MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolctb2 Structured version   Unicode version

Theorem ovolctb2 21110
Description: The volume of a countable set is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolctb2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )

Proof of Theorem ovolctb2
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  A  C_  RR )
2 nnssre 10440 . . . 4  |-  NN  C_  RR
31, 2jctir 538 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A 
C_  RR  /\  NN  C_  RR ) )
4 unss 3641 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  NN  C_  RR )  <->  ( A  u.  NN )  C_  RR )
53, 4sylib 196 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  C_  RR )
6 nnenom 11922 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
7 domentr 7481 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  NN  ~~  om )  ->  A  ~<_  om )
86, 7mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  ~<_  om )
98adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  A  ~<_  om )
10 endom 7449 . . . . . . 7  |-  ( NN 
~~  om  ->  NN  ~<_  om )
116, 10ax-mp 5 . . . . . 6  |-  NN  ~<_  om
12 unctb 8488 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  NN  ~<_  om )  ->  ( A  u.  NN )  ~<_  om )
139, 11, 12sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  ~<_  om )
146ensymi 7472 . . . . 5  |-  om  ~~  NN
15 domentr 7481 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  NN )  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  ( A  u.  NN )  ~<_  NN )
1613, 14, 15sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  ~<_  NN )
17 reex 9487 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
1817ssex 4547 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  NN ) 
C_  RR  ->  ( A  u.  NN )  e. 
_V )
195, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  e. 
_V )
20 ssun2 3631 . . . . 5  |-  NN  C_  ( A  u.  NN )
21 ssdomg 7468 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  NN )  e.  _V  ->  ( NN  C_  ( A  u.  NN )  ->  NN  ~<_  ( A  u.  NN ) ) )
2219, 20, 21mpisyl 18 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  NN  ~<_  ( A  u.  NN ) )
23 sbth 7544 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  NN )  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  ( A  u.  NN ) )  ->  ( A  u.  NN )  ~~  NN )
2416, 22, 23syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  ~~  NN )
25 ovolctb 21108 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  NN )  C_  RR  /\  ( A  u.  NN )  ~~  NN )  ->  ( vol* `  ( A  u.  NN ) )  =  0 )
265, 24, 25syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( vol* `  ( A  u.  NN ) )  =  0 )
27 ssun1 3630 . . 3  |-  A  C_  ( A  u.  NN )
28 ovolssnul 21105 . . 3  |-  ( ( A  C_  ( A  u.  NN )  /\  ( A  u.  NN )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( A  u.  NN ) )  =  0 )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
2927, 28mp3an1 1302 . 2  |-  ( ( ( A  u.  NN )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( A  u.  NN ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  A )  =  0 )
305, 26, 29syl2anc 661 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    u. cun 3437    C_ wss 3439   class class class wbr 4403   ` cfv 5529   omcom 6589    ~~ cen 7420    ~<_ cdom 7421   RRcr 9395   0cc0 9396   NNcn 10436   vol*covol 21081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xadd 11204  df-ioo 11418  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-sum 13285  df-xmet 17938  df-met 17939  df-ovol 21083
This theorem is referenced by:  ovol0  21111  ovolfi  21112  uniiccdif  21194  voliunnfl  28603  volsupnfl  28604
  Copyright terms: Public domain W3C validator