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Theorem ovollb2lem 19337
Description: Lemma for ovollb2 19338. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovollb2.1  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ovollb2.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) >. )
ovollb2.3  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ovollb2.4  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ovollb2.5  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( [,]  o.  F ) )
ovollb2.6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
ovollb2.7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ovollb2lem  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, F    B, n    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    T( n)    G( n)

Proof of Theorem ovollb2lem
Dummy variables  m  y  z  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovollb2.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( [,]  o.  F ) )
2 ovollb2.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3 ovolficcss 19319 . . . . 5  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U. ran  ( [,]  o.  F ) 
C_  RR )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  ( [,] 
o.  F )  C_  RR )
51, 4sstrd 3318 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6 ovolcl 19327 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol
* `  A )  e.  RR* )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  e.  RR* )
8 ovolfcl 19316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
92, 8sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
109simp1d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  RR )
11 ovollb2.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
1211rphalfcld 10616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  /  2
)  e.  RR+ )
1312adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( B  /  2 )  e.  RR+ )
14 2nn 10089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
15 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
1615adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
17 nnexpcl 11349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
1814, 16, 17sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
1918nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR+ )
2013, 19rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
2120rpred 10604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR )
2210, 21resubcld 9421 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  -  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ n
) ) )  e.  RR )
239simp2d 970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  RR )
2423, 21readdcld 9071 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  +  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ n
) ) )  e.  RR )
2510, 20ltsubrpd 10632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  -  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ n
) ) )  < 
( 1st `  ( F `  n )
) )
269simp3d 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) )
2723, 20ltaddrpd 10633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
2810, 23, 24, 26, 27lelttrd 9184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
2922, 10, 24, 25, 28lttrd 9187 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  -  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ n
) ) )  < 
( ( 2nd `  ( F `  n )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
3022, 24, 29ltled 9177 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  -  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ n
) ) )  <_ 
( ( 2nd `  ( F `  n )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
31 df-br 4173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) )  <_  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) )  <->  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  +  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ n
) ) ) >.  e.  <_  )
3230, 31sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) >.  e.  <_  )
33 opelxpi 4869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) )  e.  RR  /\  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) )  e.  RR )  ->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
3422, 24, 33syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
35 elin 3490 . . . . . . . 8  |-  ( <.
( ( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  ( <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) >.  e.  <_  /\ 
<. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) ) )
3632, 34, 35sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
37 ovollb2.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) >. )
3836, 37fmptd 5852 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
39 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
40 ovollb2.3 . . . . . . 7  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
4139, 40ovolsf 19322 . . . . . 6  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  T : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
4238, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
43 frn 5556 . . . . 5  |-  ( T : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  T 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
4442, 43syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  (
0 [,)  +oo ) )
45 icossxr 10951 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
4644, 45syl6ss 3320 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  RR* )
47 supxrcl 10849 . . 3  |-  ( ran 
T  C_  RR*  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
4846, 47syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
49 ovollb2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
5011rpred 10604 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5149, 50readdcld 9071 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  +  B )  e.  RR )
5251rexrd 9090 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  +  B )  e. 
RR* )
53 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
5453fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  ( 1st `  ( F `  n ) )  =  ( 1st `  ( F `  m )
) )
55 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ m ) )
5655oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) )
5754, 56oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
5853fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  ( 2nd `  ( F `  n ) )  =  ( 2nd `  ( F `  m )
) )
5958, 56oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  m
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
6057, 59opeq12d 3952 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ n ) ) ) >.  =  <. ( ( 1st `  ( F `  m )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  m
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) >. )
61 opex 4387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. (
( 1st `  ( F `  m )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  m
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) >.  e.  _V
6260, 37, 61fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  ( G `  m )  =  <. ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 m ) )  +  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) ) >.
)
6362adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( G `
 m )  = 
<. ( ( 1st `  ( F `  m )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  m
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) >. )
6463fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  m
) )  =  ( 1st `  <. (
( 1st `  ( F `  m )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  m
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) >. ) )
65 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1st `  ( F `
 m ) )  -  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) )  e. 
_V
66 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2nd `  ( F `
 m ) )  +  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) )  e. 
_V
6765, 66op1st 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 m ) )  +  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) ) >.
