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Theorem ovolicc2lem3 21137
Description: Lemma for ovolicc2 21140. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ovolicc.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ovolicc.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ovolicc2.4  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ovolicc2.5  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ovolicc2.6  |-  ( ph  ->  U  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  F )  i^i  Fin ) )
ovolicc2.7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. U )
ovolicc2.8  |-  ( ph  ->  G : U --> NN )
ovolicc2.9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  U )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
ovolicc2.10  |-  T  =  { u  e.  U  |  ( u  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) }
ovolicc2.11  |-  ( ph  ->  H : T --> T )
ovolicc2.12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( H `  t
) )
ovolicc2.13  |-  ( ph  ->  A  e.  C )
ovolicc2.14  |-  ( ph  ->  C  e.  T )
ovolicc2.15  |-  K  =  seq 1 ( ( H  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { C } ) )
ovolicc2.16  |-  W  =  { n  e.  NN  |  B  e.  ( K `  n ) }
Assertion
Ref Expression
ovolicc2lem3  |-  ( (
ph  /\  ( N  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  /\  P  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m } ) )  -> 
( N  =  P  <-> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  N
) ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  P
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n, t, u, A    B, m, n, t, u    t, H    C, m, n, t    n, F, t    n, K, t, u    n, G, t   
m, W, n    ph, m, n, t    T, n, t   
n, N, t, u    U, n, t, u
Allowed substitution hints:    ph( u)    C( u)    P( u, t, m, n)    S( u, t, m, n)    T( u, m)    U( m)    F( u, m)    G( u, m)    H( u, m, n)    K( m)    N( m)    W( u, t)

Proof of Theorem ovolicc2lem3
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5802 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  ( K `  y )  =  ( K `  k ) )
21fveq2d 5806 . . . 4  |-  ( y  =  k  ->  ( G `  ( K `  y ) )  =  ( G `  ( K `  k )
) )
32fveq2d 5806 . . 3  |-  ( y  =  k  ->  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) )  =  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )
43fveq2d 5806 . 2  |-  ( y  =  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 y ) ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  k ) ) ) ) )
5 fveq2 5802 . . . . 5  |-  ( y  =  N  ->  ( K `  y )  =  ( K `  N ) )
65fveq2d 5806 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  ( G `  ( K `  y ) )  =  ( G `  ( K `  N )
) )
76fveq2d 5806 . . 3  |-  ( y  =  N  ->  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) )  =  ( F `  ( G `  ( K `  N ) ) ) )
87fveq2d 5806 . 2  |-  ( y  =  N  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 y ) ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  N ) ) ) ) )
9 fveq2 5802 . . . . 5  |-  ( y  =  P  ->  ( K `  y )  =  ( K `  P ) )
109fveq2d 5806 . . . 4  |-  ( y  =  P  ->  ( G `  ( K `  y ) )  =  ( G `  ( K `  P )
) )
1110fveq2d 5806 . . 3  |-  ( y  =  P  ->  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) )  =  ( F `  ( G `  ( K `  P ) ) ) )
1211fveq2d 5806 . 2  |-  ( y  =  P  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 y ) ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  P ) ) ) ) )
13 ssrab2 3548 . . 3  |-  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  C_  NN
14 nnssre 10440 . . 3  |-  NN  C_  RR
1513, 14sstri 3476 . 2  |-  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  C_  RR
1613sseli 3463 . . 3  |-  ( y  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  ->  y  e.  NN )
17 ovolicc2.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
18 inss2 3682 . . . . . . 7  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
19 fss 5678 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR ) )  ->  F : NN --> ( RR  X.  RR ) )
2017, 18, 19sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR 
X.  RR ) )
2120adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( RR  X.  RR ) )
22 ovolicc2.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : U --> NN )
2322adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  G : U
--> NN )
24 nnuz 11010 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
25 ovolicc2.15 . . . . . . . . . 10  |-  K  =  seq 1 ( ( H  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { C } ) )
26 1zzd 10791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
27 ovolicc2.14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  T )
28 ovolicc2.11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H : T --> T )
2924, 25, 26, 27, 28algrf 13869 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K : NN --> T )
3029adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  K : NN
--> T )
31 ovolicc2.10 . . . . . . . . 9  |-  T  =  { u  e.  U  |  ( u  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) }
32 ssrab2 3548 . . . . . . . . 9  |-  { u  e.  U  |  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) }  C_  U
3331, 32eqsstri 3497 . . . . . . . 8  |-  T  C_  U
34 fss 5678 . . . . . . . 8  |-  ( ( K : NN --> T  /\  T  C_  U )  ->  K : NN --> U )
3530, 33, 34sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  K : NN
--> U )
36 ffvelrn 5953 . . . . . . 7  |-  ( ( K : NN --> U  /\  y  e.  NN )  ->  ( K `  y
)  e.  U )
3735, 36sylancom 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( K `
 y )  e.  U )
