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Theorem ovolctb 22385
Description: The volume of a denumerable set is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ovolctb  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~~  NN )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )

Proof of Theorem ovolctb
Dummy variables  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 7572 . 2  |-  ( A 
~~  NN  ->  NN  ~~  A )
2 bren 7533 . . . 4  |-  ( NN 
~~  A  <->  E. f 
f : NN -1-1-onto-> A )
3 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
4 f1of 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  f : NN
--> A )
54adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f : NN --> A )
65ffvelrnda 5981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  e.  A )
73, 6sseldd 3408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  e.  RR )
87leidd 10131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  <_  ( f `  x
) )
9 df-br 4367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  x )  <_  ( f `  x )  <->  <. ( f `
 x ) ,  ( f `  x
) >.  e.  <_  )
108, 9sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  <_  )
11 opelxpi 4828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  RR  /\  ( f `  x
)  e.  RR )  ->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  e.  ( RR  X.  RR ) )
127, 7, 11syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
1310, 12elind 3593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
14 df-ov 6252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  x )  _I  ( f `  x ) )  =  (  _I  `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
15 opex 4628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  _V
16 fvi 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.  e.  _V  ->  (  _I  ` 
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
)  =  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  _I 
`  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >.
1814, 17eqtri 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  _I  ( f `  x ) )  = 
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
1918mpteq2i 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `  x )  _I  ( f `  x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
2013, 19fmptd 6005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( ( f `  x
)  _I  ( f `
 x ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
21 nnex 10566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  e.  _V
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  NN  e.  _V )
237recnd 9620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  e.  CC )
245feqmptd 5878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f  =  ( x  e.  NN  |->  ( f `  x ) ) )
2522, 23, 23, 24, 24offval2 6506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
f  oF  _I  f )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `  x
)  _I  ( f `
 x ) ) ) )
2625feq1d 5675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( f  oF  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `
 x )  _I  ( f `  x
) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
2720, 26mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
f  oF  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
28 f1ofo 5781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  f : NN -onto-> A )
2928adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f : NN -onto-> A )
30 forn 5756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  ran  f  =  A
)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ran  f  =  A )
3231eleq2d 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  ran  f  <->  y  e.  A ) )
33 f1ofn 5775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  f  Fn  NN )
3433adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f  Fn  NN )
35 fvelrnb 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  Fn  NN  ->  (
y  e.  ran  f  <->  E. x  e.  NN  (
f `  x )  =  y ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  ran  f  <->  E. x  e.  NN  (
f `  x )  =  y ) )
3732, 36bitr3d 258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  A  <->  E. x  e.  NN  ( f `  x )  =  y ) )
3825, 19syl6eq 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
f  oF  _I  f )  =  ( x  e.  NN  |->  <.
( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) )
3938fveq1d 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( f  oF  _I  f ) `  x )  =  ( ( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) `  x )
)
40 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  NN  |->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )  =  ( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
4140fvmpt2 5917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  NN  /\  <.
( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.  e.  _V )  ->  (
( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) `  x )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
4215, 41mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) `  x )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
4339, 42sylan9eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( f  oF  _I  f ) `  x )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
4443fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
)  =  ( 1st `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. ) )
45 fvex 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
4645, 45op1st 6759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1st `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )  =  (
f `  x )
4744, 46syl6eq 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
)  =  ( f `
 x ) )
4847, 8eqbrtrd 4387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
)  <_  ( f `  x ) )
4943fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
)  =  ( 2nd `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. ) )
5045, 45op2nd 6760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2nd `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )  =  (
f `  x )
5149, 50syl6eq 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
)  =  ( f `
 x ) )
528, 51breqtrrd 4393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  <_  ( 2nd `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) ) )
5348, 52jca 534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
( f `  x
)  /\  ( f `  x )  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
) ) )
54 breq2 4370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  (
( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
( f `  x
)  <->  ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y ) )
55 breq1 4369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  (
( f `  x
)  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `
 x ) )  <-> 
y  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `
 x ) ) ) )
5654, 55anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  (
( ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
( f `  x
)  /\  ( f `  x )  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
) )  <->  ( ( 1st `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
)  <_  y  /\  y  <_  ( 2nd `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) ) ) ) )
5753, 56syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( f `  x
)  =  y  -> 
( ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
5857reximdva 2839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( E. x  e.  NN  ( f `  x
)  =  y  ->  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
5937, 58sylbid 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  A  ->  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
6059ralrimiv 2777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  A. y  e.  A  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  ( ( f  oF  _I  f ) `
 x ) )  <_  y  /\  y  <_  ( 2nd `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) ) ) )
61 ovolficc 22363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
f  oF  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  ->  ( A  C_  U.
