Theorem ovollb2lem 21634

Description: Lemma for ovollb2 21635. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovollb2.1	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
ovollb2.2	|- G = ( n e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. )
ovollb2.3	|- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
ovollb2.4	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
ovollb2.5	|- ( ph -> A C_ U. ran ( [,] o. F ) )
ovollb2.6	|- ( ph -> B e. RR+ )
ovollb2.7	|- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
ovollb2lem	|- ( ph -> ( vol* ` A ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, F   B, n   ph, n   S, n

Allowed substitution hints:   T( n)   G( n)

Proof of Theorem ovollb2lem

Dummy variables m y z k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovollb2.5	. . . 4 |- ( ph -> A C_ U. ran ( [,] o. F ) )
2		ovollb2.4	. . . . 5 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
3		ovolficcss 21616	. . . . 5 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> U. ran ( [,] o. F ) C_ RR )
4	2, 3	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> U. ran ( [,] o. F ) C_ RR )
5	1, 4	sstrd 3514	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
6		ovolcl 21624	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( vol* ` A ) e. RR* )
7	5, 6	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` A ) e. RR* )
8		ovolfcl 21613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
9	2, 8	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
10	9	simp1d 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR )
11		ovollb2.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR+ )
12	11	rphalfcld 11264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B / 2 ) e. RR+ )
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
14		2nn 10689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
15		nnnn0 10798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
16	15	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN0 )
17		nnexpcl 12143	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
18	14, 16, 17	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
19	18	nnrpd 11251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
20	13, 19	rpdivcld 11269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ )
21	20	rpred 11252	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR )
22	10, 21	resubcld 9983	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR )
23	9	simp2d 1009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR )
24	23, 21	readdcld 9619	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR )
25	10, 20	ltsubrpd 11280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) < ( 1st ` ( F ` n ) ) )
26	9	simp3d 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) )
27	23, 20	ltaddrpd 11281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
28	10, 23, 24, 26, 27	lelttrd 9735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
29	22, 10, 24, 25, 28	lttrd 9738	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
30	22, 24, 29	ltled 9728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
31		df-br 4448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) <-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. <_ )
32	30, 31	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. <_ )
33		opelxpi 5030	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR /\ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. ( RR X. RR ) )
34	22, 24, 33	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. ( RR X. RR ) )
35	32, 34	elind 3688	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
36		ovollb2.2	. . . . . . 7 |- G = ( n e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. )
37	35, 36	fmptd 6043	. . . . . 6 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
38		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( ( abs o. - ) o. G ) = ( ( abs o. - ) o. G )
39		ovollb2.3	. . . . . . 7 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
40	38, 39	ovolsf 21619	. . . . . 6 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
41	37, 40	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
42		frn 5735	. . . . 5 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
43	41, 42	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
44		icossxr 11605	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
45	43, 44	syl6ss 3516	. . 3 |- ( ph -> ran T C_ RR* )
46		supxrcl 11502	. . 3 |- ( ran T C_ RR* -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR* )
47	45, 46	syl 16	. 2 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR* )
48		ovollb2.7	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR )
49	11	rpred 11252	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
50	48, 49	readdcld 9619	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) e. RR )
51	50	rexrd 9639	. 2 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) e. RR* )
52		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
53	52	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( 1st ` ( F ` n ) ) = ( 1st ` ( F ` m ) ) )
54		oveq2 6290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ m ) )
55	54	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) = ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) )
56	53, 55	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) = ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
57	52	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) = ( 2nd ` ( F ` m ) ) )
58	57, 55	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
59	56, 58	opeq12d 4221	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. )
60		opex 4711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. e. _V
61	59, 36, 60	fvmpt 5948	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( G ` m ) = <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. )
62	61	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( G ` m ) = <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. )
63	62	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) = ( 1st ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) )
64		ovex 6307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) e. _V
65		ovex 6307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) e. _V
66	64, 65	op1st 6789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1st ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) = ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) )
67	63, 66	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) = ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
68		ovolfcl 21613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) )
69	2, 68	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) )
70	69	simp1d 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR )
71	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
72		nnnn0 10798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> m e. NN0 )
