Theorem ovollb2lem 20930

Description: Lemma for ovollb2 20931. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovollb2.1	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
ovollb2.2	|- G = ( n e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. )
ovollb2.3	|- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
ovollb2.4	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
ovollb2.5	|- ( ph -> A C_ U. ran ( [,] o. F ) )
ovollb2.6	|- ( ph -> B e. RR+ )
ovollb2.7	|- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
ovollb2lem	|- ( ph -> ( vol* ` A ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, F   B, n   ph, n   S, n

Allowed substitution hints:   T( n)   G( n)

Proof of Theorem ovollb2lem

Dummy variables m y z k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovollb2.5	. . . 4 |- ( ph -> A C_ U. ran ( [,] o. F ) )
2		ovollb2.4	. . . . 5 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
3		ovolficcss 20912	. . . . 5 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> U. ran ( [,] o. F ) C_ RR )
4	2, 3	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> U. ran ( [,] o. F ) C_ RR )
5	1, 4	sstrd 3363	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
6		ovolcl 20920	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( vol* ` A ) e. RR* )
7	5, 6	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` A ) e. RR* )
8		ovolfcl 20909	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
9	2, 8	sylan 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
10	9	simp1d 995	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR )
11		ovollb2.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR+ )
12	11	rphalfcld 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B / 2 ) e. RR+ )
13	12	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
14		2nn 10475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
15		nnnn0 10582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
16	15	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN0 )
17		nnexpcl 11874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
18	14, 16, 17	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
19	18	nnrpd 11022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
20	13, 19	rpdivcld 11040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ )
21	20	rpred 11023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR )
22	10, 21	resubcld 9772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR )
23	9	simp2d 996	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR )
24	23, 21	readdcld 9409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR )
25	10, 20	ltsubrpd 11051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) < ( 1st ` ( F ` n ) ) )
26	9	simp3d 997	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) )
27	23, 20	ltaddrpd 11052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
28	10, 23, 24, 26, 27	lelttrd 9525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
29	22, 10, 24, 25, 28	lttrd 9528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
30	22, 24, 29	ltled 9518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
31		df-br 4290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) <-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. <_ )
32	30, 31	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. <_ )
33		opelxpi 4867	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR /\ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. ( RR X. RR ) )
34	22, 24, 33	syl2anc 656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. ( RR X. RR ) )
35	32, 34	elind 3537	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
36		ovollb2.2	. . . . . . 7 |- G = ( n e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. )
37	35, 36	fmptd 5864	. . . . . 6 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
38		eqid 2441	. . . . . . 7 |- ( ( abs o. - ) o. G ) = ( ( abs o. - ) o. G )
39		ovollb2.3	. . . . . . 7 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
40	38, 39	ovolsf 20915	. . . . . 6 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
41	37, 40	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
42		frn 5562	. . . . 5 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
43	41, 42	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
44		icossxr 11376	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
45	43, 44	syl6ss 3365	. . 3 |- ( ph -> ran T C_ RR* )
46		supxrcl 11273	. . 3 |- ( ran T C_ RR* -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR* )
47	45, 46	syl 16	. 2 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR* )
48		ovollb2.7	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR )
49	11	rpred 11023	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
50	48, 49	readdcld 9409	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) e. RR )
51	50	rexrd 9429	. 2 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) e. RR* )
52		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
53	52	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( 1st ` ( F ` n ) ) = ( 1st ` ( F ` m ) ) )
54		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ m ) )
55	54	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) = ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) )
56	53, 55	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) = ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
57	52	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) = ( 2nd ` ( F ` m ) ) )
58	57, 55	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
59	56, 58	opeq12d 4064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. )
60		opex 4553	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. e. _V
61	59, 36, 60	fvmpt 5771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( G ` m ) = <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. )
62	61	adantl 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( G ` m ) = <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. )
63	62	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) = ( 1st ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) )
64		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) e. _V
65		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) e. _V
66	64, 65	op1st 6584	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1st ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) = ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) )
67	63, 66	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) = ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
68		ovolfcl 20909	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) )
69	2, 68	sylan 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) )
70	69	simp1d 995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR )
71	12	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
72		nnnn0 10582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> m e. NN0 )
73	72	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. NN0 )
