Theorem ovolctb 22067

Description: The volume of a denumerable set is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ovolctb	|- ( ( A C_ RR /\ A ~~ NN ) -> ( vol* ` A ) = 0 )

Proof of Theorem ovolctb

Dummy variables f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 7557	. 2 |- ( A ~~ NN -> NN ~~ A )
2		bren 7518	. . . 4 |- ( NN ~~ A <-> E. f f : NN -1-1-onto-> A )
3		simpll 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> A C_ RR )
4		f1of 5798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : NN -1-1-onto-> A -> f : NN --> A )
5	4	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f : NN --> A )
6	5	ffvelrnda 6007	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) e. A )
7	3, 6	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) e. RR )
8	7	leidd 10115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) <_ ( f ` x ) )
9		df-br 4440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` x ) <_ ( f ` x ) <-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. <_ )
10	8, 9	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. <_ )
11		opelxpi 5020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) e. RR /\ ( f ` x ) e. RR ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( RR X. RR ) )
12	7, 7, 11	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( RR X. RR ) )
13	10, 12	elind 3674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
14		df-ov 6273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) = ( _I ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
15		opex 4701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. _V
16		fvi 5905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. _V -> ( _I ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _I ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >.
18	14, 17	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >.
19	18	mpteq2i 4522	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
20	13, 19	fmptd 6031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
21		nnex 10537	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN e. _V
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> NN e. _V )
23	7	recnd 9611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) e. CC )
24	5	feqmptd 5901	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f = ( x e. NN |-> ( f ` x ) ) )
25	22, 23, 23, 24, 24	offval2 6529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( f oF _I f ) = ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) )
26	25	feq1d 5699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) <-> ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) )
27	20, 26	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
28		f1ofo 5805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : NN -1-1-onto-> A -> f : NN -onto-> A )
29	28	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f : NN -onto-> A )
30		forn 5780	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : NN -onto-> A -> ran f = A )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ran f = A )
32	31	eleq2d 2524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. ran f <-> y e. A ) )
33		f1ofn 5799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : NN -1-1-onto-> A -> f Fn NN )
34	33	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f Fn NN )
35		fvelrnb 5895	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f Fn NN -> ( y e. ran f <-> E. x e. NN ( f ` x ) = y ) )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. ran f <-> E. x e. NN ( f ` x ) = y ) )
37	32, 36	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. A <-> E. x e. NN ( f ` x ) = y ) )
38	25, 19	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( f oF _I f ) = ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
39	38	fveq1d 5850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( f oF _I f ) ` x ) = ( ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) ` x ) )
40		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
41	40	fvmpt2 5939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. NN /\ <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. _V ) -> ( ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) ` x ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
42	15, 41	mpan2 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. NN -> ( ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) ` x ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
43	39, 42	sylan9eq 2515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( f oF _I f ) ` x ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
44	43	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( 1st ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
45		fvex 5858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f ` x ) e. _V
46	45, 45	op1st 6781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1st ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = ( f ` x )
47	44, 46	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( f ` x ) )
48	47, 8	eqbrtrd 4459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) )
49	43	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( 2nd ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
50	45, 45	op2nd 6782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2nd ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = ( f ` x )
51	49, 50	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( f ` x ) )
52	8, 51	breqtrrd 4465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) )
53	48, 52	jca 530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) /\ ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) )
54		breq2 4443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` x ) = y -> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) <-> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y ) )
55		breq1 4442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` x ) = y -> ( ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <-> y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) )
56	54, 55	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` x ) = y -> ( ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) /\ ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) <-> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
57	53, 56	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( f ` x ) = y -> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
58	57	reximdva 2929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( E. x e. NN ( f ` x ) = y -> E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
59	37, 58	sylbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. A -> E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
