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Theorem ovolfiniun 21647
Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive. Finite sum version. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolfiniun  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem ovolfiniun
Dummy variables  m  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 3058 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  (/)  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
2 iuneq1 4339 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  (/)  B )
32fveq2d 5868 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B ) )
4 sumeq1 13470 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B
) )
53, 4breq12d 4460 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( vol* `  B
)  <->  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B ) ) )
61, 5imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <-> 
( A. k  e.  (/)  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B ) ) ) )
7 raleq 3058 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
8 iuneq1 4339 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  y  B )
98fveq2d 5868 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  y  B ) )
10 sumeq1 13470 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  = 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )
119, 10breq12d 4460 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  <->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B
) ) )
127, 11imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <-> 
( A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) ) )
13 raleq 3058 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
14 iuneq1 4339 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1514fveq2d 5868 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B ) )
16 sumeq1 13470 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B
)  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
) )
1715, 16breq12d 4460 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B
)  <->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B )
) )
1813, 17imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B )
) ) )
19 raleq 3058 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR ) ) )
20 iuneq1 4339 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  A  B
)
2120fveq2d 5868 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  A  B ) )
22 sumeq1 13470 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol* `  B
) )
2321, 22breq12d 4460 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  <->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B
) ) )
2419, 23imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <-> 
( A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) ) ) )
25 0le0 10621 . . . . 5  |-  0  <_  0
26 0iun 4382 . . . . . . 7  |-  U_ k  e.  (/)  B  =  (/)
2726fveq2i 5867 . . . . . 6  |-  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  =  ( vol* `  (/) )
28 ovol0 21639 . . . . . 6  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
2927, 28eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  =  0
30 sum0 13502 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B )  =  0
3125, 29, 303brtr4i 4475 . . . 4  |-  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B )
3231a1i 11 . . 3  |-  ( A. k  e.  (/)  ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B
) )
33 ssun1 3667 . . . . . 6  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
34 ssralv 3564 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
3635imim1i 58 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )
37 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
38 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
39 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k RR
4038, 39nfss 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR
41 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k vol*
4241, 38nffv 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )
4342nfel1 2645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR
4440, 43nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
45 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
4645sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR ) )
4745fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  ( vol* `  B )  =  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) )
4847eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( vol* `  B )  e.  RR  <->  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
4946, 48anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) 
<->  ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
5044, 49rspc 3208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
5137, 50mpan9 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
5251simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
5352ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
54 iunss 4366 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ m  e.  ( y  u.  { z } )
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  <->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
5553, 54sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
56 iunss1 4337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
5733, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
5857, 55syl5ss 3515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR )
59 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  y  e.  Fin )
60 elun1 3671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  y  ->  m  e.  ( y  u.  {
z } ) )
6151simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
6260, 61sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
6359, 62fsumrecl 13515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
64 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B
) )
65 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ m B
6665, 38, 45cbviun 4362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ k  e.  y  B  =  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
6766fveq2i 5867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  =  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)
68 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ m
( vol* `  B )
6968, 42, 47cbvsumi 13478 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B )  = 
sum_ m  e.  y 
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )
7064, 67, 693brtr3g 4478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
71 ovollecl 21629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  sum_
m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR  /\  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
7258, 63, 70, 71syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
73 ssun2 3668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
74 ssnid 4056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
{ z }
7573, 74sselii 3501 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
76 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
7776, 39nfss 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  C_  RR
7841, 76nffv 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )
7978nfel1 2645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR
8077, 79nfan 1875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR )
81 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
8281sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR ) )
8381fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( vol* `  B )  =  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )
8483eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  (
( vol* `  B )  e.  RR  <->  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
8582, 84anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  z  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) 
<->  ( [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
8680, 85rspc 3208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
8775, 37, 86mpsyl 63 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
8887simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR )
8972, 88readdcld 9619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  e.  RR )
90 iunxun 4407 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B )
91 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
92 csbeq1 3438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  z  ->  [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
9391, 92iunxsn 4405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B
9493uneq2i 3655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  U_ m  e.  {
z } [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B )
9590, 94eqtri 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
)
9695fveq2i 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol* `  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B ) )
97 ovolun 21645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  /\  ( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )  -> 
( vol* `  ( U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  <_  (
( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
9858, 72, 87, 97syl21anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  <_  (
( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
9996, 98syl5eqbr 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
100 ovollecl 21629 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  e.  RR  /\  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
10155, 89, 99, 100syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
102 snfi 7593 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  e.  Fin
103 unfi 7783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
104102, 103mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
105104ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
106105, 61fsumrecl 13515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
10772, 63, 88, 70leadd1dd 10162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  <_ 
( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
108 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
109 disjsn 4088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
110108, 109sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
111 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
11261recnd 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  CC )
113110, 111, 105, 112fsumsplit 13521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  + 
sum_ m  e.  { z }  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) ) )
11488recnd 9618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  CC )
11592fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  z  ->  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) )
116115sumsn 13522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  {
z }  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  =  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )
11791, 114, 116sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e. 
{ z }  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) )
118117oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  + 
sum_ m  e.  { z }  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) )  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
119113, 118eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
120107, 119breqtrrd 4473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) )
121101, 89, 106, 99, 120letrd 9734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
12265, 38, 45cbviun 4362 . . . . . . . 8  |-  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
123122fveq2i 5867 . . . . . . 7  |-  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
12468, 42, 47cbvsumi 13478 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
)  =  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)
125121, 123, 1243brtr4g 4479 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
) )
126125exp32 605 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B
)  ->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
) ) ) )
127126a2d 26 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )  -> 
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B ) ) ) )
12836, 127syl5 32 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B ) ) ) )
1296, 12, 18, 24, 32, 128findcard2s 7757 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) ) )
130129imp 429 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   [_csb 3435    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   U_ciun 4325   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488    + caddc 9491    <_ cle 9625   sum_csu 13467   vol*covol 21609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-xmet 18183  df-met 18184  df-ovol 21611
This theorem is referenced by:  volfiniun  21692  uniioombllem3a  21728  uniioombllem4  21730  i1fd  21823  i1fadd  21837  i1fmul  21838  volsupnfl  29636
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