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Theorem ovoliunnfl 28433
Description: ovoliun 20988 is incompatible with the Feferman-Levy model. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
ovoliunnfl.0  |-  ( ( f  Fn  NN  /\  A. n  e.  NN  (
( f `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 n ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  ( f `  m
) )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( f `  m ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
ovoliunnfl  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Distinct variable group:    f, n, m, x, A

Proof of Theorem ovoliunnfl
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4099 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  U. (/) )
2 uni0 4118 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  (/) )
43fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol* `  U. A )  =  ( vol* `  (/) ) )
5 ovol0 20976 . . . . . . 7  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
64, 5syl6req 2492 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  0  =  ( vol* `  U. A ) )
76a1d 25 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol* `  U. A ) ) )
8 ovolge0 20964 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  C_  RR  ->  0  <_  ( vol* `  U. A ) )
98ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  <_  ( vol* `  U. A ) )
10 reldom 7316 . . . . . . . . . . . 12  |-  Rel  ~<_
1110brrelexi 4879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
12 0sdomg 7440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1413biimparc 487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  (/)  ~<  A )
15 fodomr 7462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
1614, 15sylancom 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
17 unissb 4123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. A  C_  RR  <->  A. x  e.  A  x  C_  RR )
1817anbi1i 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
19 r19.26 2849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
2018, 19bitr4i 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN ) )
21 brdom2 7339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  ~<_  NN  <->  ( x  ~<  NN  \/  x  ~~  NN ) )
22 nnenom 11802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  ~~  om
23 sdomen2 7456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( NN 
~~  om  ->  ( x 
~<  NN  <->  x  ~<  om )
)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
~<  NN  <->  x  ~<  om )
25 isfinite 7858 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  Fin  <->  x  ~<  om )
2624, 25bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
~<  NN  <->  x  e.  Fin )
2726orbi1i 520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  ~<  NN  \/  x  ~~  NN )  <->  ( x  e.  Fin  \/  x  ~~  NN ) )
2821, 27bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  ~<_  NN  <->  ( x  e. 
Fin  \/  x  ~~  NN ) )
29 ovolfi 20977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  x  C_  RR )  -> 
( vol* `  x )  =  0 )
3029expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( x  e.  Fin  ->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
31 ovolctb 20973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~~  NN )  ->  ( vol* `  x )  =  0 )
3231ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( x 
~~  NN  ->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
3330, 32jaod 380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  Fin  \/  x  ~~  NN )  -> 
( vol* `  x )  =  0 ) )
3428, 33syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( x  ~<_  NN  ->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
3534imdistani 690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
3635ralimi 2791 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
3720, 36sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  =  0 ) )
3837ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
39 foima 5625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( f " NN )  =  A )
4039raleqdv 2923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( f " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  =  0 ) ) )
41 fofn 5622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
f  Fn  NN )
42 ssid 3375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  C_  NN
43 sseq1 3377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f `  l )  ->  (
x  C_  RR  <->  ( f `  l )  C_  RR ) )
44 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( f `  l )  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  ( f `  l
) ) )
4544eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f `  l )  ->  (
( vol* `  x )  =  0  <-> 
( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )
4643, 45anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( f `  l )  ->  (
( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  ( ( f `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) ) )
4746ralima 5957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  Fn  NN  /\  NN  C_  NN )  -> 
( A. x  e.  ( f " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) ) )
4841, 42, 47sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( f " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) ) )
4940, 48bitr3d 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) ) )
50 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  =  n  ->  (
f `  l )  =  ( f `  n ) )
5150sseq1d 3383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  =  n  ->  (
( f `  l
)  C_  RR  <->  ( f `  n )  C_  RR ) )
5250fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  =  n  ->  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  ( vol* `  ( f `  n
) ) )
5352eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  =  n  ->  (
( vol* `  ( f `  l
) )  =  0  <-> 
( vol* `  ( f `  n
) )  =  0 ) )
5451, 53anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  n  ->  (
( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  <->  ( ( f `
 n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  =  0 ) ) )
5554cbvralv 2947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  <->  A. n  e.  NN  ( ( f `
 n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  =  0 ) )
56 0re 9386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
57 eleq1a 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
( vol* `  ( f `  n
) )  =  0  ->  ( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR ) )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( vol* `  (
f `  n )
)  =  0  -> 
( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR )
5958anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 n ) )  =  0 )  -> 
( ( f `  n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR ) )
6059ralimi 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. n  e.  NN  (
( f `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 n ) )  =  0 )  ->  A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR ) )
6155, 60sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR ) )
62 ovoliunnfl.0 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  Fn  NN  /\  A. n  e.  NN  (
( f `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 n ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  ( f `  m
) )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( f `  m ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
6341, 61, 62syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  ( f `  m ) )  <_  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
64 fofun 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  Fun  f )
65 funiunfv 5965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  f  ->  U_ m  e.  NN  ( f `  m )  =  U. ( f " NN ) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ m  e.  NN  ( f `  m
)  =  U. (
f " NN ) )
6739unieqd 4101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U. ( f " NN )  =  U. A )
6866, 67eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ m  e.  NN  ( f `  m
)  =  U. A
)
6968fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( vol* `  U_ m  e.  NN  (
