MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolicc Unicode version

Theorem ovolicc 19372
Description: The measure of a closed interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolicc  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A ) )

Proof of Theorem ovolicc
Dummy variables  f  m  n  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
2 simp2 958 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
3 simp3 959 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
4 eqeq1 2410 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
m  =  1  <->  n  =  1 ) )
54ifbid 3717 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  if ( m  =  1 ,  <. A ,  B >. ,  <. 0 ,  0
>. )  =  if ( n  =  1 ,  <. A ,  B >. ,  <. 0 ,  0
>. ) )
65cbvmptv 4260 . . 3  |-  ( m  e.  NN  |->  if ( m  =  1 , 
<. A ,  B >. , 
<. 0 ,  0
>. ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  =  1 ,  <. A ,  B >. ,  <. 0 ,  0
>. ) )
71, 2, 3, 6ovolicc1 19365 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A [,] B ) )  <_  ( B  -  A ) )
8 eqeq1 2410 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <->  y  =  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  ) ) )
98anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <-> 
( ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
109rexbidv 2687 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  ( E. f  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <->  E. f  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
1110cbvrabv 2915 . . 3  |-  { z  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  =  { y  e. 
RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }
121, 2, 3, 11ovolicc2 19371 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( B  -  A )  <_  ( vol * `  ( A [,] B ) ) )
13 iccssre 10948 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
141, 2, 13syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
15 ovolcl 19327 . . . 4  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  RR  ->  ( vol
* `  ( A [,] B ) )  e. 
RR* )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A [,] B ) )  e.  RR* )
172, 1resubcld 9421 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
1817rexrd 9090 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( B  -  A )  e.  RR* )
19 xrletri3 10701 . . 3  |-  ( ( ( vol * `  ( A [,] B ) )  e.  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR* )  ->  (
( vol * `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A )  <->  ( ( vol * `  ( A [,] B ) )  <_  ( B  -  A )  /\  ( B  -  A )  <_  ( vol * `  ( A [,] B ) ) ) ) )
2016, 18, 19syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( vol * `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A )  <->  ( ( vol * `  ( A [,] B ) )  <_  ( B  -  A )  /\  ( B  -  A )  <_  ( vol * `  ( A [,] B ) ) ) ) )
217, 12, 20mpbir2and 889 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   {crab 2670    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ifcif 3699   <.cop 3777   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   ran crn 4838    o. ccom 4841   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   supcsup 7403   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875    seq cseq 11278   abscabs 11994   vol
*covol 19312
This theorem is referenced by:  ovolicopnf  19373  iccvolcl  19414  ovolioo  19415  dyadovol  19438  volcn  19451  vitalilem4  19456  vitalilem5  19457  ftc1a  19874  areacirc  26187
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-ovol 19314
  Copyright terms: Public domain W3C validator