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Theorem ovolicc2 19371
Description: The measure of a closed interval is upper bounded by its length. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ovolicc.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ovolicc.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ovolicc2.m  |-  M  =  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) }
Assertion
Ref Expression
ovolicc2  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  ( vol * `
 ( A [,] B ) ) )
Distinct variable groups:    y, f, A    B, f, y    y, M    ph, f, y
Allowed substitution hint:    M( f)

Proof of Theorem ovolicc2
Dummy variables  g 
k  t  u  v  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolicc2.m . . . . . 6  |-  M  =  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) }
21elovolm 19324 . . . . 5  |-  ( z  e.  M  <->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
3 ioof 10958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
4 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
6 dffn3 5557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* ) 
<->  (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ran  (,) )
75, 6mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ran  (,)
8 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
9 reex 9037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  RR  e.  _V
109, 9xpex 4949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
1110inex2 4305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  e.  _V
12 nnex 9962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN  e.  _V
1311, 12elmap 7001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
148, 13sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
15 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
16 ressxr 9085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR  C_  RR*
17 xpss12 4940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
1816, 16, 17mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
1915, 18sstri 3317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
20 fss 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  -> 
f : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
2114, 19, 20sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  f : NN --> ( RR*  X.  RR* ) )
22 fco 5559 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ran  (,)  /\  f : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  f
) : NN --> ran  (,) )
237, 21, 22sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( (,)  o.  f ) : NN --> ran  (,) )
2423adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ( (,)  o.  f ) : NN --> ran  (,) )
25 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (,)  o.  f ) : NN --> ran  (,)  ->  ran  ( (,)  o.  f )  C_  ran  (,) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ran  ( (,)  o.  f ) 
C_  ran  (,) )
27 retopbas 18747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
28 bastg 16986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
3026, 29syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ran  ( (,)  o.  f ) 
C_  ( topGen `  ran  (,) ) )
31 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  _V
3231elpw2 4324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( (,)  o.  f
)  e.  ~P ( topGen `
 ran  (,) )  <->  ran  ( (,)  o.  f
)  C_  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
3330, 32sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ran  ( (,)  o.  f )  e.  ~P ( topGen ` 
ran  (,) ) )
34 ovolicc.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
35 ovolicc.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
36 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
37 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )
3836, 37icccmp 18809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  e.  Comp )
3934, 35, 38syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  e.  Comp )
40 retop 18748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
41 iccssre 10948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
4234, 35, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
43 uniretop 18749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
4443cmpsub 17417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  e.  Comp  <->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  ran  (,) )
( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v
) ) )
4540, 42, 44sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  e. 
Comp 
<-> 
A. u  e.  ~P  ( topGen `  ran  (,) )
( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v
) ) )
4639, 45mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  ran  (,) )
( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v
) )
4746adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  ran  (,) ) ( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v ) )
48 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f ) )
49 unieq 3984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  ->  U. u  =  U. ran  ( (,)  o.  f
) )
5049sseq2d 3336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  -> 
( ( A [,] B )  C_  U. u  <->  ( A [,] B ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  f ) ) )
51 pweq 3762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  ->  ~P u  =  ~P ran  ( (,)  o.  f
) )
5251ineq1d 3501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  -> 
( ~P u  i^i 
Fin )  =  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin ) )
5352rexeqdv 2871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  -> 
( E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v ) )
5450, 53imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  -> 
( ( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v )  <->  ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  ->  E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v ) ) )
5554rspcv 3008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( (,)  o.  f
)  e.  ~P ( topGen `
 ran  (,) )  ->  ( A. u  e. 
