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Theorem ovoliunnfl 30240
Description: ovoliun 22042 is incompatible with the Feferman-Levy model. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
ovoliunnfl.0  |-  ( ( f  Fn  NN  /\  A. n  e.  NN  (
( f `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 n ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  ( f `  m
) )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( f `  m ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
ovoliunnfl  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Distinct variable group:    f, n, m, x, A

Proof of Theorem ovoliunnfl
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4259 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  U. (/) )
2 uni0 4278 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  (/) )
43fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol* `  U. A )  =  ( vol* `  (/) ) )
5 ovol0 22030 . . . . . . 7  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
64, 5syl6req 2515 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  0  =  ( vol* `  U. A ) )
76a1d 25 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol* `  U. A ) ) )
8 ovolge0 22018 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  C_  RR  ->  0  <_  ( vol* `  U. A ) )
98ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  <_  ( vol* `  U. A ) )
10 reldom 7541 . . . . . . . . . . . 12  |-  Rel  ~<_
1110brrelexi 5049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
12 0sdomg 7665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1413biimparc 487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  (/)  ~<  A )
15 fodomr 7687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
1614, 15sylancom 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
17 unissb 4283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. A  C_  RR  <->  A. x  e.  A  x  C_  RR )
1817anbi1i 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
19 r19.26 2984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
2018, 19bitr4i 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN ) )
21 brdom2 7564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  ~<_  NN  <->  ( x  ~<  NN  \/  x  ~~  NN ) )
22 nnenom 12093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  ~~  om
23 sdomen2 7681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( NN 
~~  om  ->  ( x 
~<  NN  <->  x  ~<  om )
)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
~<  NN  <->  x  ~<  om )
25 isfinite 8086 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  Fin  <->  x  ~<  om )
2624, 25bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
~<  NN  <->  x  e.  Fin )
2726orbi1i 520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  ~<  NN  \/  x  ~~  NN )  <->  ( x  e.  Fin  \/  x  ~~  NN ) )
2821, 27bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  ~<_  NN  <->  ( x  e. 
Fin  \/  x  ~~  NN ) )
29 ovolfi 22031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  x  C_  RR )  -> 
( vol* `  x )  =  0 )
3029expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( x  e.  Fin  ->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
31 ovolctb 22027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~~  NN )  ->  ( vol* `  x )  =  0 )
3231ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( x 
~~  NN  ->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
3330, 32jaod 380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  Fin  \/  x  ~~  NN )  -> 
( vol* `  x )  =  0 ) )
3428, 33syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( x  ~<_  NN  ->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
3534imdistani 690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
3635ralimi 2850 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
3720, 36sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  =  0 ) )
3837ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
39 foima 5806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( f " NN )  =  A )
4039raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( f " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  =  0 ) ) )
41 fofn 5803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
f  Fn  NN )
42 ssid 3518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  C_  NN
43 sseq1 3520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f `  l )  ->  (
x  C_  RR  <->  ( f `  l )  C_  RR ) )
44 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( f `  l )  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  ( f `  l
) ) )
4544eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f `  l )  ->  (
( vol* `  x )  =  0  <-> 
( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )
4643, 45anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( f `  l )  ->  (
( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  ( ( f `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) ) )
4746ralima 6153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  Fn  NN  /\  NN  C_  NN )  -> 
( A. x  e.  ( f " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) ) )
4841, 42, 47sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( f " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) ) )
4940, 48bitr3d 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) ) )
50 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  =  n  ->  (
f `  l )  =  ( f `  n ) )
5150sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  =  n  ->  (
( f `  l
)  C_  RR  <->  ( f `  n )  C_  RR ) )
5250fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  =  n  ->  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  ( vol* `  ( f `  n
) ) )
5352eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  =  n  ->  (
( vol* `  ( f `  l
) )  =  0  <-> 
( vol* `  ( f `  n
) )  =  0 ) )
5451, 53anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  n  ->  (
( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  <->  ( ( f `
 n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  =  0 ) ) )
5554cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  <->  A. n  e.  NN  ( ( f `
 n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  =  0 ) )
56 0re 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
57 eleq1a 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
( vol* `  ( f `  n
) )  =  0  ->  ( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR ) )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( vol* `  (
f `  n )
)  =  0  -> 
( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR )
5958anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 n ) )  =  0 )  -> 
( ( f `  n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR ) )
6059ralimi 2850 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. n  e.  NN  (
( f `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 n ) )  =  0 )  ->  A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR ) )
6155, 60sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  n
) )  e.  RR ) )
62 ovoliunnfl.0 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  Fn  NN  /\  A. n  e.  NN  (
( f `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 n ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  ( f `  m
) )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( f `  m ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
6341, 61, 62syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  ( f `  m ) )  <_  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
64 fofun 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  Fun  f )
65 funiunfv 6161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  f  ->  U_ m  e.  NN  ( f `  m )  =  U. ( f " NN ) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ m  e.  NN  ( f `  m
)  =  U. (
f " NN ) )
6739unieqd 4261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U. ( f " NN )  =  U. A )
6866, 67eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ m  e.  NN  ( f `  m
)  =  U. A
)
6968fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( vol* `  U_ m  e.  NN  (
f `  m )
)  =  ( vol* `  U. A ) )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  ( f `  m ) )  =  ( vol* `  U. A ) )
