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Theorem ovolctb 22491
Description: The volume of a denumerable set is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ovolctb  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~~  NN )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )

Proof of Theorem ovolctb
Dummy variables  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 7643 . 2  |-  ( A 
~~  NN  ->  NN  ~~  A )
2 bren 7603 . . . 4  |-  ( NN 
~~  A  <->  E. f 
f : NN -1-1-onto-> A )
3 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
4 f1of 5836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  f : NN
--> A )
54adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f : NN --> A )
65ffvelrnda 6044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  e.  A )
73, 6sseldd 3444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  e.  RR )
87leidd 10207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  <_  ( f `  x
) )
9 df-br 4416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  x )  <_  ( f `  x )  <->  <. ( f `
 x ) ,  ( f `  x
) >.  e.  <_  )
108, 9sylib 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  <_  )
11 opelxpi 4884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  RR  /\  ( f `  x
)  e.  RR )  ->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  e.  ( RR  X.  RR ) )
127, 7, 11syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
1310, 12elind 3629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
14 df-ov 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  x )  _I  ( f `  x ) )  =  (  _I  `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
15 opex 4677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  _V
16 fvi 5944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.  e.  _V  ->  (  _I  ` 
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
)  =  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  _I 
`  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >.
1814, 17eqtri 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  _I  ( f `  x ) )  = 
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
1918mpteq2i 4499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `  x )  _I  ( f `  x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
2013, 19fmptd 6068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( ( f `  x
)  _I  ( f `
 x ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
21 nnex 10642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  e.  _V
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  NN  e.  _V )
237recnd 9694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  e.  CC )
245feqmptd 5940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f  =  ( x  e.  NN  |->  ( f `  x ) ) )
2522, 23, 23, 24, 24offval2 6574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
f  oF  _I  f )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `  x
)  _I  ( f `
 x ) ) ) )
2625feq1d 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( f  oF  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `
 x )  _I  ( f `  x
) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
2720, 26mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
f  oF  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
28 f1ofo 5843 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  f : NN -onto-> A )
2928adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f : NN -onto-> A )
30 forn 5818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  ran  f  =  A
)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ran  f  =  A )
3231eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  ran  f  <->  y  e.  A ) )
33 f1ofn 5837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  f  Fn  NN )
3433adantl 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f  Fn  NN )
35 fvelrnb 5934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  Fn  NN  ->  (
y  e.  ran  f  <->  E. x  e.  NN  (
f `  x )  =  y ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  ran  f  <->  E. x  e.  NN  (
f `  x )  =  y ) )
3732, 36bitr3d 263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  A  <->  E. x  e.  NN  ( f `  x )  =  y ) )
3825, 19syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
f  oF  _I  f )  =  ( x  e.  NN  |->  <.
( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) )
3938fveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( f  oF  _I  f ) `  x )  =  ( ( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) `  x )
)
40 eqid 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  NN  |->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )  =  ( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
4140fvmpt2 5979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  NN  /\  <.
( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.  e.  _V )  ->  (
( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) `  x )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
4215, 41mpan2 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) `  x )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
4339, 42sylan9eq 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( f  oF  _I  f ) `  x )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
4443fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
)  =  ( 1st `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. ) )
45 fvex 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
4645, 45op1st 6827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1st `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )  =  (
f `  x )
4744, 46syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
)  =  ( f `
 x ) )
4847, 8eqbrtrd 4436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
)  <_  ( f `  x ) )
4943fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
)  =  ( 2nd `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. ) )
5045, 45op2nd 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2nd `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )  =  (
f `  x )
5149, 50syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
)  =  ( f `
 x ) )
528, 51breqtrrd 4442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  <_  ( 2nd `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) ) )
5348, 52jca 539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
( f `  x
)  /\  ( f `  x )  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
) ) )
54 breq2 4419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  (
( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
( f `  x
)  <->  ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y ) )
55 breq1 4418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  (
( f `  x
)  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `
 x ) )  <-> 
y  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `
 x ) ) ) )
5654, 55anbi12d 722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  (
( ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
( f `  x
)  /\  ( f `  x )  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
) )  <->  ( ( 1st `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
)  <_  y  /\  y  <_  ( 2nd `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) ) ) ) )
5753, 56syl5ibcom 228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( f `  x
)  =  y  -> 
( ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
5857reximdva 2873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( E. x  e.  NN  ( f `  x
)  =  y  ->  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
5937, 58sylbid 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  A  ->  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
6059ralrimiv 2811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  A. y  e.  A  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  ( ( f  oF  _I  f ) `
 x ) )  <_  y  /\  y  <_  ( 2nd `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) ) ) )
61 ovolficc 22469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
f  oF  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  ->  ( A  C_  U.
