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Theorem ovoliunlem2 19352
Description: Lemma for ovoliun 19354. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovoliun.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  G )
ovoliun.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol * `  A
) )
ovoliun.a  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
ovoliun.v  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol
* `  A )  e.  RR )
ovoliun.r  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
ovoliun.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
ovoliun.s  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( F `  n ) ) )
ovoliun.u  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ovoliun.h  |-  H  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( F `  ( 1st `  ( J `
 k ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  k
) ) ) )
ovoliun.j  |-  ( ph  ->  J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
ovoliun.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
ovoliun.x1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( F `  n ) ) )
ovoliun.x2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( B  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ovoliunlem2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
Distinct variable groups:    A, k    k, n, B    k, F, n    k, J, n    n, H    ph, k, n    S, k    k, G    T, k    n, G    T, n
Allowed substitution hints:    A( n)    S( n)    U( k, n)    H( k)

Proof of Theorem ovoliunlem2
Dummy variables  j  m  x  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovoliun.a . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
21ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A  C_  RR )
3 iunss 4092 . . . 4  |-  ( U_ n  e.  NN  A  C_  RR  <->  A. n  e.  NN  A  C_  RR )
42, 3sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  A  C_  RR )
5 ovolcl 19327 . . 3  |-  ( U_ n  e.  NN  A  C_  RR  ->  ( vol * `
 U_ n  e.  NN  A )  e.  RR* )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  e.  RR* )
7 ovoliun.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
87adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
9 ovoliun.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
10 f1of 5633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  ->  J : NN --> ( NN  X.  NN ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J : NN --> ( NN 
X.  NN ) )
1211ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `
 k )  e.  ( NN  X.  NN ) )
13 xp1st 6335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J `  k )  e.  ( NN  X.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  k
) )  e.  NN )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  k
) )  e.  NN )
158, 14ffvelrnd 5830 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( 1st `  ( J `  k )
) )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
16 reex 9037 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
1716, 16xpex 4949 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
1817inex2 4305 . . . . . . . . 9  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  e.  _V
19 nnex 9962 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
2018, 19elmap 7001 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  ( 1st `  ( J `  k
) ) )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  ( F `  ( 1st `  ( J `  k ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2115, 20sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( 1st `  ( J `  k )
) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
22 xp2nd 6336 . . . . . . . 8  |-  ( ( J `  k )  e.  ( NN  X.  NN )  ->  ( 2nd `  ( J `  k
) )  e.  NN )
2312, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( J `  k
) )  e.  NN )
2421, 23ffvelrnd 5830 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( 1st `  ( J `  k
) ) ) `  ( 2nd `  ( J `
 k ) ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
25 ovoliun.h . . . . . 6  |-  H  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( F `  ( 1st `  ( J `
 k ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  k
) ) ) )
2624, 25fmptd 5852 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
27 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
28 ovoliun.u . . . . . 6  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
2927, 28ovolsf 19322 . . . . 5  |-  ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
30 frn 5556 . . . . 5  |-  ( U : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  U 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
3126, 29, 303syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  (
0 [,)  +oo ) )
32 icossxr 10951 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
3331, 32syl6ss 3320 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  RR* )
34 supxrcl 10849 . . 3  |-  ( ran 
U  C_  RR*  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
3533, 34syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
36 ovoliun.r . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
37 ovoliun.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3837rpred 10604 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3936, 38readdcld 9071 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B )  e.  RR )
4039rexrd 9090 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B )  e. 