74		nnexpcl 11874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
75	14, 73, 74	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
76	75	nnrpd 11022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) e. RR+ )
77	71, 76	rpdivcld 11040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) e. RR+ )
78	70, 77	ltsubrpd 11051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) )
79	67, 78	eqbrtrd 4309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) )
80	79	adantlr 709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) )
81		ovolfcl 20909	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
82	37, 81	sylan 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
83	82	simp1d 995	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR )
84	83	adantlr 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR )
85	70	adantlr 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR )
86	5	sselda 3353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. RR )
87	86	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> z e. RR )
88		ltletr 9462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < z ) )
89	84, 85, 87, 88	syl3anc 1213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < z ) )
90	80, 89	mpand 670	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < z ) )
91	69	simp2d 996	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR )
92	91, 77	ltaddrpd 11052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
93	62	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) = ( 2nd ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) )
94	64, 65	op2nd 6585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2nd ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) )
95	93, 94	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
96	92, 95	breqtrrd 4315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) )
97	96	adantlr 709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) )
98	91	adantlr 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR )
99	82	simp2d 996	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR )
100	99	adantlr 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR )
101		lelttr 9461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR ) -> ( ( z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) -> z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
102	87, 98, 100, 101	syl3anc 1213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) -> z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
103	97, 102	mpan2d 669	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) -> z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
104	90, 103	anim12d 560	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
105	104	reximdva 2826	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
106	105	ralimdva 2792	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
107		ovolficc 20911	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( [,] o. F ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) ) )
108	5, 2, 107	syl2anc 656	. . . . 5 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( [,] o. F ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) ) )
109		ovolfioo 20910	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( (,) o. G ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
110	5, 37, 109	syl2anc 656	. . . . 5 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( (,) o. G ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
111	106, 108, 110	3imtr4d 268	. . . 4 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( [,] o. F ) -> A C_ U. ran ( (,) o. G ) ) )
112	1, 111	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> A C_ U. ran ( (,) o. G ) )
113	39	ovollb 20921	. . 3 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ A C_ U. ran ( (,) o. G ) ) -> ( vol* ` A ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
114	37, 112, 113	syl2anc 656	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` A ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
115	39	fveq1i 5689	. . . . . . 7 |- ( T ` k ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k )
116		fzfid 11791	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
117		0re 9382	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
118		pnfxr 11088	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
119		icossre 11372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( 0 [,) +oo ) C_ RR )
120	117, 118, 119	mp2an 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
121		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs o. - ) o. F ) = ( ( abs o. - ) o. F )
122	121	ovolfsf 20914	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
123	2, 122	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
124	123	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
125		elfznn 11474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 ... k ) -> m e. NN )
126		ffvelrn 5838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. ( 0 [,) +oo ) )
127	124, 125, 126	syl2an 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. ( 0 [,) +oo ) )
128	120, 127	sseldi 3351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. RR )
129	128	recnd 9408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. CC )
130	11	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> B e. RR+ )
131	130, 76	rpdivcld 11040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. RR+ )
132	131	rpcnd 11025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
133	125, 132	sylan2 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
134	133	adantlr 709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
135	116, 129, 134	fsumadd 13211	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
136	38	ovolfsval 20913	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) )
137	37, 136	sylan 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) )
138	91	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. CC )
139	77	rpcnd 11025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
140	70	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` m ) ) e. CC )
141	140, 139	subcld 9715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
142	138, 139, 141	addsubassd 9735	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
143	95, 67	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
144	138, 140, 132	subadd23d 9737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) ) )
145	121	ovolfsval 20913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
146	2, 145	sylan 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
147	146	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
148	139, 140, 139	subsub3d 9745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
149	71	rpcnd 11025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / 2 ) e. CC )
150	75	nncnd 10334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) e. CC )
151	75	nnne0d 10362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) =/= 0 )
