Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolicc1 Structured version   Unicode version

Theorem ovolicc1 21659
 Description: The measure of a closed interval is lower bounded by its length. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1
ovolicc.2
ovolicc.3
ovolicc1.4
Assertion
Ref Expression
ovolicc1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ovolicc1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolicc.1 . . . 4
2 ovolicc.2 . . . 4
3 iccssre 11602 . . . 4
41, 2, 3syl2anc 661 . . 3
5 ovolcl 21621 . . 3
64, 5syl 16 . 2
7 ovolicc.3 . . . . . . . . . . 11
8 df-br 4448 . . . . . . . . . . 11
97, 8sylib 196 . . . . . . . . . 10
10 opelxpi 5030 . . . . . . . . . . 11
111, 2, 10syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
129, 11elind 3688 . . . . . . . . 9
1312adantr 465 . . . . . . . 8
14 0le0 10621 . . . . . . . . . 10
15 df-br 4448 . . . . . . . . . 10
1614, 15mpbi 208 . . . . . . . . 9
17 0re 9592 . . . . . . . . . 10
18 opelxpi 5030 . . . . . . . . . 10
1917, 17, 18mp2an 672 . . . . . . . . 9
20 elin 3687 . . . . . . . . 9
2116, 19, 20mpbir2an 918 . . . . . . . 8
22 ifcl 3981 . . . . . . . 8
2313, 21, 22sylancl 662 . . . . . . 7
24 ovolicc1.4 . . . . . . 7
2523, 24fmptd 6043 . . . . . 6
26 eqid 2467 . . . . . . 7
27 eqid 2467 . . . . . . 7
2826, 27ovolsf 21616 . . . . . 6
2925, 28syl 16 . . . . 5
30 frn 5735 . . . . 5
3129, 30syl 16 . . . 4
32 icossxr 11605 . . . 4
3331, 32syl6ss 3516 . . 3
34 supxrcl 11502 . . 3
3533, 34syl 16 . 2
362, 1resubcld 9983 . . 3
3736rexrd 9639 . 2
38 1nn 10543 . . . . . . 7
3938a1i 11 . . . . . 6
40 op1stg 6793 . . . . . . . . 9
411, 2, 40syl2anc 661 . . . . . . . 8
4241adantr 465 . . . . . . 7
43 elicc2 11585 . . . . . . . . . 10
441, 2, 43syl2anc 661 . . . . . . . . 9
4544biimpa 484 . . . . . . . 8
4645simp2d 1009 . . . . . . 7
4742, 46eqbrtrd 4467 . . . . . 6
4845simp3d 1010 . . . . . . 7
49 op2ndg 6794 . . . . . . . . 9
501, 2, 49syl2anc 661 . . . . . . . 8
5150adantr 465 . . . . . . 7
5248, 51breqtrrd 4473 . . . . . 6
53 fveq2 5864 . . . . . . . . . . 11
54 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . 13
55 opex 4711 . . . . . . . . . . . . 13
5654, 24, 55fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . 12
5738, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
5853, 57syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10
5958fveq2d 5868 . . . . . . . . 9
6059breq1d 4457 . . . . . . . 8
6158fveq2d 5868 . . . . . . . . 9
6261breq2d 4459 . . . . . . . 8
6360, 62anbi12d 710 . . . . . . 7
6463rspcev 3214 . . . . . 6
6539, 47, 52, 64syl12anc 1226 . . . . 5
6665ralrimiva 2878 . . . 4
67 ovolficc 21612 . . . . 5
684, 25, 67syl2anc 661 . . . 4
6966, 68mpbird 232 . . 3
7027ovollb2 21632 . . 3
7125, 69, 70syl2anc 661 . 2
72 addid1 9755 . . . . . . . . 9
7372adantl 466 . . . . . . . 8
74 nnuz 11113 . . . . . . . . . 10
7538, 74eleqtri 2553 . . . . . . . . 9
7675a1i 11 . . . . . . . 8
77 simpr 461 . . . . . . . . 9
7877, 74syl6eleq 2565 . . . . . . . 8
79 pnfxr 11317 . . . . . . . . . . 11
80 icossre 11601 . . . . . . . . . . 11
8117, 79, 80mp2an 672 . . . . . . . . . 10
8229adantr 465 . . . . . . . . . . 11
83 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . 11
8482, 38, 83sylancl 662 . . . . . . . . . 10
8581, 84sseldi 3502 . . . . . . . . 9
8685recnd 9618 . . . . . . . 8
8725ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
88 elfzuz 11680 . . . . . . . . . . . . 13
