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Theorem ovollb2lem 20930
Description: Lemma for ovollb2 20931. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovollb2.1  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ovollb2.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) >. )
ovollb2.3  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ovollb2.4  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ovollb2.5  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( [,]  o.  F ) )
ovollb2.6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
ovollb2.7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ovollb2lem  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, F    B, n    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    T( n)    G( n)

Proof of Theorem ovollb2lem
Dummy variables  m  y  z  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovollb2.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( [,]  o.  F ) )
2 ovollb2.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3 ovolficcss 20912 . . . . 5  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U. ran  ( [,]  o.  F ) 
C_  RR )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  ( [,] 
o.  F )  C_  RR )
51, 4sstrd 3363 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6 ovolcl 20920 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol* `  A )  e.  RR* )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  RR* )
8 ovolfcl 20909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
92, 8sylan 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
109simp1d 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  RR )
11 ovollb2.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
1211rphalfcld 11035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  /  2
)  e.  RR+ )
1312adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( B  /  2 )  e.  RR+ )
14 2nn 10475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
15 nnnn0 10582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
1615adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
17 nnexpcl 11874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
1814, 16, 17sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
1918nnrpd 11022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR+ )
2013, 19rpdivcld 11040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
2120rpred 11023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR )
2210, 21resubcld 9772 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  -  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ n
) ) )  e.  RR )
239simp2d 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  RR )
2423, 21readdcld 9409 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  +  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ n
) ) )  e.  RR )
2510, 20ltsubrpd 11051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  -  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ n
) ) )  < 
( 1st `  ( F `  n )
) )
269simp3d 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) )
2723, 20ltaddrpd 11052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
2810, 23, 24, 26, 27lelttrd 9525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
2922, 10, 24, 25, 28lttrd 9528 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  -  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ n
) ) )  < 
( ( 2nd `  ( F `  n )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
3022, 24, 29ltled 9518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  -  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ n
) ) )  <_ 
( ( 2nd `  ( F `  n )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
31 df-br 4290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) )  <_  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) )  <->  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  +  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ n
) ) ) >.  e.  <_  )
3230, 31sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) >.  e.  <_  )
33 opelxpi 4867 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) )  e.  RR  /\  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) )  e.  RR )  ->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
3422, 24, 33syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
3532, 34elind 3537 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
36 ovollb2.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) >. )
3735, 36fmptd 5864 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
38 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
39 ovollb2.3 . . . . . . 7  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
4038, 39ovolsf 20915 . . . . . 6  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
4137, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
42 frn 5562 . . . . 5  |-  ( T : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  T  C_  ( 0 [,) +oo ) )
4341, 42syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  (
0 [,) +oo )
)
44 icossxr 11376 . . . 4  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
4543, 44syl6ss 3365 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  RR* )
46 supxrcl 11273 . . 3  |-  ( ran 
T  C_  RR*  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
4745, 46syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
48 ovollb2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
4911rpred 11023 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5048, 49readdcld 9409 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  +  B )  e.  RR )
5150rexrd 9429 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  +  B )  e. 
RR* )
52 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
5352fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  ( 1st `  ( F `  n ) )  =  ( 1st `  ( F `  m )
) )
54 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ m ) )
5554oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) )
5653, 55oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
5752fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  ( 2nd `  ( F `  n ) )  =  ( 2nd `  ( F `  m )
) )
5857, 55oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  m
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
5956, 58opeq12d 4064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) >.  =  <. ( ( 1st `  ( F `  m )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  m
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) >. )
60 opex 4553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. (
( 1st `  ( F `  m )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  m
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) >.  e.  _V
6159, 36, 60fvmpt 5771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  ( G `  m )  =  <. ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 m ) )  +  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) ) >.
)
6261adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( G `
 m )  = 
<. ( ( 1st `  ( F `  m )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  m
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) >. )
6362fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  m
) )  =  ( 1st `  <. (
( 1st `  ( F `  m )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  m
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) >. ) )
64 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1st `  ( F `
 m ) )  -  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) )  e. 
_V
65 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2nd `  ( F `
 m ) )  +  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) )  e. 
_V
6664, 65op1st 6584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 m ) )  +  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) ) >.
)  =  ( ( 1st `  ( F `
 m ) )  -  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) )
6763, 66syl6eq 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  m
) )  =  ( ( 1st `  ( F `  m )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
68 ovolfcl 20909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  m )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 m ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  m ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  m )
) ) )
692, 68sylan 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 m ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  m ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  m
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  m ) ) ) )
7069simp1d 995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  m
) )  e.  RR )
7112adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( B  /  2 )  e.  RR+ )
72 nnnn0 10582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
7372adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e. 
