MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolctb2 Structured version   Unicode version

Theorem ovolctb2 22085
Description: The volume of a countable set is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolctb2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )

Proof of Theorem ovolctb2
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  A  C_  RR )
2 nnssre 10498 . . . 4  |-  NN  C_  RR
31, 2jctir 536 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A 
C_  RR  /\  NN  C_  RR ) )
4 unss 3614 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  NN  C_  RR )  <->  ( A  u.  NN )  C_  RR )
53, 4sylib 196 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  C_  RR )
6 nnenom 12042 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
7 domentr 7530 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  NN  ~~  om )  ->  A  ~<_  om )
86, 7mpan2 669 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  ~<_  om )
98adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  A  ~<_  om )
10 endom 7498 . . . . . . 7  |-  ( NN 
~~  om  ->  NN  ~<_  om )
116, 10ax-mp 5 . . . . . 6  |-  NN  ~<_  om
12 unctb 8535 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  NN  ~<_  om )  ->  ( A  u.  NN )  ~<_  om )
139, 11, 12sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  ~<_  om )
146ensymi 7521 . . . . 5  |-  om  ~~  NN
15 domentr 7530 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  NN )  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  ( A  u.  NN )  ~<_  NN )
1613, 14, 15sylancl 660 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  ~<_  NN )
17 reex 9531 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
1817ssex 4535 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  NN ) 
C_  RR  ->  ( A  u.  NN )  e. 
_V )
195, 18syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  e. 
_V )
20 ssun2 3604 . . . . 5  |-  NN  C_  ( A  u.  NN )
21 ssdomg 7517 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  NN )  e.  _V  ->  ( NN  C_  ( A  u.  NN )  ->  NN  ~<_  ( A  u.  NN ) ) )
2219, 20, 21mpisyl 19 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  NN  ~<_  ( A  u.  NN ) )
23 sbth 7593 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  NN )  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  ( A  u.  NN ) )  ->  ( A  u.  NN )  ~~  NN )
2416, 22, 23syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  ~~  NN )
25 ovolctb 22083 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  NN )  C_  RR  /\  ( A  u.  NN )  ~~  NN )  ->  ( vol* `  ( A  u.  NN ) )  =  0 )
265, 24, 25syl2anc 659 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( vol* `  ( A  u.  NN ) )  =  0 )
27 ssun1 3603 . . 3  |-  A  C_  ( A  u.  NN )
28 ovolssnul 22080 . . 3  |-  ( ( A  C_  ( A  u.  NN )  /\  ( A  u.  NN )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( A  u.  NN ) )  =  0 )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
2927, 28mp3an1 1311 . 2  |-  ( ( ( A  u.  NN )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( A  u.  NN ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  A )  =  0 )
305, 26, 29syl2anc 659 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   _Vcvv 3056    u. cun 3409    C_ wss 3411   class class class wbr 4392   ` cfv 5523   omcom 6636    ~~ cen 7469    ~<_ cdom 7470   RRcr 9439   0cc0 9440   NNcn 10494   vol*covol 22056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xadd 11288  df-ioo 11502  df-ico 11504  df-icc 11505  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-sum 13563  df-xmet 18622  df-met 18623  df-ovol 22058
This theorem is referenced by:  ovol0  22086  ovolfi  22087  uniiccdif  22169  voliunnfl  31394  volsupnfl  31395
  Copyright terms: Public domain W3C validator