Theorem ovollb2lem 22434

Description: Lemma for ovollb2 22435. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovollb2.1	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
ovollb2.2	|- G = ( n e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. )
ovollb2.3	|- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
ovollb2.4	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
ovollb2.5	|- ( ph -> A C_ U. ran ( [,] o. F ) )
ovollb2.6	|- ( ph -> B e. RR+ )
ovollb2.7	|- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
ovollb2lem	|- ( ph -> ( vol* ` A ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, F   B, n   ph, n   S, n

Allowed substitution hints:   T( n)   G( n)

Proof of Theorem ovollb2lem

Dummy variables m y z k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovollb2.5	. . . 4 |- ( ph -> A C_ U. ran ( [,] o. F ) )
2		ovollb2.4	. . . . 5 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
3		ovolficcss 22415	. . . . 5 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> U. ran ( [,] o. F ) C_ RR )
4	2, 3	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U. ran ( [,] o. F ) C_ RR )
5	1, 4	sstrd 3441	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
6		ovolcl 22424	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( vol* ` A ) e. RR* )
7	5, 6	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` A ) e. RR* )
8		ovolfcl 22412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
9	2, 8	sylan 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
10	9	simp1d 1019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR )
11		ovollb2.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR+ )
12	11	rphalfcld 11350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B / 2 ) e. RR+ )
13	12	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
14		2nn 10764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
15		nnnn0 10873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
16	15	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN0 )
17		nnexpcl 12282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
18	14, 16, 17	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
19	18	nnrpd 11336	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
20	13, 19	rpdivcld 11355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ )
21	20	rpred 11338	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR )
22	10, 21	resubcld 10044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR )
23	9	simp2d 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR )
24	23, 21	readdcld 9667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR )
25	10, 20	ltsubrpd 11367	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) < ( 1st ` ( F ` n ) ) )
26	9	simp3d 1021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) )
27	23, 20	ltaddrpd 11368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
28	10, 23, 24, 26, 27	lelttrd 9790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
29	22, 10, 24, 25, 28	lttrd 9793	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
30	22, 24, 29	ltled 9780	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
31		df-br 4402	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) <-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. <_ )
32	30, 31	sylib 200	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. <_ )
33		opelxpi 4865	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR /\ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. ( RR X. RR ) )
34	22, 24, 33	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. ( RR X. RR ) )
35	32, 34	elind 3617	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
36		ovollb2.2	. . . . . . 7 |- G = ( n e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. )
37	35, 36	fmptd 6044	. . . . . 6 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
38		eqid 2450	. . . . . . 7 |- ( ( abs o. - ) o. G ) = ( ( abs o. - ) o. G )
39		ovollb2.3	. . . . . . 7 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
40	38, 39	ovolsf 22418	. . . . . 6 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
41	37, 40	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
42		frn 5733	. . . . 5 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
43	41, 42	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
44		icossxr 11716	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
45	43, 44	syl6ss 3443	. . 3 |- ( ph -> ran T C_ RR* )
46		supxrcl 11597	. . 3 |- ( ran T C_ RR* -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR* )
47	45, 46	syl 17	. 2 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR* )
48		ovollb2.7	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR )
49	11	rpred 11338	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
50	48, 49	readdcld 9667	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) e. RR )
51	50	rexrd 9687	. 2 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) e. RR* )
52		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
53	52	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( 1st ` ( F ` n ) ) = ( 1st ` ( F ` m ) ) )
54		oveq2 6296	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ m ) )
55	54	oveq2d 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) = ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) )
56	53, 55	oveq12d 6306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) = ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
57	52	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) = ( 2nd ` ( F ` m ) ) )
58	57, 55	oveq12d 6306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
59	56, 58	opeq12d 4173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ n ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. )
60		opex 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. e. _V
61	59, 36, 60	fvmpt 5946	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( G ` m ) = <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. )
62	61	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( G ` m ) = <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. )
63	62	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) = ( 1st ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) )
64		ovex 6316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) e. _V
65		ovex 6316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) e. _V
66	64, 65	op1st 6798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1st ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) = ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) )
67	63, 66	syl6eq 2500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) = ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
68		ovolfcl 22412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) )
69	2, 68	sylan 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) )
70	69	simp1d 1019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR )
71	12	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / 2 ) e. RR+ )
72		nnnn0 10873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> m e. NN0 )
73	72	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. NN0 )
74		nnexpcl 12282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
75	14, 73, 74	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
76	75	nnrpd 11336	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) e. RR+ )
77	71, 76	rpdivcld 11355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) e. RR+ )
78	70, 77	ltsubrpd 11367	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) )