)  =  ( ( 1st `  ( F `
 m ) )  -  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) )
6864, 67syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  m
) )  =  ( ( 1st `  ( F `  m )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
69 ovolfcl 19316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  m )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 m ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  m ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  m )
) ) )
702, 69sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 m ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  m ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  m
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  m ) ) ) )
7170simp1d 969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  m
) )  e.  RR )
7212adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( B  /  2 )  e.  RR+ )
73 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
7473adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e. 
NN0 )
75 nnexpcl 11349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
7614, 74, 75sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
7776nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2 ^ m )  e.  RR+ )
7872, 77rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) )  e.  RR+ )
7971, 78ltsubrpd 10632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 m ) )  -  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) )  < 
( 1st `  ( F `  m )
) )
8068, 79eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  m
) )  <  ( 1st `  ( F `  m ) ) )
8180adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  m ) )  < 
( 1st `  ( F `  m )
) )
82 ovolfcl 19316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  m )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 m ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  m ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  m )
) ) )
8338, 82sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( G `
 m ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `  m ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  m
) )  <_  ( 2nd `  ( G `  m ) ) ) )
8483simp1d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  m
) )  e.  RR )
8584adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  m ) )  e.  RR )
8671adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  m ) )  e.  RR )
875sselda 3308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
8887adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  z  e.  RR )
89 ltletr 9122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1st `  ( G `  m )
)  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `
 m ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  ( 1st `  ( F `  m
) )  /\  ( 1st `  ( F `  m ) )  <_ 
z )  ->  ( 1st `  ( G `  m ) )  < 
z ) )
9085, 86, 88, 89syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  ( 1st `  ( F `  m
) )  /\  ( 1st `  ( F `  m ) )  <_ 
z )  ->  ( 1st `  ( G `  m ) )  < 
z ) )
9181, 90mpand 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  m )
)  <_  z  ->  ( 1st `  ( G `
 m ) )  <  z ) )
9270simp2d 970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  m
) )  e.  RR )
9392, 78ltaddrpd 10633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  m
) )  <  (
( 2nd `  ( F `  m )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
9463fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  m
) )  =  ( 2nd `  <. (
( 1st `  ( F `  m )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  m
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) >. ) )
9565, 66op2nd 6315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2nd `  <. ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 m ) )  +  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) ) >.
)  =  ( ( 2nd `  ( F `
 m ) )  +  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) )
9694, 95syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  m
) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  m )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
9793, 96breqtrrd 4198 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  m
) )  <  ( 2nd `  ( G `  m ) ) )
9897adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  m ) )  < 
( 2nd `  ( G `  m )
) )
9992adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  m ) )  e.  RR )
10083simp2d 970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  m
) )  e.  RR )
101100adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  m ) )  e.  RR )
102 lelttr 9121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 m ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `  m ) )  e.  RR )  ->  (
( z  <_  ( 2nd `  ( F `  m ) )  /\  ( 2nd `  ( F `
 m ) )  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) )  ->  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) )
10388, 99, 101, 102syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( z  <_  ( 2nd `  ( F `  m ) )  /\  ( 2nd `  ( F `
 m ) )  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) )  ->  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) )
10498, 103mpan2d 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  (
z  <_  ( 2nd `  ( F `  m
) )  ->  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) )
10591, 104anim12d 547 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  m )
)  <_  z  /\  z  <_  ( 2nd `  ( F `  m )
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) ) )
106105reximdva 2778 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <_  z  /\  z  <_  ( 2nd `  ( F `  m )
) )  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m
) ) ) ) )
107106ralimdva 2744 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  <_  z  /\  z  <_  ( 2nd `  ( F `  m
) ) )  ->  A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) ) )
108 ovolficc 19318 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( [,]  o.  F )  <->  A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <_  z  /\  z  <_  ( 2nd `  ( F `  m )
) ) ) )
1095, 2, 108syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( [,]  o.  F )  <->  A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <_  z  /\  z  <_  ( 2nd `  ( F `  m )
) ) ) )
110 ovolfioo 19317 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) ) )
1115, 38, 110syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) ) )
112107, 109, 1113imtr4d 260 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( [,]  o.  F )  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) ) )
1131, 112mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
11440ovollb 19328 . . 3  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  G ) )  -> 
( vol * `  A )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
