Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolicc1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ovolicc1 22469
 Description: The measure of a closed interval is lower bounded by its length. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1
ovolicc.2
ovolicc.3
ovolicc1.4
Assertion
Ref Expression
ovolicc1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ovolicc1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolicc.1 . . . 4
2 ovolicc.2 . . . 4
3 iccssre 11716 . . . 4
41, 2, 3syl2anc 667 . . 3
5 ovolcl 22431 . . 3
64, 5syl 17 . 2
7 ovolicc.3 . . . . . . . . . . 11
8 df-br 4403 . . . . . . . . . . 11
97, 8sylib 200 . . . . . . . . . 10
10 opelxpi 4866 . . . . . . . . . . 11
111, 2, 10syl2anc 667 . . . . . . . . . 10
129, 11elind 3618 . . . . . . . . 9
1312adantr 467 . . . . . . . 8
14 0le0 10699 . . . . . . . . . 10
15 df-br 4403 . . . . . . . . . 10
1614, 15mpbi 212 . . . . . . . . 9
17 0re 9643 . . . . . . . . . 10
18 opelxpi 4866 . . . . . . . . . 10
1917, 17, 18mp2an 678 . . . . . . . . 9
20 elin 3617 . . . . . . . . 9
2116, 19, 20mpbir2an 931 . . . . . . . 8
22 ifcl 3923 . . . . . . . 8
2313, 21, 22sylancl 668 . . . . . . 7
24 ovolicc1.4 . . . . . . 7
2523, 24fmptd 6046 . . . . . 6
26 eqid 2451 . . . . . . 7
27 eqid 2451 . . . . . . 7
2826, 27ovolsf 22425 . . . . . 6
2925, 28syl 17 . . . . 5
30 frn 5735 . . . . 5
3129, 30syl 17 . . . 4
32 icossxr 11719 . . . 4
3331, 32syl6ss 3444 . . 3
34 supxrcl 11600 . . 3
3533, 34syl 17 . 2
362, 1resubcld 10047 . . 3
3736rexrd 9690 . 2
38 1nn 10620 . . . . . . 7
3938a1i 11 . . . . . 6
40 op1stg 6805 . . . . . . . . 9
411, 2, 40syl2anc 667 . . . . . . . 8
4241adantr 467 . . . . . . 7
43 elicc2 11699 . . . . . . . . . 10
441, 2, 43syl2anc 667 . . . . . . . . 9
4544biimpa 487 . . . . . . . 8
4645simp2d 1021 . . . . . . 7
4742, 46eqbrtrd 4423 . . . . . 6
4845simp3d 1022 . . . . . . 7
49 op2ndg 6806 . . . . . . . . 9
501, 2, 49syl2anc 667 . . . . . . . 8
5150adantr 467 . . . . . . 7
5248, 51breqtrrd 4429 . . . . . 6
53 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11
54 iftrue 3887 . . . . . . . . . . . . 13
55 opex 4664 . . . . . . . . . . . . 13
5654, 24, 55fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . 12
5738, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
5853, 57syl6eq 2501 . . . . . . . . . 10
5958fveq2d 5869 . . . . . . . . 9
6059breq1d 4412 . . . . . . . 8
6158fveq2d 5869 . . . . . . . . 9
6261breq2d 4414 . . . . . . . 8
6360, 62anbi12d 717 . . . . . . 7
6463rspcev 3150 . . . . . 6
6539, 47, 52, 64syl12anc 1266 . . . . 5
6665ralrimiva 2802 . . . 4
67 ovolficc 22421 . . . . 5
684, 25, 67syl2anc 667 . . . 4
6966, 68mpbird 236 . . 3
7027ovollb2 22442 . . 3
7125, 69, 70syl2anc 667 . 2
72 addid1 9813 . . . . . . . . 9
7372adantl 468 . . . . . . . 8
74 nnuz 11194 . . . . . . . . . 10
7538, 74eleqtri 2527 . . . . . . . . 9
7675a1i 11 . . . . . . . 8
77 simpr 463 . . . . . . . . 9
7877, 74syl6eleq 2539 . . . . . . . 8
79 rge0ssre 11740 . . . . . . . . . 10
8029adantr 467 . . . . . . . . . . 11
81 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . 11
8280, 38, 81sylancl 668 . . . . . . . . . 10
8379, 82sseldi 3430 . . . . . . . . 9
8483recnd 9669 . . . . . . . 8
8525ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10
