Theorem ovollb2lem 21984

Description: Lemma for ovollb2 21985. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovollb2.1	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
ovollb2.2	|- G = ( n e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. )
ovollb2.3	|- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
ovollb2.4	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
ovollb2.5	|- ( ph -> A C_ U. ran ( [,] o. F ) )
ovollb2.6	|- ( ph -> B e. RR+ )
ovollb2.7	|- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
ovollb2lem	|- ( ph -> ( vol* ` A ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, F   B, n   ph, n   S, n

Allowed substitution hints:   T( n)   G( n)

Proof of Theorem ovollb2lem

Dummy variables m y z k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovollb2.5	. . . 4 |- ( ph -> A C_ U. ran ( [,] o. F ) )
2		ovollb2.4	. . . . 5 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
3		ovolficcss 21966	. . . . 5 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> U. ran ( [,] o. F ) C_ RR )
4	2, 3	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> U. ran ( [,] o. F ) C_ RR )
5	1, 4	sstrd 3427	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
6		ovolcl 21974	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( vol* ` A ) e. RR* )
7	5, 6	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` A ) e. RR* )
8		ovolfcl 21963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
9	2, 8	sylan 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
10	9	simp1d 1006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR )
11		ovollb2.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR+ )
12	11	rphalfcld 11189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B / 2 ) e. RR+ )
13	12	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
14		2nn 10610	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
15		nnnn0 10719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
16	15	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN0 )
17		nnexpcl 12082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
18	14, 16, 17	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
19	18	nnrpd 11175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
20	13, 19	rpdivcld 11194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ )
21	20	rpred 11177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR )
22	10, 21	resubcld 9905	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR )
23	9	simp2d 1007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR )
24	23, 21	readdcld 9534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR )
25	10, 20	ltsubrpd 11205	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) < ( 1st ` ( F ` n ) ) )
26	9	simp3d 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) )
27	23, 20	ltaddrpd 11206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
28	10, 23, 24, 26, 27	lelttrd 9651	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
29	22, 10, 24, 25, 28	lttrd 9654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
30	22, 24, 29	ltled 9644	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
31		df-br 4368	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) <-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. <_ )
32	30, 31	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. <_ )
33		opelxpi 4945	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR /\ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. ( RR X. RR ) )
34	22, 24, 33	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. ( RR X. RR ) )
35	32, 34	elind 3602	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
36		ovollb2.2	. . . . . . 7 |- G = ( n e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. )
37	35, 36	fmptd 5957	. . . . . 6 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
38		eqid 2382	. . . . . . 7 |- ( ( abs o. - ) o. G ) = ( ( abs o. - ) o. G )
39		ovollb2.3	. . . . . . 7 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
40	38, 39	ovolsf 21969	. . . . . 6 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
41	37, 40	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
42		frn 5645	. . . . 5 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
43	41, 42	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
44		icossxr 11530	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
45	43, 44	syl6ss 3429	. . 3 |- ( ph -> ran T C_ RR* )
46		supxrcl 11427	. . 3 |- ( ran T C_ RR* -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR* )
47	45, 46	syl 16	. 2 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR* )
48		ovollb2.7	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR )
49	11	rpred 11177	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
50	48, 49	readdcld 9534	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) e. RR )
51	50	rexrd 9554	. 2 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) e. RR* )
52		fveq2 5774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
53	52	fveq2d 5778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( 1st ` ( F ` n ) ) = ( 1st ` ( F ` m ) ) )
54		oveq2 6204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ m ) )
55	54	oveq2d 6212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) = ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) )
56	53, 55	oveq12d 6214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) = ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
57	52	fveq2d 5778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) = ( 2nd ` ( F ` m ) ) )
58	57, 55	oveq12d 6214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
59	56, 58	opeq12d 4139	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. )
60		opex 4626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. e. _V
61	59, 36, 60	fvmpt 5857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( G ` m ) = <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. )
62	61	adantl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( G ` m ) = <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. )
63	62	fveq2d 5778	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) = ( 1st ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) )
64		ovex 6224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) e. _V
65		ovex 6224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) e. _V
66	64, 65	op1st 6707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1st ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) = ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) )
67	63, 66	syl6eq 2439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) = ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
68		ovolfcl 21963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) )
69	2, 68	sylan 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) )
70	69	simp1d 1006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR )
71	12	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
72		nnnn0 10719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> m e. NN0 )
73	72	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. NN0 )
