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Theorem ovolfiniun 22396
Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive. Finite sum version. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolfiniun  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem ovolfiniun
Dummy variables  m  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2964 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  (/)  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
2 iuneq1 4256 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  (/)  B )
32fveq2d 5829 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B ) )
4 sumeq1 13698 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B
) )
53, 4breq12d 4379 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( vol* `  B
)  <->  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B ) ) )
61, 5imbi12d 321 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <-> 
( A. k  e.  (/)  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B ) ) ) )
7 raleq 2964 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
8 iuneq1 4256 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  y  B )
98fveq2d 5829 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  y  B ) )
10 sumeq1 13698 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  = 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )
119, 10breq12d 4379 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  <->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B
) ) )
127, 11imbi12d 321 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <-> 
( A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) ) )
13 raleq 2964 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
14 iuneq1 4256 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1514fveq2d 5829 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B ) )
16 sumeq1 13698 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B
)  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
) )
1715, 16breq12d 4379 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B
)  <->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B )
) )
1813, 17imbi12d 321 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B )
) ) )
19 raleq 2964 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR ) ) )
20 iuneq1 4256 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  A  B
)
2120fveq2d 5829 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  A  B ) )
22 sumeq1 13698 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol* `  B
) )
2321, 22breq12d 4379 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  <->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B
) ) )
2419, 23imbi12d 321 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <-> 
( A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) ) ) )
25 0le0 10650 . . . . 5  |-  0  <_  0
26 0iun 4299 . . . . . . 7  |-  U_ k  e.  (/)  B  =  (/)
2726fveq2i 5828 . . . . . 6  |-  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  =  ( vol* `  (/) )
28 ovol0 22388 . . . . . 6  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
2927, 28eqtri 2450 . . . . 5  |-  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  =  0
30 sum0 13730 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B )  =  0
3125, 29, 303brtr4i 4395 . . . 4  |-  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B )
3231a1i 11 . . 3  |-  ( A. k  e.  (/)  ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B
) )
33 ssun1 3572 . . . . . 6  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
34 ssralv 3468 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
3635imim1i 60 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )
37 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
38 nfcsb1v 3354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
39 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k RR
4038, 39nfss 3400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR
41 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k vol*
4241, 38nffv 5832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )
4342nfel1 2583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR
4440, 43nfan 1988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
45 csbeq1a 3347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
4645sseq1d 3434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR ) )
4745fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  ( vol* `  B )  =  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) )
4847eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( vol* `  B )  e.  RR  <->  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
4946, 48anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) 
<->  ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
5044, 49rspc 3119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
5137, 50mpan9 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
5251simpld 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
5352ralrimiva 2779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
54 iunss 4283 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ m  e.  ( y  u.  { z } )
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  <->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
5553, 54sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
56 iunss1 4254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
5733, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
5857, 55syl5ss 3418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR )
59 simpll 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  y  e.  Fin )
60 elun1 3576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  y  ->  m  e.  ( y  u.  {
z } ) )
6151simprd 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
6260, 61sylan2 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
6359, 62fsumrecl 13743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
64 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B
) )
65 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ m B
6665, 38, 45cbviun 4279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ k  e.  y  B  =  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
6766fveq2i 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  =  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)
68 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ m
( vol* `  B )
6968, 42, 47cbvsumi 13706 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B )  = 
sum_ m  e.  y 
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )
7064, 67, 693brtr3g 4398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
71 ovollecl 22378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  sum_
m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR  /\  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
7258, 63, 70, 71syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
73 ssun2 3573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
74 ssnid 3970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
{ z }
7573, 74sselii 3404 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
76 nfcsb1v 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
7776, 39nfss 3400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  C_  RR
7841, 76nffv 5832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )
7978nfel1 2583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR
8077, 79nfan 1988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR )
81 csbeq1a 3347 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
8281sseq1d 3434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR ) )
8381fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( vol* `  B )  =  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )
8483eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  (
( vol* `  B )  e.  RR  <->  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
8582, 84anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  z  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) 
<->  ( [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
8680, 85rspc 3119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
8775, 37, 86mpsyl 65 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
8887simprd 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR )
8972, 88readdcld 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  e.  RR )
90 iunxun 4327 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B )
91 vex 3025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
92 csbeq1 3341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  z  ->  [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
9391, 92iunxsn 4325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B
9493uneq2i 3560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  U_ m  e.  {
z } [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B )
9590, 94eqtri 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
)
9695fveq2i 5828 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol* `  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B ) )
97 ovolun 22394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  /\  ( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )  -> 
( vol* `  ( U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  <_  (
( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
9858, 72, 87, 97syl21anc 1263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  <_  (
( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
9996, 98syl5eqbr 4400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
100 ovollecl 22378 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  e.  RR  /\  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
10155, 89, 99, 100syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
102 snfi 7604 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  e.  Fin
103 unfi 7791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
104102, 103mpan2 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
105104ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
106105, 61fsumrecl 13743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
10772, 63, 88, 70leadd1dd 10178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  <_ 
( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
108 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
109 disjsn 4003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
110108, 109sylibr 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
111 eqidd 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
11261recnd 9620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  CC )
113110, 111, 105, 112fsumsplit 13749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  + 
sum_ m  e.  { z }  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) ) )
11488recnd 9620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  CC )
11592fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  z  ->  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) )
116115sumsn 13750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  {
z }  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  =  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )
11791, 114, 116sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e. 
{ z }  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) )
118117oveq2d 6265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  + 
sum_ m  e.  { z }  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) )  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
119113, 118eqtrd 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
120107, 119breqtrrd 4393 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) )
121101, 89, 106, 99, 120letrd 9743 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
12265, 38, 45cbviun 4279 . . . . . . . 8  |-  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
123122fveq2i 5828 . . . . . . 7  |-  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
12468, 42, 47cbvsumi 13706 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
)  =  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)
125121, 123, 1243brtr4g 4399 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
) )
126125exp32 608 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B
)  ->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
) ) ) )
127126a2d 29 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )  -> 
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B ) ) ) )
12836, 127syl5 33 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B ) ) ) )
1296, 12, 18, 24, 32, 128findcard2s 7765 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) ) )
130129imp 430 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   _Vcvv 3022   [_csb 3338    u. cun 3377    i^i cin 3378    C_ wss 3379   (/)c0 3704   {csn 3941   U_ciun 4242   class class class wbr 4366   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Fincfn 7524   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490    + caddc 9493    <_ cle 9627   sum_csu 13695   vol*covol 22355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xadd 11361  df-ioo 11590  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-sum 13696  df-xmet 18906  df-met 18907  df-ovol 22358
This theorem is referenced by:  volfiniun  22442  uniioombllem3a  22484  uniioombllem4  22486  i1fd  22581  i1fadd  22595  i1fmul  22596  volsupnfl  31892
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