NN0 )
74 nnexpcl 11874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
7514, 73, 74sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
7675nnrpd 11022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2 ^ m )  e.  RR+ )
7771, 76rpdivcld 11040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) )  e.  RR+ )
7870, 77ltsubrpd 11051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 m ) )  -  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) )  < 
( 1st `  ( F `  m )
) )
7967, 78eqbrtrd 4309 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  m
) )  <  ( 1st `  ( F `  m ) ) )
8079adantlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  m ) )  < 
( 1st `  ( F `  m )
) )
81 ovolfcl 20909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  m )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 m ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  m ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  m )
) ) )
8237, 81sylan 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( G `
 m ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `  m ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  m
) )  <_  ( 2nd `  ( G `  m ) ) ) )
8382simp1d 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  m
) )  e.  RR )
8483adantlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  m ) )  e.  RR )
8570adantlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  m ) )  e.  RR )
865sselda 3353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
8786adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  z  e.  RR )
88 ltletr 9462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1st `  ( G `  m )
)  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `
 m ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  ( 1st `  ( F `  m
) )  /\  ( 1st `  ( F `  m ) )  <_ 
z )  ->  ( 1st `  ( G `  m ) )  < 
z ) )
8984, 85, 87, 88syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  ( 1st `  ( F `  m
) )  /\  ( 1st `  ( F `  m ) )  <_ 
z )  ->  ( 1st `  ( G `  m ) )  < 
z ) )
9080, 89mpand 670 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  m )
)  <_  z  ->  ( 1st `  ( G `
 m ) )  <  z ) )
9169simp2d 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  m
) )  e.  RR )
9291, 77ltaddrpd 11052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  m
) )  <  (
( 2nd `  ( F `  m )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
9362fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  m
) )  =  ( 2nd `  <. (
( 1st `  ( F `  m )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  m
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) >. ) )
9464, 65op2nd 6585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2nd `  <. ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 m ) )  +  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) ) >.
)  =  ( ( 2nd `  ( F `
 m ) )  +  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) )
9593, 94syl6eq 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  m
) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  m )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
9692, 95breqtrrd 4315 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  m
) )  <  ( 2nd `  ( G `  m ) ) )
9796adantlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  m ) )  < 
( 2nd `  ( G `  m )
) )
9891adantlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  m ) )  e.  RR )
9982simp2d 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  m
) )  e.  RR )
10099adantlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  m ) )  e.  RR )
101 lelttr 9461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 m ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `  m ) )  e.  RR )  ->  (
( z  <_  ( 2nd `  ( F `  m ) )  /\  ( 2nd `  ( F `
 m ) )  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) )  ->  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) )
10287, 98, 100, 101syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( z  <_  ( 2nd `  ( F `  m ) )  /\  ( 2nd `  ( F `
 m ) )  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) )  ->  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) )
10397, 102mpan2d 669 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  (
z  <_  ( 2nd `  ( F `  m
) )  ->  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) )
10490, 103anim12d 560 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  m )
)  <_  z  /\  z  <_  ( 2nd `  ( F `  m )
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) ) )
105104reximdva 2826 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <_  z  /\  z  <_  ( 2nd `  ( F `  m )
) )  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m
) ) ) ) )
106105ralimdva 2792 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  <_  z  /\  z  <_  ( 2nd `  ( F `  m
) ) )  ->  A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) ) )
107 ovolficc 20911 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( [,]  o.  F )  <->  A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <_  z  /\  z  <_  ( 2nd `  ( F `  m )
) ) ) )
1085, 2, 107syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( [,]  o.  F )  <->  A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <_  z  /\  z  <_  ( 2nd `  ( F `  m )
) ) ) )
109 ovolfioo 20910 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) ) )
1105, 37, 109syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) ) )
111106, 108, 1103imtr4d 268 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( [,]  o.  F )  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) ) )
1121, 111mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
11339ovollb 20921 . . 3  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  G ) )  -> 
( vol* `  A )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
11437, 112, 113syl2anc 656 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
11539fveq1i 5689 . . . . . . 7  |-  ( T `
 k )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) `  k )
116 fzfid 11791 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
117 0re 9382 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
118 pnfxr 11088 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
119 icossre 11372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
120117, 118, 119mp2an 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
121 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
122121ovolfsf 20914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