11538, 113, 114syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
11640fveq1i 5688 . . . . . . 7  |-  ( T `
 k )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) `  k )
117 fzfid 11267 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
118 0re 9047 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
119 pnfxr 10669 . . . . . . . . . . . 12  |-  +oo  e.  RR*
120 icossre 10947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
121118, 119, 120mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
122 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
123122ovolfsf 19321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  F ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
1242, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
125124adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
126 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... k )  ->  m  e.  NN )
127 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  m )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
128125, 126, 127syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  m )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
129121, 128sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  m )  e.  RR )
130129recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  m )  e.  CC )
13111adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  RR+ )
132131, 77rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( B  /  ( 2 ^ m ) )  e.  RR+ )
133132rpcnd 10606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( B  /  ( 2 ^ m ) )  e.  CC )
134126, 133sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( B  /  ( 2 ^ m ) )  e.  CC )
135134adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( B  /  ( 2 ^ m ) )  e.  CC )
136117, 130, 135fsumadd 12487 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... k ) ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... k ) ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
13739ovolfsval 19320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  m )  =  ( ( 2nd `  ( G `  m
) )  -  ( 1st `  ( G `  m ) ) ) )
13838, 137sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  m )  =  ( ( 2nd `  ( G `  m )
)  -  ( 1st `  ( G `  m
) ) ) )
13992recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  m
) )  e.  CC )
14078rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) )  e.  CC )
14171recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  m
) )  e.  CC )
142141, 140subcld 9367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 m ) )  -  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) )  e.  CC )
143139, 140, 142addsubassd 9387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  m )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  m )
)  +  ( ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) )  -  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
14496, 68oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( G `
 m ) )  -  ( 1st `  ( G `  m )
) )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  m )
)  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
145139, 141, 133subadd23d 9389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  m )
)  -  ( 1st `  ( F `  m
) ) )  +  ( B  /  (
2 ^ m ) ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  m )
)  +  ( ( B  /  ( 2 ^ m ) )  -  ( 1st `  ( F `  m )
) ) ) )
146122ovolfsval 19320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  m )  =  ( ( 2nd `  ( F `  m
) )  -  ( 1st `  ( F `  m ) ) ) )
1472, 146sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m )  =  ( ( 2nd `  ( F `  m )
)  -  ( 1st `  ( F `  m
) ) ) )
148147oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  m )  +  ( B  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  m
) )  -  ( 1st `  ( F `  m ) ) )  +  ( B  / 
( 2 ^ m
) ) ) )
149140, 141, 140subsub3d 9397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) )  -  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) )  =  ( ( ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  ( 1st `  ( F `  m
) ) ) )
15072rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( B  /  2 )  e.  CC )
15176nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2 ^ m )  e.  CC )
15276nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2 ^ m )  =/=  0 )
153150, 150, 151, 152divdird 9784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( B  /  2
)  +  ( B  /  2 ) )  /  ( 2 ^ m ) )  =  ( ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) )  +  ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
154131rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
1551542halvesd 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( B  /  2 )  +  ( B  / 
2 ) )  =  B )
156155oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( B  /  2
)  +  ( B  /  2 ) )  /  ( 2 ^ m ) )  =  ( B  /  (
2 ^ m ) ) )
157153, 156eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) )  +  ( ( B  /  2 )  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( B  /  (
2 ^ m ) ) )
158157oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( B  / 
2 )  /  (
2 ^ m ) )  +  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  ( 1st `  ( F `  m )
) )  =  ( ( B  /  (
2 ^ m ) )  -  ( 1st `  ( F `  m
) ) ) )
159149, 158eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) )  -  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) )  =  ( ( B  /  (
2 ^ m ) )  -  ( 1st `  ( F `  m
) ) ) )
160159oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( F `
 m ) )  +  ( ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) )  -  ( ( 1st `  ( F `  m )
)  -  ( ( B  /  2 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  m )
)  +  ( ( B  /  ( 2 ^ m ) )  -  ( 1st `  ( F `  m )
) ) ) )
161145, 148, 1603eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  m )  +  ( B  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  m )
)  +  ( ( ( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) )  -  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  -  (
( B  /  2
)  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
162143, 144, 1613eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( G `
 m ) )  -  ( 1st `  ( G `  m )
) )  =  ( ( ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) `  m
)  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
163138, 162eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  m )  =  ( ( ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) `  m
)  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
164126, 163sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  m )  =  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
165164adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  m )  =  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
