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Theorem ovolgelb 20968
Description: The outer volume is the greatest lower bound on the sum of all interval coverings of  A. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ovolgelb.1  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) )
Assertion
Ref Expression
ovolgelb  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  A )  +  B
) ) )
Distinct variable groups:    A, g    B, g
Allowed substitution hint:    S( g)

Proof of Theorem ovolgelb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 989 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
2 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
31, 2ltaddrpd 11061 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( vol* `  A )  <  ( ( vol* `  A )  +  B ) )
42rpred 11032 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
51, 4readdcld 9418 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  e.  RR )
61, 5ltnled 9526 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( vol* `  A )  <  (
( vol* `  A )  +  B
)  <->  -.  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_ 
( vol* `  A ) ) )
73, 6mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  -.  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  ( vol* `  A ) )
8 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  =  { y  e. 
RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }
98ovolval 20962 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol* `  A )  =  sup ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) )
1093ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( vol* `  A )  =  sup ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) )
1110breq2d 4309 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  ( vol* `  A )  <->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  sup ( { y  e. 
RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
12 ssrab2 3442 . . . . . . 7  |-  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } 
C_  RR*
135rexrd 9438 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  e.  RR* )
14 infmxrgelb 11302 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) ) }  C_  RR*  /\  (
( vol* `  A )  +  B
)  e.  RR* )  ->  ( ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  sup ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  {
y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )
)
1512, 13, 14sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  {
y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )
)
16 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <->  x  =  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  ) ) )
17 ovolgelb.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) )
1817rneqi 5071 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  S  =  ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) )
1918supeq1i 7702 . . . . . . . . . . . 12  |-  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )
2019eqeq2i 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <-> 
x  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) )
2116, 20syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <->  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
2221anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <-> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
2322rexbidv 2741 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( E. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <->  E. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
2423ralrab 3126 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x  <->  A. x  e.  RR*  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x ) )
25 ralcom 2886 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR*  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) A. x  e.  RR*  ( ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x ) )
26 r19.23v 2838 . . . . . . . . 9  |-  ( A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x ) )
2726ralbii 2744 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR*  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. x  e.  RR*  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x ) )
28 ancomst 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g ) )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )
)
29 impexp 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g ) )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )
) )
3028, 29bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )
) )
3130ralbii 2744 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR*  ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. x  e.  RR*  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x
) ) )
32 reex 9378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  RR  e.  _V
3332, 32xpex 6513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
3433inex2 4439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  e.  _V
35 nnex 10333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  e.  _V
3634, 35elmap 7246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  g : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
37 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
3837, 17ovolsf 20961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
3936, 38sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
40 frn 5570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  S  C_  ( 0 [,) +oo ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ran  S  C_  (
0 [,) +oo )
)
42 icossxr 11385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
4341, 42syl6ss 3373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ran  S  C_  RR* )
44 supxrcl 11282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
S  C_  RR*  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
46 breq2 4301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( ( vol* `  A
)  +  B )  <_  x  <->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
4746imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4847ceqsralv 3006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  ->  ( A. x  e.  RR*  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x
) )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4945, 48syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ( A. x  e.  RR*  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x
) )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
5031, 49syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ( A. x  e.  RR*  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
5150ralbiia 2752 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) A. x  e.  RR*  ( ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5225, 27, 513bitr3i 275 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  RR*  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5324, 52bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5415, 53syl6rbb 262 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  <->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  sup ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
5511, 54bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  ( vol* `  A )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
567, 55mtbid 300 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  -.  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
57 rexanali 2766 . . 3  |-  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  -.  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  <->  -.  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5856, 57sylibr 212 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  -.  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
59 xrltnle 9448 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  ( ( vol* `  A
)  +  B )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  < 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <->  -.  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
60 xrltle 11131 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  ( ( vol* `  A
)  +  B )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  < 
( ( vol* `  A )  +  B
)  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  B ) ) )
6159, 60sylbird 235 . . . . 5  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  ( ( vol* `  A
)  +  B )  e.  RR* )  ->  ( -.  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  B
) ) )
6245, 13, 61syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  /\  g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( -.  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  B
) ) )
6362anim2d 565 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  /\  g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  -.  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  A )  +  B
) ) ) )
6463reximdva 2833 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( E. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  -.  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  A )  +  B
) ) ) )
6558, 64mpd 15 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  A )  +  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   {crab 2724    i^i cin 3332    C_ wss 3333   U.cuni 4096   class class class wbr 4297    X. cxp 4843   `'ccnv 4844   ran crn 4846    o. ccom 4849   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   supcsup 7695   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290   +oocpnf 9420   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600   NNcn 10327   RR+crp 10996   (,)cioo 11305   [,)cico 11307    seqcseq 11811   abscabs 12728   vol*covol 20951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-ico 11311  df-fz 11443  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-ovol 20953
This theorem is referenced by:  ovolunlem2  20986  ovoliunlem3  20992  ovolscalem2  21002  ioombl1  21048  uniioombl  21074  mblfinlem3  28435  mblfinlem4  28436
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