~P  ( topGen `  ran  (,) ) ( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v )  ->  (
( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  ->  E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v
) ) )
5633, 47, 48, 55syl3c 59 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v )
57 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i 
Fin ) )
58 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  <->  ( v  e.  ~P ran  ( (,) 
o.  f )  /\  v  e.  Fin )
)
5957, 58sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
v  e.  ~P ran  ( (,)  o.  f )  /\  v  e.  Fin ) )
6059simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  v  e.  Fin )
6159simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  v  e.  ~P ran  ( (,) 
o.  f ) )
6261elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  v  C_ 
ran  ( (,)  o.  f ) )
6362sseld 3307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
t  e.  v  -> 
t  e.  ran  ( (,)  o.  f ) ) )
64 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (,)  o.  f ) : NN --> ran  (,)  ->  ( (,)  o.  f
)  Fn  NN )
6523, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( (,)  o.  f )  Fn  NN )
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  ( (,)  o.  f )  Fn  NN )
67 fvelrnb 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (,)  o.  f )  Fn  NN  ->  (
t  e.  ran  ( (,)  o.  f )  <->  E. k  e.  NN  ( ( (,) 
o.  f ) `  k )  =  t ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
t  e.  ran  ( (,)  o.  f )  <->  E. k  e.  NN  ( ( (,) 
o.  f ) `  k )  =  t ) )
6963, 68sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
t  e.  v  ->  E. k  e.  NN  ( ( (,)  o.  f ) `  k
)  =  t ) )
7069ralrimiv 2748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  A. t  e.  v  E. k  e.  NN  ( ( (,) 
o.  f ) `  k )  =  t )
71 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( g `  t )  ->  (
( (,)  o.  f
) `  k )  =  ( ( (,) 
o.  f ) `  ( g `  t
) ) )
7271eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( g `  t )  ->  (
( ( (,)  o.  f ) `  k
)  =  t  <->  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  t
) )  =  t ) )
7372ac6sfi 7310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  A. t  e.  v  E. k  e.  NN  (
( (,)  o.  f
) `  k )  =  t )  ->  E. g ( g : v --> NN  /\  A. t  e.  v  (
( (,)  o.  f
) `  ( g `  t ) )  =  t ) )
7460, 70, 73syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  E. g
( g : v --> NN  /\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  t
) )  =  t ) )
7534ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  A  e.  RR )
7635ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  B  e.  RR )
77 ovolicc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
7877ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  A  <_  B )
79 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)
8014adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
81 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i 
Fin ) )
82 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  U. v )
83 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  g : v --> NN )
84 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  t
) )  =  t )
85 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  x  ->  (
g `  t )  =  ( g `  x ) )
8685fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  x  ->  (
( (,)  o.  f
) `  ( g `  t ) )  =  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  x )
) )
87 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  x  ->  t  =  x )
8886, 87eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t  <->  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  x
) )  =  x ) )
8988rspccva 3011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t  /\  x  e.  v )  ->  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  x )
)  =  x )
9084, 89sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  /\  x  e.  v )  ->  (
( (,)  o.  f
) `  ( g `  x ) )  =  x )
91 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { u  e.  v  |  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) }  =  { u  e.  v  |  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) }
9275, 76, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 90, 91ovolicc2lem5 19370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) )
9392expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
( g : v --> NN  /\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  t
) )  =  t )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
9493exlimdv 1643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  ( E. g ( g : v --> NN  /\  A. t  e.  v  (
( (,)  o.  f
) `  ( g `  t ) )  =  t )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
9574, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) )
9695rexlimdvaa 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
9796adantrr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ( E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
9856, 97mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) )
99 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( ( B  -  A )  <_  z  <->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
10098, 99syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  (
z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( B  -  A
)  <_  z )
)
101100expr 599 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  (
( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  -> 
( z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( B  -  A
)  <_  z )
) )
102101imp3a 421 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  (
( ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) )  ->  ( B  -  A )  <_  z
) )
103102rexlimdva 2790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) )  -> 
( B  -  A
)  <_  z )
)
1042, 103syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  M  ->  ( B  -  A
)  <_  z )
)
105104ralrimiv 2748 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  M  ( B  -  A
)  <_  z )
106 ssrab2 3388 . . . . 5  |-  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } 
C_  RR*
1071, 106eqsstri 3338 . . . 4  |-  M  C_  RR*
10835, 34resubcld 9421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
109108rexrd 9090 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR* )
110 infmxrgelb 10869 . . . 4  |-  ( ( M  C_  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR* )  ->  (
( B  -  A
)  <_  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. z  e.  M  ( B  -  A
)  <_  z )
)
111107, 109, 110sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  <_  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. z  e.  M  ( B  -  A
)  <_  z )
)
112105, 111mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  ) )
1131ovolval 19323 . . 3  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  RR  ->  ( vol
* `  ( A [,] B ) )  =  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  )
)
11442, 113syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A [,] B ) )  =  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  ) )
115112, 114breqtrrd 4198 1  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  ( vol * `
 ( A [,] B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   supcsup 7403   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875    seq cseq 11278   abscabs 11994   ↾t crest 13603   topGenctg 13620   Topctop 16913   TopBasesctb 16917   Compccmp 17403   vol *covol 19312
This theorem is referenced by:  ovolicc  19372
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-ovol 19314
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