RR* )
41 eliun 4057 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ n  e.  NN  A  <->  E. n  e.  NN  z  e.  A
)
42 ovoliun.x1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( F `  n ) ) )
43423adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( F `
 n ) ) )
4413adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  A  C_  RR )
457ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
4618, 19elmap 7001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  n )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  ( F `  n
) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
4745, 46sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
48473adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  ( F `  n ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
49 ovolfioo 19317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( F `  n ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( F `
 n ) )  <->  A. z  e.  A  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) ) ) )
5044, 48, 49syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  ( F `  n
) )  <->  A. z  e.  A  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  ( ( F `  n ) `  j
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `  j
) ) ) ) )
5143, 50mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  A. z  e.  A  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  ( ( F `  n ) `  j
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `  j
) ) ) )
52 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  A )
53 rsp 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  E. j  e.  NN  (
( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )  ->  (
z  e.  A  ->  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) ) ) )
5451, 52, 53sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  ( ( F `  n ) `  j
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `  j
) ) ) )
55 simpl1 960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ph )
56 f1ocnv 5646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  ->  `' J :
( NN  X.  NN )
-1-1-onto-> NN )
579, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  `' J : ( NN 
X.  NN ) -1-1-onto-> NN )
58 f1of 5633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' J : ( NN 
X.  NN ) -1-1-onto-> NN  ->  `' J : ( NN 
X.  NN ) --> NN )
5955, 57, 583syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  `' J : ( NN  X.  NN ) --> NN )
60 simpl2 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
61 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
6259, 60, 61fovrnd 6177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
n `' J j )  e.  NN )
63 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( J `  k
)  =  ( J `
 ( n `' J j ) ) )
6463fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( 1st `  ( J `  k )
)  =  ( 1st `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) )
6564fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( F `  ( 1st `  ( J `  k ) ) )  =  ( F `  ( 1st `  ( J `
 ( n `' J j ) ) ) ) )
6663fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( 2nd `  ( J `  k )
)  =  ( 2nd `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) )
6765, 66fveq12d 5693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( ( F `  ( 1st `  ( J `
 k ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  k
) ) )  =  ( ( F `  ( 1st `  ( J `
 ( n `' J j ) ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) ) ) )
68 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( 1st `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) ) `
 ( 2nd `  ( J `  ( n `' J j ) ) ) )  e.  _V
6967, 25, 68fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n `' J j )  e.  NN  ->  ( H `  ( n `' J j ) )  =  ( ( F `
 ( 1st `  ( J `  ( n `' J j ) ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) ) ) )
7062, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `  ( n `' J j ) )  =  ( ( F `
 ( 1st `  ( J `  ( n `' J j ) ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) ) ) )
71 df-ov 6043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n `' J j )  =  ( `' J `  <. n ,  j >.
)
7271fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( J `
 ( n `' J j ) )  =  ( J `  ( `' J `  <. n ,  j >. )
)
7355, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
74 opelxpi 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  NN )  -> 
<. n ,  j >.  e.  ( NN  X.  NN ) )
7560, 61, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  <. n ,  j >.  e.  ( NN  X.  NN ) )
76 f1ocnvfv2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  /\  <. n ,  j
>.  e.  ( NN  X.  NN ) )  ->  ( J `  ( `' J `  <. n ,  j >. ) )  = 
<. n ,  j >.
)
7773, 75, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( J `  ( `' J `  <. n ,  j >. ) )  = 
<. n ,  j >.
)
7872, 77syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( J `  ( n `' J j ) )  =  <. n ,  j
>. )
7978fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  ( n `' J
j ) ) )  =  ( 1st `  <. n ,  j >. )
)
80 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  n  e. 
_V
81 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  j  e. 
_V
8280, 81op1st 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1st `  <. n ,  j
>. )  =  n
8379, 82syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  ( n `' J
j ) ) )  =  n )
8483fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( 1st `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) )  =  ( F `  n ) )
8578fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) )  =  ( 2nd `  <. n ,  j >. )
)
8680, 81op2nd 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2nd `  <. n ,  j
>. )  =  j
8785, 86syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) )  =  j )
8884, 87fveq12d 5693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( 1st `  ( J `  ( n `' J
j ) ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) )  =  ( ( F `
 n ) `  j ) )
8970, 88eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `  ( n `' J j ) )  =  ( ( F `
 n ) `  j ) )
9089fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( H `  ( n `' J
j ) ) )  =  ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
) )
9190breq1d 4182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( H `  ( n `' J j ) ) )  <  z  <->  ( 1st `  ( ( F `  n ) `  j
) )  <  z
) )
9289fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J
j ) ) )  =  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )
9392breq2d 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
z  <  ( 2nd `  ( H `  (
n `' J j ) ) )  <->  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `
 j ) ) ) )
9491, 93anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( H `  ( n `' J j ) ) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J j ) ) ) )  <->  ( ( 1st `  ( ( F `
 n ) `  j ) )  < 
z  /\  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `
 j ) ) ) ) )
9594biimprd 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )  ->  (
( 1st `  ( H `  ( n `' J j ) ) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J j ) ) ) ) ) )
96 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( H `  m
)  =  ( H `
 ( n `' J j ) ) )
9796fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( 1st `  ( H `  m )
)  =  ( 1st `  ( H `  (
n `' J j ) ) ) )
9897breq1d 4182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  <->  ( 1st `  ( H `  (
n `' J j ) ) )  < 
z ) )
9996fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( 2nd `  ( H `  m )
)  =  ( 2nd `  ( H `  (
n `' J j ) ) ) )
10099breq2d 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( z  <  ( 2nd `  ( H `  m ) )  <->  z  <  ( 2nd `  ( H `
 ( n `' J j ) ) ) ) )
10198, 100anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) )  <->  ( ( 1st `  ( H `  ( n `' J
j ) ) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J j ) ) ) ) ) )
102101rspcev 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n `' J
j )  e.  NN  /\  ( ( 1st `  ( H `  ( n `' J j ) ) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J j ) ) ) ) )  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) )
10362, 95, 102ee12an 1369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) ) ) )
104103rexlimdva 2790 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  ( E. j  e.  NN  (
( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) ) ) )
10554, 104mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) ) )
106105rexlimdv3a 2792 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  z  e.  A  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) ) )
10741, 106syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U_ n  e.  NN  A  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) ) )
108107ralrimiv 2748 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  U_  n  e.  NN  A E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) )
109 ovolfioo 19317 . . . . 5  |-  ( (
U_ n  e.  NN  A  C_  RR  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( U_ n  e.  NN  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  U_  n  e.  NN  A E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) ) )
1104, 26, 109syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U_ n  e.  NN  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  U_  n  e.  NN  A E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) ) ) )
111108, 110mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) )
11228ovollb 19328 . . 3  |-  ( ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  U_ n  e.  NN  A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  H ) )  -> 
( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )
11326, 111, 112syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )
114 fzfi 11266 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... j )  e. 
