Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovoliun2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ovoliun2 22537
 Description: The Lebesgue outer measure function is countably sub-additive. (This version is a little easier to read, but does not allow infinite values like ovoliun 22536.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovoliun.t
ovoliun.g
ovoliun.a
ovoliun.v
ovoliun2.t
Assertion
Ref Expression
ovoliun2
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem ovoliun2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovoliun.t . . 3
2 ovoliun.g . . 3
3 ovoliun.a . . 3
4 ovoliun.v . . 3
51, 2, 3, 4ovoliun 22536 . 2
6 nnuz 11218 . . . . . . . 8
7 1zzd 10992 . . . . . . . 8
8 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11
9 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
10 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15
11 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . 15
1210, 11nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . 14
13 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . 15
1413fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
159, 12, 14cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . . 13
162, 15eqtri 2493 . . . . . . . . . . . 12
1716fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . 11
188, 17mpan2 685 . . . . . . . . . 10
1918adantl 473 . . . . . . . . 9
204ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11
219nfel1 2626 . . . . . . . . . . . 12
2212nfel1 2626 . . . . . . . . . . . 12
2314eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12
2421, 22, 23cbvral 3001 . . . . . . . . . . 11
2520, 24sylib 201 . . . . . . . . . 10
2625r19.21bi 2776 . . . . . . . . 9
2719, 26eqeltrd 2549 . . . . . . . 8
286, 7, 27serfre 12280 . . . . . . 7
291feq1i 5730 . . . . . . 7
3028, 29sylibr 217 . . . . . 6
31 frn 5747 . . . . . 6
3230, 31syl 17 . . . . 5
33 1nn 10642 . . . . . . . 8
34 fdm 5745 . . . . . . . . 9
3530, 34syl 17 . . . . . . . 8
3633, 35syl5eleqr 2556 . . . . . . 7
37 ne0i 3728 . . . . . . 7
3836, 37syl 17 . . . . . 6
39 dm0rn0 5057 . . . . . . 7
4039necon3bii 2695 . . . . . 6
4138, 40sylib 201 . . . . 5
42 ovoliun2.t . . . . . . . . 9
431, 42syl5eqelr 2554 . . . . . . . 8
446, 7, 19, 26, 43isumrecl 13903 . . . . . . 7
45 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . 13
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
4746, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11
48 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
4948, 6syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . 11
50 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13
5150, 45, 26syl2an 485 . . . . . . . . . . . 12
5251recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
5347, 49, 52fsumser 13873 . . . . . . . . . 10
541fveq1i 5880 . . . . . . . . . 10
5553, 54syl6eqr 2523 . . . . . . . . 9
56 fzfid 12224 . . . . . . . . . . 11
57 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . 13
5857ssriv 3422 . . . . . . . . . . . 12
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11
603ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . 14
61 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15
62 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6311, 62nfss 3411 . . . . . . . . . . . . . . 15
6413sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . 15
6561, 63, 64cbvral 3001 . . . . . . . . . . . . . 14
6660, 65sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13
6766r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . 12
68 ovolge0 22512 . . . . . . . . . . . 12
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . 11
706, 7, 56, 59, 19, 26, 69, 43isumless 13980 . . . . . . . . . 10
7170adantr 472 . . . . . . . . 9
7255, 71eqbrtrrd 4418 . . . . . . . 8
7372ralrimiva 2809 . . . . . . 7
74 breq2 4399 . . . . . . . . 9
7574ralbidv 2829 . . . . . . . 8
7675rspcev 3136 . . . . . . 7
7744, 73, 76syl2anc 673 . . . . . 6
78 ffn 5739 . . . . . . . . 9
7930, 78syl 17 . . . . . . . 8
80 breq1 4398 . . . . . . . . 9
8180ralrn 6040 . . . . . . . 8
8279, 81syl 17 . . . . . . 7
8382rexbidv 2892 . . . . . 6
8477, 83mpbird 240 . . . . 5
85 supxrre 11638 . . . . 5
8632, 41, 84, 85syl3anc 1292 . . . 4
876, 1, 7, 19, 26, 69, 77isumsup 13982 . . . 4
8886, 87eqtr4d 2508 . . 3
899, 12, 14cbvsumi 13840 . . 3
9088, 89syl6eqr 2523 . 2
915, 90breqtrd 4420 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031  csb 3349   wss 3390  c0 3722  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  csup 7972  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cn 10631  cuz 11182  cfz 11810   cseq 12251   cli 13625  csu 13829  covol 22491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ovol 22494 This theorem is referenced by:  ovoliunnul  22538  vitalilem5  22649
 Copyright terms: Public domain W3C validator