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Theorem ovoliunnul 22458
Description: A countable union of nullsets is null. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ovoliunnul  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    B( n)

Proof of Theorem ovoliunnul
Dummy variables  f 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 4313 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ n  e.  A  B  =  U_ n  e.  (/)  B )
2 0iun 4356 . . . . . 6  |-  U_ n  e.  (/)  B  =  (/)
31, 2syl6eq 2479 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ n  e.  A  B  =  (/) )
43fveq2d 5885 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  ( vol* `  (/) ) )
5 ovol0 22444 . . . 4  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
64, 5syl6eq 2479 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
76a1i 11 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( A  =  (/)  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
8 reldom 7586 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
98brrelexi 4894 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
109adantr 466 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  A  e.  _V )
11 0sdomg 7710 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1210, 11syl 17 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
13 fodomr 7732 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
1413expcom 436 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  ->  E. f  f : NN -onto-> A ) )
1514adantr 466 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  ->  E. f  f : NN -onto-> A ) )
16 eliun 4304 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ n  e.  A  B  <->  E. n  e.  A  x  e.  B )
17 nfv 1755 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  f : NN -onto-> A
18 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n NN
19 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B
2018, 19nfiun 4327 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B
2120nfcri 2573 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B
22 foelrn 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  e.  A
)  ->  E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k ) )
2322ex 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( n  e.  A  ->  E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k ) ) )
24 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  B  =  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )
2524adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  B  =  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
2625eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )
2726biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  ( x  e.  B  ->  x  e. 
[_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
2827impancom 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
2928reximdv 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
30 eliun 4304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  <->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
3129, 30syl6ibr 230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
3231ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( x  e.  B  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )
3332com23 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) ) )
3423, 33syld 45 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( n  e.  A  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) )
3517, 21, 34rexlimd 2906 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( E. n  e.  A  x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
3616, 35syl5bi 220 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( x  e.  U_ n  e.  A  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
3736ssrdv 3470 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )
3837adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )
39 fof 5810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
f : NN --> A )
4039adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  f : NN --> A )
4140ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  e.  A )
42 simpllr 767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )
43 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n RR
4419, 43nfss 3457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR
45 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n vol*
4645, 19nffv 5888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( vol* `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
4746nfeq1 2595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n
( vol* `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0
4844, 47nfan 1988 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( [_ ( f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
4924sseq1d 3491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR ) )
5024fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  ( vol* `  B )  =  ( vol* `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
5150eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  (
( vol* `  B )  =  0  <-> 
( vol* `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0 ) )
5249, 51anbi12d 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 )  <->  ( [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) ) )
5348, 52rspc 3176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  k )  e.  A  ->  ( A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 )  ->  ( [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) ) )
5441, 42, 53sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) )
5554simpld 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR )
5655ralrimiva 2836 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  A. k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR )
57 iunss 4340 . . . . . . . 8  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR 
<-> 
A. k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR )
5856, 57sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR )
59 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )
60 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
6154simprd 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
62 0re 9650 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
6361, 62syl6eqel 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  e.  RR )
6461mpteq2dva 4510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )  =  ( k  e.  NN  |->  0 ) )
65 fconstmpt 4897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( k  e.  NN  |->  0 )
66 nnuz 11201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6766xpeq1i 4873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } )
6865, 67eqtr3i 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  |->  0 )  =  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } )
6964, 68syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )  =  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } ) )
7069seqeq3d 12227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ) )
71 1z 10974 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
72 serclim0 13640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
73 seqex 12221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  e.  _V
74 c0ex 9644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  _V
7573, 74breldm 5058 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0  ->  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  e. 
dom 
~~>  )
7671, 72, 75mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  e.  dom  ~~>
7770, 76syl6eqel 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7859, 60, 55, 63, 77ovoliun2 22457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  <_  sum_ k  e.  NN  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )
7961sumeq2dv 13768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  sum_ k  e.  NN  ( vol* `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  sum_ k  e.  NN  0
)
8066eqimssi 3518 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  ( ZZ>= `  1 )
8180orci 391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN  C_  ( ZZ>= `  1 )  \/  NN  e.  Fin )
82 sumz 13787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( NN  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  NN  e.  Fin )  ->  sum_ k  e.  NN  0  =  0 )
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  NN  0  =  0
8479, 83syl6eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  sum_ k  e.  NN  ( vol* `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
8578, 84breqtrd 4448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  <_ 
0 )
86 ovolge0 22432 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  ->  0  <_  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
8758, 86syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  0  <_  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
88 ovolcl 22429 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  ->  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  e.  RR* )
8958, 88syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  e. 
RR* )
90 0xr 9694 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
91 xrletri3 11458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0  <-> 
( ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) ) )
9289, 90, 91sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0  <-> 
( ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) ) )
9385, 87, 92mpbir2and 930 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  =  0 )
94 ovolssnul 22438 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  /\  U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0 )  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
9538, 58, 93, 94syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
9695ex 435 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( f : NN -onto-> A  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
9796exlimdv 1772 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( E. f 
f : NN -onto-> A  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B
)  =  0 ) )
9815, 97syld 45 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  -> 
( vol* `  U_ n  e.  A  B
)  =  0 ) )
9912, 98sylbird 238 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
1007, 99pm2.61dne 2737 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080   [_csb 3395    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3998   U_ciun 4299   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482    X. cxp 4851   dom cdm 4853   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   ` cfv 5601    ~<_ cdom 7578    ~< csdm 7579   Fincfn 7580   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549   RR*cxr 9681    <_ cle 9683   NNcn 10616   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166    seqcseq 12219    ~~> cli 13547   sum_csu 13751   vol*covol 22411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cc 8872  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xadd 11417  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-xmet 18962  df-met 18963  df-ovol 22414
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