Theorem ovolge0 21624

Description: The volume of a set is always nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolge0	|- ( A C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` A ) )

Proof of Theorem ovolge0

Dummy variables f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3585	. . . 4 |- { y e. RR* | E. f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) } C_ RR*
2		0xr 9636	. . . 4 |- 0 e. RR*
3		infmxrgelb 11522	. . . 4 |- ( ( { y e. RR* | E. f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) } C_ RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( 0 <_ sup ( { y e. RR* | E. f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) } , RR* , `' < ) <-> A. x e. { y e. RR* | E. f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) } 0 <_ x ) )
4	1, 2, 3	mp2an 672	. . 3 |- ( 0 <_ sup ( { y e. RR* | E. f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) } , RR* , `' < ) <-> A. x e. { y e. RR* | E. f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) } 0 <_ x )
5		eqid 2467	. . . 4 |- { y e. RR* | E. f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) } = { y e. RR* | E. f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) }
6	5	ovolmge0 21620	. . 3 |- ( x e. { y e. RR* | E. f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) } -> 0 <_ x )
7	4, 6	mprgbir 2828	. 2 |- 0 <_ sup ( { y e. RR* | E. f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) } , RR* , `' < )
8	5	ovolval 21617	. 2 |- ( A C_ RR -> ( vol* ` A ) = sup ( { y e. RR* | E. f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) } , RR* , `' < ) )
9	7, 8	syl5breqr 4483	1 |- ( A C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   i^i cin 3475   C_ wss 3476   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   X. cxp 4997   `'ccnv 4998   ran crn 5000   o. ccom 5003   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ^m cmap 7417   supcsup 7896   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   NNcn 10532   (,)cioo 11525   seqcseq 12070   abscabs 13024   vol*covol 21606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-ico 11531  df-fz 11669  df-seq 12071  df-exp 12130  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-ovol 21608

This theorem is referenced by:  ovolf  21625  ovollecl  21626  ovolssnul  21630  ovolctb  21633  ovolunnul  21643  ovoliun2  21649  ovoliunnul  21650  ovolicopnf  21667  voliunlem3  21694  volsup  21698  ioorcl2  21713  vitalilem4  21752  vitalilem5  21753  itg1ge0  21825  itg1ge0a  21850  itgulm  22534  areaf  23016  mblfinlem3  29628  mblfinlem4  29629  ismblfin  29630  ovoliunnfl  29631  volsupnfl  29634  itg2addnclem  29641  volge0  31279