referenced by:  ovolsscl  21875  ovolunlem1  21886  ovolfiniun  21890  ovolsca  21904  nulmbl2  21925  volun  21933  volfiniun  21935  uniioombllem3a  21971  uniioombllem3  21972  uniioombllem4  21973  uniioombllem5  21974  volcn  21993  i1fd  22066  i1fadd  22080  i1fmul  22081  itg2const2  22126  itg2cnlem2  22147