86 elfzuz 11796 . . . . . . . . . . . . 13
8786adantl 468 . . . . . . . . . . . 12
88 df-2 10668 . . . . . . . . . . . . 13
8988fveq2i 5868 . . . . . . . . . . . 12
9087, 89syl6eleqr 2540 . . . . . . . . . . 11
91 eluz2nn 11197 . . . . . . . . . . 11
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . 10
9326ovolfsval 22423 . . . . . . . . . 10
9485, 92, 93syl2anc 667 . . . . . . . . 9
95 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9695ifbid 3903 . . . . . . . . . . . . . . . 16
97 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9855, 97ifex 3949 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9996, 24, 98fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . . 15
10092, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
101 eluz2b3 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102101simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10390, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104103neneqd 2629 . . . . . . . . . . . . . . 15
105104iffalsed 3892 . . . . . . . . . . . . . 14
106100, 105eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . 13
107106fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12
108 c0ex 9637 . . . . . . . . . . . . 13
109108, 108op2nd 6802 . . . . . . . . . . . 12
110107, 109syl6eq 2501 . . . . . . . . . . 11
111106fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12
112108, 108op1st 6801 . . . . . . . . . . . 12
113111, 112syl6eq 2501 . . . . . . . . . . 11
114110, 113oveq12d 6308 . . . . . . . . . 10
115 0m0e0 10719 . . . . . . . . . 10
116114, 115syl6eq 2501 . . . . . . . . 9
11794, 116eqtrd 2485 . . . . . . . 8
11873, 76, 78, 84, 117seqid2 12259 . . . . . . 7
119 1z 10967 . . . . . . . 8
12025adantr 467 . . . . . . . . . 10
12126ovolfsval 22423 . . . . . . . . . 10
122120, 38, 121sylancl 668 . . . . . . . . 9
12357fveq2i 5868 . . . . . . . . . . 11
12450adantr 467 . . . . . . . . . . 11
125123, 124syl5eq 2497 . . . . . . . . . 10
12657fveq2i 5868 . . . . . . . . . . 11
12741adantr 467 . . . . . . . . . . 11
128126, 127syl5eq 2497 . . . . . . . . . 10
129125, 128oveq12d 6308 . . . . . . . . 9
130122, 129eqtrd 2485 . . . . . . . 8
131119, 130seq1i 12227 . . . . . . 7
132118, 131eqtr3d 2487 . . . . . 6
13336leidd 10180 . . . . . . 7
134133adantr 467 . . . . . 6
135132, 134eqbrtrd 4423 . . . . 5
136135ralrimiva 2802 . . . 4
137 ffn 5728 . . . . . 6
13829, 137syl 17 . . . . 5
139 breq1 4405 . . . . . 6
140139ralrn 6025 . . . . 5
141138, 140syl 17 . . . 4
142136, 141mpbird 236 . . 3
143 supxrleub 11612 . . . 4
14433, 37, 143syl2anc 667 . . 3
145142, 144mpbird 236 . 2
1466, 35, 37, 71, 145xrletrd 11459 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  wrex 2738   cin 3403   wss 3404  cif 3881  cop 3974  cuni 4198   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cxp 4832   crn 4835   ccom 4838   wfn 5577  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  c1st 6791  c2nd 6792  csup 7954  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cpnf 9672  cxr 9674   clt 9675   cle 9676   cmin 9860  cn 10609  c2 10659  cuz 11159  cico 11637  cicc 11638  cfz 11784   cseq 12213  cabs 13297  covol 22413 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-ovol 22416 This theorem is referenced by:  ovolicc  22477
 Copyright terms: Public domain W3C validator