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Theorem ovolfiniun 19350
Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive. Finite sum version. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolfiniun  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem ovolfiniun
Dummy variables  m  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2864 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  (/)  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) ) )
2 iuneq1 4066 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  (/)  B )
32fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( vol
* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol * `  U_ k  e.  (/)  B ) )
4 sumeq1 12438 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B
) )
53, 4breq12d 4185 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( vol * `  B
)  <->  ( vol * `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B ) ) )
61, 5imbi12d 312 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B ) )  <-> 
( A. k  e.  (/)  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B ) ) ) )
7 raleq 2864 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) ) )
8 iuneq1 4066 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  y  B )
98fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol * `  U_ k  e.  y  B ) )
10 sumeq1 12438 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B )  = 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) )
119, 10breq12d 4185 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B )  <->  ( vol * `
 U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )
127, 11imbi12d 312 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B ) )  <-> 
( A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) ) )
13 raleq 2864 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) ) )
14 iuneq1 4066 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1514fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B ) )
16 sumeq1 12438 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B
)  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  B
) )
1715, 16breq12d 4185 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( vol
* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B
)  <->  ( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol
* `  B )
) )
1813, 17imbi12d 312 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B ) )  <->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol
* `  B )
) ) )
19 raleq 2864 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR ) ) )
20 iuneq1 4066 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  A  B
)
2120fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol * `  U_ k  e.  A  B ) )
22 sumeq1 12438 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol * `  B
) )
2321, 22breq12d 4185 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B )  <->  ( vol * `
 U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) ) )
2419, 23imbi12d 312 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B ) )  <-> 
( A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) ) ) )
25 0le0 10037 . . . . 5  |-  0  <_  0
26 0iun 4108 . . . . . . 7  |-  U_ k  e.  (/)  B  =  (/)
2726fveq2i 5690 . . . . . 6  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  (/)  B )  =  ( vol * `  (/) )
28 ovol0 19342 . . . . . 6  |-  ( vol
* `  (/) )  =  0
2927, 28eqtri 2424 . . . . 5  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  (/)  B )  =  0
30 sum0 12470 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B )  =  0
3125, 29, 303brtr4i 4200 . . . 4  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B )
3231a1i 11 . . 3  |-  ( A. k  e.  (/)  ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B
) )
33 ssun1 3470 . . . . . 6  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
34 ssralv 3367 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) ) )
3533, 34ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
3635imim1i 56 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )
37 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
38 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
39 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k RR
4038, 39nfss 3301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR
41 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k vol *
4241, 38nffv 5694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )
4342nfel1 2550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR
4440, 43nfan 1842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
45 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
4645sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR ) )
4745fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  ( vol * `  B )  =  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B ) )
4847eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( vol * `  B )  e.  RR  <->  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
4946, 48anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) 
<->  ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
5044, 49rspc 3006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
5137, 50mpan9 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
5251simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
5352ralrimiva 2749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
54 iunss 4092 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ m  e.  ( y  u.  { z } )
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  <->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
5553, 54sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
56 iunss1 4064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
5733, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
5857, 55syl5ss 3319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR )
59 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  y  e.  Fin )
60 elun1 3474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  y  ->  m  e.  ( y  u.  {
z } ) )
6151simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
6260, 61sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( vol * `
 [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
6359, 62fsumrecl 12483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
64 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) )
65 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ m B
6665, 38, 45cbviun 4088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ k  e.  y  B  =  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
6766fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  y  B )  =  ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)
68 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ m
( vol * `  B )
6968, 42, 47cbvsumi 12446 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B )  = 
sum_ m  e.  y 
( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )
7064, 67, 693brtr3g 4203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol * `
 [_ m  /  k ]_ B ) )
71 ovollecl 19332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  sum_
m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR  /\  ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
) )  ->  ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
7258, 63, 70, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
73 ssun2 3471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
74 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
7574snid 3801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
{ z }
7673, 75sselii 3305 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
77 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
7877, 39nfss 3301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  C_  RR
7941, 77nffv 5694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( vol * `  [_ z  /  k ]_ B )
8079nfel1 2550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR
8178, 80nfan 1842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR )
82 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
8382sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR ) )
8482fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( vol * `  B )  =  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )
8584eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  (
( vol * `  B )  e.  RR  <->  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
8683, 85anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  z  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) 
<->  ( [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
8781, 86rspc 3006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
8876, 37, 87mpsyl 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
8988simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR )
9072, 89readdcld 9071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )  e.  RR )
91 iunxun 4132 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B )
92 csbeq1 3214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  z  ->  [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
9374, 92iunxsn 4130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B
9493uneq2i 3458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  U_ m  e.  {
z } [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B )
9591, 94eqtri 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
)
9695fveq2i 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol
* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol
* `  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B ) )
97 ovolun 19348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  /\  ( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )  -> 
( vol * `  ( U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  <_  (
( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
9858, 72, 88, 97syl21anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  <_  (
( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
9996, 98syl5eqbr 4205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
100 ovollecl 19332 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )  e.  RR  /\  ( vol
* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )  ->  ( vol * `  U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
10155, 90, 99, 100syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
102 snfi 7146 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  e.  Fin
103 unfi 7333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
104102, 103mpan2 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
105104ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
106105, 61fsumrecl 12483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
10772, 63, 89, 70leadd1dd 9596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )  <_ 
( sum_ m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
108 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
109 disjsn 3828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
110108, 109sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
111 eqidd 2405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
11261recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  CC )
113110, 111, 105, 112fsumsplit 12488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol
* `  [_ m  / 
k ]_ B )  + 
sum_ m  e.  { z }  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B ) ) )
11489recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 [_ z  /  k ]_ B )  e.  CC )
11592fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  z  ->  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B ) )
116115sumsn 12489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  {
z }  ( vol
* `  [_ m  / 
k ]_ B )  =  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )
11774, 114, 116sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e. 
{ z }  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B ) )
118117oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  y  ( vol
* `  [_ m  / 
k ]_ B )  + 
sum_ m  e.  { z }  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B ) )  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
119113, 118eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol
* `  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
120107, 119breqtrrd 4198 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B ) )
121101, 90, 106, 99, 120letrd 9183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
) )
12265, 38, 45cbviun 4088 . . . . . . . 8  |-  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
123122fveq2i 5690 . . . . . . 7  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( vol
* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
12468, 42, 47cbvsumi 12446 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  B
)  =  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)
125121, 123, 1243brtr4g 4204 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol
* `  B )
)
126125exp32 589 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( ( vol
* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `  B
)  ->  ( vol * `
 U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol
* `  B )
) ) )
127126a2d 24 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) )  -> 
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol * `  B ) ) ) )
12836, 127syl5 30 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol * `  B ) ) ) )
1296, 12, 18, 24, 32, 128findcard2s 7308 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) ) )
130129imp 419 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   [_csb 3211    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   U_ciun 4053   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949    <_ cle 9077   sum_csu 12434   vol
*covol 19312
This theorem is referenced by:  volfiniun  19394  uniioombllem3a  19429  uniioombllem4  19431  i1fd  19526  i1fadd  19540  i1fmul  19541  volsupnfl  26150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-xmet 16650  df-met 16651  df-ovol 19314
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