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Theorem ovolgelb 22511
Description: The outer volume is the greatest lower bound on the sum of all interval coverings of  A. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ovolgelb.1  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) )
Assertion
Ref Expression
ovolgelb  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  A )  +  B
) ) )
Distinct variable groups:    A, g    B, g
Allowed substitution hint:    S( g)

Proof of Theorem ovolgelb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1031 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
2 simp3 1032 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
31, 2ltaddrpd 11394 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( vol* `  A )  <  ( ( vol* `  A )  +  B ) )
42rpred 11364 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
51, 4readdcld 9688 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  e.  RR )
61, 5ltnled 9799 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( vol* `  A )  <  (
( vol* `  A )  +  B
)  <->  -.  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_ 
( vol* `  A ) ) )
73, 6mpbid 215 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  -.  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  ( vol* `  A ) )
8 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  =  { y  e. 
RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }
98ovolval 22504 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol* `  A )  = inf ( { y  e. 
RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
1093ad2ant1 1051 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( vol* `  A )  = inf ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
1110breq2d 4407 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  ( vol* `  A )  <->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_ inf ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
12 ssrab2 3500 . . . . . . 7  |-  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } 
C_  RR*
135rexrd 9708 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  e.  RR* )
14 infxrgelb 11646 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) ) }  C_  RR*  /\  (
( vol* `  A )  +  B
)  e.  RR* )  ->  ( ( ( vol* `  A )  +  B )  <_ inf ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )
)
1512, 13, 14sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_ inf ( {
y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )
)
16 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <->  x  =  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  ) ) )
17 ovolgelb.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) )
1817rneqi 5067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  S  =  ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) )
1918supeq1i 7979 . . . . . . . . . . . 12  |-  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )
2019eqeq2i 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <-> 
x  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) )
2116, 20syl6bbr 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <->  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
2221anbi2d 718 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <-> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
2322rexbidv 2892 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( E. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <->  E. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
2423ralrab 3188 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x  <->  A. x  e.  RR*  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x ) )
25 ralcom 2937 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR*  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) A. x  e.  RR*  ( ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x ) )
26 r19.23v 2863 . . . . . . . . 9  |-  ( A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x ) )
2726ralbii 2823 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR*  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. x  e.  RR*  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x ) )
28 ancomst 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g ) )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )
)
29 impexp 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g ) )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )
) )
3028, 29bitri 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )
) )
3130ralbii 2823 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR*  ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. x  e.  RR*  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x
) ) )
32 reex 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  RR  e.  _V
3332, 32xpex 6614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
3433inex2 4538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  e.  _V
35 nnex 10637 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  e.  _V
3634, 35elmap 7518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  g : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
37 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
3837, 17ovolsf 22503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
3936, 38sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
40 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  S  C_  ( 0 [,) +oo ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ran  S  C_  (
0 [,) +oo )
)
42 icossxr 11744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
4341, 42syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ran  S  C_  RR* )
44 supxrcl 11625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
S  C_  RR*  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
46 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( ( vol* `  A
)  +  B )  <_  x  <->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
4746imbi2d 323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4847ceqsralv 3062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  ->  ( A. x  e.  RR*  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x
) )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4945, 48syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ( A. x  e.  RR*  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x
) )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
5031, 49syl5bb 265 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ( A. x  e.  RR*  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
5150ralbiia 2822 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) A. x  e.  RR*  ( ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5225, 27, 513bitr3i 283 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  RR*  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5324, 52bitri 257 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5415, 53syl6rbb 270 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  <->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_ inf ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  <  )
) )
5511, 54bitr4d 264 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  ( vol* `  A )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
567, 55mtbid 307 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  -.  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
57 rexanali 2839 . . 3  |-  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  -.  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  <->  -.  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5856, 57sylibr 217 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  -.  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
59 xrltnle 9719 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  ( ( vol* `  A
)  +  B )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  < 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <->  -.  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
60 xrltle 11471 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  ( ( vol* `  A
)  +  B )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  < 
( ( vol* `  A )  +  B
)  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  B ) ) )
6159, 60sylbird 243 . . . . 5  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  ( ( vol* `  A
)  +  B )  e.  RR* )  ->  ( -.  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  B
) ) )
6245, 13, 61syl2anr 486 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  /\  g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( -.  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  B
) ) )
6362anim2d 575 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  /\  g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  -.  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  A )  +  B
) ) ) )
6463reximdva 2858 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( E. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  -.  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  A )  +  B
) ) ) )
6558, 64mpd 15 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  A )  +  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    i^i cin 3389    C_ wss 3390   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    X. cxp 4837   ran crn 4840    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   supcsup 7972  infcinf 7973   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   NNcn 10631   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   [,)cico 11662    seqcseq 12251   abscabs 13374   vol*covol 22491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-ovol 22494
This theorem is referenced by:  ovolunlem2  22529  ovoliunlem3  22535  ovolscalem2  22545  ioombl1  22594  uniioombl  22626  mblfinlem3  32043  mblfinlem4  32044
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