8988adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
90 df-2 10590 . . . . . . . . . . . . 13
9190fveq2i 5867 . . . . . . . . . . . 12
9289, 91syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . 11
93 eluz2b3 11151 . . . . . . . . . . . 12
9493simplbi 460 . . . . . . . . . . 11
9592, 94syl 16 . . . . . . . . . 10
9626ovolfsval 21614 . . . . . . . . . 10
9787, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . 9
98 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9998ifbid 3961 . . . . . . . . . . . . . . . 16
100 opex 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10155, 100ifex 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10299, 24, 101fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . . 15
10395, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
10493simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10592, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106105neneqd 2669 . . . . . . . . . . . . . . 15
107 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . . . 15
108106, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
109103, 108eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13
110109fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . 12
111 c0ex 9586 . . . . . . . . . . . . 13
112111, 111op2nd 6790 . . . . . . . . . . . 12
113110, 112syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11
114109fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . 12
115111, 111op1st 6789 . . . . . . . . . . . 12
116114, 115syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11
117113, 116oveq12d 6300 . . . . . . . . . 10
118 0m0e0 10641 . . . . . . . . . 10
119117, 118syl6eq 2524 . . . . . . . . 9
12097, 119eqtrd 2508 . . . . . . . 8
12173, 76, 78, 86, 120seqid2 12116 . . . . . . 7
122 1z 10890 . . . . . . . 8
12325adantr 465 . . . . . . . . . 10
12426ovolfsval 21614 . . . . . . . . . 10
125123, 38, 124sylancl 662 . . . . . . . . 9
12657fveq2i 5867 . . . . . . . . . . 11
12750adantr 465 . . . . . . . . . . 11
128126, 127syl5eq 2520 . . . . . . . . . 10
12957fveq2i 5867 . . . . . . . . . . 11
13041adantr 465 . . . . . . . . . . 11
131129, 130syl5eq 2520 . . . . . . . . . 10
132128, 131oveq12d 6300 . . . . . . . . 9
133125, 132eqtrd 2508 . . . . . . . 8
134122, 133seq1i 12084 . . . . . . 7
135121, 134eqtr3d 2510 . . . . . 6
13636leidd 10115 . . . . . . 7
137136adantr 465 . . . . . 6
138135, 137eqbrtrd 4467 . . . . 5
139138ralrimiva 2878 . . . 4
140 ffn 5729 . . . . . 6
14129, 140syl 16 . . . . 5
142 breq1 4450 . . . . . 6
143142ralrn 6022 . . . . 5
144141, 143syl 16 . . . 4
145139, 144mpbird 232 . . 3
146 supxrleub 11514 . . . 4
14733, 37, 146syl2anc 661 . . 3
148145, 147mpbird 232 . 2
1496, 35, 37, 71, 148xrletrd 11361 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  wrex 2815   cin 3475   wss 3476  cif 3939  cop 4033  cuni 4245   class class class wbr 4447   cmpt 4505   cxp 4997   crn 5000   ccom 5003   wfn 5581  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282  c1st 6779  c2nd 6780  csup 7896  cc 9486  cr 9487  cc0 9488  c1 9489   caddc 9491   cpnf 9621  cxr 9623   clt 9624   cle 9625   cmin 9801  cn 10532  c2 10581  cuz 11078  cico 11527  cicc 11528  cfz 11668   cseq 12070  cabs 13024  covol 21606 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-sum 13465  df-ovol 21608 This theorem is referenced by:  ovolicc  21666
 Copyright terms: Public domain W3C validator