60	59	ralrimiv 2866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> A. y e. A E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) )
61		ovolficc 22046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) <-> A. y e. A E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
62	27, 61	syldan 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) <-> A. y e. A E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
63	60, 62	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) )
64		eqid 2454	. . . . . . . . . 10 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) )
65	64	ovollb2 22066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) ) -> ( vol* ` A ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) )
66	27, 63, 65	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) )
67		opelxpi 5020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f ` x ) e. CC /\ ( f ` x ) e. CC ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( CC X. CC ) )
68	23, 23, 67	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( CC X. CC ) )
69		absf 13252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- abs : CC --> RR
70		subf 9813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
71		fco 5723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( abs : CC --> RR /\ - : ( CC X. CC ) --> CC ) -> ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR )
72	69, 70, 71	mp2an 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR )
74	73	feqmptd 5901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( abs o. - ) = ( y e. ( CC X. CC ) |-> ( ( abs o. - ) ` y ) ) )
75		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. -> ( ( abs o. - ) ` y ) = ( ( abs o. - ) ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
76		df-ov 6273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) = ( ( abs o. - ) ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
77	75, 76	syl6eqr 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. -> ( ( abs o. - ) ` y ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) )
78	68, 38, 74, 77	fmptco 6040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) = ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) ) )
79		cnmet 21445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs o. - ) e. ( Met ` CC )
80		met0 21012	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( Met ` CC ) /\ ( f ` x ) e. CC ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) = 0 )
81	79, 23, 80	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) = 0 )
82	81	mpteq2dva 4525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> 0 ) )
83	78, 82	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) = ( x e. NN |-> 0 ) )
84		fconstmpt 5032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( NN X. { 0 } ) = ( x e. NN |-> 0 )
85	83, 84	syl6eqr 2513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) = ( NN X. { 0 } ) )
86	85	seqeq3d 12097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) )
87		1z 10890	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
88		nnuz 11117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
89	88	ser0f 12142	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) = ( NN X. { 0 } ) )
90	87, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) = ( NN X. { 0 } )
91	86, 90	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = ( NN X. { 0 } ) )
92	91	rneqd 5219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = ran ( NN X. { 0 } ) )
93		1nn 10542	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
94		ne0i 3789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. NN -> NN =/= (/) )
95		rnxp 5422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( NN =/= (/) -> ran ( NN X. { 0 } ) = { 0 } )
96	93, 94, 95	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( NN X. { 0 } ) = { 0 }
97	92, 96	syl6eq 2511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = { 0 } )
98	97	supeq1d 7897	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) = sup ( { 0 } , RR* , < ) )
99		xrltso 11350	. . . . . . . . . 10 |- < Or RR*
100		0xr 9629	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
101		supsn 7922	. . . . . . . . . 10 |- ( ( < Or RR* /\ 0 e. RR* ) -> sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0 )
102	99, 100, 101	mp2an 670	. . . . . . . . 9 |- sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0
103	98, 102	syl6eq 2511	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) = 0 )
104	66, 103	breqtrd 4463	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) <_ 0 )
105		ovolge0 22058	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` A ) )
106	105	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> 0 <_ ( vol* ` A ) )
107		ovolcl 22055	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR -> ( vol* ` A ) e. RR* )
108	107	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) e. RR* )
109		xrletri3 11361	. . . . . . . 8 |- ( ( ( vol* ` A ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( vol* ` A ) = 0 <-> ( ( vol* ` A ) <_ 0 /\ 0 <_ ( vol* ` A ) ) ) )
110	108, 100, 109	sylancl 660	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( vol* ` A ) = 0 <-> ( ( vol* ` A ) <_ 0 /\ 0 <_ ( vol* ` A ) ) ) )
111	104, 106, 110	mpbir2and 920	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) = 0 )
112	111	ex 432	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( f : NN -1-1-onto-> A -> ( vol* ` A ) = 0 ) )
113	112	exlimdv 1729	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( E. f f : NN -1-1-onto-> A -> ( vol* ` A ) = 0 ) )
114	2, 113	syl5bi 217	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( NN ~~ A -> ( vol* ` A ) = 0 ) )
115	114	imp 427	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ NN ~~ A ) -> ( vol* ` A ) = 0 )
116	1, 115	sylan2 472	1 |- ( ( A C_ RR /\ A ~~ NN ) -> ( vol* ` A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   <.cop 4022   U.cuni 4235   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   _I cid 4779   Or wor 4788   X. cxp 4986   ran crn 4989   o. ccom 4992   Fn wfn 5565   -->wf 5566   -onto->wfo 5568   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   oFcof 6511   1stc1st 6771   2ndc2nd 6772   ~~ cen 7506   supcsup 7892   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   RR*cxr 9616   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9796   NNcn 10531   ZZcz 10860   [,]cicc 11535   seqcseq 12089   abscabs 13149   Metcme 18599   vol*covol 22040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xadd 11322  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-sum 13591  df-xmet 18607  df-met 18608  df-ovol 22042

This theorem is referenced by:  ovolq  22068  ovolctb2  22069  ovoliunnfl  30296