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Theorem ovolctb 21664
Description: The volume of a denumerable set is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ovolctb  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~~  NN )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )

Proof of Theorem ovolctb
Dummy variables  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 7564 . 2  |-  ( A 
~~  NN  ->  NN  ~~  A )
2 bren 7525 . . . 4  |-  ( NN 
~~  A  <->  E. f 
f : NN -1-1-onto-> A )
3 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
4 f1of 5816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  f : NN
--> A )
54adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f : NN --> A )
65ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  e.  A )
73, 6sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  e.  RR )
87leidd 10119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  <_  ( f `  x
) )
9 df-br 4448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  x )  <_  ( f `  x )  <->  <. ( f `
 x ) ,  ( f `  x
) >.  e.  <_  )
108, 9sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  <_  )
11 opelxpi 5031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  RR  /\  ( f `  x
)  e.  RR )  ->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  e.  ( RR  X.  RR ) )
127, 7, 11syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
1310, 12elind 3688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
14 df-ov 6287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  x )  _I  ( f `  x ) )  =  (  _I  `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
15 opex 4711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  _V
16 fvi 5924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.  e.  _V  ->  (  _I  ` 
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
)  =  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  _I 
`  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >.
1814, 17eqtri 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  _I  ( f `  x ) )  = 
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
1918mpteq2i 4530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `  x )  _I  ( f `  x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
2013, 19fmptd 6045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( ( f `  x
)  _I  ( f `
 x ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
21 nnex 10542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  e.  _V
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  NN  e.  _V )
237recnd 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  e.  CC )
245feqmptd 5920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f  =  ( x  e.  NN  |->  ( f `  x ) ) )
2522, 23, 23, 24, 24offval2 6540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
f  oF  _I  f )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `  x
)  _I  ( f `
 x ) ) ) )
2625feq1d 5717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( f  oF  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `
 x )  _I  ( f `  x
) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
2720, 26mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
f  oF  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
28 f1ofo 5823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  f : NN -onto-> A )
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f : NN -onto-> A )
30 forn 5798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  ran  f  =  A
)
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ran  f  =  A )
3231eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  ran  f  <->  y  e.  A ) )
33 f1ofn 5817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  f  Fn  NN )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f  Fn  NN )
35 fvelrnb 5915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  Fn  NN  ->  (
y  e.  ran  f  <->  E. x  e.  NN  (
f `  x )  =  y ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  ran  f  <->  E. x  e.  NN  (
f `  x )  =  y ) )
3732, 36bitr3d 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  A  <->  E. x  e.  NN  ( f `  x )  =  y ) )
3825, 19syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
f  oF  _I  f )  =  ( x  e.  NN  |->  <.
( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) )
3938fveq1d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( f  oF  _I  f ) `  x )  =  ( ( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) `  x )
)
40 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  NN  |->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )  =  ( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
4140fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  NN  /\  <.
( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.  e.  _V )  ->  (
( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) `  x )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
4215, 41mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) `  x )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
4339, 42sylan9eq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( f  oF  _I  f ) `  x )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
4443fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
)  =  ( 1st `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. ) )
45 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
4645, 45op1st 6792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1st `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )  =  (
f `  x )
4744, 46syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
)  =  ( f `
 x ) )
4847, 8eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
)  <_  ( f `  x ) )
4943fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
)  =  ( 2nd `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. ) )
5045, 45op2nd 6793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2nd `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )  =  (
f `  x )
5149, 50syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
)  =  ( f `
 x ) )
528, 51breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  <_  ( 2nd `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) ) )
5348, 52jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
( f `  x
)  /\  ( f `  x )  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
) ) )
54 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  (
( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
( f `  x
)  <->  ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y ) )
55 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  (
( f `  x
)  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `
 x ) )  <-> 
y  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `
 x ) ) ) )
5654, 55anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  (
( ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
( f `  x
)  /\  ( f `  x )  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
) )  <->  ( ( 1st `  ( ( f  oF  _I  f
) `  x )
)  <_  y  /\  y  <_  ( 2nd `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) ) ) ) )
5753, 56syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( f `  x
)  =  y  -> 
( ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
5857reximdva 2938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( E. x  e.  NN  ( f `  x
)  =  y  ->  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
5937, 58sylbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  A  ->  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
6059ralrimiv 2876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  A. y  e.  A  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  ( ( f  oF  _I  f ) `
 x ) )  <_  y  /\  y  <_  ( 2nd `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) ) ) )
61 ovolficc 21643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
f  oF  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  ->  ( A  C_  U.