3823, 37ffvelrnd 5956 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( G `
 ( K `  y ) )  e.  NN )
3921, 38ffvelrnd 5956 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( F `
 ( G `  ( K `  y ) ) )  e.  ( RR  X.  RR ) )
40 xp2nd 6720 . . . 4  |-  ( ( F `  ( G `
 ( K `  y ) ) )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  e.  RR )
4139, 40syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  e.  RR )
4216, 41sylan2 474 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m } )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  e.  RR )
4313sseli 3463 . . . 4  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  ->  k  e.  NN )
4443ad2antll 728 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  /\  k  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m } ) )  -> 
k  e.  NN )
4516anim2i 569 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m } )  ->  ( ph  /\  y  e.  NN )
)
4645adantrr 716 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  /\  k  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m } ) )  -> 
( ph  /\  y  e.  NN ) )
47 breq1 4406 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
n  <_  m  <->  k  <_  m ) )
4847ralbidv 2846 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( A. m  e.  W  n  <_  m  <->  A. m  e.  W  k  <_  m ) )
4948elrab 3224 . . . . 5  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  <->  ( k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  k  <_  m ) )
5049simprbi 464 . . . 4  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  ->  A. m  e.  W  k  <_  m )
5150ad2antll 728 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  /\  k  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m } ) )  ->  A. m  e.  W  k  <_  m )
52 breq1 4406 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
x  <_  m  <->  1  <_  m ) )
5352ralbidv 2846 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( A. m  e.  W  x  <_  m  <->  A. m  e.  W  1  <_  m ) )
54 breq2 4407 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
y  <  x  <->  y  <  1 ) )
55 fveq2 5802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  ( K `  x )  =  ( K ` 
1 ) )
5655fveq2d 5806 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  ( G `  ( K `  x ) )  =  ( G `  ( K `  1 )
) )
5756fveq2d 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) )  =  ( F `  ( G `  ( K `  1 ) ) ) )
5857fveq2d 5806 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 x ) ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  1 ) ) ) ) )
5958breq2d 4415 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) )  <-> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  1
) ) ) ) ) )
6054, 59imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( y  <  x  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) ) )  <->  ( y  <  1  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  1 ) ) ) ) ) ) )
6153, 60imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( A. m  e.  W  x  <_  m  ->  ( y  <  x  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) ) ) )  <->  ( A. m  e.  W  1  <_  m  ->  ( y  <  1  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  1 ) ) ) ) ) ) ) )
6261imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  x  <_  m  ->  ( y  <  x  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  1  <_  m  ->  ( y  <  1  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  1 ) ) ) ) ) ) ) ) )
63 breq1 4406 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (
x  <_  m  <->  k  <_  m ) )
6463ralbidv 2846 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( A. m  e.  W  x  <_  m  <->  A. m  e.  W  k  <_  m ) )
65 breq2 4407 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (
y  <  x  <->  y  <  k ) )
66 fveq2 5802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  ( K `  x )  =  ( K `  k ) )
6766fveq2d 5806 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  ( G `  ( K `  x ) )  =  ( G `  ( K `  k )
) )
6867fveq2d 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) )  =  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )
6968fveq2d 5806 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 x ) ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  k ) ) ) ) )
7069breq2d 4415 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) )  <-> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) )
7165, 70imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( y  <  x  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) ) )  <->  ( y  < 
k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) ) ) ) )
7264, 71imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
( A. m  e.  W  x  <_  m  ->  ( y  <  x  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) ) ) )  <->  ( A. m  e.  W  k  <_  m  ->  ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) ) ) ) ) )
7372imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  x  <_  m  ->  ( y  <  x  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  k  <_  m  ->  ( y  < 
k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) ) ) ) ) ) )
74 breq1 4406 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  <_  m  <->  ( k  +  1 )  <_  m ) )
7574ralbidv 2846 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. m  e.  W  x  <_  m  <->  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )
76 breq2 4407 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
y  <  x  <->  y  <  ( k  +  1 ) ) )
77 fveq2 5802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( K `  x )  =  ( K `  ( k  +  1 ) ) )