152	149, 149, 150, 151	divdird 10141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) + ( B / 2 ) ) / ( 2 ^ m ) ) = ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
153	130	rpcnd 11025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> B e. CC )
154	153	2halvesd 10566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( B / 2 ) + ( B / 2 ) ) = B )
155	154	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) + ( B / 2 ) ) / ( 2 ^ m ) ) = ( B / ( 2 ^ m ) ) )
156	152, 155	eqtr3d 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( B / ( 2 ^ m ) ) )
157	156	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) = ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
158	148, 157	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
159	158	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) ) )
160	144, 147, 159	3eqtr4d 2483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
161	142, 143, 160	3eqtr4d 2483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
162	137, 161	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
163	125, 162	sylan2 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
164	163	adantlr 709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
165		simpr 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
166		nnuz 10892	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
167	165, 166	syl6eleq 2531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
168	129, 134	addcld 9401	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
169	164, 167, 168	fsumser 13203	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) )
170		eqidd 2442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) )
171	170, 167, 129	fsumser 13203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` k ) )
172		ovollb2.1	. . . . . . . . . . 11 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
173	172	fveq1i 5689	. . . . . . . . . 10 |- ( S ` k ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` k )
174	171, 173	syl6eqr 2491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( S ` k ) )
175	11	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. RR+ )
176	175	rpcnd 11025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. CC )
177		geo2sum 13329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ B e. CC ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) = ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) )
178	165, 176, 177	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) = ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) )
179	174, 178	oveq12d 6108	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) )
180	135, 169, 179	3eqtr3d 2481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) = ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) )
181	115, 180	syl5eq 2485	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( T ` k ) = ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) )
182	121, 172	ovolsf 20915	. . . . . . . . . 10 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
183	2, 182	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
184	183	ffvelrnda 5840	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. ( 0 [,) +oo ) )
185	120, 184	sseldi 3351	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. RR )
186	175	rpred 11023	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. RR )
187		nnnn0 10582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
188	187	adantl 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN0 )
189		nnexpcl 11874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
190	14, 188, 189	sylancr 658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
191	190	nnrpd 11022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
192	175, 191	rpdivcld 11040	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ k ) ) e. RR+ )
193	192	rpred 11023	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ k ) ) e. RR )
194	186, 193	resubcld 9772	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) e. RR )
195	48	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR )
196		frn 5562	. . . . . . . . . . 11 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
197	183, 196	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
198	197, 44	syl6ss 3365	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran S C_ RR* )
199	198	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ran S C_ RR* )
200		ffn 5556	. . . . . . . . . 10 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> S Fn NN )
201	183, 200	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S Fn NN )
202		fnfvelrn 5837	. . . . . . . . 9 |- ( ( S Fn NN /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. ran S )
203	201, 202	sylan 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. ran S )
204		supxrub 11283	. . . . . . . 8 |- ( ( ran S C_ RR* /\ ( S ` k ) e. ran S ) -> ( S ` k ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
205	199, 203, 204	syl2anc 656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
206	186, 192	ltsubrpd 11051	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) < B )
207	194, 186, 206	ltled 9518	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) <_ B )
208	185, 194, 195, 186, 205, 207	le2addd 9953	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
209	181, 208	eqbrtrd 4309	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
210	209	ralrimiva 2797	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. NN ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
211		ffn 5556	. . . . 5 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> T Fn NN )
212		breq1 4292	. . . . . 6 |- ( y = ( T ` k ) -> ( y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
213	212	ralrn 5843	. . . . 5 |- ( T Fn NN -> ( A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. k e. NN ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
214	41, 211, 213	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. k e. NN ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
215	210, 214	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
216		supxrleub 11285	. . . 4 |- ( ( ran T C_ RR* /\ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) e. RR* ) -> ( sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
217	45, 51, 216	syl2anc 656	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
218	215, 217	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
219	7, 47, 51, 114, 218	xrletrd 11132	1 |- ( ph -> ( vol* ` A ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   i^i cin 3324   C_ wss 3325   <.cop 3880   U.cuni 4088   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   X. cxp 4834   ran crn 4837   o. ccom 4840   Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   1stc1st 6574   2ndc2nd 6575   supcsup 7686   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   (,)cioo 11296   [,)cico 11298   [,]cicc 11299   ...cfz 11433   seqcseq 11802   ^cexp 11861   abscabs 12719   sum_csu 13159   vol*covol 20905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-ovol 20907

This theorem is referenced by:  ovollb2  20931