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Theorem ovoliunnfl 28342
Description: ovoliun 20888 is incompatible with the Feferman-Levy model. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
ovoliunnfl.0  |-  ( ( f  Fn  NN  /\  A. n  e.  NN  (
( f `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 n ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  ( f `  m
) )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( f `  m ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
ovoliunnfl  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Distinct variable group:    f, n, m, x, A

Proof of Theorem ovoliunnfl
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4096 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  U. (/) )
2 uni0 4115 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2489 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  (/) )
43fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol* `  U. A )  =  ( vol* `  (/) ) )
5 ovol0 20876 . . . . . . 7  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
64, 5syl6req 2490 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  0  =  ( vol* `  U. A ) )
76a1d 25 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol* `  U. A ) ) )
8 ovolge0 20864 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  C_  RR  ->  0  <_  ( vol* `  U. A ) )
98ad2antll 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  <_  ( vol* `  U. A ) )
10 reldom 7312 . . . . . . . . . . . 12  |-  Rel  ~<_
1110brrelexi 4875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
12 0sdomg 7436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1413biimparc 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  (/)  ~<  A )
15 fodomr 7458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
1614, 15sylancom 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
17 unissb 4120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. A  C_  RR  <->  A. x  e.  A  x  C_  RR )
1817anbi1i 690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
19 r19.26 2847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
2018, 19bitr4i 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN ) )
21 brdom2 7335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  ~<_  NN  <->  ( x  ~<  NN  \/  x  ~~  NN ) )
22 nnenom 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  ~~  om
23 sdomen2 7452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( NN 
~~  om  ->  ( x 
~<  NN  <->  x  ~<  om )
)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
~<  NN  <->  x  ~<  om )
25 isfinite 7854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  Fin  <->  x  ~<  om )
2624, 25bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
~<  NN  <->  x  e.  Fin )
2726orbi1i 517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  ~<  NN  \/  x  ~~  NN )  <->  ( x  e.  Fin  \/  x  ~~  NN ) )
2821, 27bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  ~<_  NN  <->  ( x  e. 
Fin  \/  x  ~~  NN ) )
29 ovolfi 20877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  x  C_  RR )  -> 
( vol* `  x )  =  0 )
3029expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( x  e.  Fin  ->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
31 ovolctb 20873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~~  NN )  ->  ( vol* `  x )  =  0 )
3231ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( x 
~~  NN  ->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
3330, 32jaod 380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  Fin  \/  x  ~~  NN )  -> 
( vol* `  x )  =  0 ) )
3428, 33syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( x  ~<_  NN  ->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
3534imdistani 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
3635ralimi 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
3720, 36sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  =  0 ) )
3837ancoms 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
39 foima 5622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( f " NN )  =  A )
4039raleqdv 2921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( f " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  =  0 ) ) )
41 fofn 5619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
f  Fn  NN )
42 ssid 3372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  C_  NN
43 sseq1 3374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f `  l )  ->  (
x  C_  RR  <->  ( f `  l )  C_  RR ) )
44 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( f `  l )  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  ( f `  l
) ) )
4544eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f `  l )  ->  (
( vol* `  x )  =  0  <-> 
( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )
4643, 45anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( f `  l )  ->  (
( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  ( ( f `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) ) )
4746ralima 5954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  Fn  NN  /\  NN  C_  NN )  -> 
( A. x  e.  ( f " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) ) )
4841, 42, 47sylancl 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( f " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) ) )
4940, 48bitr3d 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) ) )
50 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  =  n  ->  (
f `  l )  =  ( f `  n ) )
5150sseq1d 3380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  =  n  ->  (
( f `  l
)  C_  RR  <->  ( f `  n )  C_  RR ) )
5250fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  =  n  ->  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  ( vol* `  ( f `  n
) ) )
5352eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  =  n  ->  (
( vol* `  ( f `  l
) )  =  0  <-> 
( vol* `  ( f `  n
) )  =  0 ) )
5451, 53anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  n  ->  (
( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  <->  ( ( f `
 n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  =  0 ) ) )
5554cbvralv 2945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  <->  A. n  e.  NN  ( ( f `
 n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  =  0 ) )
56 0re 9382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
57 eleq1a 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
( vol* `  ( f `  n
) )  =  0  ->  ( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR ) )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( vol* `  (
f `  n )
)  =  0  -> 
( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR )
5958anim2i 566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 n ) )  =  0 )  -> 
( ( f `  n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR ) )
6059ralimi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. n  e.  NN  (
( f `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 n ) )  =  0 )  ->  A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR ) )
6155, 60sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR ) )
62 ovoliunnfl.0 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  Fn  NN  /\  A. n  e.  NN  (
( f `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 n ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  ( f `  m
) )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( f `  m ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
6341, 61, 62syl2an 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  ( f `  m ) )  <_  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
64 fofun 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  Fun  f )
65 funiunfv 5962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  f  ->  U_ m  e.  NN  ( f `  m )  =  U. ( f " NN ) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ m  e.  NN  ( f `  m
)  =  U. (
f " NN ) )
6739unieqd 4098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U. ( f " NN )  =  U. A )
6866, 67eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ m  e.  NN  ( f `  m
)  =  U. A
)
