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Theorem ovoliunlem3 21647
Description: Lemma for ovoliun 21648. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovoliun.t  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  G )
ovoliun.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  A
) )
ovoliun.a  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
ovoliun.v  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
ovoliun.r  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
ovoliun.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ovoliunlem3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
Distinct variable groups:    B, n    ph, n    n, G    T, n
Allowed substitution hint:    A( n)

Proof of Theorem ovoliunlem3
Dummy variables  f 
g  j  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2629 . . . 4  |-  F/_ m A
2 nfcsb1v 3451 . . . 4  |-  F/_ n [_ m  /  n ]_ A
3 csbeq1a 3444 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  A  =  [_ m  /  n ]_ A )
41, 2, 3cbviun 4362 . . 3  |-  U_ n  e.  NN  A  =  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
54fveq2i 5867 . 2  |-  ( vol* `  U_ n  e.  NN  A )  =  ( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)
6 ovoliun.a . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
7 ovoliun.v . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
8 ovoliun.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
9 2nn 10689 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
10 nnnn0 10798 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
11 nnexpcl 12142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
129, 10, 11sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ n )  e.  NN )
1312nnrpd 11251 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ n )  e.  RR+ )
14 rpdivcl 11238 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  (
2 ^ n )  e.  RR+ )  ->  ( B  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
158, 13, 14syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( B  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
16 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)  =  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)
1716ovolgelb 21623 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( B  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
186, 7, 15, 17syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
1918ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
20 ovex 6307 . . . . 5  |-  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  e.  _V
21 nnenom 12053 . . . . 5  |-  NN  ~~  om
22 coeq2 5159 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( (,)  o.  f )  =  ( (,)  o.  (
g `  n )
) )
2322rneqd 5228 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ran  ( (,)  o.  f )  =  ran  ( (,) 
o.  ( g `  n ) ) )
2423unieqd 4255 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  U. ran  ( (,)  o.  f )  =  U. ran  ( (,)  o.  ( g `  n ) ) )
2524sseq2d 3532 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  <->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) ) ) )
26 coeq2 5159 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  f )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n ) ) )
2726seqeq3d 12078 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) )  =  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) ) )
2827rneqd 5228 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) )  =  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) ) )
2928supeq1d 7902 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  ) )
3029breq1d 4457 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( B  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
3125, 30anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
3220, 21, 31axcc4 8815 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  E. g
( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
3319, 32syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
34 xpnnen 13796 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
3534ensymi 7562 . . . . . 6  |-  NN  ~~  ( NN  X.  NN )
36 bren 7522 . . . . . 6  |-  ( NN 
~~  ( NN  X.  NN )  <->  E. j  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
3735, 36mpbi 208 . . . . 5  |-  E. j 
j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )
38 ovoliun.t . . . . . . . 8  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  G )
39 ovoliun.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  A
) )
40 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ m
( vol* `  A )
41 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n vol*
4241, 2nffv 5871 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )
433fveq2d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  ( vol* `  A )  =  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A ) )
4440, 42, 43cbvmpt 4537 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  A )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A ) )
4539, 44eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A ) )
46 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  ph )
476ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A  C_  RR )
48 nfv 1683 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m  A  C_  RR
49 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n RR
502, 49nfss 3497 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n [_ m  /  n ]_ A  C_  RR
513sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  ( A  C_  RR  <->  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR ) )
5248, 50, 51cbvral 3084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  NN  A  C_  RR  <->  A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR )
5347, 52sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR )
5453r19.21bi 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR )
5546, 54sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR )
567ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( vol* `  A
)  e.  RR )
5740nfel1 2645 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m
( vol* `  A )  e.  RR
5842nfel1 2645 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR
5943eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( vol* `  A )  e.  RR  <->  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR ) )
6057, 58, 59cbvral 3084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol* `  A )  e.  RR  <->  A. m  e.  NN  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
6156, 60sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
6261r19.21bi 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
6346, 62sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
64 ovoliun.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
6564ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
668ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
67 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) )
68 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( k  e.  NN  |->  ( ( g `
 ( 1st `  (
j `  k )
) ) `  ( 2nd `  ( j `  k ) ) ) ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( k  e.  NN  |->  ( ( g `  ( 1st `  ( j `
 k ) ) ) `  ( 2nd `  ( j `  k
) ) ) ) ) )
69 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( g `  ( 1st `  ( j `  k
) ) ) `  ( 2nd `  ( j `
 k ) ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( g `  ( 1st `  ( j `  k ) ) ) `
 ( 2nd `  (
j `  k )
) ) )
70 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
71 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
72 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
73 nfv 1683 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
74 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n U. ran  ( (,)  o.  ( g `  m
) )
752, 74nfss 3497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) )
76 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m ) ) ) ,  RR* ,  <  )
77 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n  <_
78 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n  +
79 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( B  /  (
2 ^ m ) )
8042, 78, 79nfov 6305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) )
8176, 77, 80nfbr 4491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) )
8275, 81nfan 1875 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
83 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
8483coeq2d 5163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( (,)  o.  ( g `  n ) )  =  ( (,)  o.  (
g `  m )
) )
8584rneqd 5228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  =  ran  ( (,) 
o.  ( g `  m ) ) )
8685unieqd 4255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  =  U. ran  ( (,)  o.  ( g `  m ) ) )
873, 86sseq12d 3533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `  n ) )  <->  [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) ) ) )
8883coeq2d 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m ) ) )
8988seqeq3d 12078 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) )  =  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) )
9089rneqd 5228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) )  =  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) )
9190supeq1d 7902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) )
92 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ m ) )
9392oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( B  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( B  /  (
2 ^ m ) ) )
9443, 93oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) )  =  ( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  / 
( 2 ^ m
) ) ) )
9591, 94breq12d 4460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) )  <->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
9687, 95anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  <->  ( [_ m  /  n ]_ A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  ( g `  m
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
9773, 82, 96cbvral 3084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `  n ) )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  <->  A. m  e.  NN  ( [_ m  /  n ]_ A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  m
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
9872, 97sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  A. m  e.  NN  ( [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
9998r19.21bi 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( [_ m  /  n ]_ A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  m
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
10099simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) ) )
10199simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
10238, 45, 55, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 100, 101ovoliunlem2 21646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
103102exp31 604 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  -> 
( ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  -> 
( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) ) ) )
104103exlimdv 1700 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. j  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  ->  ( ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  -> 
( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) ) ) )
10537, 104mpi 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  -> 
( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) ) )
106105exlimdv 1700 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  -> 
( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) ) )
10733, 106mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
1085, 107syl5eqbr 4480 1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   [_csb 3435    i^i cin 3475    C_ wss 3476   U.cuni 4245   U_ciun 4325   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   ran crn 5000    o. ccom 5003   -->wf 5582   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1stc1st 6779   2ndc2nd 6780    ^m cmap 7417    ~~ cen 7510   supcsup 7896   RRcr 9487   1c1 9489    + caddc 9491   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   RR+crp 11216   (,)cioo 11525    seqcseq 12070   ^cexp 12129   abscabs 13024   vol*covol 21606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-ovol 21608
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