79	67, 78	eqbrtrd 4422	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) )
80	79	adantlr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) )
81		ovolfcl 22412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
82	37, 81	sylan 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` m ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
83	82	simp1d 1019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR )
84	83	adantlr 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR )
85	70	adantlr 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR )
86	5	sselda 3431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. RR )
87	86	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> z e. RR )
88		ltletr 9722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1st ` ( G ` m ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < z ) )
89	84, 85, 87, 88	syl3anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < ( 1st ` ( F ` m ) ) /\ ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z ) -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < z ) )
90	80, 89	mpand 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z -> ( 1st ` ( G ` m ) ) < z ) )
91	69	simp2d 1020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR )
92	91, 77	ltaddrpd 11368	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
93	62	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) = ( 2nd ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) )
94	64, 65	op2nd 6799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2nd ` <. ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) , ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) >. ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) )
95	93, 94	syl6eq 2500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
96	92, 95	breqtrrd 4428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) )
97	96	adantlr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) )
98	91	adantlr 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR )
99	82	simp2d 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR )
100	99	adantlr 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR )
101		lelttr 9721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` m ) ) e. RR ) -> ( ( z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) -> z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
102	87, 98, 100, 101	syl3anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) /\ ( 2nd ` ( F ` m ) ) < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) -> z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
103	97, 102	mpan2d 679	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) -> z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
104	90, 103	anim12d 566	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
105	104	reximdva 2861	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
106	105	ralimdva 2795	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
107		ovolficc 22414	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( [,] o. F ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) ) )
108	5, 2, 107	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( [,] o. F ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) <_ z /\ z <_ ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) ) )
109		ovolfioo 22413	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( (,) o. G ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
110	5, 37, 109	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( (,) o. G ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
111	106, 108, 110	3imtr4d 272	. . . 4 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( [,] o. F ) -> A C_ U. ran ( (,) o. G ) ) )
112	1, 111	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> A C_ U. ran ( (,) o. G ) )
113	39	ovollb 22425	. . 3 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ A C_ U. ran ( (,) o. G ) ) -> ( vol* ` A ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
114	37, 112, 113	syl2anc 666	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` A ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
115	39	fveq1i 5864	. . . . . . 7 |- ( T ` k ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k )
116		fzfid 12183	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
117		rge0ssre 11737	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
118		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs o. - ) o. F ) = ( ( abs o. - ) o. F )
119	118	ovolfsf 22417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
120	2, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
121	120	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
122		elfznn 11825	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 ... k ) -> m e. NN )
123		ffvelrn 6018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. ( 0 [,) +oo ) )
124	121, 122, 123	syl2an 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. ( 0 [,) +oo ) )
125	117, 124	sseldi 3429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. RR )
126	125	recnd 9666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) e. CC )
127	11	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> B e. RR+ )
128	127, 76	rpdivcld 11355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. RR+ )
129	128	rpcnd 11340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
130	122, 129	sylan2 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
131	130	adantlr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( B / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
132	116, 126, 131	fsumadd 13798	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
133	38	ovolfsval 22416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) )
134	37, 133	sylan 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) )
135	91	recnd 9666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` m ) ) e. CC )
136	77	rpcnd 11340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) e. CC )
137	70	recnd 9666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` m ) ) e. CC )
138	137, 136	subcld 9983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
139	135, 136, 138	addsubassd 10003	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
140	95, 67	oveq12d 6306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
141	135, 137, 129	subadd23d 10005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) ) )
142	118	ovolfsval 22416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
143	2, 142	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
144	143	oveq1d 6303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
145	136, 137, 136	subsub3d 10013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
146	71	rpcnd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( B / 2 ) e. CC )
147	75	nncnd 10622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) e. CC )
148	75	nnne0d 10651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ m ) =/= 0 )
149	146, 146, 147, 148	divdird 10418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) + ( B / 2 ) ) / ( 2 ^ m ) ) = ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
150	127	rpcnd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> B e. CC )
151	150	2halvesd 10855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( B / 2 ) + ( B / 2 ) ) = B )
152	151	oveq1d 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) + ( B / 2 ) ) / ( 2 ^ m ) ) = ( B / ( 2 ^ m ) ) )
