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Theorem ovoliunlem3 21103
Description: Lemma for ovoliun 21104. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovoliun.t  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  G )
ovoliun.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  A
) )
ovoliun.a  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
ovoliun.v  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
ovoliun.r  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
ovoliun.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ovoliunlem3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
Distinct variable groups:    B, n    ph, n    n, G    T, n
Allowed substitution hint:    A( n)

Proof of Theorem ovoliunlem3
Dummy variables  f 
g  j  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2613 . . . 4  |-  F/_ m A
2 nfcsb1v 3402 . . . 4  |-  F/_ n [_ m  /  n ]_ A
3 csbeq1a 3395 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  A  =  [_ m  /  n ]_ A )
41, 2, 3cbviun 4305 . . 3  |-  U_ n  e.  NN  A  =  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
54fveq2i 5792 . 2  |-  ( vol* `  U_ n  e.  NN  A )  =  ( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)
6 ovoliun.a . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
7 ovoliun.v . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
8 ovoliun.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
9 2nn 10580 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
10 nnnn0 10687 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
11 nnexpcl 11979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
129, 10, 11sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ n )  e.  NN )
1312nnrpd 11127 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ n )  e.  RR+ )
14 rpdivcl 11114 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  (
2 ^ n )  e.  RR+ )  ->  ( B  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
158, 13, 14syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( B  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
16 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)  =  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)
1716ovolgelb 21079 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( B  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
186, 7, 15, 17syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
1918ralrimiva 2822 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
20 ovex 6215 . . . . 5  |-  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  e.  _V
21 nnenom 11903 . . . . 5  |-  NN  ~~  om
22 coeq2 5096 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( (,)  o.  f )  =  ( (,)  o.  (
g `  n )
) )
2322rneqd 5165 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ran  ( (,)  o.  f )  =  ran  ( (,) 
o.  ( g `  n ) ) )
2423unieqd 4199 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  U. ran  ( (,)  o.  f )  =  U. ran  ( (,)  o.  ( g `  n ) ) )
2524sseq2d 3482 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  <->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) ) ) )
26 coeq2 5096 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  f )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n ) ) )
2726seqeq3d 11915 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) )  =  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) ) )
2827rneqd 5165 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) )  =  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) ) )
2928supeq1d 7797 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  ) )
3029breq1d 4400 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( B  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
3125, 30anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
3220, 21, 31axcc4 8709 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  E. g
( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
3319, 32syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
34 xpnnen 13593 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
3534ensymi 7459 . . . . . 6  |-  NN  ~~  ( NN  X.  NN )
36 bren 7419 . . . . . 6  |-  ( NN 
~~  ( NN  X.  NN )  <->  E. j  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
3735, 36mpbi 208 . . . . 5  |-  E. j 
j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )
38 ovoliun.t . . . . . . . 8  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  G )
39 ovoliun.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  A
) )
40 nfcv 2613 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ m
( vol* `  A )
41 nfcv 2613 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n vol*
4241, 2nffv 5796 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )
433fveq2d 5793 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  ( vol* `  A )  =  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A ) )
4440, 42, 43cbvmpt 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  A )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A ) )
4539, 44eqtri 2480 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A ) )
46 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  ph )
476ralrimiva 2822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A  C_  RR )
48 nfv 1674 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m  A  C_  RR
49 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n RR
502, 49nfss 3447 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n [_ m  /  n ]_ A  C_  RR
513sseq1d 3481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  ( A  C_  RR  <->  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR ) )
5248, 50, 51cbvral 3039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  NN  A  C_  RR  <->  A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR )
5347, 52sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR )
5453r19.21bi 2910 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR )
5546, 54sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR )
567ralrimiva 2822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( vol* `  A
)  e.  RR )
5740nfel1 2628 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m
( vol* `  A )  e.  RR
5842nfel1 2628 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR
5943eleq1d 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( vol* `  A )  e.  RR  <->  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR ) )
