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Theorem ovoliunnul 22338
Description: A countable union of nullsets is null. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ovoliunnul  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    B( n)

Proof of Theorem ovoliunnul
Dummy variables  f 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 4316 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ n  e.  A  B  =  U_ n  e.  (/)  B )
2 0iun 4359 . . . . . 6  |-  U_ n  e.  (/)  B  =  (/)
31, 2syl6eq 2486 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ n  e.  A  B  =  (/) )
43fveq2d 5885 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  ( vol* `  (/) ) )
5 ovol0 22324 . . . 4  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
64, 5syl6eq 2486 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
76a1i 11 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( A  =  (/)  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
8 reldom 7583 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
98brrelexi 4895 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
109adantr 466 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  A  e.  _V )
11 0sdomg 7707 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1210, 11syl 17 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
13 fodomr 7729 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
1413expcom 436 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  ->  E. f  f : NN -onto-> A ) )
1514adantr 466 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  ->  E. f  f : NN -onto-> A ) )
16 eliun 4307 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ n  e.  A  B  <->  E. n  e.  A  x  e.  B )
17 nfv 1754 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  f : NN -onto-> A
18 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n NN
19 nfcsb1v 3417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B
2018, 19nfiun 4330 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B
2120nfcri 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B
22 foelrn 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  e.  A
)  ->  E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k ) )
2322ex 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( n  e.  A  ->  E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k ) ) )
24 csbeq1a 3410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  B  =  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )
2524adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  B  =  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
2625eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )
2726biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  ( x  e.  B  ->  x  e. 
[_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
2827impancom 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
2928reximdv 2906 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
30 eliun 4307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  <->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
3129, 30syl6ibr 230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
3231ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( x  e.  B  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )
3332com23 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) ) )
3423, 33syld 45 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( n  e.  A  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) )
3517, 21, 34rexlimd 2916 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( E. n  e.  A  x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
3616, 35syl5bi 220 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( x  e.  U_ n  e.  A  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
3736ssrdv 3476 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )
3837adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )
39 fof 5810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
f : NN --> A )
4039adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  f : NN --> A )
4140ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  e.  A )
42 simpllr 767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )
43 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n RR
4419, 43nfss 3463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR
45 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n vol*
4645, 19nffv 5888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( vol* `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
4746nfeq1 2606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n
( vol* `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0
4844, 47nfan 1986 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( [_ ( f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
4924sseq1d 3497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR ) )
5024fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  ( vol* `  B )  =  ( vol* `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
5150eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  (
( vol* `  B )  =  0  <-> 
( vol* `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0 ) )
5249, 51anbi12d 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 )  <->  ( [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) ) )
5348, 52rspc 3182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  k )  e.  A  ->  ( A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 )  ->  ( [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) ) )
5441, 42, 53sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) )
5554simpld 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR )
5655ralrimiva 2846 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  A. k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR )
57 iunss 4343 . . . . . . . 8  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR 
<-> 
A. k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR )
5856, 57sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR )
59 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )
60 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
6154simprd 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
62 0re 9642 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
6361, 62syl6eqel 2525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  e.  RR )
6461mpteq2dva 4512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )  =  ( k  e.  NN  |->  0 ) )
65 fconstmpt 4898 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( k  e.  NN  |->  0 )
66 nnuz 11194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6766xpeq1i 4874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } )
6865, 67eqtr3i 2460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  |->  0 )  =  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } )
6964, 68syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )  =  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } ) )
7069seqeq3d 12218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ) )
71 1z 10967 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
72 serclim0 13619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
73 seqex 12212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  e.  _V
74 c0ex 9636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  _V
7573, 74breldm 5059 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0  ->  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  e. 
dom 
~~>  )
7671, 72, 75mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  e.  dom  ~~>
7770, 76syl6eqel 2525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7859, 60, 55, 63, 77ovoliun2 22337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  <_  sum_ k  e.  NN  ( vol* `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )
7961sumeq2dv 13747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  sum_ k  e.  NN  ( vol* `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  sum_ k  e.  NN  0
)
8066eqimssi 3524 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  ( ZZ>= `  1 )
8180orci 391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN  C_  ( ZZ>= `  1 )  \/  NN  e.  Fin )
82 sumz 13766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( NN  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  NN  e.  Fin )  ->  sum_ k  e.  NN  0  =  0 )
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  NN  0  =  0
8479, 83syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  sum_ k  e.  NN  ( vol* `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
8578, 84breqtrd 4450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  <_ 
0 )
86 ovolge0 22312 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  ->  0  <_  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
8758, 86syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  0  <_  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
88 ovolcl 22309 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  ->  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  e.  RR* )
8958, 88syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  e. 
RR* )
90 0xr 9686 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
91 xrletri3 11451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0  <-> 
( ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) ) )
9289, 90, 91sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0  <-> 
( ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) ) )
9385, 87, 92mpbir2and 930 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  =  0 )
94 ovolssnul 22318 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  /\  U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0 )  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
9538, 58, 93, 94syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
9695ex 435 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( f : NN -onto-> A  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
9796exlimdv 1771 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( E. f 
f : NN -onto-> A  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B
)  =  0 ) )
9815, 97syld 45 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  -> 
( vol* `  U_ n  e.  A  B
)  =  0 ) )
9912, 98sylbird 238 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
1007, 99pm2.61dne 2748 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087   [_csb 3401    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {csn 4002   U_ciun 4302   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484    X. cxp 4852   dom cdm 4854   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   ` cfv 5601    ~<_ cdom 7575    ~< csdm 7576   Fincfn 7577   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541   RR*cxr 9673    <_ cle 9675   NNcn 10609   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159    seqcseq 12210    ~~> cli 13526   sum_csu 13730   vol*covol 22294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-xmet 18898  df-met 18899  df-ovol 22296
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