ran  ( [,]  o.  ( f  oF  _I  f ) )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
6227, 61syldan 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( A  C_  U. ran  ( [,]  o.  ( f  oF  _I  f ) )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
6360, 62mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  A  C_ 
U. ran  ( [,]  o.  ( f  oF  _I  f ) ) )
64 eqid 2428 . . . . . . . . . 10  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f
) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f ) ) )
6564ovollb2 22384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  oF  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  A  C_ 
U. ran  ( [,]  o.  ( f  oF  _I  f ) ) )  ->  ( vol* `  A )  <_  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
6627, 63, 65syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol* `  A )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  oF  _I  f ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
67 opelxpi 4828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  CC  /\  ( f `  x
)  e.  CC )  ->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  e.  ( CC  X.  CC ) )
6823, 23, 67syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
69 absf 13344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  abs : CC
--> RR
70 subf 9828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
71 fco 5699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC )  -> 
( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR )
7269, 70, 71mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs 
o.  -  ) :
( CC  X.  CC )
--> RR
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC )
--> RR )
7473feqmptd 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( abs  o.  -  )  =  ( y  e.  ( CC  X.  CC ) 
|->  ( ( abs  o.  -  ) `  y
) ) )
75 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  ->  ( ( abs 
o.  -  ) `  y )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. ( f `
 x ) ,  ( f `  x
) >. ) )
76 df-ov 6252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  x ) ( abs  o.  -  ) ( f `  x ) )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
7775, 76syl6eqr 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  ->  ( ( abs 
o.  -  ) `  y )  =  ( ( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) ) )
7868, 38, 74, 77fmptco 6015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `
 x ) ( abs  o.  -  )
( f `  x
) ) ) )
79 cnmet 21734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( Met `  CC )
80 met0 21300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( Met `  CC )  /\  (
f `  x )  e.  CC )  ->  (
( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) )  =  0 )
8179, 23, 80sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) )  =  0 )
8281mpteq2dva 4453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( ( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  0 ) )
8378, 82eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f ) )  =  ( x  e.  NN  |->  0 ) )
84 fconstmpt 4840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  NN  |->  0 )
8583, 84syl6eqr 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
8685seqeq3d 12171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  oF  _I  f ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( NN 
X.  { 0 } ) ) )
87 1z 10918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
88 nnuz 11145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8988ser0f 12216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
9087, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( NN  X.  {
0 } )
9186, 90syl6eq 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  oF  _I  f ) ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
9291rneqd 5024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  oF  _I  f ) ) )  =  ran  ( NN 
X.  { 0 } ) )
93 1nn 10571 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
94 ne0i 3710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
95 rnxp 5229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  ran  ( NN 
X.  { 0 } )  =  { 0 } )
9693, 94, 95mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( NN  X.  { 0 } )  =  { 0 }
9792, 96syl6eq 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  oF  _I  f ) ) )  =  { 0 } )
9897supeq1d 7913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  ) )
99 xrltso 11391 . . . . . . . . . 10  |-  <  Or  RR*
100 0xr 9638 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
101 supsn 7941 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
10299, 100, 101mp2an 676 . . . . . . . . 9  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
10398, 102syl6eq 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0 )
10466, 103breqtrd 4391 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol* `  A )  <_  0 )
105 ovolge0 22376 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol* `  A ) )
106105adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  0  <_  ( vol* `  A ) )
107 ovolcl 22373 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol* `  A )  e.  RR* )
108107adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR* )
109 xrletri3 11402 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( vol* `  A )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( ( vol* `  A )  =  0  <-> 
( ( vol* `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  A )
) ) )
110108, 100, 109sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( vol* `  A )  =  0  <-> 
( ( vol* `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  A )
) ) )
111104, 106, 110mpbir2and 930 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
112111ex 435 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  ( vol* `  A )  =  0 ) )
113112exlimdv 1772 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. f  f : NN -1-1-onto-> A  ->  ( vol* `  A )  =  0 ) )
1142, 113syl5bi 220 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( NN 
~~  A  ->  ( vol* `  A )  =  0 ) )
115114imp 430 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  NN  ~~  A )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
1161, 115sylan2 476 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~~  NN )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 3022    i^i cin 3378    C_ wss 3379   (/)c0 3704   {csn 3941   <.cop 3947   U.cuni 4162   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425    _I cid 4706    Or wor 4716    X. cxp 4794   ran crn 4797    o. ccom 4800    Fn wfn 5539   -->wf 5540   -onto->wfo 5542   -1-1-onto->wf1o 5543   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    oFcof 6487   1stc1st 6749   2ndc2nd 6750    ~~ cen 7521   supcsup 7907   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9811   NNcn 10560   ZZcz 10888   [,]cicc 11589    seqcseq 12163   abscabs 13241   Metcme 18899   vol*covol 22355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xadd 11361  df-ioo 11590  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-sum 13696  df-xmet 18906  df-met 18907  df-ovol 22358
This theorem is referenced by:  ovolq  22386  ovolctb2  22387  ovoliunnfl  31889
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