7877fveq2d 5806 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( G `  ( K `  x ) )  =  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) )
7978fveq2d 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) )  =  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
8079fveq2d 5806 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 x ) ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
8180breq2d 4415 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) )  <-> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
8276, 81imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( y  <  x  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) ) )  <->  ( y  < 
( k  +  1 )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
8375, 82imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A. m  e.  W  x  <_  m  ->  ( y  <  x  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) ) ) )  <->  ( A. m  e.  W  (
k  +  1 )  <_  m  ->  (
y  <  ( k  +  1 )  -> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) ) )
8483imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  x  <_  m  ->  ( y  <  x  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  ( y  < 
( k  +  1 )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
85 nnnlt1 10466 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  -.  y  <  1 )
8685adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  -.  y  <  1 )
8786pm2.21d 106 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  <  1  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 1 ) ) ) ) ) )
8887a1d 25 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  1  <_  m  ->  ( y  <  1  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  1 ) ) ) ) ) ) )
89 nnre 10443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
9089adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  W )  ->  k  e.  RR )
9190lep1d 10378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  W )  ->  k  <_  ( k  +  1 ) )
92 peano2re 9656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
9390, 92syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  W )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
94 ovolicc2.16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  W  =  { n  e.  NN  |  B  e.  ( K `  n ) }
95 ssrab2 3548 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { n  e.  NN  |  B  e.  ( K `  n
) }  C_  NN
9694, 95eqsstri 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  W  C_  NN
9796, 14sstri 3476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  W  C_  RR
9897sseli 3463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  W  ->  m  e.  RR )
9998adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  W )  ->  m  e.  RR )
100 letr 9582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  ( ( k  <_ 
( k  +  1 )  /\  ( k  +  1 )  <_  m )  ->  k  <_  m ) )
10190, 93, 99, 100syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  W )  ->  ( ( k  <_ 
( k  +  1 )  /\  ( k  +  1 )  <_  m )  ->  k  <_  m ) )
10291, 101mpand 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  W )  ->  ( ( k  +  1 )  <_  m  ->  k  <_  m )
)
103102ralimdva 2832 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  A. m  e.  W  k  <_  m ) )
104103imim1d 75 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( A. m  e.  W  k  <_  m  ->  ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) )  ->  ( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  ( y  <  k  -> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) ) ) )
105104adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( A. m  e.  W  k  <_  m  ->  ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) )  ->  ( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  ( y  <  k  -> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) ) ) )
106 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  y  e.  NN )
107 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  k  e.  NN )
108 nnleltp1 10813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( y  <_  k  <->  y  <  ( k  +  1 ) ) )
109106, 107, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( y  <_ 
k  <->  y  <  (
k  +  1 ) ) )
110106nnred 10451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  y  e.  RR )
111107nnred 10451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  k  e.  RR )
112110, 111leloed 9631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( y  <_ 
k  <->  ( y  < 
k  \/  y  =  k ) ) )
113109, 112bitr3d 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( y  < 
( k  +  1 )  <->  ( y  < 
k  \/  y  =  k ) ) )
114 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ph )
115 ltp1 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  RR  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
116 ltnle 9568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( k  < 
( k  +  1 )  <->  -.  ( k  +  1 )  <_ 
k ) )
11792, 116mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  <  ( k  +  1 )  <->  -.  (
k  +  1 )  <_  k ) )
118115, 117mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  RR  ->  -.  ( k  +  1 )  <_  k )
119111, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_ 
k )
120 breq2 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  k  ->  (
( k  +  1 )  <_  m  <->  ( k  +  1 )  <_ 
k ) )
121120rspccv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. m  e.  W  (
k  +  1 )  <_  m  ->  (
k  e.  W  -> 
( k  +  1 )  <_  k )
)
122121ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( k  e.  W  ->  ( k  +  1 )  <_ 
k ) )
