MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolicc Structured version   Unicode version

Theorem ovolicc 22224
Description: The measure of a closed interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolicc  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A ) )

Proof of Theorem ovolicc
Dummy variables  f  m  n  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
2 simp2 998 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
3 simp3 999 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
4 eqeq1 2406 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
m  =  1  <->  n  =  1 ) )
54ifbid 3906 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  if ( m  =  1 ,  <. A ,  B >. ,  <. 0 ,  0
>. )  =  if ( n  =  1 ,  <. A ,  B >. ,  <. 0 ,  0
>. ) )
65cbvmptv 4486 . . 3  |-  ( m  e.  NN  |->  if ( m  =  1 , 
<. A ,  B >. , 
<. 0 ,  0
>. ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  =  1 ,  <. A ,  B >. ,  <. 0 ,  0
>. ) )
71, 2, 3, 6ovolicc1 22217 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  <_  ( B  -  A ) )
8 eqeq1 2406 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <->  y  =  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  ) ) )
98anbi2d 702 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <-> 
( ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
109rexbidv 2917 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  ( E. f  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <->  E. f  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
1110cbvrabv 3057 . . 3  |-  { z  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  =  { y  e. 
RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }
121, 2, 3, 11ovolicc2 22223 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( B  -  A )  <_  ( vol* `  ( A [,] B ) ) )
13 iccssre 11658 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
141, 2, 13syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
15 ovolcl 22179 . . . 4  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  RR  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  e. 
RR* )
1614, 15syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  e.  RR* )
172, 1resubcld 10027 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
1817rexrd 9672 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( B  -  A )  e.  RR* )
19 xrletri3 11410 . . 3  |-  ( ( ( vol* `  ( A [,] B ) )  e.  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR* )  ->  (
( vol* `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A )  <->  ( ( vol* `  ( A [,] B ) )  <_  ( B  -  A )  /\  ( B  -  A )  <_  ( vol* `  ( A [,] B ) ) ) ) )
2016, 18, 19syl2anc 659 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( vol* `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A )  <->  ( ( vol* `  ( A [,] B ) )  <_  ( B  -  A )  /\  ( B  -  A )  <_  ( vol* `  ( A [,] B ) ) ) ) )
217, 12, 20mpbir2and 923 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2754   {crab 2757    i^i cin 3412    C_ wss 3413   ifcif 3884   <.cop 3977   U.cuni 4190   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452    X. cxp 4820   ran crn 4823    o. ccom 4826   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    ^m cmap 7456   supcsup 7933   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524   RR*cxr 9656    < clt 9657    <_ cle 9658    - cmin 9840   NNcn 10575   (,)cioo 11581   [,]cicc 11584    seqcseq 12149   abscabs 13214   vol*covol 22164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656  df-rest 15035  df-topgen 15056  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-cmp 20178  df-ovol 22166
This theorem is referenced by:  ovolicopnf  22225  iccvolcl  22267  ovolioo  22268  dyadovol  22292  volcn  22305  vitalilem4  22310  vitalilem5  22311  ftc1a  22728  areacirc  31463  arearect  35527  areaquad  35528
  Copyright terms: Public domain W3C validator