ran  ( [,]  o.  ( f  oF  _I  f ) )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
6227, 61syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( A  C_  U. ran  ( [,]  o.  ( f  oF  _I  f ) )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  oF  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  oF  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
6360, 62mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  A  C_ 
U. ran  ( [,]  o.  ( f  oF  _I  f ) ) )
64 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f
) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f ) ) )
6564ovollb2 21663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  oF  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  A  C_ 
U. ran  ( [,]  o.  ( f  oF  _I  f ) ) )  ->  ( vol* `  A )  <_  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
6627, 63, 65syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol* `  A )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  oF  _I  f ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
67 opelxpi 5031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  CC  /\  ( f `  x
)  e.  CC )  ->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  e.  ( CC  X.  CC ) )
6823, 23, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
69 absf 13133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  abs : CC
--> RR
70 subf 9822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
71 fco 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC )  -> 
( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR )
7269, 70, 71mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs 
o.  -  ) :
( CC  X.  CC )
--> RR
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC )
--> RR )
7473feqmptd 5920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( abs  o.  -  )  =  ( y  e.  ( CC  X.  CC ) 
|->  ( ( abs  o.  -  ) `  y
) ) )
75 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  ->  ( ( abs 
o.  -  ) `  y )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. ( f `
 x ) ,  ( f `  x
) >. ) )
76 df-ov 6287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  x ) ( abs  o.  -  ) ( f `  x ) )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
7775, 76syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  ->  ( ( abs 
o.  -  ) `  y )  =  ( ( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) ) )
7868, 38, 74, 77fmptco 6054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `
 x ) ( abs  o.  -  )
( f `  x
) ) ) )
79 cnmet 21042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( Met `  CC )
80 met0 20609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( Met `  CC )  /\  (
f `  x )  e.  CC )  ->  (
( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) )  =  0 )
8179, 23, 80sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) )  =  0 )
8281mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( ( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  0 ) )
8378, 82eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f ) )  =  ( x  e.  NN  |->  0 ) )
84 fconstmpt 5043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  NN  |->  0 )
8583, 84syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
8685seqeq3d 12083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  oF  _I  f ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( NN 
X.  { 0 } ) ) )
87 1z 10894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
88 nnuz 11117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8988ser0f 12128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
9087, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( NN  X.  {
0 } )
9186, 90syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  oF  _I  f ) ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
9291rneqd 5230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  oF  _I  f ) ) )  =  ran  ( NN 
X.  { 0 } ) )
93 1nn 10547 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
94 ne0i 3791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
95 rnxp 5437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  ran  ( NN 
X.  { 0 } )  =  { 0 } )
9693, 94, 95mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( NN  X.  { 0 } )  =  { 0 }
9792, 96syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  oF  _I  f ) ) )  =  { 0 } )
9897supeq1d 7906 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  ) )
99 xrltso 11347 . . . . . . . . . 10  |-  <  Or  RR*
100 0xr 9640 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
101 supsn 7930 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
10299, 100, 101mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
10398, 102syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  oF  _I  f ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0 )
10466, 103breqtrd 4471 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol* `  A )  <_  0 )
105 ovolge0 21655 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol* `  A ) )
106105adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  0  <_  ( vol* `  A ) )
107 ovolcl 21652 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol* `  A )  e.  RR* )
108107adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR* )
109 xrletri3 11358 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( vol* `  A )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( ( vol* `  A )  =  0  <-> 
( ( vol* `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  A )
) ) )
110108, 100, 109sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( vol* `  A )  =  0  <-> 
( ( vol* `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  A )
) ) )
111104, 106, 110mpbir2and 920 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
112111ex 434 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  ( vol* `  A )  =  0 ) )
113112exlimdv 1700 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. f  f : NN -1-1-onto-> A  ->  ( vol* `  A )  =  0 ) )
1142, 113syl5bi 217 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( NN 
~~  A  ->  ( vol* `  A )  =  0 ) )
115114imp 429 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  NN  ~~  A )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
1161, 115sylan2 474 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~~  NN )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    _I cid 4790    Or wor 4799    X. cxp 4997   ran crn 5000    o. ccom 5003    Fn wfn 5583   -->wf 5584   -onto->wfo 5586   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    oFcof 6522   1stc1st 6782   2ndc2nd 6783    ~~ cen 7513   supcsup 7900   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   NNcn 10536   ZZcz 10864   [,]cicc 11532    seqcseq 12075   abscabs 13030   Metcme 18203   vol*covol 21637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xadd 11319  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-xmet 18211  df-met 18212  df-ovol 21639
This theorem is referenced by:  ovolq  21665  ovolctb2  21666  ovoliunnfl  29661
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