Fin
115 elfznn 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( 1 ... j )  ->  w  e.  NN )
116 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J : NN --> ( NN 
X.  NN )  /\  w  e.  NN )  ->  ( J `  w
)  e.  ( NN 
X.  NN ) )
117 xp1st 6335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J `  w )  e.  ( NN  X.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  w
) )  e.  NN )
118 nnre 9963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  ( J `
 w ) )  e.  NN  ->  ( 1st `  ( J `  w ) )  e.  RR )
119116, 117, 1183syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J : NN --> ( NN 
X.  NN )  /\  w  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  w )
)  e.  RR )
12011, 115, 119syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  ( 1st `  ( J `  w ) )  e.  RR )
121120ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  e.  RR )
122121adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. w  e.  ( 1 ... j
) ( 1st `  ( J `  w )
)  e.  RR )
123 fimaxre3 9913 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... j
)  e.  Fin  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x )
124114, 122, 123sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  ( 1 ... j
) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  x )
125 fllep1 11165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
126125ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
127120adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  ( 1st `  ( J `  w ) )  e.  RR )
128 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  x  e.  RR )
129 flcl 11159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
130129peano2zd 10334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )
131130zred 10331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
132131ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
133 letr 9123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1st `  ( J `  w )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( ( 1st `  ( J `  w
) )  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  ->  ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
134127, 128, 132, 133syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  -> 
( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
135126, 134mpan2d 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( 1st `  ( J `  w )
)  <_  x  ->  ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
136135ralimdva 2744 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x  ->  A. w  e.  ( 1 ... j
) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
137136adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  (
1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x  ->  A. w  e.  ( 1 ... j
) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
138 ovoliun.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  G )
139 ovoliun.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol * `  A
) )
140 simpll 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ph )
141140, 1sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
142 ovoliun.v . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol
* `  A )  e.  RR )
143140, 142sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
144140, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
145140, 37syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
146 ovoliun.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( F `  n ) ) )
147140, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
148140, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  F : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
149140, 42sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( F `
 n ) ) )
150 ovoliun.x2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( B  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
151140, 150sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
152 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  j  e.  NN )
153130ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  ZZ )
154 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
155138, 139, 141, 143, 144, 145, 146, 28, 25, 147, 148, 149, 151, 152, 153, 154ovoliunlem1 19351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
156155expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  (
1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
157137, 156syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  (
1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x  ->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
158157rexlimdva 2790 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  RR  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x  ->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
159124, 158mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( U `
 j )  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
160159ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
16126, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
162 ffn 5550 . . . . 5  |-  ( U : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  U  Fn  NN )
163 breq1 4175 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( U `  j )  ->  (
z  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
)  <->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
164163ralrn 5832 . . . . 5  |-  ( U  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  U  z  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
)  <->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
165161, 162, 1643syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  U  z  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B )  <->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
166160, 165mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  U  z  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
167 supxrleub 10861 . . . 4  |-  ( ( ran  U  C_  RR*  /\  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B )  <->  A. z  e.  ran  U  z  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
16833, 40, 167syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
U ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B )  <->  A. z  e.  ran  U  z  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
169166, 168mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
1706, 35, 40, 113, 169xrletrd 10708 1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    i^i cin 3279    C_ wss 3280   <.cop 3777   U.cuni 3975   U_ciun 4053   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   supcsup 7403   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ZZcz 10238   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   ...cfz 10999   |_cfl 11156    seq cseq 11278   ^cexp 11337   abscabs 11994   vol *covol 19312
This theorem is referenced by:  ovoliunlem3  19353
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ovol 19314
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