1232, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
124123adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
125 elfznn 11474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... k )  ->  m  e.  NN )
126 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) : NN --> ( 0 [,) +oo )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) `  m
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
127124, 125, 126syl2an 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  m )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
128120, 127sseldi 3351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  m )  e.  RR )
129128recnd 9408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  m )  e.  CC )
13011adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  RR+ )
131130, 76rpdivcld 11040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( B  /  ( 2 ^ m ) )  e.  RR+ )
132131rpcnd 11025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( B  /  ( 2 ^ m ) )  e.  CC )
133125, 132sylan2 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( B  /  ( 2 ^ m ) )  e.  CC )
134133adantlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( B  /  ( 2 ^ m ) )  e.  CC )
135116, 129, 134fsumadd 13211 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... k ) ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... k ) ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
13638ovolfsval 20913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  m )  =  ( ( 2nd `  ( G `  m
) )  -  ( 1st `  ( G `  m ) ) ) )
13737, 136sylan 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  m )  =  ( ( 2nd `  ( G `  m )
)  -  ( 1st `  ( G `  m
) ) ) )
13891recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  m
) )  e.  CC )
13977rpcnd 11025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) )  e.  CC )
14070recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  m
) )  e.  CC )
141140, 139subcld 9715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 m ) )  -  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) )  e.  CC )
142138, 139, 141addsubassd 9735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  m )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  m )
)  +  ( ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) )  -  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
14395, 67oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( G `
 m ) )  -  ( 1st `  ( G `  m )
) )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  m )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
144138, 140, 132subadd23d 9737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  m )
)  -  ( 1st `  ( F `  m
) ) )  +  ( B  /  (
2 ^ m ) ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  m )
)  +  ( ( B  /  ( 2 ^ m ) )  -  ( 1st `  ( F `  m )
) ) ) )
145121ovolfsval 20913 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  m )  =  ( ( 2nd `  ( F `  m
) )  -  ( 1st `  ( F `  m ) ) ) )
1462, 145sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m )  =  ( ( 2nd `  ( F `  m )
)  -  ( 1st `  ( F `  m
) ) ) )
147146oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  m )  +  ( B  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  m
) )  -  ( 1st `  ( F `  m ) ) )  +  ( B  / 
( 2 ^ m
) ) ) )
148139, 140, 139subsub3d 9745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) )  -  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) )  =  ( ( ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  ( 1st `  ( F `  m
) ) ) )
14971rpcnd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( B  /  2 )  e.  CC )
15075nncnd 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2 ^ m )  e.  CC )
15175nnne0d 10362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2 ^ m )  =/=  0 )
152149, 149, 150, 151divdird 10141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( B  /  2
)  +  ( B  /  2 ) )  /  ( 2 ^ m ) )  =  ( ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
153130rpcnd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
1541532halvesd 10566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( B  /  2 )  +  ( B  / 
2 ) )  =  B )
155154oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( B  /  2
)  +  ( B  /  2 ) )  /  ( 2 ^ m ) )  =  ( B  /  (
2 ^ m ) ) )
156152, 155eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) )  +  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( B  /  (
2 ^ m ) ) )
157156oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( B  / 
2 )  /  (
2 ^ m ) )  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  ( 1st `  ( F `  m )
) )  =  ( ( B  /  (
2 ^ m ) )  -  ( 1st `  ( F `  m
) ) ) )
158148, 157eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) )  -  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) )  =  ( ( B  /  (
2 ^ m ) )  -  ( 1st `  ( F `  m
) ) ) )
159158oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( F `
 m ) )  +  ( ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) )  -  ( ( 1st `  ( F `  m )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  m )
)  +  ( ( B  /  ( 2 ^ m ) )  -  ( 1st `  ( F `  m )
) ) ) )
160144, 147, 1593eqtr4d 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  m )  +  ( B  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  m )
)  +  ( ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) )  -  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
161142, 143, 1603eqtr4d 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( G `
 m ) )  -  ( 1st `  ( G `  m )
) )  =  ( ( ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) `  m
)  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
162137, 161eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  m )  =  ( ( ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) `  m
)  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
163125, 162sylan2 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  m )  =  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
164163adantlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  m )  =  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
165 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
166 nnuz 10892 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
167165, 166syl6eleq 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
168129, 134addcld 9401 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) `  m
)  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) )  e.  CC )
