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Theorem ovoliunnfl 32046
Description: ovoliun 22536 is incompatible with the Feferman-Levy model. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
ovoliunnfl.0  |-  ( ( f  Fn  NN  /\  A. n  e.  NN  (
( f `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 n ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  ( f `  m
) )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( f `  m ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
ovoliunnfl  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Distinct variable group:    f, n, m, x, A

Proof of Theorem ovoliunnfl
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4198 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  U. (/) )
2 uni0 4217 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  (/) )
43fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol* `  U. A )  =  ( vol* `  (/) ) )
5 ovol0 22524 . . . . . . 7  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
64, 5syl6req 2522 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  0  =  ( vol* `  U. A ) )
76a1d 25 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol* `  U. A ) ) )
8 ovolge0 22512 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  C_  RR  ->  0  <_  ( vol* `  U. A ) )
98ad2antll 743 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  <_  ( vol* `  U. A ) )
10 reldom 7593 . . . . . . . . . . . 12  |-  Rel  ~<_
1110brrelexi 4880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
12 0sdomg 7719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1413biimparc 495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  (/)  ~<  A )
15 fodomr 7741 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
1614, 15sylancom 680 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
17 unissb 4221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. A  C_  RR  <->  A. x  e.  A  x  C_  RR )
1817anbi1i 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
19 r19.26 2904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
2018, 19bitr4i 260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN ) )
21 brdom2 7617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  ~<_  NN  <->  ( x  ~<  NN  \/  x  ~~  NN ) )
22 nnenom 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  ~~  om
23 sdomen2 7735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( NN 
~~  om  ->  ( x 
~<  NN  <->  x  ~<  om )
)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
~<  NN  <->  x  ~<  om )
25 isfinite 8175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  Fin  <->  x  ~<  om )
2624, 25bitr4i 260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
~<  NN  <->  x  e.  Fin )
2726orbi1i 529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  ~<  NN  \/  x  ~~  NN )  <->  ( x  e.  Fin  \/  x  ~~  NN ) )
2821, 27bitri 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  ~<_  NN  <->  ( x  e. 
Fin  \/  x  ~~  NN ) )
29 ovolfi 22525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  x  C_  RR )  -> 
( vol* `  x )  =  0 )
3029expcom 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( x  e.  Fin  ->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
31 ovolctb 22521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~~  NN )  ->  ( vol* `  x )  =  0 )
3231ex 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( x 
~~  NN  ->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
3330, 32jaod 387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  Fin  \/  x  ~~  NN )  -> 
( vol* `  x )  =  0 ) )
3428, 33syl5bi 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( x  ~<_  NN  ->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
3534imdistani 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
3635ralimi 2796 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
3720, 36sylbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  =  0 ) )
3837ancoms 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
39 foima 5811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( f " NN )  =  A )
4039raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( f " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  =  0 ) ) )
41 fofn 5808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
f  Fn  NN )
42 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  C_  NN
43 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f `  l )  ->  (
x  C_  RR  <->  ( f `  l )  C_  RR ) )
44 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( f `  l )  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  ( f `  l
) ) )
4544eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f `  l )  ->  (
( vol* `  x )  =  0  <-> 
( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )
4643, 45anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( f `  l )  ->  (
( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  ( ( f `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) ) )
4746ralima 6163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  Fn  NN  /\  NN  C_  NN )  -> 
( A. x  e.  ( f " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) ) )
4841, 42, 47sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( f " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) ) )
4940, 48bitr3d 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) ) )
50 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  =  n  ->  (
f `  l )  =  ( f `  n ) )
5150sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  =  n  ->  (
( f `  l
)  C_  RR  <->  ( f `  n )  C_  RR ) )
5250fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  =  n  ->  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  ( vol* `  ( f `  n
) ) )
5352eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  =  n  ->  (
( vol* `  ( f `  l
) )  =  0  <-> 
( vol* `  ( f `  n
) )  =  0 ) )
5451, 53anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  n  ->  (
( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  <->  ( ( f `
 n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  =  0 ) ) )
5554cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  <->  A. n  e.  NN  ( ( f `
 n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  =  0 ) )
56 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
57 eleq1a 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
( vol* `  ( f `  n
) )  =  0  ->  ( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR ) )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( vol* `  (
f `  n )
)  =  0  -> 
( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR )
5958anim2i 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 n ) )  =  0 )  -> 
( ( f `  n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR ) )
6059ralimi 2796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. n  e.  NN  (
( f `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 n ) )  =  0 )  ->  A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR ) )
6155, 60sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR ) )
62 ovoliunnfl.0 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  Fn  NN  /\  A. n  e.  NN  (
( f `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 n ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  ( f `  m
) )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( f `  m ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
6341, 61, 62syl2an 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  ( f `  m ) )  <_  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
64 fofun 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  Fun  f )
65 funiunfv 6171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  f  ->  U_ m  e.  NN  ( f `  m )  =  U. ( f " NN ) )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ m  e.  NN  ( f `  m
)  =  U. (
f " NN ) )
6739unieqd 4200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U. ( f " NN )  =  U. A )
