Theorem ovolctb 22491

Description: The volume of a denumerable set is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ovolctb	|- ( ( A C_ RR /\ A ~~ NN ) -> ( vol* ` A ) = 0 )

Proof of Theorem ovolctb

Dummy variables f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 7643	. 2 |- ( A ~~ NN -> NN ~~ A )
2		bren 7603	. . . 4 |- ( NN ~~ A <-> E. f f : NN -1-1-onto-> A )
3		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> A C_ RR )
4		f1of 5836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : NN -1-1-onto-> A -> f : NN --> A )
5	4	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f : NN --> A )
6	5	ffvelrnda 6044	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) e. A )
7	3, 6	sseldd 3444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) e. RR )
8	7	leidd 10207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) <_ ( f ` x ) )
9		df-br 4416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` x ) <_ ( f ` x ) <-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. <_ )
10	8, 9	sylib 201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. <_ )
11		opelxpi 4884	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) e. RR /\ ( f ` x ) e. RR ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( RR X. RR ) )
12	7, 7, 11	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( RR X. RR ) )
13	10, 12	elind 3629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
14		df-ov 6317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) = ( _I ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
15		opex 4677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. _V
16		fvi 5944	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. _V -> ( _I ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _I ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >.
18	14, 17	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >.
19	18	mpteq2i 4499	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
20	13, 19	fmptd 6068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
21		nnex 10642	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN e. _V
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> NN e. _V )
23	7	recnd 9694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) e. CC )
24	5	feqmptd 5940	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f = ( x e. NN |-> ( f ` x ) ) )
25	22, 23, 23, 24, 24	offval2 6574	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( f oF _I f ) = ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) )
26	25	feq1d 5735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) <-> ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) )
27	20, 26	mpbird 240	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
28		f1ofo 5843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : NN -1-1-onto-> A -> f : NN -onto-> A )
29	28	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f : NN -onto-> A )
30		forn 5818	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : NN -onto-> A -> ran f = A )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ran f = A )
32	31	eleq2d 2524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. ran f <-> y e. A ) )
33		f1ofn 5837	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : NN -1-1-onto-> A -> f Fn NN )
34	33	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f Fn NN )
35		fvelrnb 5934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f Fn NN -> ( y e. ran f <-> E. x e. NN ( f ` x ) = y ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. ran f <-> E. x e. NN ( f ` x ) = y ) )
37	32, 36	bitr3d 263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. A <-> E. x e. NN ( f ` x ) = y ) )
38	25, 19	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( f oF _I f ) = ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
39	38	fveq1d 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( f oF _I f ) ` x ) = ( ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) ` x ) )
40		eqid 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
41	40	fvmpt2 5979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. NN /\ <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. _V ) -> ( ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) ` x ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
42	15, 41	mpan2 682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. NN -> ( ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) ` x ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
43	39, 42	sylan9eq 2515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( f oF _I f ) ` x ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
44	43	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( 1st ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
45		fvex 5897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f ` x ) e. _V
46	45, 45	op1st 6827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1st ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = ( f ` x )
47	44, 46	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( f ` x ) )
48	47, 8	eqbrtrd 4436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) )
49	43	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( 2nd ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
50	45, 45	op2nd 6828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2nd ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = ( f ` x )
51	49, 50	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( f ` x ) )
52	8, 51	breqtrrd 4442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) )
53	48, 52	jca 539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) /\ ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) )
54		breq2 4419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` x ) = y -> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) <-> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y ) )
55		breq1 4418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` x ) = y -> ( ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <-> y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) )
56	54, 55	anbi12d 722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` x ) = y -> ( ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) /\ ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) <-> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
57	53, 56	syl5ibcom 228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( f ` x ) = y -> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
58	57	reximdva 2873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( E. x e. NN ( f ` x ) = y -> E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
59	37, 58	sylbid 223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. A -> E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
60	59	ralrimiv 2811	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> A. y e. A E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) )
