MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolioo Structured version   Unicode version

Theorem ovolioo 22398
Description: The measure of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolioo  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A ) )

Proof of Theorem ovolioo
StepHypRef Expression
1 ioombl 22395 . . 3  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
2 mblvol 22361 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( vol* `  ( A (,) B
) ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( vol `  ( A (,) B
) )  =  ( vol* `  ( A (,) B ) )
4 iccmbl 22396 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  dom  vol )
5 mblvol 22361 . . . . 5  |-  ( ( A [,] B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol* `  ( A [,] B
) ) )
64, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol* `  ( A [,] B
) ) )
763adant3 1025 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol* `  ( A [,] B ) ) )
81a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A (,) B )  e. 
dom  vol )
9 prssi 4159 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  { A ,  B }  C_  RR )
1093adant3 1025 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  { A ,  B }  C_  RR )
11 prfi 7852 . . . . . . 7  |-  { A ,  B }  e.  Fin
12 ovolfi 22325 . . . . . . 7  |-  ( ( { A ,  B }  e.  Fin  /\  { A ,  B }  C_  RR )  ->  ( vol* `  { A ,  B } )  =  0 )
1311, 10, 12sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  { A ,  B } )  =  0 )
14 nulmbl 22366 . . . . . 6  |-  ( ( { A ,  B }  C_  RR  /\  ( vol* `  { A ,  B } )  =  0 )  ->  { A ,  B }  e.  dom  vol )
1510, 13, 14syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  { A ,  B }  e.  dom  vol )
16 df-pr 4005 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
1716ineq2i 3667 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  i^i  { A ,  B } )  =  ( ( A (,) B
)  i^i  ( { A }  u.  { B } ) )
18 indi 3725 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  i^i  ( { A }  u.  { B } ) )  =  ( ( ( A (,) B )  i^i 
{ A } )  u.  ( ( A (,) B )  i^i 
{ B } ) )
1917, 18eqtri 2458 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B )  i^i  { A ,  B } )  =  ( ( ( A (,) B )  i^i  { A } )  u.  (
( A (,) B
)  i^i  { B } ) )
20 simp1 1005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
2120ltnrd 9768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  A  <  A )
22 eliooord 11694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  A  /\  A  <  B ) )
2322simpld 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( A (,) B )  ->  A  <  A )
2421, 23nsyl 124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  A  e.  ( A (,) B ) )
25 disjsn 4063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A (,) B
)  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  ( A (,) B ) )
2624, 25sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  { A } )  =  (/) )
27 simp2 1006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
2827ltnrd 9768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  B  <  B )
29 eliooord 11694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  B  /\  B  <  B ) )
3029simprd 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( A (,) B )  ->  B  <  B )
3128, 30nsyl 124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  B  e.  ( A (,) B ) )
32 disjsn 4063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A (,) B
)  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  ( A (,) B ) )
3331, 32sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  { B } )  =  (/) )
3426, 33uneq12d 3627 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( ( A (,) B )  i^i  { A } )  u.  (
( A (,) B
)  i^i  { B } ) )  =  ( (/)  u.  (/) ) )
35 un0 3793 . . . . . . 7  |-  ( (/)  u.  (/) )  =  (/)
3634, 35syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( ( A (,) B )  i^i  { A } )  u.  (
( A (,) B
)  i^i  { B } ) )  =  (/) )
3719, 36syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  { A ,  B } )  =  (/) )
38 ioossicc 11720 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
3938a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )
40 iccssre 11716 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
41403adant3 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
42 ovolicc 22354 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A ) )
4327, 20resubcld 10046 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
4442, 43eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  e.  RR )
45 ovolsscl 22317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B )  /\  ( A [,] B )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( A [,] B
) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )
4639, 41, 44, 45syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
473, 46syl5eqel 2521 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
48 mblvol 22361 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  B }  e.  dom  vol  ->  ( vol `  { A ,  B } )  =  ( vol* `  { A ,  B }
) )
4915, 48syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  { A ,  B } )  =  ( vol* `  { A ,  B }
) )
5049, 13eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  { A ,  B } )  =  0 )
51 0re 9642 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
5250, 51syl6eqel 2525 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  { A ,  B } )  e.  RR )
53 volun 22375 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A (,) B )  e.  dom  vol 
/\  { A ,  B }  e.  dom  vol 
/\  ( ( A (,) B )  i^i 
{ A ,  B } )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  ( A (,) B
) )  e.  RR  /\  ( vol `  { A ,  B }
)  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
) )  =  ( ( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) ) )
548, 15, 37, 47, 52, 53syl32anc 1272 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } ) )  =  ( ( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) ) )
55 rexr 9685 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
56 rexr 9685 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
57 id 23 . . . . . 6  |-  ( A  <_  B  ->  A  <_  B )
58 prunioo 11759 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
5955, 56, 57, 58syl3an 1306 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
6059fveq2d 5885 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } ) )  =  ( vol `  ( A [,] B ) ) )
6150oveq2d 6321 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) )  =  ( ( vol `  ( A (,) B ) )  +  0 ) )
6247recnd 9668 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  CC )
6362addid1d 9832 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( vol `  ( A (,) B ) )  +  0 )  =  ( vol `  ( A (,) B ) ) )
6461, 63eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) )  =  ( vol `  ( A (,) B ) ) )
6554, 60, 643eqtr3d 2478 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol `  ( A (,) B ) ) )
667, 65, 423eqtr3d 2478 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A
) )
673, 66syl5eqr 2484 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    u. cun 3440    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {csn 4002   {cpr 4004   class class class wbr 4426   dom cdm 4854   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   RRcr 9537   0cc0 9538    + caddc 9541   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   vol*covol 22294   volcvol 22295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-rest 15280  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cmp 20333  df-ovol 22296  df-vol 22297
This theorem is referenced by:  ioovolcl  22399  ovolfs2  22400  ioorcl2  22401  uniioovol  22413  uniioombllem2  22417  uniioombllem2OLD  22418  uniioombllem3a  22419  uniioombllem4  22421  uniioombllem6  22423  ftc1lem4  22868  itg2gt0cn  31701  ftc1cnnclem  31719  ftc1anclem7  31727  volioo  37394
  Copyright terms: Public domain W3C validator