Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovollb2 Structured version   Unicode version

Theorem ovollb2 22025
 Description: It is often more convenient to do calculations with *closed* coverings rather than open ones; here we show that it makes no difference (compare ovollb 22015). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ovollb2.1
Assertion
Ref Expression
ovollb2

Proof of Theorem ovollb2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . 7
2 ovolficcss 22006 . . . . . . . 8
32adantr 465 . . . . . . 7
41, 3sstrd 3509 . . . . . 6
5 ovolcl 22014 . . . . . 6
64, 5syl 16 . . . . 5
76adantr 465 . . . 4
8 pnfge 11364 . . . 4
97, 8syl 16 . . 3
10 simpr 461 . . 3
119, 10breqtrrd 4482 . 2
12 eqid 2457 . . . . . . . . 9
13 ovollb2.1 . . . . . . . . 9
1412, 13ovolsf 22009 . . . . . . . 8
1514adantr 465 . . . . . . 7
16 frn 5743 . . . . . . 7
1715, 16syl 16 . . . . . 6
18 rge0ssre 11653 . . . . . 6
1917, 18syl6ss 3511 . . . . 5
20 1nn 10567 . . . . . . . 8
21 fdm 5741 . . . . . . . . 9
2215, 21syl 16 . . . . . . . 8
2320, 22syl5eleqr 2552 . . . . . . 7
24 ne0i 3799 . . . . . . 7
2523, 24syl 16 . . . . . 6
26 dm0rn0 5229 . . . . . . 7
2726necon3bii 2725 . . . . . 6
2825, 27sylib 196 . . . . 5
29 supxrre2 11548 . . . . 5
3019, 28, 29syl2anc 661 . . . 4
3130biimpar 485 . . 3
32 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10
3332fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
34 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
3534oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
3633, 35oveq12d 6314 . . . . . . . 8
3732fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
3837, 35oveq12d 6314 . . . . . . . 8
3936, 38opeq12d 4227 . . . . . . 7
4039cbvmptv 4548 . . . . . 6
41 eqid 2457 . . . . . 6
42 simplll 759 . . . . . 6
43 simpllr 760 . . . . . 6
44 simpr 461 . . . . . 6
45 simplr 755 . . . . . 6
4613, 40, 41, 42, 43, 44, 45ovollb2lem 22024 . . . . 5
4746ralrimiva 2871 . . . 4
48 xralrple 11429 . . . . 5
496, 48sylan 471 . . . 4
5047, 49mpbird 232 . . 3
5131, 50syldan 470 . 2
5211, 51pm2.61dane 2775 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807   cin 3470   wss 3471  c0 3793  cop 4038  cuni 4251   class class class wbr 4456   cmpt 4515   cxp 5006   cdm 5008   crn 5009   ccom 5012  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  c1st 6797  c2nd 6798  csup 7918  cr 9508  cc0 9509  c1 9510   caddc 9512   cpnf 9642  cxr 9644   clt 9645   cle 9646   cmin 9824   cdiv 10227  cn 10556  c2 10606  crp 11245  cico 11556  cicc 11557   cseq 12109  cexp 12168  cabs 13078  covol 21999 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-ovol 22001 This theorem is referenced by:  ovolctb  22026  ovolicc1  22052  ioombl1lem4  22096  uniiccvol  22114
 Copyright terms: Public domain W3C validator