166 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
167 nnuz 10477 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
168166, 167syl6eleq 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
169130, 135addcld 9063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) `  m
)  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) )  e.  CC )
170165, 168, 169fsumser 12479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) )  =  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
) )
171 eqidd 2405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  m )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m
) )
172171, 168, 130fsumser 12479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m
)  =  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) ) `  k
) )
173 ovollb2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
174173fveq1i 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( S `
 k )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) ) `  k )
175172, 174syl6eqr 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m
)  =  ( S `
 k ) )
17611adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  B  e.  RR+ )
177176rpcnd 10606 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
178 geo2sum 12605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  (
1 ... k ) ( B  /  ( 2 ^ m ) )  =  ( B  -  ( B  /  (
2 ^ k ) ) ) )
179166, 177, 178syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( B  / 
( 2 ^ m
) )  =  ( B  -  ( B  /  ( 2 ^ k ) ) ) )
180175, 179oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... k ) ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  m )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... k ) ( B  /  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( ( S `
 k )  +  ( B  -  ( B  /  ( 2 ^ k ) ) ) ) )
181136, 170, 1803eqtr3d 2444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
)  =  ( ( S `  k )  +  ( B  -  ( B  /  (
2 ^ k ) ) ) ) )
182116, 181syl5eq 2448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( T `
 k )  =  ( ( S `  k )  +  ( B  -  ( B  /  ( 2 ^ k ) ) ) ) )
183122, 173ovolsf 19322 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
1842, 183syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
185184ffvelrnda 5829 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
186121, 185sseldi 3306 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  e.  RR )
187176rpred 10604 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
188 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
189188adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e. 
NN0 )
190 nnexpcl 11349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
19114, 189, 190sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ k )  e.  NN )
192191nnrpd 10603 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ k )  e.  RR+ )
193176, 192rpdivcld 10621 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  /  ( 2 ^ k ) )  e.  RR+ )
194193rpred 10604 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  /  ( 2 ^ k ) )  e.  RR )
195187, 194resubcld 9421 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  -  ( B  / 
( 2 ^ k
) ) )  e.  RR )
19649adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
197 frn 5556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  S 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
198184, 197syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (
0 [,)  +oo ) )
199198, 45syl6ss 3320 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
200199adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ran  S  C_ 
RR* )
201 ffn 5550 . . . . . . . . . 10  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  S  Fn  NN )
202184, 201syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
203 fnfvelrn 5826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `  k
)  e.  ran  S
)
204202, 203sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  e. 
ran  S )
205 supxrub 10859 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  ( S `  k )  e.  ran  S )  -> 
( S `  k
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
206200, 204, 205syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
207187, 193ltsubrpd 10632 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  -  ( B  / 
( 2 ^ k
) ) )  < 
B )
208195, 187, 207ltled 9177 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  -  ( B  / 
( 2 ^ k
) ) )  <_  B )
209186, 195, 196, 187, 206, 208le2addd 9600 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( S `  k )  +  ( B  -  ( B  /  (
2 ^ k ) ) ) )  <_ 
( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
210182, 209eqbrtrd 4192 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( T `
 k )  <_ 
( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
211210ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( T `  k )  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
212 ffn 5550 . . . . 5  |-  ( T : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  T  Fn  NN )
213 breq1 4175 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( T `  k )  ->  (
y  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B
)  <->  ( T `  k )  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
214213ralrn 5832 . . . . 5  |-  ( T  Fn  NN  ->  ( A. y  e.  ran  T  y  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B
)  <->  A. k  e.  NN  ( T `  k )  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
21542, 212, 2143syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  T  y  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B )  <->  A. k  e.  NN  ( T `  k )  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
216211, 215mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  T  y  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
217 supxrleub 10861 . . . 4  |-  ( ( ran  T  C_  RR*  /\  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B )  <->  A. y  e.  ran  T  y  <_ 
( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
21846, 52, 217syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B )  <->  A. y  e.  ran  T  y  <_ 
( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
219216, 218mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
2207, 48, 52, 115, 219xrletrd 10708 1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  <_  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    i^i cin 3279    C_ wss 3280   <.cop 3777   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   ran crn 4838    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   [,]cicc 10875   ...cfz 10999    seq cseq 11278   ^cexp 11337   abscabs 11994   sum_csu 12434   vol
*covol 19312
This theorem is referenced by:  ovollb2  19338
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-ovol 19314
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