MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolioo Structured version   Unicode version

Theorem ovolioo 21741
Description: The measure of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolioo  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A ) )

Proof of Theorem ovolioo
StepHypRef Expression
1 ioombl 21738 . . 3  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
2 mblvol 21704 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( vol* `  ( A (,) B
) ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( vol `  ( A (,) B
) )  =  ( vol* `  ( A (,) B ) )
4 iccmbl 21739 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  dom  vol )
5 mblvol 21704 . . . . 5  |-  ( ( A [,] B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol* `  ( A [,] B
) ) )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol* `  ( A [,] B
) ) )
763adant3 1016 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol* `  ( A [,] B ) ) )
81a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A (,) B )  e. 
dom  vol )
9 prssi 4183 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  { A ,  B }  C_  RR )
1093adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  { A ,  B }  C_  RR )
11 prfi 7795 . . . . . . 7  |-  { A ,  B }  e.  Fin
12 ovolfi 21668 . . . . . . 7  |-  ( ( { A ,  B }  e.  Fin  /\  { A ,  B }  C_  RR )  ->  ( vol* `  { A ,  B } )  =  0 )
1311, 10, 12sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  { A ,  B } )  =  0 )
14 nulmbl 21709 . . . . . 6  |-  ( ( { A ,  B }  C_  RR  /\  ( vol* `  { A ,  B } )  =  0 )  ->  { A ,  B }  e.  dom  vol )
1510, 13, 14syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  { A ,  B }  e.  dom  vol )
16 df-pr 4030 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
1716ineq2i 3697 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  i^i  { A ,  B } )  =  ( ( A (,) B
)  i^i  ( { A }  u.  { B } ) )
18 indi 3744 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  i^i  ( { A }  u.  { B } ) )  =  ( ( ( A (,) B )  i^i 
{ A } )  u.  ( ( A (,) B )  i^i 
{ B } ) )
1917, 18eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B )  i^i  { A ,  B } )  =  ( ( ( A (,) B )  i^i  { A } )  u.  (
( A (,) B
)  i^i  { B } ) )
20 simp1 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
2120ltnrd 9718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  A  <  A )
22 eliooord 11584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  A  /\  A  <  B ) )
2322simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( A (,) B )  ->  A  <  A )
2421, 23nsyl 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  A  e.  ( A (,) B ) )
25 disjsn 4088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A (,) B
)  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  ( A (,) B ) )
2624, 25sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  { A } )  =  (/) )
27 simp2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
2827ltnrd 9718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  B  <  B )
29 eliooord 11584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  B  /\  B  <  B ) )
3029simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( A (,) B )  ->  B  <  B )
3128, 30nsyl 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  B  e.  ( A (,) B ) )
32 disjsn 4088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A (,) B
)  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  ( A (,) B ) )
3331, 32sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  { B } )  =  (/) )
3426, 33uneq12d 3659 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( ( A (,) B )  i^i  { A } )  u.  (
( A (,) B
)  i^i  { B } ) )  =  ( (/)  u.  (/) ) )
35 un0 3810 . . . . . . 7  |-  ( (/)  u.  (/) )  =  (/)
3634, 35syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( ( A (,) B )  i^i  { A } )  u.  (
( A (,) B
)  i^i  { B } ) )  =  (/) )
3719, 36syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  { A ,  B } )  =  (/) )
38 ioossicc 11610 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
3938a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )
40 iccssre 11606 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
41403adant3 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
42 ovolicc 21697 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A ) )
4327, 20resubcld 9987 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
4442, 43eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  e.  RR )
45 ovolsscl 21660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B )  /\  ( A [,] B )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( A [,] B
) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )
4639, 41, 44, 45syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
473, 46syl5eqel 2559 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
48 mblvol 21704 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  B }  e.  dom  vol  ->  ( vol `  { A ,  B } )  =  ( vol* `  { A ,  B }
) )
4915, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  { A ,  B } )  =  ( vol* `  { A ,  B }
) )
5049, 13eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  { A ,  B } )  =  0 )
51 0re 9596 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
5250, 51syl6eqel 2563 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  { A ,  B } )  e.  RR )
53 volun 21718 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A (,) B )  e.  dom  vol 
/\  { A ,  B }  e.  dom  vol 
/\  ( ( A (,) B )  i^i 
{ A ,  B } )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  ( A (,) B
) )  e.  RR  /\  ( vol `  { A ,  B }
)  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
) )  =  ( ( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) ) )
548, 15, 37, 47, 52, 53syl32anc 1236 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } ) )  =  ( ( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) ) )
55 rexr 9639 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
56 rexr 9639 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
57 id 22 . . . . . 6  |-  ( A  <_  B  ->  A  <_  B )
58 prunioo 11649 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
5955, 56, 57, 58syl3an 1270 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
6059fveq2d 5870 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } ) )  =  ( vol `  ( A [,] B ) ) )
6150oveq2d 6300 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) )  =  ( ( vol `  ( A (,) B ) )  +  0 ) )
6247recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  CC )
6362addid1d 9779 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( vol `  ( A (,) B ) )  +  0 )  =  ( vol `  ( A (,) B ) ) )
6461, 63eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) )  =  ( vol `  ( A (,) B ) ) )
6554, 60, 643eqtr3d 2516 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol `  ( A (,) B ) ) )
667, 65, 423eqtr3d 2516 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A
) )
673, 66syl5eqr 2522 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   RRcr 9491   0cc0 9492    + caddc 9495   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   (,)cioo 11529   [,]cicc 11532   vol*covol 21637   volcvol 21638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cmp 19681  df-ovol 21639  df-vol 21640
This theorem is referenced by:  ioovolcl  21742  ovolfs2  21743  ioorcl2  21744  uniioovol  21751  uniioombllem2  21755  uniioombllem3a  21756  uniioombllem4  21758  uniioombllem6  21760  ftc1lem4  22203  itg2gt0cn  29675  ftc1cnnclem  29693  ftc1anclem7  29701  volioo  31294
  Copyright terms: Public domain W3C validator