153	149, 152	eqtr3d 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( B / ( 2 ^ m ) ) )
154	153	oveq1d 6303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) + ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) = ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
155	145, 154	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) )
156	155	oveq2d 6304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( B / ( 2 ^ m ) ) - ( 1st ` ( F ` m ) ) ) ) )
157	141, 144, 156	3eqtr4d 2494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` m ) ) + ( ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) - ( ( 1st ` ( F ` m ) ) - ( ( B / 2 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
158	139, 140, 157	3eqtr4d 2494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` m ) ) - ( 1st ` ( G ` m ) ) ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
159	134, 158	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
160	122, 159	sylan2 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
161	160	adantlr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` m ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) )
162		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
163		nnuz 11191	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
164	162, 163	syl6eleq 2538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
165	126, 131	addcld 9659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
166	161, 164, 165	fsumser 13789	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) )
167		eqidd 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) )
168	167, 164, 126	fsumser 13789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` k ) )
169		ovollb2.1	. . . . . . . . . . 11 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
170	169	fveq1i 5864	. . . . . . . . . 10 |- ( S ` k ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` k )
171	168, 170	syl6eqr 2502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) = ( S ` k ) )
172	11	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. RR+ )
173	172	rpcnd 11340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. CC )
174		geo2sum 13922	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ B e. CC ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) = ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) )
175	162, 173, 174	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) = ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) )
176	171, 175	oveq12d 6306	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... k ) ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` m ) + sum_ m e. ( 1 ... k ) ( B / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) )
177	132, 166, 176	3eqtr3d 2492	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) = ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) )
178	115, 177	syl5eq 2496	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( T ` k ) = ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) )
179	118, 169	ovolsf 22418	. . . . . . . . . 10 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
180	2, 179	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
181	180	ffvelrnda 6020	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. ( 0 [,) +oo ) )
182	117, 181	sseldi 3429	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. RR )
183	172	rpred 11338	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. RR )
184		nnnn0 10873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
185	184	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN0 )
186		nnexpcl 12282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
187	14, 185, 186	sylancr 668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
188	187	nnrpd 11336	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
189	172, 188	rpdivcld 11355	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ k ) ) e. RR+ )
190	189	rpred 11338	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B / ( 2 ^ k ) ) e. RR )
191	183, 190	resubcld 10044	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) e. RR )
192	48	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR )
193		frn 5733	. . . . . . . . . . 11 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
194	180, 193	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
195	194, 44	syl6ss 3443	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran S C_ RR* )
196	195	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ran S C_ RR* )
197		ffn 5726	. . . . . . . . . 10 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> S Fn NN )
198	180, 197	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S Fn NN )
199		fnfvelrn 6017	. . . . . . . . 9 |- ( ( S Fn NN /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. ran S )
200	198, 199	sylan 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. ran S )
201		supxrub 11607	. . . . . . . 8 |- ( ( ran S C_ RR* /\ ( S ` k ) e. ran S ) -> ( S ` k ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
202	196, 200, 201	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
203	183, 189	ltsubrpd 11367	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) < B )
204	191, 183, 203	ltled 9780	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) <_ B )
205	182, 191, 192, 183, 202, 204	le2addd 10229	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( S ` k ) + ( B - ( B / ( 2 ^ k ) ) ) ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
206	178, 205	eqbrtrd 4422	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
207	206	ralrimiva 2801	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. NN ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
208		ffn 5726	. . . . 5 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> T Fn NN )
209		breq1 4404	. . . . . 6 |- ( y = ( T ` k ) -> ( y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
210	209	ralrn 6023	. . . . 5 |- ( T Fn NN -> ( A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. k e. NN ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
211	41, 208, 210	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. k e. NN ( T ` k ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
212	207, 211	mpbird 236	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
213		supxrleub 11609	. . . 4 |- ( ( ran T C_ RR* /\ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) e. RR* ) -> ( sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
214	45, 51, 213	syl2anc 666	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) <-> A. y e. ran T y <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) ) )
215	212, 214	mpbird 236	. 2 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )
216	7, 47, 51, 114, 215	xrletrd 11456	1 |- ( ph -> ( vol* ` A ) <_ ( sup ( ran S , RR* , < ) + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   i^i cin 3402   C_ wss 3403   <.cop 3973   U.cuni 4197   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   X. cxp 4831   ran crn 4834   o. ccom 4837   Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   1stc1st 6788   2ndc2nd 6789   supcsup 7951   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   +oocpnf 9669   RR*cxr 9671   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   NN0cn0 10866   ZZ>=cuz 11156   RR+crp 11299   (,)cioo 11632   [,)cico 11634   [,]cicc 11635   ...cfz 11781   seqcseq 12210   ^cexp 12269   abscabs 13290   sum_csu 13745   vol*covol 22406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-ovol 22409

This theorem is referenced by:  ovollb2  22435