123119, 122mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  -.  k  e.  W )
124 ovolicc.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
125 ovolicc.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
126 ovolicc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
127 ovolicc2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
128 ovolicc2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  U  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  F )  i^i  Fin ) )
129 ovolicc2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. U )
130 ovolicc2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  U )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
131 ovolicc2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( H `  t
) )
132 ovolicc2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  A  e.  C )
133124, 125, 126, 127, 17, 128, 129, 22, 130, 31, 28, 131, 132, 27, 25, 94ovolicc2lem2 21136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  k  e.  W ) )  -> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  <_  B )
134114, 107, 123, 133syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  <_  B )
135 iftrue 3908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  k ) ) ) )  <_  B  ->  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  k ) ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) ) ,  B )  =  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) )
136134, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  k ) ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) ) ,  B )  =  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) )
13729ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  K : NN --> T )
138137, 107ffvelrnd 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( K `  k )  e.  T
)
139131ralrimiva 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( H `  t
) )
140139ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( H `  t
) )
141 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( t  =  ( K `  k )  ->  ( G `  t )  =  ( G `  ( K `  k ) ) )
142141fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( t  =  ( K `  k )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  =  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )
143142fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( t  =  ( K `  k )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  k ) ) ) ) )
144143breq1d 4413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( t  =  ( K `  k )  ->  (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B  <->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )  <_  B )
)
145144, 143ifbieq1d 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  =  ( K `  k )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  =  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )  <_  B , 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ,  B ) )
146 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  =  ( K `  k )  ->  ( H `  t )  =  ( H `  ( K `  k ) ) )
147145, 146eleq12d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  ( K `  k )  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( H `  t
)  <->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )  <_  B , 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ,  B )  e.  ( H `  ( K `  k )
) ) )
148147rspcv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K `  k )  e.  T  ->  ( A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( H `  t
)  ->  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  k ) ) ) ) ,  B )  e.  ( H `  ( K `
 k ) ) ) )
149138, 140, 148sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  k ) ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) ) ,  B )  e.  ( H `  ( K `  k ) ) )
150136, 149eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  e.  ( H `  ( K `  k ) ) )
15124, 25, 26, 27, 28algrp1 13870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( K `
 ( k  +  1 ) )  =  ( H `  ( K `  k )
) )
152151ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( K `  ( k  +  1 ) )  =  ( H `  ( K `
 k ) ) )
153150, 152eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  e.  ( K `  ( k  +  1 ) ) )
154137, 33, 34sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  K : NN --> U )
155107peano2nnd 10453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
156154, 155ffvelrnd 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( K `  ( k  +  1 ) )  e.  U
)
157124, 125, 126, 127, 17, 128, 129, 22, 130ovolicc2lem1 21135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( K `  ( k  +  1 ) )  e.  U
)  ->  ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 k ) ) ) )  e.  ( K `  ( k  +  1 ) )  <-> 
( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  ( G `  ( K `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 k ) ) ) )  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 k ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
158114, 156, 157syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )  e.  ( K `
 ( k  +  1 ) )  <->  ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 k ) ) ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
159153, 158mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `
 ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  < 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
160159simp3d 1002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
16141adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  e.  RR )
16220ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  F : NN --> ( RR  X.  RR ) )