61		ovolficc 22469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) <-> A. y e. A E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
62	27, 61	syldan 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) <-> A. y e. A E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
63	60, 62	mpbird 240	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) )
64		eqid 2461	. . . . . . . . . 10 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) )
65	64	ovollb2 22490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) ) -> ( vol* ` A ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) )
66	27, 63, 65	syl2anc 671	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) )
67		opelxpi 4884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f ` x ) e. CC /\ ( f ` x ) e. CC ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( CC X. CC ) )
68	23, 23, 67	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( CC X. CC ) )
69		absf 13448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- abs : CC --> RR
70		subf 9902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
71		fco 5761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( abs : CC --> RR /\ - : ( CC X. CC ) --> CC ) -> ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR )
72	69, 70, 71	mp2an 683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR )
74	73	feqmptd 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( abs o. - ) = ( y e. ( CC X. CC ) |-> ( ( abs o. - ) ` y ) ) )
75		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. -> ( ( abs o. - ) ` y ) = ( ( abs o. - ) ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
76		df-ov 6317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) = ( ( abs o. - ) ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
77	75, 76	syl6eqr 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. -> ( ( abs o. - ) ` y ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) )
78	68, 38, 74, 77	fmptco 6079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) = ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) ) )
79		cnmet 21840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs o. - ) e. ( Met ` CC )
80		met0 21406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( Met ` CC ) /\ ( f ` x ) e. CC ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) = 0 )
81	79, 23, 80	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) = 0 )
82	81	mpteq2dva 4502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> 0 ) )
83	78, 82	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) = ( x e. NN |-> 0 ) )
84		fconstmpt 4896	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( NN X. { 0 } ) = ( x e. NN |-> 0 )
85	83, 84	syl6eqr 2513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) = ( NN X. { 0 } ) )
86	85	seqeq3d 12252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) )
87		1z 10995	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
88		nnuz 11222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
89	88	ser0f 12297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) = ( NN X. { 0 } ) )
90	87, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) = ( NN X. { 0 } )
91	86, 90	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = ( NN X. { 0 } ) )
92	91	rneqd 5080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = ran ( NN X. { 0 } ) )
93		1nn 10647	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
94		ne0i 3748	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. NN -> NN =/= (/) )
95		rnxp 5285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( NN =/= (/) -> ran ( NN X. { 0 } ) = { 0 } )
96	93, 94, 95	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( NN X. { 0 } ) = { 0 }
97	92, 96	syl6eq 2511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = { 0 } )
98	97	supeq1d 7985	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) = sup ( { 0 } , RR* , < ) )
99		xrltso 11468	. . . . . . . . . 10 |- < Or RR*
100		0xr 9712	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
101		supsn 8013	. . . . . . . . . 10 |- ( ( < Or RR* /\ 0 e. RR* ) -> sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0 )
102	99, 100, 101	mp2an 683	. . . . . . . . 9 |- sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0
103	98, 102	syl6eq 2511	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) = 0 )
104	66, 103	breqtrd 4440	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) <_ 0 )
105		ovolge0 22482	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` A ) )
106	105	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> 0 <_ ( vol* ` A ) )
107		ovolcl 22479	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR -> ( vol* ` A ) e. RR* )
108	107	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) e. RR* )
109		xrletri3 11479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( vol* ` A ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( vol* ` A ) = 0 <-> ( ( vol* ` A ) <_ 0 /\ 0 <_ ( vol* ` A ) ) ) )
110	108, 100, 109	sylancl 673	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( vol* ` A ) = 0 <-> ( ( vol* ` A ) <_ 0 /\ 0 <_ ( vol* ` A ) ) ) )
111	104, 106, 110	mpbir2and 938	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) = 0 )
112	111	ex 440	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( f : NN -1-1-onto-> A -> ( vol* ` A ) = 0 ) )
113	112	exlimdv 1789	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( E. f f : NN -1-1-onto-> A -> ( vol* ` A ) = 0 ) )
114	2, 113	syl5bi 225	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( NN ~~ A -> ( vol* ` A ) = 0 ) )
115	114	imp 435	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ NN ~~ A ) -> ( vol* ` A ) = 0 )
116	1, 115	sylan2 481	1 |- ( ( A C_ RR /\ A ~~ NN ) -> ( vol* ` A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1454   E.wex 1673   e. wcel 1897   =/= wne 2632   A.wral 2748   E.wrex 2749   _Vcvv 3056   i^i cin 3414   C_ wss 3415   (/)c0 3742   {csn 3979   <.cop 3985   U.cuni 4211   class class class wbr 4415   |-> cmpt 4474   _I cid 4762   Or wor 4772   X. cxp 4850   ran crn 4853   o. ccom 4856   Fn wfn 5595   -->wf 5596   -onto->wfo 5598   -1-1-onto->wf1o 5599   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   oFcof 6555   1stc1st 6817   2ndc2nd 6818   ~~ cen 7591   supcsup 7979   CCcc 9562   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565   + caddc 9567   RR*cxr 9699   < clt 9700   <_ cle 9701   - cmin 9885   NNcn 10636   ZZcz 10965   [,]cicc 11666   seqcseq 12244   abscabs 13345   Metcme 19004   vol*covol 22461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xadd 11438  df-ioo 11667  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-clim 13600  df-sum 13801  df-xmet 19011  df-met 19012  df-ovol 22464

This theorem is referenced by:  ovolq  22492  ovolctb2  22493  ovoliunnfl  32026