f `  m )
)  =  ( vol* `  U. A ) )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  ( f `  m ) )  =  ( vol* `  U. A ) )
71 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  m  ->  (
f `  l )  =  ( f `  m ) )
7271sseq1d 3383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  =  m  ->  (
( f `  l
)  C_  RR  <->  ( f `  m )  C_  RR ) )
7371fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  m  ->  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  ( vol* `  ( f `  m
) ) )
7473eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  =  m  ->  (
( vol* `  ( f `  l
) )  =  0  <-> 
( vol* `  ( f `  m
) )  =  0 ) )
7572, 74anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  =  m  ->  (
( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  <->  ( ( f `
 m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  m
) )  =  0 ) ) )
7675rspccva 3072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( f `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 m ) )  =  0 ) )
7776simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( f `
 m ) )  =  0 )
7877mpteq2dva 4378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  -> 
( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) )  =  ( m  e.  NN  |->  0 ) )
7978seqeq3d 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) )
8079rneqd 5067 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( f `  m
) ) ) )  =  ran  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) )
8180supeq1d 7696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  0 ) ) , 
RR* ,  <  ) )
82 0cn 9378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  CC
83 ser1const 11862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  l  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN 
X.  { 0 } ) ) `  l
)  =  ( l  x.  0 ) )
8482, 83mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 l )  =  ( l  x.  0 ) )
85 nncn 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  CC )
8685mul01d 9568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  e.  NN  ->  (
l  x.  0 )  =  0 )
8784, 86eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 l )  =  0 )
8887mpteq2ia 4374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 l ) )  =  ( l  e.  NN  |->  0 )
89 fconstmpt 4882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
90 seqeq3 11811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( NN  X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )  ->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) )
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) )
92 1z 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  ZZ
93 seqfn 11818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
95 nnuz 10896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9695fneq2i 5506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
97 dffn5 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  l ) ) )
9896, 97bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
)  <->  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 l ) ) )
9994, 98mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  l ) )
10091, 99eqtr3i 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) )  =  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  l ) )
101 fconstmpt 4882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( l  e.  NN  |->  0 )
10288, 100, 1013eqtr4i 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) )  =  ( NN  X.  { 0 } )
103102rneqi 5066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  0 ) )  =  ran  ( NN  X.  { 0 } )
104 1nn 10333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  NN
105 ne0i 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
106 rnxp 5268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  ran  ( NN 
X.  { 0 } )  =  { 0 } )
107104, 105, 106mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  ( NN  X.  { 0 } )  =  { 0 }
108103, 107eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  0 ) )  =  { 0 }
109108supeq1i 7697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )
110 xrltso 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <  Or  RR*
111 0xr 9430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR*
112 supsn 7719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
113110, 111, 112mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
114109, 113eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0
11581, 114syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  0 )
116115adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( f `  m ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0 )
11763, 70, 1163brtr3d 4321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U. A
)  <_  0 )
118117ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. l  e.  NN  ( ( f `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  ->  ( vol* `  U. A )  <_  0 ) )
11949, 118sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  ->  ( vol* `  U. A )  <_  0 ) )
120119exlimiv 1688 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  f : NN -onto-> A  ->  ( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  -> 
( vol* `  U. A )  <_  0
) )
121120imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. f  f : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U. A )  <_ 
0 )
12216, 38, 121syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
( vol* `  U. A )  <_  0
)
123 ovolcl 20961 . . . . . . . . 9  |-  ( U. A  C_  RR  ->  ( vol* `  U. A
)  e.  RR* )
124 xrletri3 11129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( vol* `  U. A
)  e.  RR* )  ->  ( 0  =  ( vol* `  U. A )  <->  ( 0  <_  ( vol* `  U. A )  /\  ( vol* `  U. A )  <_  0
) ) )
125111, 123, 124sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  C_  RR  ->  (
0  =  ( vol* `  U. A )  <-> 
( 0  <_  ( vol* `  U. A
)  /\  ( vol* `  U. A )  <_  0 ) ) )
126125ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
( 0  =  ( vol* `  U. A )  <->  ( 0  <_  ( vol* `  U. A )  /\  ( vol* `  U. A )  <_  0
) ) )
1279, 122, 126mpbir2and 913 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol* `  U. A ) )
128127expl 618 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol* `  U. A ) ) )
1297, 128pm2.61ine 2687 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol* `  U. A ) )
130 renepnf 9431 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
13156, 130mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/= +oo )
132 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol* `  U. A )  =  ( vol* `  RR ) )
133 ovolre 21008 . . . . . . 7  |-  ( vol* `  RR )  = +oo
134132, 133syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol* `  U. A )  = +oo )
135131, 134neeqtrrd 2632 . . . . 5  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/=  ( vol* `  U. A ) )
136135necon2i 2658 . . . 4  |-  ( 0  =  ( vol* `  U. A )  ->  U. A  =/=  RR )
137129, 136syl 16 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  ->  U. A  =/=  RR )
138137expr 615 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  ( U. A  C_  RR  ->  U. A  =/= 
RR ) )
139 eqimss 3408 . . 3  |-  ( U. A  =  RR  ->  U. A  C_  RR )
140139necon3bi 2652 . 2  |-  ( -. 
U. A  C_  RR  ->  U. A  =/=  RR )
141138, 140pm2.61d1 159 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   (/)c0 3637   {csn 3877   U.cuni 4091   U_ciun 4171   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350    Or wor 4640    X. cxp 4838   ran crn 4841   "cima 4843   Fun wfun 5412    Fn wfn 5413   -onto->wfo 5416   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   omcom 6476    ~~ cen 7307    ~<_ cdom 7308    ~< csdm 7309   Fincfn 7310   supcsup 7690   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419   NNcn 10322   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861    seqcseq 11806   vol*covol 20946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-rest 14361  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cmp 18990  df-ovol 20948
This theorem is referenced by:  ex-ovoliunnfl  28434
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