MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolicc Structured version   Unicode version

Theorem ovolicc 21137
Description: The measure of a closed interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolicc  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A ) )

Proof of Theorem ovolicc
Dummy variables  f  m  n  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
2 simp2 989 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
3 simp3 990 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
4 eqeq1 2458 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
m  =  1  <->  n  =  1 ) )
54ifbid 3918 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  if ( m  =  1 ,  <. A ,  B >. ,  <. 0 ,  0
>. )  =  if ( n  =  1 ,  <. A ,  B >. ,  <. 0 ,  0
>. ) )
65cbvmptv 4490 . . 3  |-  ( m  e.  NN  |->  if ( m  =  1 , 
<. A ,  B >. , 
<. 0 ,  0
>. ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  =  1 ,  <. A ,  B >. ,  <. 0 ,  0
>. ) )
71, 2, 3, 6ovolicc1 21130 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  <_  ( B  -  A ) )
8 eqeq1 2458 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <->  y  =  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  ) ) )
98anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <-> 
( ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
109rexbidv 2864 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  ( E. f  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <->  E. f  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
1110cbvrabv 3075 . . 3  |-  { z  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  =  { y  e. 
RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }
121, 2, 3, 11ovolicc2 21136 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( B  -  A )  <_  ( vol* `  ( A [,] B ) ) )
13 iccssre 11487 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
141, 2, 13syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
15 ovolcl 21092 . . . 4  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  RR  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  e. 
RR* )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  e.  RR* )
172, 1resubcld 9886 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
1817rexrd 9543 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( B  -  A )  e.  RR* )
19 xrletri3 11239 . . 3  |-  ( ( ( vol* `  ( A [,] B ) )  e.  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR* )  ->  (
( vol* `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A )  <->  ( ( vol* `  ( A [,] B ) )  <_  ( B  -  A )  /\  ( B  -  A )  <_  ( vol* `  ( A [,] B ) ) ) ) )
2016, 18, 19syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( vol* `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A )  <->  ( ( vol* `  ( A [,] B ) )  <_  ( B  -  A )  /\  ( B  -  A )  <_  ( vol* `  ( A [,] B ) ) ) ) )
217, 12, 20mpbir2and 913 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2799   {crab 2802    i^i cin 3434    C_ wss 3435   ifcif 3898   <.cop 3990   U.cuni 4198   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457    X. cxp 4945   ran crn 4948    o. ccom 4951   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    ^m cmap 7323   supcsup 7800   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393    + caddc 9395   RR*cxr 9527    < clt 9528    <_ cle 9529    - cmin 9705   NNcn 10432   (,)cioo 11410   [,]cicc 11413    seqcseq 11922   abscabs 12840   vol*covol 21077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-clim 13083  df-sum 13281  df-rest 14479  df-topgen 14500  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-cmp 19121  df-ovol 21079
This theorem is referenced by:  ovolicopnf  21138  iccvolcl  21180  ovolioo  21181  dyadovol  21205  volcn  21218  vitalilem4  21223  vitalilem5  21224  ftc1a  21641  areacirc  28636  arearect  29738  areaquad  29739
  Copyright terms: Public domain W3C validator