6968fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( vol* `  U_ m  e.  NN  (
f `  m )
)  =  ( vol* `  U. A ) )
7069adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  ( f `  m ) )  =  ( vol* `  U. A ) )
71 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  m  ->  (
f `  l )  =  ( f `  m ) )
7271sseq1d 3380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  =  m  ->  (
( f `  l
)  C_  RR  <->  ( f `  m )  C_  RR ) )
7371fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  m  ->  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  ( vol* `  ( f `  m
) ) )
7473eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  =  m  ->  (
( vol* `  ( f `  l
) )  =  0  <-> 
( vol* `  ( f `  m
) )  =  0 ) )
7572, 74anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  =  m  ->  (
( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  <->  ( ( f `
 m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  m
) )  =  0 ) ) )
7675rspccva 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( f `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 m ) )  =  0 ) )
7776simprd 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( f `
 m ) )  =  0 )
7877mpteq2dva 4375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  -> 
( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) )  =  ( m  e.  NN  |->  0 ) )
7978seqeq3d 11810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) )
8079rneqd 5063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( f `  m
) ) ) )  =  ran  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) )
8180supeq1d 7692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  0 ) ) , 
RR* ,  <  ) )
82 0cn 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  CC
83 ser1const 11858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  l  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN 
X.  { 0 } ) ) `  l
)  =  ( l  x.  0 ) )
8482, 83mpan 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 l )  =  ( l  x.  0 ) )
85 nncn 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  CC )
8685mul01d 9564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  e.  NN  ->  (
l  x.  0 )  =  0 )
8784, 86eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 l )  =  0 )
8887mpteq2ia 4371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 l ) )  =  ( l  e.  NN  |->  0 )
89 fconstmpt 4878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
90 seqeq3 11807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( NN  X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )  ->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) )
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) )
92 1z 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  ZZ
93 seqfn 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
95 nnuz 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9695fneq2i 5503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
97 dffn5 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  l ) ) )
9896, 97bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
)  <->  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 l ) ) )
9994, 98mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  l ) )
10091, 99eqtr3i 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) )  =  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  l ) )
101 fconstmpt 4878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( l  e.  NN  |->  0 )
10288, 100, 1013eqtr4i 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) )  =  ( NN  X.  { 0 } )
103102rneqi 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  0 ) )  =  ran  ( NN  X.  { 0 } )
104 1nn 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  NN
105 ne0i 3640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
106 rnxp 5265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  ran  ( NN 
X.  { 0 } )  =  { 0 } )
107104, 105, 106mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  ( NN  X.  { 0 } )  =  { 0 }
108103, 107eqtri 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  0 ) )  =  { 0 }
109108supeq1i 7693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )
110 xrltso 11114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <  Or  RR*
111 0xr 9426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR*
112 supsn 7715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
113110, 111, 112mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
114109, 113eqtri 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0
11581, 114syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  0 )
116115adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( f `  m ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0 )
11763, 70, 1163brtr3d 4318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U. A
)  <_  0 )
118117ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. l  e.  NN  ( ( f `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  ->  ( vol* `  U. A )  <_  0 ) )
11949, 118sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  ->  ( vol* `  U. A )  <_  0 ) )
120119exlimiv 1693 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  f : NN -onto-> A  ->  ( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  -> 
( vol* `  U. A )  <_  0
) )
121120imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. f  f : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U. A )  <_ 
0 )
12216, 38, 121syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
( vol* `  U. A )  <_  0
)
123 ovolcl 20861 . . . . . . . . 9  |-  ( U. A  C_  RR  ->  ( vol* `  U. A
)  e.  RR* )
124 xrletri3 11125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( vol* `  U. A
)  e.  RR* )  ->  ( 0  =  ( vol* `  U. A )  <->  ( 0  <_  ( vol* `  U. A )  /\  ( vol* `  U. A )  <_  0
) ) )
125111, 123, 124sylancr 658 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  C_  RR  ->  (
0  =  ( vol* `  U. A )  <-> 
( 0  <_  ( vol* `  U. A
)  /\  ( vol* `  U. A )  <_  0 ) ) )
126125ad2antll 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
( 0  =  ( vol* `  U. A )  <->  ( 0  <_  ( vol* `  U. A )  /\  ( vol* `  U. A )  <_  0
) ) )
1279, 122, 126mpbir2and 908 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol* `  U. A ) )
128127expl 615 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol* `  U. A ) ) )
1297, 128pm2.61ine 2685 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol* `  U. A ) )
130 renepnf 9427 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
13156, 130mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/= +oo )
132 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol* `  U. A )  =  ( vol* `  RR ) )
133 ovolre 20908 . . . . . . 7  |-  ( vol* `  RR )  = +oo
134132, 133syl6eq 2489 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol* `  U. A )  = +oo )
135131, 134neeqtrrd 2630 . . . . 5  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/=  ( vol* `  U. A ) )
136135necon2i 2656 . . . 4  |-  ( 0  =  ( vol* `  U. A )  ->  U. A  =/=  RR )
137129, 136syl 16 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  ->  U. A  =/=  RR )
138137expr 612 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  ( U. A  C_  RR  ->  U. A  =/= 
RR ) )
139 eqimss 3405 . . 3  |-  ( U. A  =  RR  ->  U. A  C_  RR )
140139necon3bi 2650 . 2  |-  ( -. 
U. A  C_  RR  ->  U. A  =/=  RR )
141138, 140pm2.61d1 159 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   U.cuni 4088   U_ciun 4168   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347    Or wor 4636    X. cxp 4834   ran crn 4837   "cima 4839   Fun wfun 5409    Fn wfn 5410   -onto->wfo 5413   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   omcom 6475    ~~ cen 7303    ~<_ cdom 7304    ~< csdm 7305   Fincfn 7306   supcsup 7686   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415   NNcn 10318   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857    seqcseq 11802   vol*covol 20846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cmp 18890  df-ovol 20848
This theorem is referenced by:  ex-ovoliunnfl  28343
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