6866, 67eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ m  e.  NN  ( f `  m
)  =  U. A
)
6968fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( vol* `  U_ m  e.  NN  (
f `  m )
)  =  ( vol* `  U. A ) )
7069adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  ( f `  m ) )  =  ( vol* `  U. A ) )
71 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  m  ->  (
f `  l )  =  ( f `  m ) )
7271sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  =  m  ->  (
( f `  l
)  C_  RR  <->  ( f `  m )  C_  RR ) )
7371fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  m  ->  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  ( vol* `  ( f `  m
) ) )
7473eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  =  m  ->  (
( vol* `  ( f `  l
) )  =  0  <-> 
( vol* `  ( f `  m
) )  =  0 ) )
7572, 74anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  =  m  ->  (
( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  <->  ( ( f `
 m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  m
) )  =  0 ) ) )
7675rspccva 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( f `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 m ) )  =  0 ) )
7776simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( f `
 m ) )  =  0 )
7877mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  -> 
( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) )  =  ( m  e.  NN  |->  0 ) )
7978seqeq3d 12259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) )
8079rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( f `  m
) ) ) )  =  ran  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) )
8180supeq1d 7978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  0 ) ) , 
RR* ,  <  ) )
82 0cn 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  CC
83 ser1const 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  l  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN 
X.  { 0 } ) ) `  l
)  =  ( l  x.  0 ) )
8482, 83mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 l )  =  ( l  x.  0 ) )
85 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  CC )
8685mul01d 9850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  e.  NN  ->  (
l  x.  0 )  =  0 )
8784, 86eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 l )  =  0 )
8887mpteq2ia 4478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 l ) )  =  ( l  e.  NN  |->  0 )
89 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
90 seqeq3 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( NN  X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )  ->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) )
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) )
92 1z 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  ZZ
93 seqfn 12263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
95 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9695fneq2i 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
97 dffn5 5924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  l ) ) )
9896, 97bitr3i 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
)  <->  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 l ) ) )
9994, 98mpbi 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  l ) )
10091, 99eqtr3i 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) )  =  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  l ) )
101 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( l  e.  NN  |->  0 )
10288, 100, 1013eqtr4i 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) )  =  ( NN  X.  { 0 } )
103102rneqi 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  0 ) )  =  ran  ( NN  X.  { 0 } )
104 1nn 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  NN
105 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
106 rnxp 5273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  ran  ( NN 
X.  { 0 } )  =  { 0 } )
107104, 105, 106mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  ( NN  X.  { 0 } )  =  { 0 }
108103, 107eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  0 ) )  =  { 0 }
109108supeq1i 7979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )
110 xrltso 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <  Or  RR*
111 0xr 9705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR*
112 supsn 8006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
113110, 111, 112mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
114109, 113eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0
11581, 114syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  0 )
116115adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( f `  m ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0 )
11763, 70, 1163brtr3d 4425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U. A
)  <_  0 )
118117ex 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. l  e.  NN  ( ( f `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  ->  ( vol* `  U. A )  <_  0 ) )
11949, 118sylbid 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  ->  ( vol* `  U. A )  <_  0 ) )
120119exlimiv 1784 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  f : NN -onto-> A  ->  ( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  -> 
( vol* `  U. A )  <_  0
) )
121120imp 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. f  f : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U. A )  <_ 
0 )
12216, 38, 121syl2an 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
( vol* `  U. A )  <_  0
)
123 ovolcl 22509 . . . . . . . . 9  |-  ( U. A  C_  RR  ->  ( vol* `  U. A
)  e.  RR* )
124 xrletri3 11474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( vol* `  U. A
)  e.  RR* )  ->  ( 0  =  ( vol* `  U. A )  <->  ( 0  <_  ( vol* `  U. A )  /\  ( vol* `  U. A )  <_  0
) ) )
125111, 123, 124sylancr 676 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  C_  RR  ->  (
0  =  ( vol* `  U. A )  <-> 
( 0  <_  ( vol* `  U. A
)  /\  ( vol* `  U. A )  <_  0 ) ) )
126125ad2antll 743 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
( 0  =  ( vol* `  U. A )  <->  ( 0  <_  ( vol* `  U. A )  /\  ( vol* `  U. A )  <_  0
) ) )
1279, 122, 126mpbir2and 936 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol* `  U. A ) )
128127expl 630 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol* `  U. A ) ) )
1297, 128pm2.61ine 2726 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol* `  U. A ) )
130 renepnf 9706 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
13156, 130mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/= +oo )
132 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol* `  U. A )  =  ( vol* `  RR ) )
133 ovolre 22557 . . . . . . 7  |-  ( vol* `  RR )  = +oo
134132, 133syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol* `  U. A )  = +oo )
135131, 134neeqtrrd 2717 . . . . 5  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/=  ( vol* `  U. A ) )
136135necon2i 2677 . . . 4  |-  ( 0  =  ( vol* `  U. A )  ->  U. A  =/=  RR )
137129, 136syl 17 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  ->  U. A  =/=  RR )
138137expr 626 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  ( U. A  C_  RR  ->  U. A  =/= 
RR ) )
139 eqimss 3470 . . 3  |-  ( U. A  =  RR  ->  U. A  C_  RR )
140139necon3bi 2669 . 2  |-  ( -. 
U. A  C_  RR  ->  U. A  =/=  RR )
141138, 140pm2.61d1 164 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   U.cuni 4190   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    Or wor 4759    X. cxp 4837   ran crn 4840   "cima 4842   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   omcom 6711    ~~ cen 7584    ~<_ cdom 7585    ~< csdm 7586   Fincfn 7587   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182    seqcseq 12251   vol*covol 22491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494
This theorem is referenced by:  ex-ovoliunnfl  32047
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