71 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  m  ->  (
f `  l )  =  ( f `  m ) )
7271sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  =  m  ->  (
( f `  l
)  C_  RR  <->  ( f `  m )  C_  RR ) )
7371fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  m  ->  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  ( vol* `  ( f `  m
) ) )
7473eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  =  m  ->  (
( vol* `  ( f `  l
) )  =  0  <-> 
( vol* `  ( f `  m
) )  =  0 ) )
7572, 74anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  =  m  ->  (
( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  <->  ( ( f `
 m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  m
) )  =  0 ) ) )
7675rspccva 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( f `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 m ) )  =  0 ) )
7776simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( f `
 m ) )  =  0 )
7877mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  -> 
( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) )  =  ( m  e.  NN  |->  0 ) )
7978seqeq3d 12118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) )
8079rneqd 5240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( f `  m
) ) ) )  =  ran  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) )
8180supeq1d 7923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  0 ) ) , 
RR* ,  <  ) )
82 0cn 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  CC
83 ser1const 12166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  l  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN 
X.  { 0 } ) ) `  l
)  =  ( l  x.  0 ) )
8482, 83mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 l )  =  ( l  x.  0 ) )
85 nncn 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  CC )
8685mul01d 9796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  e.  NN  ->  (
l  x.  0 )  =  0 )
8784, 86eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 l )  =  0 )
8887mpteq2ia 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 l ) )  =  ( l  e.  NN  |->  0 )
89 fconstmpt 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
90 seqeq3 12115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( NN  X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )  ->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) )
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) )
92 1z 10915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  ZZ
93 seqfn 12122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
95 nnuz 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9695fneq2i 5682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
97 dffn5 5918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  l ) ) )
9896, 97bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
)  <->  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 l ) ) )
9994, 98mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  l ) )
10091, 99eqtr3i 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) )  =  ( l  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  l ) )
101 fconstmpt 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( l  e.  NN  |->  0 )
10288, 100, 1013eqtr4i 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) )  =  ( NN  X.  { 0 } )
103102rneqi 5239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  0 ) )  =  ran  ( NN  X.  { 0 } )
104 1nn 10567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  NN
105 ne0i 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
106 rnxp 5444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  ran  ( NN 
X.  { 0 } )  =  { 0 } )
107104, 105, 106mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  ( NN  X.  { 0 } )  =  { 0 }
108103, 107eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  0 ) )  =  { 0 }
109108supeq1i 7924 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )
110 xrltso 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <  Or  RR*
111 0xr 9657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR*
112 supsn 7948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
113110, 111, 112mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
114109, 113eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  0 ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0
11581, 114syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. l  e.  NN  (
( f `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `
 l ) )  =  0 )  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  (
f `  m )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  0 )
116115adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( f `  m ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0 )
11763, 70, 1163brtr3d 4485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  A. l  e.  NN  ( ( f `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U. A
)  <_  0 )
118117ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. l  e.  NN  ( ( f `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( f `  l
) )  =  0 )  ->  ( vol* `  U. A )  <_  0 ) )
11949, 118sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  ->  ( vol* `  U. A )  <_  0 ) )
120119exlimiv 1723 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  f : NN -onto-> A  ->  ( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  -> 
( vol* `  U. A )  <_  0
) )
121120imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. f  f : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U. A )  <_ 
0 )
12216, 38, 121syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
( vol* `  U. A )  <_  0
)
123 ovolcl 22015 . . . . . . . . 9  |-  ( U. A  C_  RR  ->  ( vol* `  U. A
)  e.  RR* )
124 xrletri3 11383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( vol* `  U. A
)  e.  RR* )  ->  ( 0  =  ( vol* `  U. A )  <->  ( 0  <_  ( vol* `  U. A )  /\  ( vol* `  U. A )  <_  0
) ) )
125111, 123, 124sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  C_  RR  ->  (
0  =  ( vol* `  U. A )  <-> 
( 0  <_  ( vol* `  U. A
)  /\  ( vol* `  U. A )  <_  0 ) ) )
126125ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
( 0  =  ( vol* `  U. A )  <->  ( 0  <_  ( vol* `  U. A )  /\  ( vol* `  U. A )  <_  0
) ) )
1279, 122, 126mpbir2and 922 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol* `  U. A ) )
128127expl 618 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol* `  U. A ) ) )
1297, 128pm2.61ine 2770 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol* `  U. A ) )
130 renepnf 9658 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
13156, 130mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/= +oo )
132 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol* `  U. A )  =  ( vol* `  RR ) )
133 ovolre 22062 . . . . . . 7  |-  ( vol* `  RR )  = +oo
134132, 133syl6eq 2514 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol* `  U. A )  = +oo )
135131, 134neeqtrrd 2757 . . . . 5  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/=  ( vol* `  U. A ) )
136135necon2i 2700 . . . 4  |-  ( 0  =  ( vol* `  U. A )  ->  U. A  =/=  RR )
137129, 136syl 16 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  ->  U. A  =/=  RR )
138137expr 615 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  ( U. A  C_  RR  ->  U. A  =/= 
RR ) )
139 eqimss 3551 . . 3  |-  ( U. A  =  RR  ->  U. A  C_  RR )
140139necon3bi 2686 . 2  |-  ( -. 
U. A  C_  RR  ->  U. A  =/=  RR )
141138, 140pm2.61d1 159 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   U.cuni 4251   U_ciun 4332   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    Or wor 4808    X. cxp 5006   ran crn 5009   "cima 5011   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   omcom 6699    ~~ cen 7532    ~<_ cdom 7533    ~< csdm 7534   Fincfn 7535   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   NNcn 10556   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106    seqcseq 12110   vol*covol 22000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cmp 20014  df-ovol 22002
This theorem is referenced by:  ex-ovoliunnfl  30241
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