73	72	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. NN0 )
74		nnexpcl 12143	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
75	14, 73, 74	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
76	75	nnrpd 11251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) e. RR+ )
77	71, 76	rpdivcld 11269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) e. RR+ )
78	70, 77	ltsubrpd 11280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) )
79	67, 78	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) )
80	79	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) )
81		ovolfcl 21613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
82	37, 81	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
83	82	simp1d 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR )
84	83	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR )
85	70	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR )
86	5	sselda 3504	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. RR )
87	86	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> z e. RR )
88		ltletr 9672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < z ) )
89	84, 85, 87, 88	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < z ) )
90	80, 89	mpand 675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < z ) )
91	69	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR )
92	91, 77	ltaddrpd 11281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
93	62	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) = ( 2nd ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) )
94	64, 65	op2nd 6790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2nd ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) )
95	93, 94	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
96	92, 95	breqtrrd 4473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) )
97	96	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) )
98	91	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR )
99	82	simp2d 1009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR )
100	99	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR )
101		lelttr 9671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR ) -> ( ( z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) -> z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
102	87, 98, 100, 101	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) -> z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
103	97, 102	mpan2d 674	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) -> z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
104	90, 103	anim12d 563	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
105	104	reximdva 2938	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
106	105	ralimdva 2872	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
107		ovolficc 21615	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( [,] o. F ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) ) )
108	5, 2, 107	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( [,] o. F ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) ) )
109		ovolfioo 21614	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( (,) o. G ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
110	5, 37, 109	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( (,) o. G ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
111	106, 108, 110	3imtr4d 268	. . . 4 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( [,] o. F ) -> A C_ U. ran ( (,) o. G ) ) )
112	1, 111	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> A C_ U. ran ( (,) o. G ) )
113	39	ovollb 21625	. . 3 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ A C_ U. ran ( (,) o. G ) ) -> ( vol* ` A ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
114	37, 112, 113	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` A ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
115	39	fveq1i 5865	. . . . . . 7 |- ( T ` k ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k )
116		fzfid 12047	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
117		0re 9592	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
118		pnfxr 11317	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
119		icossre 11601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( 0 [,) +oo ) C_ RR )
120	117, 118, 119	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
121		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs o. - ) o. F ) = ( ( abs o. - ) o. F )
122	121	ovolfsf 21618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
123	2, 122	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
124	123	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
125		elfznn 11710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 ... k ) -> m e. NN )
126		ffvelrn 6017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. ( 0 [,) +oo ) )
127	124, 125, 126	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. ( 0 [,) +oo ) )
128	120, 127	sseldi 3502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. RR )
129	128	recnd 9618	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. CC )
130	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> B e. RR+ )
131	130, 76	rpdivcld 11269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. RR+ )
132	131	rpcnd 11254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
133	125, 132	sylan2 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
134	133	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
135	116, 129, 134	fsumadd 13520	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
136	38	ovolfsval 21617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) )
137	37, 136	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) )
138	91	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. CC )
139	77	rpcnd 11254	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
140	70	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` m ) ) e. CC )
141	140, 139	subcld 9926	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
142	138, 139, 141	addsubassd 9946	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
143	95, 67	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
144	138, 140, 132	subadd23d 9948	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) ) )
145	121	ovolfsval 21617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
146	2, 145	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
147	146	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
148	139, 140, 139	subsub3d 9956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
149	71	rpcnd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / 2 ) e. CC )
150	75	nncnd 10548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) e. CC )
151	75	nnne0d 10576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) =/= 0 )
