Theorem ovollb2lem 19337

Description: Lemma for ovollb2 19338. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovollb2.1	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
ovollb2.2	|- G = ( n e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. )
ovollb2.3	|- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
ovollb2.4	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
ovollb2.5	|- ( ph -> A C_ U. ran ( [,] o. F ) )
ovollb2.6	|- ( ph -> B e. RR+ )
ovollb2.7	|- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
ovollb2lem	|- ( ph -> ( vol * ` A ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, F   B, n   ph, n   S, n

Allowed substitution hints:   T( n)   G( n)

Proof of Theorem ovollb2lem

Dummy variables m y z k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovollb2.5	. . . 4 |- ( ph -> A C_ U. ran ( [,] o. F ) )
2		ovollb2.4	. . . . 5 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
3		ovolficcss 19319	. . . . 5 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> U. ran ( [,] o. F ) C_ RR )
4	2, 3	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> U. ran ( [,] o. F ) C_ RR )
5	1, 4	sstrd 3318	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
6		ovolcl 19327	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( vol * ` A ) e. RR* )
7	5, 6	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( vol * ` A ) e. RR* )
8		ovolfcl 19316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
9	2, 8	sylan 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
10	9	simp1d 969	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR )
11		ovollb2.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR+ )
12	11	rphalfcld 10616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B / 2 ) e. RR+ )
13	12	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
14		2nn 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
15		nnnn0 10184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
16	15	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN0 )
17		nnexpcl 11349	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
18	14, 16, 17	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
19	18	nnrpd 10603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
20	13, 19	rpdivcld 10621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ )
21	20	rpred 10604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR )
22	10, 21	resubcld 9421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR )
23	9	simp2d 970	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR )
24	23, 21	readdcld 9071	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR )
25	10, 20	ltsubrpd 10632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) < ( 1st ` ( F ` n ) ) )
26	9	simp3d 971	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) )
27	23, 20	ltaddrpd 10633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
28	10, 23, 24, 26, 27	lelttrd 9184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
29	22, 10, 24, 25, 28	lttrd 9187	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
30	22, 24, 29	ltled 9177	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
31		df-br 4173	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) <-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. <_ )
32	30, 31	sylib 189	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. <_ )
33		opelxpi 4869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR /\ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. ( RR X. RR ) )
34	22, 24, 33	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. ( RR X. RR ) )
35		elin 3490	. . . . . . . 8 |- ( <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) <-> ( <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. <_ /\ <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. ( RR X. RR ) ) )
36	32, 34, 35	sylanbrc 646	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
37		ovollb2.2	. . . . . . 7 |- G = ( n e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. )
38	36, 37	fmptd 5852	. . . . . 6 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
39		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( ( abs o. - ) o. G ) = ( ( abs o. - ) o. G )
40		ovollb2.3	. . . . . . 7 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
41	39, 40	ovolsf 19322	. . . . . 6 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
42	38, 41	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
43		frn 5556	. . . . 5 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
44	42, 43	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
45		icossxr 10951	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
46	44, 45	syl6ss 3320	. . 3 |- ( ph -> ran T C_ RR* )
47		supxrcl 10849	. . 3 |- ( ran T C_ RR* -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR* )
48	46, 47	syl 16	. 2 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR* )
49		ovollb2.7	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR )
50	11	rpred 10604	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
51	49, 50	readdcld 9071	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) e. RR )
52	51	rexrd 9090	. 2 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) e. RR* )
53		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
54	53	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( 1st ` ( F ` n ) ) = ( 1st ` ( F ` m ) ) )
55		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ m ) )
56	55	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) = ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) )
57	54, 56	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) = ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
58	53	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) = ( 2nd ` ( F ` m ) ) )
59	58, 56	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
60	57, 59	opeq12d 3952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. )
61		opex 4387	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. e. _V
62	60, 37, 61	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( G ` m ) = <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. )
63	62	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( G ` m ) = <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. )
64	63	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) = ( 1st ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) )
65		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) e. _V
66		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) e. _V
67	65, 66	op1st 6314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1st ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) = ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) )
68	64, 67	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) = ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
69		ovolfcl 19316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) )
70	2, 69	sylan 458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) )
71	70	simp1d 969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR )
72	12	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
73		nnnn0 10184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> m e. NN0 )
74	73	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. NN0 )
75		nnexpcl 11349	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
76	14, 74, 75	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
77	76	nnrpd 10603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) e. RR+ )
78	72, 77	rpdivcld 10621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) e. RR+ )
79	71, 78	ltsubrpd 10632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) )
80	68, 79	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) )
81	80	adantlr 696	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) )
82		ovolfcl 19316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
83	38, 82	sylan 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
84	83	simp1d 969	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR )
85	84	adantlr 696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR )
86	71	adantlr 696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR )
87	5	sselda 3308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. RR )
88	87	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> z e. RR )
89		ltletr 9122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < z ) )
90	85, 86, 88, 89	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < z ) )
91	81, 90	mpand 657	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < z ) )
92	70	simp2d 970	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR )
93	92, 78	ltaddrpd 10633	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
94	63	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) = ( 2nd ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) )
95	65, 66	op2nd 6315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2nd ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) )
96	94, 95	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
97	93, 96	breqtrrd 4198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) )
98	97	adantlr 696	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) )
99	92	adantlr 696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR )
100	83	simp2d 970	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR )
101	100	adantlr 696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR )
102		lelttr 9121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR ) -> ( ( z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) -> z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
103	88, 99, 101, 102	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) -> z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
104	98, 103	mpan2d 656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) -> z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
105	91, 104	anim12d 547	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
106	105	reximdva 2778	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
107	106	ralimdva 2744	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
108		ovolficc 19318	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( [,] o. F ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) ) )
109	5, 2, 108	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( [,] o. F ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) ) )
110		ovolfioo 19317	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( (,) o. G ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
111	5, 38, 110	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( (,) o. G ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
112	107, 109, 111	3imtr4d 260	. . . 4 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( [,] o. F ) -> A C_ U. ran ( (,) o. G ) ) )
113	1, 112	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> A C_ U. ran ( (,) o. G ) )
114	40	ovollb 19328	. . 3 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ A C_ U. ran ( (,) o. G ) ) -> ( vol * ` A ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
115	38, 113, 114	syl2anc 643	. 2 |- ( ph -> ( vol * ` A ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
116	40	fveq1i 5688	. . . . . . 7 |- ( T ` k ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k )
117		fzfid 11267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
118		0re 9047	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
119		pnfxr 10669	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
120		icossre 10947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( 0 [,) +oo ) C_ RR )
121	118, 119, 120	mp2an 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
122		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs o. - ) o. F ) = ( ( abs o. - ) o. F )
123	122	ovolfsf 19321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
124	2, 123	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
125	124	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
126		elfznn 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 ... k ) -> m e. NN )
127		ffvelrn 5827	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. ( 0 [,) +oo ) )
128	125, 126, 127	syl2an 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. ( 0 [,) +oo ) )
129	121, 128	sseldi 3306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. RR )
130	129	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. CC )
131	11	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> B e. RR+ )
132	131, 77	rpdivcld 10621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. RR+ )
133	132	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
134	126, 133	sylan2 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
135	134	adantlr 696	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
136	117, 130, 135	fsumadd 12487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
137	39	ovolfsval 19320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) )
138	38, 137	sylan 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) )
139	92	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. CC )
140	78	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
141	71	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` m ) ) e. CC )
142	141, 140	subcld 9367	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
143	139, 140, 142	addsubassd 9387	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
144	96, 68	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
145	139, 141, 133	subadd23d 9389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) ) )
146	122	ovolfsval 19320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
147	2, 146	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
148	147	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
149	140, 141, 140	subsub3d 9397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
150	72	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / 2 ) e. CC )
151	76	nncnd 9972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) e. CC )