74		nnexpcl 12082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
75	14, 73, 74	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
76	75	nnrpd 11175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) e. RR+ )
77	71, 76	rpdivcld 11194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) e. RR+ )
78	70, 77	ltsubrpd 11205	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) )
79	67, 78	eqbrtrd 4387	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) )
80	79	adantlr 712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) )
81		ovolfcl 21963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
82	37, 81	sylan 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
83	82	simp1d 1006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR )
84	83	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR )
85	70	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR )
86	5	sselda 3417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. RR )
87	86	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> z e. RR )
88		ltletr 9587	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < z ) )
89	84, 85, 87, 88	syl3anc 1226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < z ) )
90	80, 89	mpand 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < z ) )
91	69	simp2d 1007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR )
92	91, 77	ltaddrpd 11206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
93	62	fveq2d 5778	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) = ( 2nd ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) )
94	64, 65	op2nd 6708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2nd ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) )
95	93, 94	syl6eq 2439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
96	92, 95	breqtrrd 4393	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) )
97	96	adantlr 712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) )
98	91	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR )
99	82	simp2d 1007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR )
100	99	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR )
101		lelttr 9586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR ) -> ( ( z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) -> z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
102	87, 98, 100, 101	syl3anc 1226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) -> z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
103	97, 102	mpan2d 672	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) -> z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
104	90, 103	anim12d 561	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
105	104	reximdva 2857	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
106	105	ralimdva 2790	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
107		ovolficc 21965	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( [,] o. F ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) ) )
108	5, 2, 107	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( [,] o. F ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) ) )
109		ovolfioo 21964	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( (,) o. G ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
110	5, 37, 109	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( (,) o. G ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
111	106, 108, 110	3imtr4d 268	. . . 4 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( [,] o. F ) -> A C_ U. ran ( (,) o. G ) ) )
112	1, 111	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> A C_ U. ran ( (,) o. G ) )
113	39	ovollb 21975	. . 3 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ A C_ U. ran ( (,) o. G ) ) -> ( vol* ` A ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
114	37, 112, 113	syl2anc 659	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` A ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
115	39	fveq1i 5775	. . . . . . 7 |- ( T ` k ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k )
116		fzfid 11986	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
117		rge0ssre 11549	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
118		eqid 2382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs o. - ) o. F ) = ( ( abs o. - ) o. F )
119	118	ovolfsf 21968	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
120	2, 119	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
121	120	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
122		elfznn 11635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 ... k ) -> m e. NN )
123		ffvelrn 5931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. ( 0 [,) +oo ) )
124	121, 122, 123	syl2an 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. ( 0 [,) +oo ) )
125	117, 124	sseldi 3415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. RR )
126	125	recnd 9533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. CC )
127	11	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> B e. RR+ )
128	127, 76	rpdivcld 11194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. RR+ )
129	128	rpcnd 11179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
130	122, 129	sylan2 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
131	130	adantlr 712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
132	116, 126, 131	fsumadd 13563	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
133	38	ovolfsval 21967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) )
134	37, 133	sylan 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) )
135	91	recnd 9533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. CC )
136	77	rpcnd 11179	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
137	70	recnd 9533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` m ) ) e. CC )
138	137, 136	subcld 9844	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
139	135, 136, 138	addsubassd 9864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
140	95, 67	oveq12d 6214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
141	135, 137, 129	subadd23d 9866	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) ) )
142	118	ovolfsval 21967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
143	2, 142	sylan 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
144	143	oveq1d 6211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
145	136, 137, 136	subsub3d 9874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
146	71	rpcnd 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / 2 ) e. CC )
147	75	nncnd 10468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) e. CC )
148	75	nnne0d 10497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) =/= 0 )
149	146, 146, 147, 148	divdird 10275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) + ( B / 2 ) ) / ( 2 ^ m ) ) = ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
150	127	rpcnd 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> B e. CC )
151	150	2halvesd 10701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( B / 2 ) + ( B / 2 ) ) = B )
