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Theorem ovolgelb 22426
Description: The outer volume is the greatest lower bound on the sum of all interval coverings of  A. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ovolgelb.1  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) )
Assertion
Ref Expression
ovolgelb  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  A )  +  B
) ) )
Distinct variable groups:    A, g    B, g
Allowed substitution hint:    S( g)

Proof of Theorem ovolgelb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1008 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
2 simp3 1009 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
31, 2ltaddrpd 11368 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( vol* `  A )  <  ( ( vol* `  A )  +  B ) )
42rpred 11338 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
51, 4readdcld 9667 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  e.  RR )
61, 5ltnled 9779 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( vol* `  A )  <  (
( vol* `  A )  +  B
)  <->  -.  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_ 
( vol* `  A ) ) )
73, 6mpbid 214 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  -.  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  ( vol* `  A ) )
8 eqid 2450 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  =  { y  e. 
RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }
98ovolval 22419 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol* `  A )  = inf ( { y  e. 
RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
1093ad2ant1 1028 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( vol* `  A )  = inf ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
1110breq2d 4413 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  ( vol* `  A )  <->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_ inf ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
12 ssrab2 3513 . . . . . . 7  |-  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } 
C_  RR*
135rexrd 9687 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  e.  RR* )
14 infxrgelb 11618 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) ) }  C_  RR*  /\  (
( vol* `  A )  +  B
)  e.  RR* )  ->  ( ( ( vol* `  A )  +  B )  <_ inf ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )
)
1512, 13, 14sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_ inf ( {
y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )
)
16 eqeq1 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <->  x  =  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  ) ) )
17 ovolgelb.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) )
1817rneqi 5060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  S  =  ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) )
1918supeq1i 7958 . . . . . . . . . . . 12  |-  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )
2019eqeq2i 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <-> 
x  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) )
2116, 20syl6bbr 267 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <->  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
2221anbi2d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <-> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
2322rexbidv 2900 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( E. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <->  E. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
2423ralrab 3199 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x  <->  A. x  e.  RR*  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x ) )
25 ralcom 2950 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR*  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) A. x  e.  RR*  ( ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x ) )
26 r19.23v 2866 . . . . . . . . 9  |-  ( A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x ) )
2726ralbii 2818 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR*  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. x  e.  RR*  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x ) )
28 ancomst 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g ) )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )
)
29 impexp 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g ) )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )
) )
3028, 29bitri 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )
) )
3130ralbii 2818 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR*  ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. x  e.  RR*  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x
) ) )
32 reex 9627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  RR  e.  _V
3332, 32xpex 6592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
3433inex2 4544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  e.  _V
35 nnex 10612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  e.  _V
3634, 35elmap 7497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  g : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
37 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
3837, 17ovolsf 22418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
3936, 38sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
40 frn 5733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  S  C_  ( 0 [,) +oo ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ran  S  C_  (
0 [,) +oo )
)
42 icossxr 11716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
4341, 42syl6ss 3443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ran  S  C_  RR* )
44 supxrcl 11597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
S  C_  RR*  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
46 breq2 4405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( ( vol* `  A
)  +  B )  <_  x  <->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
4746imbi2d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4847ceqsralv 3075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  ->  ( A. x  e.  RR*  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x
) )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4945, 48syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ( A. x  e.  RR*  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x
) )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
5031, 49syl5bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ( A. x  e.  RR*  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
5150ralbiia 2817 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) A. x  e.  RR*  ( ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5225, 27, 513bitr3i 279 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  RR*  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5324, 52bitri 253 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  x  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5415, 53syl6rbb 266 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  -> 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  <->  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_ inf ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  <  )
) )
5511, 54bitr4d 260 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  ( vol* `  A )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
567, 55mtbid 302 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  -.  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
57 rexanali 2839 . . 3  |-  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  -.  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  <->  -.  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5856, 57sylibr 216 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  -.  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
59 xrltnle 9698 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  ( ( vol* `  A
)  +  B )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  < 
( ( vol* `  A )  +  B
)  <->  -.  ( ( vol* `  A )  +  B )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
60 xrltle 11445 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  ( ( vol* `  A
)  +  B )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  < 
( ( vol* `  A )  +  B
)  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  B ) ) )
6159, 60sylbird 239 . . . . 5  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  ( ( vol* `  A
)  +  B )  e.  RR* )  ->  ( -.  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  B
) ) )
6245, 13, 61syl2anr 481 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  /\  g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( -.  (
( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  B
) ) )
6362anim2d 568 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  /\  g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  -.  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  A )  +  B
) ) ) )
6463reximdva 2861 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( E. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  -.  ( ( vol* `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  A )  +  B
) ) ) )
6558, 64mpd 15 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  A )  +  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740    i^i cin 3402    C_ wss 3403   U.cuni 4197   class class class wbr 4401    X. cxp 4831   ran crn 4834    o. ccom 4837   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    ^m cmap 7469   supcsup 7951  infcinf 7952   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539   +oocpnf 9669   RR*cxr 9671    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857   NNcn 10606   RR+crp 11299   (,)cioo 11632   [,)cico 11634    seqcseq 12210   abscabs 13290   vol*covol 22406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-ico 11638  df-fz 11782  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-ovol 22409
This theorem is referenced by:  ovolunlem2  22444  ovoliunlem3  22450  ovolscalem2  22460  ioombl1  22508  uniioombl  22540  mblfinlem3  31972  mblfinlem4  31973
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