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Theorem ovolfiniun 21997
Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive. Finite sum version. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolfiniun  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem ovolfiniun
Dummy variables  m  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2979 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  (/)  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
2 iuneq1 4257 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  (/)  B )
32fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B ) )
4 sumeq1 13513 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B
) )
53, 4breq12d 4380 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( vol* `  B
)  <->  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B ) ) )
61, 5imbi12d 318 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <-> 
( A. k  e.  (/)  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B ) ) ) )
7 raleq 2979 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
8 iuneq1 4257 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  y  B )
98fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  y  B ) )
10 sumeq1 13513 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  = 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )
119, 10breq12d 4380 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  <->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B
) ) )
127, 11imbi12d 318 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <-> 
( A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) ) )
13 raleq 2979 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
14 iuneq1 4257 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1514fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B ) )
16 sumeq1 13513 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B
)  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
) )
1715, 16breq12d 4380 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B
)  <->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B )
) )
1813, 17imbi12d 318 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B )
) ) )
19 raleq 2979 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR ) ) )
20 iuneq1 4257 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  A  B
)
2120fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  A  B ) )
22 sumeq1 13513 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol* `  B
) )
2321, 22breq12d 4380 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  <->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B
) ) )
2419, 23imbi12d 318 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <-> 
( A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) ) ) )
25 0le0 10542 . . . . 5  |-  0  <_  0
26 0iun 4300 . . . . . . 7  |-  U_ k  e.  (/)  B  =  (/)
2726fveq2i 5777 . . . . . 6  |-  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  =  ( vol* `  (/) )
28 ovol0 21989 . . . . . 6  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
2927, 28eqtri 2411 . . . . 5  |-  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  =  0
30 sum0 13545 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B )  =  0
3125, 29, 303brtr4i 4395 . . . 4  |-  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B )
3231a1i 11 . . 3  |-  ( A. k  e.  (/)  ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B
) )
33 ssun1 3581 . . . . . 6  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
34 ssralv 3478 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
3635imim1i 58 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )
37 simprl 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
38 nfcsb1v 3364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
39 nfcv 2544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k RR
4038, 39nfss 3410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR
41 nfcv 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k vol*
4241, 38nffv 5781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )
4342nfel1 2560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR
4440, 43nfan 1936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
45 csbeq1a 3357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
4645sseq1d 3444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR ) )
4745fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  ( vol* `  B )  =  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) )
4847eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( vol* `  B )  e.  RR  <->  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
4946, 48anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) 
<->  ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
5044, 49rspc 3129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
5137, 50mpan9 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
5251simpld 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
5352ralrimiva 2796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
54 iunss 4284 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ m  e.  ( y  u.  { z } )
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  <->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
5553, 54sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
56 iunss1 4255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
5733, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
5857, 55syl5ss 3428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR )
59 simpll 751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  y  e.  Fin )
60 elun1 3585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  y  ->  m  e.  ( y  u.  {
z } ) )
6151simprd 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
6260, 61sylan2 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
6359, 62fsumrecl 13558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
64 simprr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B
) )
65 nfcv 2544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ m B
6665, 38, 45cbviun 4280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ k  e.  y  B  =  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
6766fveq2i 5777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  =  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)
68 nfcv 2544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ m
( vol* `  B )
6968, 42, 47cbvsumi 13521 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B )  = 
sum_ m  e.  y 
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )
7064, 67, 693brtr3g 4398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
71 ovollecl 21979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  sum_
m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR  /\  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
7258, 63, 70, 71syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
73 ssun2 3582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
74 ssnid 3973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
{ z }
7573, 74sselii 3414 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
76 nfcsb1v 3364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
7776, 39nfss 3410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  C_  RR
7841, 76nffv 5781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )
7978nfel1 2560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR
8077, 79nfan 1936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR )
81 csbeq1a 3357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
8281sseq1d 3444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR ) )
8381fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( vol* `  B )  =  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )
8483eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  (
( vol* `  B )  e.  RR  <->  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
8582, 84anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  z  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) 
<->  ( [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
8680, 85rspc 3129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
8775, 37, 86mpsyl 63 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
8887simprd 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR )
8972, 88readdcld 9534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  e.  RR )
90 iunxun 4328 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B )
91 vex 3037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
92 csbeq1 3351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  z  ->  [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
9391, 92iunxsn 4326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B
9493uneq2i 3569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  U_ m  e.  {
z } [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B )
9590, 94eqtri 2411 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
)
9695fveq2i 5777 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol* `  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B ) )
97 ovolun 21995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  /\  ( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )  -> 
( vol* `  ( U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  <_  (
( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
9858, 72, 87, 97syl21anc 1225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  <_  (
( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
9996, 98syl5eqbr 4400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
100 ovollecl 21979 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  e.  RR  /\  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
10155, 89, 99, 100syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
102 snfi 7515 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  e.  Fin
103 unfi 7702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
104102, 103mpan2 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
105104ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
106105, 61fsumrecl 13558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
10772, 63, 88, 70leadd1dd 10083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  <_ 
( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
108 simplr 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
109 disjsn 4004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
110108, 109sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
111 eqidd 2383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
11261recnd 9533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  CC )
113110, 111, 105, 112fsumsplit 13564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  + 
sum_ m  e.  { z }  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) ) )
11488recnd 9533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  CC )
11592fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  z  ->  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) )
116115sumsn 13565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  {
z }  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  =  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )
11791, 114, 116sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e. 
{ z }  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) )
118117oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  + 
sum_ m  e.  { z }  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) )  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
119113, 118eqtrd 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
120107, 119breqtrrd 4393 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) )
121101, 89, 106, 99, 120letrd 9650 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
12265, 38, 45cbviun 4280 . . . . . . . 8  |-  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
123122fveq2i 5777 . . . . . . 7  |-  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
12468, 42, 47cbvsumi 13521 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
)  =  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)
125121, 123, 1243brtr4g 4399 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
) )
126125exp32 603 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B
)  ->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
) ) ) )
127126a2d 26 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )  -> 
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B ) ) ) )
12836, 127syl5 32 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B ) ) ) )
1296, 12, 18, 24, 32, 128findcard2s 7676 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) ) )
130129imp 427 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   _Vcvv 3034   [_csb 3348    u. cun 3387    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   {csn 3944   U_ciun 4243   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Fincfn 7435   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403    + caddc 9406    <_ cle 9540   sum_csu 13510   vol*covol 21959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xadd 11240  df-ioo 11454  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-sum 13511  df-xmet 18525  df-met 18526  df-ovol 21961
This theorem is referenced by:  volfiniun  22042  uniioombllem3a  22078  uniioombllem4  22080  i1fd  22173  i1fadd  22187  i1fmul  22188  volsupnfl  30224
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