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Theorem ovolfiniun 20989
Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive. Finite sum version. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolfiniun  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem ovolfiniun
Dummy variables  m  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2922 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  (/)  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
2 iuneq1 4189 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  (/)  B )
32fveq2d 5700 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B ) )
4 sumeq1 13171 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B
) )
53, 4breq12d 4310 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( vol* `  B
)  <->  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B ) ) )
61, 5imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <-> 
( A. k  e.  (/)  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B ) ) ) )
7 raleq 2922 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
8 iuneq1 4189 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  y  B )
98fveq2d 5700 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  y  B ) )
10 sumeq1 13171 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  = 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )
119, 10breq12d 4310 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  <->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B
) ) )
127, 11imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <-> 
( A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) ) )
13 raleq 2922 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
14 iuneq1 4189 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1514fveq2d 5700 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B ) )
16 sumeq1 13171 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B
)  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
) )
1715, 16breq12d 4310 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B
)  <->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B )
) )
1813, 17imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B )
) ) )
19 raleq 2922 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR ) ) )
20 iuneq1 4189 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  A  B
)
2120fveq2d 5700 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  A  B ) )
22 sumeq1 13171 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol* `  B
) )
2321, 22breq12d 4310 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  <->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B
) ) )
2419, 23imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <-> 
( A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) ) ) )
25 0le0 10416 . . . . 5  |-  0  <_  0
26 0iun 4232 . . . . . . 7  |-  U_ k  e.  (/)  B  =  (/)
2726fveq2i 5699 . . . . . 6  |-  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  =  ( vol* `  (/) )
28 ovol0 20981 . . . . . 6  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
2927, 28eqtri 2463 . . . . 5  |-  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  =  0
30 sum0 13203 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B )  =  0
3125, 29, 303brtr4i 4325 . . . 4  |-  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B )
3231a1i 11 . . 3  |-  ( A. k  e.  (/)  ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B
) )
33 ssun1 3524 . . . . . 6  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
34 ssralv 3421 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
3635imim1i 58 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )
37 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
38 nfcsb1v 3309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
39 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k RR
4038, 39nfss 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR
41 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k vol*
4241, 38nffv 5703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )
4342nfel1 2594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR
4440, 43nfan 1861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
45 csbeq1a 3302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
4645sseq1d 3388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR ) )
4745fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  ( vol* `  B )  =  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) )
4847eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( vol* `  B )  e.  RR  <->  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
4946, 48anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) 
<->  ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
5044, 49rspc 3072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
5137, 50mpan9 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
5251simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
5352ralrimiva 2804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
54 iunss 4216 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ m  e.  ( y  u.  { z } )
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  <->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
5553, 54sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
56 iunss1 4187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
5733, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
5857, 55syl5ss 3372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR )
59 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  y  e.  Fin )
60 elun1 3528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  y  ->  m  e.  ( y  u.  {
z } ) )
6151simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
6260, 61sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
6359, 62fsumrecl 13216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
64 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B
) )
65 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ m B
6665, 38, 45cbviun 4212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ k  e.  y  B  =  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
6766fveq2i 5699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  =  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)
68 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ m
( vol* `  B )
6968, 42, 47cbvsumi 13179 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B )  = 
sum_ m  e.  y 
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )
7064, 67, 693brtr3g 4328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
71 ovollecl 20971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  sum_
m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR  /\  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
7258, 63, 70, 71syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
73 ssun2 3525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
74 ssnid 3911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
{ z }
7573, 74sselii 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
76 nfcsb1v 3309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
7776, 39nfss 3354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  C_  RR
7841, 76nffv 5703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )
7978nfel1 2594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR
8077, 79nfan 1861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR )
81 csbeq1a 3302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
8281sseq1d 3388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR ) )
8381fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( vol* `  B )  =  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )
8483eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  (
( vol* `  B )  e.  RR  <->  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
8582, 84anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  z  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) 
<->  ( [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
8680, 85rspc 3072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
8775, 37, 86mpsyl 63 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
8887simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR )
8972, 88readdcld 9418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  e.  RR )
90 iunxun 4257 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B )
91 vex 2980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
92 csbeq1 3296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  z  ->  [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
9391, 92iunxsn 4255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B
9493uneq2i 3512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  U_ m  e.  {
z } [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B )
9590, 94eqtri 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
)
9695fveq2i 5699 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol* `  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B ) )
97 ovolun 20987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  /\  ( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )  -> 
( vol* `  ( U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  <_  (
( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
9858, 72, 87, 97syl21anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  <_  (
( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
9996, 98syl5eqbr 4330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
100 ovollecl 20971 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  e.  RR  /\  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
10155, 89, 99, 100syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
102 snfi 7395 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  e.  Fin
103 unfi 7584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
104102, 103mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
105104ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
106105, 61fsumrecl 13216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
10772, 63, 88, 70leadd1dd 9958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  <_ 
( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
108 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
109 disjsn 3941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
110108, 109sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
111 eqidd 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
11261recnd 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  CC )
113110, 111, 105, 112fsumsplit 13221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  + 
sum_ m  e.  { z }  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) ) )
11488recnd 9417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  CC )
11592fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  z  ->  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) )
116115sumsn 13222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  {
z }  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  =  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )
11791, 114, 116sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e. 
{ z }  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) )
118117oveq2d 6112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  + 
sum_ m  e.  { z }  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) )  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
119113, 118eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
120107, 119breqtrrd 4323 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) )
121101, 89, 106, 99, 120letrd 9533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
12265, 38, 45cbviun 4212 . . . . . . . 8  |-  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
123122fveq2i 5699 . . . . . . 7  |-  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
12468, 42, 47cbvsumi 13179 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
)  =  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)
125121, 123, 1243brtr4g 4329 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
) )
126125exp32 605 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B
)  ->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
) ) ) )
127126a2d 26 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )  -> 
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B ) ) ) )
12836, 127syl5 32 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B ) ) ) )
1296, 12, 18, 24, 32, 128findcard2s 7558 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) ) )
130129imp 429 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   _Vcvv 2977   [_csb 3293    u. cun 3331    i^i cin 3332    C_ wss 3333   (/)c0 3642   {csn 3882   U_ciun 4176   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Fincfn 7315   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287    + caddc 9290    <_ cle 9424   sum_csu 13168   vol*covol 20951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xadd 11095  df-ioo 11309  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-sum 13169  df-xmet 17815  df-met 17816  df-ovol 20953
This theorem is referenced by:  volfiniun  21033  uniioombllem3a  21069  uniioombllem4  21071  i1fd  21164  i1fadd  21178  i1fmul  21179  volsupnfl  28441
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