6057, 58, 59cbvral 3039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol* `  A )  e.  RR  <->  A. m  e.  NN  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
6156, 60sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
6261r19.21bi 2910 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
6346, 62sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
64 ovoliun.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
6564ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
668ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
67 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) )
68 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( k  e.  NN  |->  ( ( g `
 ( 1st `  (
j `  k )
) ) `  ( 2nd `  ( j `  k ) ) ) ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( k  e.  NN  |->  ( ( g `  ( 1st `  ( j `
 k ) ) ) `  ( 2nd `  ( j `  k
) ) ) ) ) )
69 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( g `  ( 1st `  ( j `  k
) ) ) `  ( 2nd `  ( j `
 k ) ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( g `  ( 1st `  ( j `  k ) ) ) `
 ( 2nd `  (
j `  k )
) ) )
70 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
71 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
72 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
73 nfv 1674 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
74 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n U. ran  ( (,)  o.  ( g `  m
) )
752, 74nfss 3447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) )
76 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m ) ) ) ,  RR* ,  <  )
77 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n  <_
78 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n  +
79 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( B  /  (
2 ^ m ) )
8042, 78, 79nfov 6213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) )
8176, 77, 80nfbr 4434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) )
8275, 81nfan 1863 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
83 fveq2 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
8483coeq2d 5100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( (,)  o.  ( g `  n ) )  =  ( (,)  o.  (
g `  m )
) )
8584rneqd 5165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  =  ran  ( (,) 
o.  ( g `  m ) ) )
8685unieqd 4199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  =  U. ran  ( (,)  o.  ( g `  m ) ) )
873, 86sseq12d 3483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `  n ) )  <->  [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) ) ) )
8883coeq2d 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m ) ) )
8988seqeq3d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) )  =  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) )
9089rneqd 5165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) )  =  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) )
9190supeq1d 7797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) )
92 oveq2 6198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ m ) )
9392oveq2d 6206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( B  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( B  /  (
2 ^ m ) ) )
9443, 93oveq12d 6208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) )  =  ( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  / 
( 2 ^ m
) ) ) )
9591, 94breq12d 4403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) )  <->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
9687, 95anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  <->  ( [_ m  /  n ]_ A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  ( g `  m
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
9773, 82, 96cbvral 3039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `  n ) )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  <->  A. m  e.  NN  ( [_ m  /  n ]_ A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  m
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
9872, 97sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  A. m  e.  NN  ( [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
9998r19.21bi 2910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( [_ m  /  n ]_ A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  m
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
10099simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) ) )
10199simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
10238, 45, 55, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 100, 101ovoliunlem2 21102 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
103102exp31 604 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  -> 
( ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  -> 
( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) ) ) )
104103exlimdv 1691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. j  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  ->  ( ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  -> 
( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) ) ) )
10537, 104mpi 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  -> 
( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) ) )
106105exlimdv 1691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  -> 
( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) ) )
10733, 106mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
1085, 107syl5eqbr 4423 1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   [_csb 3386    i^i cin 3425    C_ wss 3426   U.cuni 4189   U_ciun 4269   class class class wbr 4390    |-> cmpt 4448    X. cxp 4936   ran crn 4939    o. ccom 4942   -->wf 5512   -1-1-onto->wf1o 5515   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   1stc1st 6675   2ndc2nd 6676    ^m cmap 7314    ~~ cen 7407   supcsup 7791   RRcr 9382   1c1 9384    + caddc 9386   RR*cxr 9518    < clt 9519    <_ cle 9520    - cmin 9696    / cdiv 10094   NNcn 10423   2c2 10472   NN0cn0 10680   RR+crp 11092   (,)cioo 11401    seqcseq 11907   ^cexp 11966   abscabs 12825   vol*covol 21062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cc 8705  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-rp 11093  df-ioo 11405  df-ico 11407  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-seq 11908  df-exp 11967  df-hash 12205  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-ovol 21064
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