152	76	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) =/= 0 )
153	150, 150, 151, 152	divdird 9784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) + ( B / 2 ) ) / ( 2 ^ m ) ) = ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
154	131	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> B e. CC )
155	154	2halvesd 10169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( B / 2 ) + ( B / 2 ) ) = B )
156	155	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) + ( B / 2 ) ) / ( 2 ^ m ) ) = ( B / ( 2 ^ m ) ) )
157	153, 156	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( B / ( 2 ^ m ) ) )
158	157	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) = ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
159	149, 158	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
160	159	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) ) )
161	145, 148, 160	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
162	143, 144, 161	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
163	138, 162	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
164	126, 163	sylan2 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
165	164	adantlr 696	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
166		simpr 448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
167		nnuz 10477	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
168	166, 167	syl6eleq 2494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
169	130, 135	addcld 9063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
170	165, 168, 169	fsumser 12479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) )
171		eqidd 2405	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) )
172	171, 168, 130	fsumser 12479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` k ) )
173		ovollb2.1	. . . . . . . . . . 11 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
174	173	fveq1i 5688	. . . . . . . . . 10 |- ( S ` k ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` k )
175	172, 174	syl6eqr 2454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( S ` k ) )
176	11	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. RR+ )
177	176	rpcnd 10606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. CC )
178		geo2sum 12605	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ B e. CC ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) = ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) )
179	166, 177, 178	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) = ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) )
180	175, 179	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) )
181	136, 170, 180	3eqtr3d 2444	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) = ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) )
182	116, 181	syl5eq 2448	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( T ` k ) = ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) )
183	122, 173	ovolsf 19322	. . . . . . . . . 10 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
184	2, 183	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
185	184	ffvelrnda 5829	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. ( 0 [,) +oo ) )
186	121, 185	sseldi 3306	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. RR )
187	176	rpred 10604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. RR )
188		nnnn0 10184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
189	188	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN0 )
190		nnexpcl 11349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
191	14, 189, 190	sylancr 645	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
192	191	nnrpd 10603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
193	176, 192	rpdivcld 10621	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ k ) ) e. RR+ )
194	193	rpred 10604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ k ) ) e. RR )
195	187, 194	resubcld 9421	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) e. RR )
196	49	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR )
197		frn 5556	. . . . . . . . . . 11 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
198	184, 197	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
199	198, 45	syl6ss 3320	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran S C_ RR* )
200	199	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ran S C_ RR* )
201		ffn 5550	. . . . . . . . . 10 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> S Fn NN )
202	184, 201	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S Fn NN )
203		fnfvelrn 5826	. . . . . . . . 9 |- ( ( S Fn NN /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. ran S )
204	202, 203	sylan 458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. ran S )
205		supxrub 10859	. . . . . . . 8 |- ( ( ran S C_ RR* /\ ( S ` k ) e. ran S ) -> ( S ` k ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
206	200, 204, 205	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
207	187, 193	ltsubrpd 10632	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) < B )
208	195, 187, 207	ltled 9177	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) <_ B )
209	186, 195, 196, 187, 206, 208	le2addd 9600	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
210	182, 209	eqbrtrd 4192	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
211	210	ralrimiva 2749	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. NN ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
212		ffn 5550	. . . . 5 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> T Fn NN )
213		breq1 4175	. . . . . 6 |- ( y = ( T ` k ) -> ( y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
214	213	ralrn 5832	. . . . 5 |- ( T Fn NN -> ( A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. k e. NN ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
215	42, 212, 214	3syl 19	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. k e. NN ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
216	211, 215	mpbird 224	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
217		supxrleub 10861	. . . 4 |- ( ( ran T C_ RR* /\ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) e. RR* ) -> ( sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
218	46, 52, 217	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
219	216, 218	mpbird 224	. 2 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
220	7, 48, 52, 115, 219	xrletrd 10708	1 |- ( ph -> ( vol * ` A ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   i^i cin 3279   C_ wss 3280   <.cop 3777   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   X. cxp 4835   ran crn 4838   o. ccom 4841   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   +oocpnf 9073   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   [,]cicc 10875   ...cfz 10999   seq cseq 11278   ^cexp 11337   abscabs 11994   sum_csu 12434   vol *covol 19312

This theorem is referenced by:  ovollb2  19338

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-ovol 19314