MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolf Structured version   Unicode version

Theorem ovolf 22019
Description: The domain and range of the outer volume function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolf  |-  vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )

Proof of Theorem ovolf
Dummy variables  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11372 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
2 cnvso 5552 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
31, 2mpbi 208 . . . 4  |-  `'  <  Or 
RR*
43supex 7940 . . 3  |-  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( x  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  _V
5 df-ovol 22002 . . 3  |-  vol* 
=  ( x  e. 
~P RR  |->  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( x  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) )
64, 5fnmpti 5715 . 2  |-  vol*  Fn  ~P RR
7 elpwi 4024 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P RR  ->  x 
C_  RR )
8 ovolcl 22015 . . . . 5  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( vol* `  x )  e.  RR* )
9 ovolge0 22018 . . . . 5  |-  ( x 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol* `  x ) )
10 pnfge 11364 . . . . . 6  |-  ( ( vol* `  x
)  e.  RR*  ->  ( vol* `  x
)  <_ +oo )
118, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( vol* `  x )  <_ +oo )
12 0xr 9657 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
13 pnfxr 11346 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
14 elicc1 11598 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( vol* `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( vol* `  x )  e.  RR*  /\  0  <_  ( vol* `  x )  /\  ( vol* `  x
)  <_ +oo )
) )
1512, 13, 14mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( vol* `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( vol* `  x )  e.  RR*  /\  0  <_  ( vol* `  x )  /\  ( vol* `  x )  <_ +oo ) )
168, 9, 11, 15syl3anbrc 1180 . . . 4  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( vol* `  x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
177, 16syl 16 . . 3  |-  ( x  e.  ~P RR  ->  ( vol* `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1817rgen 2817 . 2  |-  A. x  e.  ~P  RR ( vol* `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
19 ffnfv 6058 . 2  |-  ( vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )  <->  ( vol*  Fn  ~P RR  /\  A. x  e.  ~P  RR ( vol* `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
206, 18, 19mpbir2an 920 1  |-  vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    Or wor 4808    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   ran crn 5009    o. ccom 5012    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   NNcn 10556   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557    seqcseq 12110   abscabs 13079   vol*covol 22000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-ovol 22002
This theorem is referenced by:  ismbl  22063  volf  22066  ovolfs2  22106
  Copyright terms: Public domain W3C validator