169164, 167, 168fsumser 13203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) )  =  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
) )
170 eqidd 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  m )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m
) )
171170, 167, 129fsumser 13203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) ) `  k
) )
172 ovollb2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
173172fveq1i 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( S `
 k )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) ) `  k )
174171, 173syl6eqr 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m
)  =  ( S `
 k ) )
17511adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  B  e.  RR+ )
176175rpcnd 11025 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
177 geo2sum 13329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  (
1 ... k ) ( B  /  ( 2 ^ m ) )  =  ( B  -  ( B  /  (
2 ^ k ) ) ) )
178165, 176, 177syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( B  / 
( 2 ^ m
) )  =  ( B  -  ( B  /  ( 2 ^ k ) ) ) )
179174, 178oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... k ) ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... k ) ( B  /  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( ( S `
 k )  +  ( B  -  ( B  /  ( 2 ^ k ) ) ) ) )
180135, 169, 1793eqtr3d 2481 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
)  =  ( ( S `  k )  +  ( B  -  ( B  /  (
2 ^ k ) ) ) ) )
181115, 180syl5eq 2485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( T `
 k )  =  ( ( S `  k )  +  ( B  -  ( B  /  ( 2 ^ k ) ) ) ) )
182121, 172ovolsf 20915 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
1832, 182syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
184183ffvelrnda 5840 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
185120, 184sseldi 3351 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  e.  RR )
186175rpred 11023 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
187 nnnn0 10582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
188187adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e. 
NN0 )
189 nnexpcl 11874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
19014, 188, 189sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ k )  e.  NN )
191190nnrpd 11022 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ k )  e.  RR+ )
192175, 191rpdivcld 11040 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  /  ( 2 ^ k ) )  e.  RR+ )
193192rpred 11023 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  /  ( 2 ^ k ) )  e.  RR )
194186, 193resubcld 9772 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  -  ( B  / 
( 2 ^ k
) ) )  e.  RR )
19548adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
196 frn 5562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  S  C_  ( 0 [,) +oo ) )
197183, 196syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (
0 [,) +oo )
)
198197, 44syl6ss 3365 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
199198adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ran  S  C_ 
RR* )
200 ffn 5556 . . . . . . . . . 10  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  S  Fn  NN )
201183, 200syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
202 fnfvelrn 5837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `  k
)  e.  ran  S
)
203201, 202sylan 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  e. 
ran  S )
204 supxrub 11283 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  ( S `  k )  e.  ran  S )  -> 
( S `  k
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
205199, 203, 204syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
206186, 192ltsubrpd 11051 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  -  ( B  / 
( 2 ^ k
) ) )  < 
B )
207194, 186, 206ltled 9518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  -  ( B  / 
( 2 ^ k
) ) )  <_  B )
208185, 194, 195, 186, 205, 207le2addd 9953 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( S `  k )  +  ( B  -  ( B  /  (
2 ^ k ) ) ) )  <_ 
( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
209181, 208eqbrtrd 4309 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( T `
 k )  <_ 
( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
210209ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( T `  k )  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
211 ffn 5556 . . . . 5  |-  ( T : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  T  Fn  NN )
212 breq1 4292 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( T `  k )  ->  (
y  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B
)  <->  ( T `  k )  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
213212ralrn 5843 . . . . 5  |-  ( T  Fn  NN  ->  ( A. y  e.  ran  T  y  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B
)  <->  A. k  e.  NN  ( T `  k )  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
21441, 211, 2133syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  T  y  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B )  <->  A. k  e.  NN  ( T `  k )  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
215210, 214mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  T  y  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
216 supxrleub 11285 . . . 4  |-  ( ( ran  T  C_  RR*  /\  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B )  <->  A. y  e.  ran  T  y  <_ 
( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
21745, 51, 216syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B )  <->  A. y  e.  ran  T  y  <_ 
( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
218215, 217mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
2197, 47, 51, 114, 218xrletrd 11132 1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714    i^i cin 3324    C_ wss 3325   <.cop 3880   U.cuni 4088   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   ran crn 4837    o. ccom 4840    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   1stc1st 6574   2ndc2nd 6575   supcsup 7686   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   (,)cioo 11296   [,)cico 11298   [,]cicc 11299   ...cfz 11433    seqcseq 11802   ^cexp 11861   abscabs 12719   sum_csu 13159   vol*covol 20905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-ovol 20907
This theorem is referenced by:  ovollb2  20931
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