152	149, 149, 150, 151	divdird 10354	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) + ( B / 2 ) ) / ( 2 ^ m ) ) = ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
153	130	rpcnd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> B e. CC )
154	153	2halvesd 10780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( B / 2 ) + ( B / 2 ) ) = B )
155	154	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) + ( B / 2 ) ) / ( 2 ^ m ) ) = ( B / ( 2 ^ m ) ) )
156	152, 155	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( B / ( 2 ^ m ) ) )
157	156	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) = ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
158	148, 157	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
159	158	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) ) )
160	144, 147, 159	3eqtr4d 2518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
161	142, 143, 160	3eqtr4d 2518	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
162	137, 161	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
163	125, 162	sylan2 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
164	163	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
165		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
166		nnuz 11113	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
167	165, 166	syl6eleq 2565	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
168	129, 134	addcld 9611	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
169	164, 167, 168	fsumser 13511	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) )
170		eqidd 2468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) )
171	170, 167, 129	fsumser 13511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` k ) )
172		ovollb2.1	. . . . . . . . . . 11 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
173	172	fveq1i 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( S ` k ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` k )
174	171, 173	syl6eqr 2526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( S ` k ) )
175	11	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. RR+ )
176	175	rpcnd 11254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. CC )
177		geo2sum 13641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ B e. CC ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) = ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) )
178	165, 176, 177	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) = ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) )
179	174, 178	oveq12d 6300	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) )
180	135, 169, 179	3eqtr3d 2516	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) = ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) )
181	115, 180	syl5eq 2520	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( T ` k ) = ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) )
182	121, 172	ovolsf 21619	. . . . . . . . . 10 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
183	2, 182	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
184	183	ffvelrnda 6019	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. ( 0 [,) +oo ) )
185	120, 184	sseldi 3502	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. RR )
186	175	rpred 11252	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. RR )
187		nnnn0 10798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
188	187	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN0 )
189		nnexpcl 12143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
190	14, 188, 189	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
191	190	nnrpd 11251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
192	175, 191	rpdivcld 11269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ k ) ) e. RR+ )
193	192	rpred 11252	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ k ) ) e. RR )
194	186, 193	resubcld 9983	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) e. RR )
195	48	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR )
196		frn 5735	. . . . . . . . . . 11 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
197	183, 196	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
198	197, 44	syl6ss 3516	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran S C_ RR* )
199	198	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ran S C_ RR* )
200		ffn 5729	. . . . . . . . . 10 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> S Fn NN )
201	183, 200	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S Fn NN )
202		fnfvelrn 6016	. . . . . . . . 9 |- ( ( S Fn NN /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. ran S )
203	201, 202	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. ran S )
204		supxrub 11512	. . . . . . . 8 |- ( ( ran S C_ RR* /\ ( S ` k ) e. ran S ) -> ( S ` k ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
205	199, 203, 204	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
206	186, 192	ltsubrpd 11280	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) < B )
207	194, 186, 206	ltled 9728	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) <_ B )
208	185, 194, 195, 186, 205, 207	le2addd 10166	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
209	181, 208	eqbrtrd 4467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
210	209	ralrimiva 2878	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. NN ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
211		ffn 5729	. . . . 5 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> T Fn NN )
212		breq1 4450	. . . . . 6 |- ( y = ( T ` k ) -> ( y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
213	212	ralrn 6022	. . . . 5 |- ( T Fn NN -> ( A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. k e. NN ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
214	41, 211, 213	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. k e. NN ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
215	210, 214	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
216		supxrleub 11514	. . . 4 |- ( ( ran T C_ RR* /\ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) e. RR* ) -> ( sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
217	45, 51, 216	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
218	215, 217	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
219	7, 47, 51, 114, 218	xrletrd 11361	1 |- ( ph -> ( vol* ` A ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   i^i cin 3475   C_ wss 3476   <.cop 4033   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   ran crn 5000   o. ccom 5003   Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1stc1st 6779   2ndc2nd 6780   supcsup 7896   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   (,)cioo 11525   [,)cico 11527   [,]cicc 11528   ...cfz 11668   seqcseq 12071   ^cexp 12130   abscabs 13026   sum_csu 13467   vol*covol 21609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-ovol 21611

This theorem is referenced by:  ovollb2  21635