152	151	oveq1d 6211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) + ( B / 2 ) ) / ( 2 ^ m ) ) = ( B / ( 2 ^ m ) ) )
153	149, 152	eqtr3d 2425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( B / ( 2 ^ m ) ) )
154	153	oveq1d 6211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) = ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
155	145, 154	eqtrd 2423	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
156	155	oveq2d 6212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) ) )
157	141, 144, 156	3eqtr4d 2433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
158	139, 140, 157	3eqtr4d 2433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
159	134, 158	eqtrd 2423	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
160	122, 159	sylan2 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
161	160	adantlr 712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
162		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
163		nnuz 11036	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
164	162, 163	syl6eleq 2480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
165	126, 131	addcld 9526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
166	161, 164, 165	fsumser 13554	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) )
167		eqidd 2383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) )
168	167, 164, 126	fsumser 13554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` k ) )
169		ovollb2.1	. . . . . . . . . . 11 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
170	169	fveq1i 5775	. . . . . . . . . 10 |- ( S ` k ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` k )
171	168, 170	syl6eqr 2441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( S ` k ) )
172	11	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. RR+ )
173	172	rpcnd 11179	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. CC )
174		geo2sum 13684	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ B e. CC ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) = ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) )
175	162, 173, 174	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) = ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) )
176	171, 175	oveq12d 6214	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) )
177	132, 166, 176	3eqtr3d 2431	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) = ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) )
178	115, 177	syl5eq 2435	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( T ` k ) = ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) )
179	118, 169	ovolsf 21969	. . . . . . . . . 10 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
180	2, 179	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
181	180	ffvelrnda 5933	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. ( 0 [,) +oo ) )
182	117, 181	sseldi 3415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. RR )
183	172	rpred 11177	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. RR )
184		nnnn0 10719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
185	184	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN0 )
186		nnexpcl 12082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
187	14, 185, 186	sylancr 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
188	187	nnrpd 11175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
189	172, 188	rpdivcld 11194	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ k ) ) e. RR+ )
190	189	rpred 11177	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ k ) ) e. RR )
191	183, 190	resubcld 9905	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) e. RR )
192	48	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR )
193		frn 5645	. . . . . . . . . . 11 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
194	180, 193	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
195	194, 44	syl6ss 3429	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran S C_ RR* )
196	195	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ran S C_ RR* )
197		ffn 5639	. . . . . . . . . 10 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> S Fn NN )
198	180, 197	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S Fn NN )
199		fnfvelrn 5930	. . . . . . . . 9 |- ( ( S Fn NN /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. ran S )
200	198, 199	sylan 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. ran S )
201		supxrub 11437	. . . . . . . 8 |- ( ( ran S C_ RR* /\ ( S ` k ) e. ran S ) -> ( S ` k ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
202	196, 200, 201	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
203	183, 189	ltsubrpd 11205	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) < B )
204	191, 183, 203	ltled 9644	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) <_ B )
205	182, 191, 192, 183, 202, 204	le2addd 10087	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
206	178, 205	eqbrtrd 4387	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
207	206	ralrimiva 2796	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. NN ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
208		ffn 5639	. . . . 5 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> T Fn NN )
209		breq1 4370	. . . . . 6 |- ( y = ( T ` k ) -> ( y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
210	209	ralrn 5936	. . . . 5 |- ( T Fn NN -> ( A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. k e. NN ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
211	41, 208, 210	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. k e. NN ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
212	207, 211	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
213		supxrleub 11439	. . . 4 |- ( ( ran T C_ RR* /\ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) e. RR* ) -> ( sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
214	45, 51, 213	syl2anc 659	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
215	212, 214	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
216	7, 47, 51, 114, 215	xrletrd 11286	1 |- ( ph -> ( vol* ` A ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1399   e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733   i^i cin 3388   C_ wss 3389   <.cop 3950   U.cuni 4163   class class class wbr 4367   |-> cmpt 4425   X. cxp 4911   ran crn 4914   o. ccom 4917   Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   1stc1st 6697   2ndc2nd 6698   supcsup 7815   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404   + caddc 9406   +oocpnf 9536   RR*cxr 9538   < clt 9539   <_ cle 9540   - cmin 9718   / cdiv 10123   NNcn 10452   2c2 10502   NN0cn0 10712   ZZ>=cuz 11001   RR+crp 11139   (,)cioo 11450   [,)cico 11452   [,]cicc 11453   ...cfz 11593   seqcseq 12010   ^cexp 12069   abscabs 13069   sum_csu 13510   vol*covol 21959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-ioo 11454  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-sum 13511  df-ovol 21961

This theorem is referenced by:  ovollb2  21985