ran  ( [,]  o.  ( f  oF  _I  f ) )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
6227, 61syldan 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( A  C_  U. ran  ( [,]  o.  ( f  oF  _I  f ) )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
6360, 62mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  A  C_ 
U. ran  ( [,]  o.  ( f  oF  _I  f ) ) )
64 eqid 2461 . . . . . . . . . 10  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f
) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f ) ) )
6564ovollb2 22490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  oF  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  A  C_ 
U. ran  ( [,]  o.  ( f  oF  _I  f ) ) )  ->  ( vol* `  A )  <_  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
6627, 63, 65syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol* `  A )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  oF  _I  f ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
67 opelxpi 4884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  CC  /\  ( f `  x
)  e.  CC )  ->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  e.  ( CC  X.  CC ) )
6823, 23, 67syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
69 absf 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  abs : CC
--> RR
70 subf 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
71 fco 5761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC )  -> 
( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR )
7269, 70, 71mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs 
o.  -  ) :
( CC  X.  CC )
--> RR
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC )
--> RR )
7473feqmptd 5940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( abs  o.  -  )  =  ( y  e.  ( CC  X.  CC ) 
|->  ( ( abs  o.  -  ) `  y
) ) )
75 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  ->  ( ( abs 
o.  -  ) `  y )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. ( f `
 x ) ,  ( f `  x
) >. ) )
76 df-ov 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  x ) ( abs  o.  -  ) ( f `  x ) )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
7775, 76syl6eqr 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  ->  ( ( abs 
o.  -  ) `  y )  =  ( ( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) ) )
7868, 38, 74, 77fmptco 6079 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `
 x ) ( abs  o.  -  )
( f `  x
) ) ) )
79 cnmet 21840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( Met `  CC )
80 met0 21406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( Met `  CC )  /\  (
f `  x )  e.  CC )  ->  (
( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) )  =  0 )
8179, 23, 80sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) )  =  0 )
8281mpteq2dva 4502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( ( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  0 ) )
8378, 82eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f ) )  =  ( x  e.  NN  |->  0 ) )
84 fconstmpt 4896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  NN  |->  0 )
8583, 84syl6eqr 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
8685seqeq3d 12252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  oF  _I  f ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( NN 
X.  { 0 } ) ) )
87 1z 10995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
88 nnuz 11222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8988ser0f 12297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
9087, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( NN  X.  {
0 } )
9186, 90syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  oF  _I  f ) ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
9291rneqd 5080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  oF  _I  f ) ) )  =  ran  ( NN 
X.  { 0 } ) )
93 1nn 10647 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
94 ne0i 3748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
95 rnxp 5285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  ran  ( NN 
X.  { 0 } )  =  { 0 } )
9693, 94, 95mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( NN  X.  { 0 } )  =  { 0 }
9792, 96syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  oF  _I  f ) ) )  =  { 0 } )
9897supeq1d 7985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  ) )
99 xrltso 11468 . . . . . . . . . 10  |-  <  Or  RR*
100 0xr 9712 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
101 supsn 8013 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
10299, 100, 101mp2an 683 . . . . . . . . 9  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
10398, 102syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0 )
10466, 103breqtrd 4440 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol* `  A )  <_  0 )
105 ovolge0 22482 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol* `  A ) )
106105adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  0  <_  ( vol* `  A ) )
107 ovolcl 22479 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol* `  A )  e.  RR* )
108107adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR* )
109 xrletri3 11479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( vol* `  A )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( ( vol* `  A )  =  0  <-> 
( ( vol* `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  A )
) ) )
110108, 100, 109sylancl 673 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( vol* `  A )  =  0  <-> 
( ( vol* `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  A )
) ) )
111104, 106, 110mpbir2and 938 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
112111ex 440 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  ( vol* `  A )  =  0 ) )
113112exlimdv 1789 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. f  f : NN -1-1-onto-> A  ->  ( vol* `  A )  =  0 ) )
1142, 113syl5bi 225 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( NN 
~~  A  ->  ( vol* `  A )  =  0 ) )
115114imp 435 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  NN  ~~  A )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
1161, 115sylan2 481 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~~  NN )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454   E.wex 1673    e. wcel 1897    =/= wne 2632   A.wral 2748   E.wrex 2749   _Vcvv 3056    i^i cin 3414    C_ wss 3415   (/)c0 3742   {csn 3979   <.cop 3985   U.cuni 4211   class class class wbr 4415    |-> cmpt 4474    _I cid 4762    Or wor 4772    X. cxp 4850   ran crn 4853    o. ccom 4856    Fn wfn 5595   -->wf 5596   -onto->wfo 5598   -1-1-onto->wf1o 5599   ` cfv 5600  (class class class)co 6314    oFcof 6555   1stc1st 6817   2ndc2nd 6818    ~~ cen 7591   supcsup 7979   CCcc 9562   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565    + caddc 9567   RR*cxr 9699    < clt 9700    <_ cle 9701    - cmin 9885   NNcn 10636   ZZcz 10965   [,]cicc 11666    seqcseq 12244   abscabs 13345   Metcme 19004   vol*covol 22461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xadd 11438  df-ioo 11667  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-clim 13600  df-sum 13801  df-xmet 19011  df-met 19012  df-ovol 22464
This theorem is referenced by:  ovolq  22492  ovolctb2  22493  ovoliunnfl  32026
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