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Theorem ovolfiniun 21785
Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive. Finite sum version. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolfiniun  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem ovolfiniun
Dummy variables  m  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 3040 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  (/)  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
2 iuneq1 4329 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  (/)  B )
32fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B ) )
4 sumeq1 13490 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B
) )
53, 4breq12d 4450 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( vol* `  B
)  <->  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B ) ) )
61, 5imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <-> 
( A. k  e.  (/)  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B ) ) ) )
7 raleq 3040 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
8 iuneq1 4329 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  y  B )
98fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  y  B ) )
10 sumeq1 13490 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  = 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )
119, 10breq12d 4450 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  <->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B
) ) )
127, 11imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <-> 
( A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) ) )
13 raleq 3040 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
14 iuneq1 4329 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1514fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B ) )
16 sumeq1 13490 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B
)  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
) )
1715, 16breq12d 4450 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B
)  <->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B )
) )
1813, 17imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B )
) ) )
19 raleq 3040 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR ) ) )
20 iuneq1 4329 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  A  B
)
2120fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol* `  U_ k  e.  A  B ) )
22 sumeq1 13490 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol* `  B
) )
2321, 22breq12d 4450 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B )  <->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B
) ) )
2419, 23imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol* `  B ) )  <-> 
( A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) ) ) )
25 0le0 10631 . . . . 5  |-  0  <_  0
26 0iun 4372 . . . . . . 7  |-  U_ k  e.  (/)  B  =  (/)
2726fveq2i 5859 . . . . . 6  |-  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  =  ( vol* `  (/) )
28 ovol0 21777 . . . . . 6  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
2927, 28eqtri 2472 . . . . 5  |-  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  =  0
30 sum0 13522 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B )  =  0
3125, 29, 303brtr4i 4465 . . . 4  |-  ( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B )
3231a1i 11 . . 3  |-  ( A. k  e.  (/)  ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol* `  B
) )
33 ssun1 3652 . . . . . 6  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
34 ssralv 3549 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
3635imim1i 58 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )
37 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
38 nfcsb1v 3436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
39 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k RR
4038, 39nfss 3482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR
41 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k vol*
4241, 38nffv 5863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )
4342nfel1 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR
4440, 43nfan 1914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
45 csbeq1a 3429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
4645sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR ) )
4745fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  ( vol* `  B )  =  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) )
4847eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( vol* `  B )  e.  RR  <->  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
4946, 48anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) 
<->  ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
5044, 49rspc 3190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
5137, 50mpan9 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
5251simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
5352ralrimiva 2857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
54 iunss 4356 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ m  e.  ( y  u.  { z } )
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  <->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
5553, 54sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
56 iunss1 4327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
5733, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
5857, 55syl5ss 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR )
59 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  y  e.  Fin )
60 elun1 3656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  y  ->  m  e.  ( y  u.  {
z } ) )
6151simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
6260, 61sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
6359, 62fsumrecl 13535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
64 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B
) )
65 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ m B
6665, 38, 45cbviun 4352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ k  e.  y  B  =  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
6766fveq2i 5859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  =  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)
68 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ m
( vol* `  B )
6968, 42, 47cbvsumi 13498 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B )  = 
sum_ m  e.  y 
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )
7064, 67, 693brtr3g 4468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
71 ovollecl 21767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  sum_
m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR  /\  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
7258, 63, 70, 71syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
73 ssun2 3653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
74 ssnid 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
{ z }
7573, 74sselii 3486 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
76 nfcsb1v 3436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
7776, 39nfss 3482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  C_  RR
7841, 76nffv 5863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )
7978nfel1 2621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR
8077, 79nfan 1914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR )
81 csbeq1a 3429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
8281sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR ) )
8381fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( vol* `  B )  =  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )
8483eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  (
( vol* `  B )  e.  RR  <->  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
8582, 84anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  z  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) 
<->  ( [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
8680, 85rspc 3190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
8775, 37, 86mpsyl 63 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
8887simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR )
8972, 88readdcld 9626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  e.  RR )
90 iunxun 4397 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B )
91 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
92 csbeq1 3423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  z  ->  [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
9391, 92iunxsn 4395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B
9493uneq2i 3640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  U_ m  e.  {
z } [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B )
9590, 94eqtri 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
)
9695fveq2i 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol* `  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B ) )
97 ovolun 21783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  /\  ( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )  -> 
( vol* `  ( U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  <_  (
( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
9858, 72, 87, 97syl21anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  <_  (
( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
9996, 98syl5eqbr 4470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
100 ovollecl 21767 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  e.  RR  /\  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
10155, 89, 99, 100syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
102 snfi 7598 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  e.  Fin
103 unfi 7789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
104102, 103mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
105104ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
106105, 61fsumrecl 13535 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
10772, 63, 88, 70leadd1dd 10172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  <_ 
( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
108 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
109 disjsn 4075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
110108, 109sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
111 eqidd 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
11261recnd 9625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  CC )
113110, 111, 105, 112fsumsplit 13541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  + 
sum_ m  e.  { z }  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) ) )
11488recnd 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  CC )
11592fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  z  ->  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) )
116115sumsn 13542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  {
z }  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  =  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )
11791, 114, 116sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e. 
{ z }  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol* `  [_ z  / 
k ]_ B ) )
118117oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  + 
sum_ m  e.  { z }  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) )  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
119113, 118eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
120107, 119breqtrrd 4463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol* `  [_ z  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B ) )
121101, 89, 106, 99, 120letrd 9742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
12265, 38, 45cbviun 4352 . . . . . . . 8  |-  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
123122fveq2i 5859 . . . . . . 7  |-  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( vol* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
12468, 42, 47cbvsumi 13498 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
)  =  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)
125121, 123, 1243brtr4g 4469 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  /\  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
) )
126125exp32 605 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B
)  ->  ( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol* `  B
) ) ) )
127126a2d 26 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )  -> 
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B ) ) ) )
12836, 127syl5 32 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol* `  B ) )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  -> 
( vol* `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol* `  B ) ) ) )
1296, 12, 18, 24, 32, 128findcard2s 7763 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) ) )
130129imp 429 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol* `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095   [_csb 3420    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   U_ciun 4315   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495    + caddc 9498    <_ cle 9632   sum_csu 13487   vol*covol 21747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xadd 11328  df-ioo 11542  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-xmet 18286  df-met 18287  df-ovol 21749
This theorem is referenced by:  volfiniun  21830  uniioombllem3a  21866  uniioombllem4  21868  i1fd  21961  i1fadd  21975  i1fmul  21976  volsupnfl  30034
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