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Theorem ovoliunnul 21669
Description: A countable union of nullsets is null. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ovoliunnul  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    B( n)

Proof of Theorem ovoliunnul
Dummy variables  f 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 4339 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ n  e.  A  B  =  U_ n  e.  (/)  B )
2 0iun 4382 . . . . . 6  |-  U_ n  e.  (/)  B  =  (/)
31, 2syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ n  e.  A  B  =  (/) )
43fveq2d 5869 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  ( vol* `  (/) ) )
5 ovol0 21655 . . . 4  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
64, 5syl6eq 2524 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
76a1i 11 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( A  =  (/)  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
8 reldom 7522 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
98brrelexi 5039 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
109adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  A  e.  _V )
11 0sdomg 7646 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
13 fodomr 7668 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
1413expcom 435 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  ->  E. f  f : NN -onto-> A ) )
1514adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  ->  E. f  f : NN -onto-> A ) )
16 eliun 4330 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ n  e.  A  B  <->  E. n  e.  A  x  e.  B )
17 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  f : NN -onto-> A
18 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n NN
19 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B
2018, 19nfiun 4353 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B
2120nfcri 2622 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B
22 foelrn 6039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  e.  A
)  ->  E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k ) )
2322ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( n  e.  A  ->  E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k ) ) )
24 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  B  =  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  B  =  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
2625eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )
2726biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  ( x  e.  B  ->  x  e. 
[_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
2827impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
2928reximdv 2937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
30 eliun 4330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  <->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
3129, 30syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
3231ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( x  e.  B  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )
3332com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) ) )
3423, 33syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( n  e.  A  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) )
3517, 21, 34rexlimd 2947 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( E. n  e.  A  x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
3616, 35syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( x  e.  U_ n  e.  A  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
3736ssrdv 3510 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )
3837adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )
39 fof 5794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
f : NN --> A )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  f : NN --> A )
4140ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  e.  A )
42 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )
43 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n RR
4419, 43nfss 3497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR
45 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n vol*
4645, 19nffv 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( vol* `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
4746nfeq1 2644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n
( vol* `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0
4844, 47nfan 1875 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( [_ ( f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
4924sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR ) )
5024fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  ( vol* `  B )  =  ( vol* `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
5150eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  (
( vol* `  B )  =  0  <-> 
( vol* `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0 ) )
5249, 51anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 )  <->  ( [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) ) )
5348, 52rspc 3208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  k )  e.  A  ->  ( A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 )  ->  ( [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) ) )
5441, 42, 53sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) )
5554simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR )
5655ralrimiva 2878 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  A. k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR )
57 iunss 4366 . . . . . . . 8  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR 
<-> 
A. k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR )
5856, 57sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR )
59 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )
60 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
6154simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
62 0re 9595 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
6361, 62syl6eqel 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  e.  RR )
6461mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )  =  ( k  e.  NN  |->  0 ) )
65 fconstmpt 5042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( k  e.  NN  |->  0 )
66 nnuz 11116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6766xpeq1i 5019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } )
6865, 67eqtr3i 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  |->  0 )  =  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } )
6964, 68syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )  =  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } ) )
7069seqeq3d 12082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ) )
71 1z 10893 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
72 serclim0 13362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
73 seqex 12076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  e.  _V
74 c0ex 9589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  _V
7573, 74breldm 5206 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0  ->  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  e. 
dom 
~~>  )
7671, 72, 75mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  e.  dom  ~~>
7770, 76syl6eqel 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7859, 60, 55, 63, 77ovoliun2 21668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  <_  sum_ k  e.  NN  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )
7961sumeq2dv 13487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  sum_ k  e.  NN  ( vol* `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  sum_ k  e.  NN  0
)
8066eqimssi 3558 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  ( ZZ>= `  1 )
8180orci 390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN  C_  ( ZZ>= `  1 )  \/  NN  e.  Fin )
82 sumz 13506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( NN  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  NN  e.  Fin )  ->  sum_ k  e.  NN  0  =  0 )
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  NN  0  =  0
8479, 83syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  sum_ k  e.  NN  ( vol* `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
8578, 84breqtrd 4471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  <_ 
0 )
86 ovolge0 21643 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  ->  0  <_  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
8758, 86syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  0  <_  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
88 ovolcl 21640 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  ->  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  e.  RR* )
8958, 88syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  e. 
RR* )
90 0xr 9639 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
91 xrletri3 11357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0  <-> 
( ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) ) )
9289, 90, 91sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0  <-> 
( ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) ) )
9385, 87, 92mpbir2and 920 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  =  0 )
94 ovolssnul 21649 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  /\  U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0 )  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
9538, 58, 93, 94syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
9695ex 434 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( f : NN -onto-> A  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
9796exlimdv 1700 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( E. f 
f : NN -onto-> A  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B
)  =  0 ) )
9815, 97syld 44 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  -> 
( vol* `  U_ n  e.  A  B
)  =  0 ) )
9912, 98sylbird 235 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
1007, 99pm2.61dne 2784 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   [_csb 3435    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   U_ciun 4325   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   dom cdm 4999   -->wf 5583   -onto->wfo 5585   ` cfv 5587    ~<_ cdom 7514    ~< csdm 7515   Fincfn 7516   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494   RR*cxr 9626    <_ cle 9628   NNcn 10535   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081    seqcseq 12074    ~~> cli 13269   sum_csu 13470   vol*covol 21625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cc 8814  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xadd 11318  df-ioo 11532  df-ico 11534  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-clim 13273  df-rlim 13274  df-sum 13471  df-xmet 18199  df-met 18200  df-ovol 21627
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