16322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  G : U --> NN )
164154, 107ffvelrnd 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( K `  k )  e.  U
)
165163, 164ffvelrnd 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( G `  ( K `  k ) )  e.  NN )
166162, 165ffvelrnd 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( F `  ( G `  ( K `
 k ) ) )  e.  ( RR 
X.  RR ) )
167 xp2nd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( G `
 ( K `  k ) ) )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )  e.  RR )
168166, 167syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  e.  RR )
169163, 156ffvelrnd 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) )  e.  NN )
170162, 169ffvelrnd 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( F `  ( G `  ( K `
 ( k  +  1 ) ) ) )  e.  ( RR 
X.  RR ) )
171 xp2nd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( G `
 ( K `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
172170, 171syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
173 lttr 9565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 k ) ) ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
174161, 168, 172, 173syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  y ) ) ) )  < 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
175160, 174mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
176175imim2d 52 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 k ) ) ) ) )  -> 
( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
177176com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( y  < 
k  ->  ( (
y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  y ) ) ) )  < 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
1784breq1d 4413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  k  ->  (
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) )  <-> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
179160, 178syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( y  =  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
180179a1dd 46 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( y  =  k  ->  ( (
y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  y ) ) ) )  < 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
181177, 180jaod 380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( ( y  <  k  \/  y  =  k )  -> 
( ( y  < 
k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
182113, 181sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( y  < 
( k  +  1 )  ->  ( (
y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  y ) ) ) )  < 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
183182com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 k ) ) ) ) )  -> 
( y  <  (
k  +  1 )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
184183expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  ( ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) )  ->  ( y  <  ( k  +  1 )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) ) )
185184a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) )  ->  ( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  ( y  <  ( k  +  1 )  -> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) ) )
186105, 185syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( A. m  e.  W  k  <_  m  ->  ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) )  ->  ( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  ( y  <  ( k  +  1 )  -> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) ) )
187186expcom 435 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  /\  y  e.  NN )  ->  (
( A. m  e.  W  k  <_  m  ->  ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) )  ->  ( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  ( y  <  ( k  +  1 )  -> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
188187a2d 26 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  k  <_  m  ->  ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  ( y  <  (
k  +  1 )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
18962, 73, 84, 73, 88, 188nnind 10454 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  k  <_  m  ->  (
y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  y ) ) ) )  < 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) ) ) )
19044, 46, 51, 189syl3c 61 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  /\  k  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m } ) )  -> 
( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) )
1914, 8, 12, 15, 42, 190eqord1 9982 1  |-  ( (
ph  /\  ( N  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  /\  P  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m } ) )  -> 
( N  =  P  <-> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  N
) ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  P
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   {crab 2803    i^i cin 3438    C_ wss 3439   (/)c0 3748   ifcif 3902   ~Pcpw 3971   {csn 3988   U.cuni 4202   class class class wbr 4403    X. cxp 4949   ran crn 4952    o. ccom 4955   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1stc1st 6688   2ndc2nd 6689   Fincfn 7423   RRcr 9395   1c1 9397    + caddc 9399    < clt 9532    <_ cle 9533    - cmin 9709   NNcn 10436   (,)cioo 11414   [,]cicc 11417    seqcseq 11926   abscabs 12844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-ioo 11418  df-icc 11421  df-fz 11558  df-seq 11927
This theorem is referenced by:  ovolicc2lem4  21138
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