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Theorem ovoliunlem3 20956
Description: Lemma for ovoliun 20957. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovoliun.t  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  G )
ovoliun.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  A
) )
ovoliun.a  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
ovoliun.v  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
ovoliun.r  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
ovoliun.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ovoliunlem3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
Distinct variable groups:    B, n    ph, n    n, G    T, n
Allowed substitution hint:    A( n)

Proof of Theorem ovoliunlem3
Dummy variables  f 
g  j  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2573 . . . 4  |-  F/_ m A
2 nfcsb1v 3297 . . . 4  |-  F/_ n [_ m  /  n ]_ A
3 csbeq1a 3290 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  A  =  [_ m  /  n ]_ A )
41, 2, 3cbviun 4200 . . 3  |-  U_ n  e.  NN  A  =  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
54fveq2i 5687 . 2  |-  ( vol* `  U_ n  e.  NN  A )  =  ( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)
6 ovoliun.a . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
7 ovoliun.v . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
8 ovoliun.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
9 2nn 10471 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
10 nnnn0 10578 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
11 nnexpcl 11870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
129, 10, 11sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ n )  e.  NN )
1312nnrpd 11018 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ n )  e.  RR+ )
14 rpdivcl 11005 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  (
2 ^ n )  e.  RR+ )  ->  ( B  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
158, 13, 14syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( B  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
16 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)  =  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)
1716ovolgelb 20932 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( B  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
186, 7, 15, 17syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
1918ralrimiva 2793 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
20 ovex 6111 . . . . 5  |-  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  e.  _V
21 nnenom 11794 . . . . 5  |-  NN  ~~  om
22 coeq2 4990 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( (,)  o.  f )  =  ( (,)  o.  (
g `  n )
) )
2322rneqd 5059 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ran  ( (,)  o.  f )  =  ran  ( (,) 
o.  ( g `  n ) ) )
2423unieqd 4094 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  U. ran  ( (,)  o.  f )  =  U. ran  ( (,)  o.  ( g `  n ) ) )
2524sseq2d 3377 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  <->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) ) ) )
26 coeq2 4990 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  f )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n ) ) )
2726seqeq3d 11806 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) )  =  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) ) )
2827rneqd 5059 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) )  =  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) ) )
2928supeq1d 7688 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  ) )
3029breq1d 4295 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( B  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
3125, 30anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
3220, 21, 31axcc4 8600 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  E. g
( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
3319, 32syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
34 xpnnen 13483 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
3534ensymi 7351 . . . . . 6  |-  NN  ~~  ( NN  X.  NN )
36 bren 7311 . . . . . 6  |-  ( NN 
~~  ( NN  X.  NN )  <->  E. j  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
3735, 36mpbi 208 . . . . 5  |-  E. j 
j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )
38 ovoliun.t . . . . . . . 8  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  G )
39 ovoliun.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  A
) )
40 nfcv 2573 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ m
( vol* `  A )
41 nfcv 2573 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n vol*
4241, 2nffv 5691 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )
433fveq2d 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  ( vol* `  A )  =  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A ) )
4440, 42, 43cbvmpt 4375 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  A )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A ) )
4539, 44eqtri 2457 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A ) )
46 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  ph )
476ralrimiva 2793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A  C_  RR )
48 nfv 1673 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m  A  C_  RR
49 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n RR
502, 49nfss 3342 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n [_ m  /  n ]_ A  C_  RR
513sseq1d 3376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  ( A  C_  RR  <->  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR ) )
5248, 50, 51cbvral 2937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  NN  A  C_  RR  <->  A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR )
5347, 52sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR )
5453r19.21bi 2808 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR )
5546, 54sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR )
567ralrimiva 2793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( vol* `  A
)  e.  RR )
5740nfel1 2583 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m
( vol* `  A )  e.  RR
5842nfel1 2583 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR
5943eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( vol* `  A )  e.  RR  <->  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR ) )
6057, 58, 59cbvral 2937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol* `  A )  e.  RR  <->  A. m  e.  NN  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
6156, 60sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
6261r19.21bi 2808 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
6346, 62sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
64 ovoliun.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
6564ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
668ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
67 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) )
68 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( k  e.  NN  |->  ( ( g `
 ( 1st `  (
j `  k )
) ) `  ( 2nd `  ( j `  k ) ) ) ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( k  e.  NN  |->  ( ( g `  ( 1st `  ( j `
 k ) ) ) `  ( 2nd `  ( j `  k
) ) ) ) ) )
69 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( g `  ( 1st `  ( j `  k
) ) ) `  ( 2nd `  ( j `
 k ) ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( g `  ( 1st `  ( j `  k ) ) ) `
 ( 2nd `  (
j `  k )
) ) )
70 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
71 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
72 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
73 nfv 1673 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
74 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n U. ran  ( (,)  o.  ( g `  m
) )
752, 74nfss 3342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) )
76 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m ) ) ) ,  RR* ,  <  )
77 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n  <_
78 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n  +
79 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( B  /  (
2 ^ m ) )
8042, 78, 79nfov 6109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) )
8176, 77, 80nfbr 4329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) )
8275, 81nfan 1860 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
83 fveq2 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
8483coeq2d 4994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( (,)  o.  ( g `  n ) )  =  ( (,)  o.  (
g `  m )
) )
8584rneqd 5059 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  =  ran  ( (,) 
o.  ( g `  m ) ) )
8685unieqd 4094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  =  U. ran  ( (,)  o.  ( g `  m ) ) )
873, 86sseq12d 3378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `  n ) )  <->  [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) ) ) )
8883coeq2d 4994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m ) ) )
8988seqeq3d 11806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) )  =  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) )
9089rneqd 5059 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) )  =  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) )
9190supeq1d 7688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) )
92 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ m ) )
9392oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( B  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( B  /  (
2 ^ m ) ) )
9443, 93oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) )  =  ( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  / 
( 2 ^ m
) ) ) )
9591, 94breq12d 4298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) )  <->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
9687, 95anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  <->  ( [_ m  /  n ]_ A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  ( g `  m
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
9773, 82, 96cbvral 2937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `  n ) )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  <->  A. m  e.  NN  ( [_ m  /  n ]_ A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  m
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
9872, 97sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  A. m  e.  NN  ( [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
9998r19.21bi 2808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( [_ m  /  n ]_ A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  m
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
10099simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) ) )
10199simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
10238, 45, 55, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 100, 101ovoliunlem2 20955 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
103102exp31 604 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  -> 
( ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  -> 
( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) ) ) )
104103exlimdv 1690 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. j  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  ->  ( ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  -> 
( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) ) ) )
10537, 104mpi 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  -> 
( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) ) )
106105exlimdv 1690 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  -> 
( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) ) )
10733, 106mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
1085, 107syl5eqbr 4318 1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2709   E.wrex 2710   [_csb 3281    i^i cin 3320    C_ wss 3321   U.cuni 4084   U_ciun 4164   class class class wbr 4285    e. cmpt 4343    X. cxp 4830   ran crn 4833    o. ccom 4836   -->wf 5407   -1-1-onto->wf1o 5410   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   1stc1st 6570   2ndc2nd 6571    ^m cmap 7206    ~~ cen 7299   supcsup 7682   RRcr 9273   1c1 9275    + caddc 9277   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   RR+crp 10983   (,)cioo 11292    seqcseq 11798   ^cexp 11857   abscabs 12715   vol*covol 20915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cc 8596  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-se 4672  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-isom 5420  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ovol 20917
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