Theorem ovolctb 22385

Description: The volume of a denumerable set is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ovolctb	|- ( ( A C_ RR /\ A ~~ NN ) -> ( vol* ` A ) = 0 )

Proof of Theorem ovolctb

Dummy variables f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 7572	. 2 |- ( A ~~ NN -> NN ~~ A )
2		bren 7533	. . . 4 |- ( NN ~~ A <-> E. f f : NN -1-1-onto-> A )
3		simpll 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> A C_ RR )
4		f1of 5774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : NN -1-1-onto-> A -> f : NN --> A )
5	4	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f : NN --> A )
6	5	ffvelrnda 5981	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) e. A )
7	3, 6	sseldd 3408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) e. RR )
8	7	leidd 10131	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) <_ ( f ` x ) )
9		df-br 4367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` x ) <_ ( f ` x ) <-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. <_ )
10	8, 9	sylib 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. <_ )
11		opelxpi 4828	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) e. RR /\ ( f ` x ) e. RR ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( RR X. RR ) )
12	7, 7, 11	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( RR X. RR ) )
13	10, 12	elind 3593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
14		df-ov 6252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) = ( _I ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
15		opex 4628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. _V
16		fvi 5882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. _V -> ( _I ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _I ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >.
18	14, 17	eqtri 2450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >.
19	18	mpteq2i 4450	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
20	13, 19	fmptd 6005	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
21		nnex 10566	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN e. _V
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> NN e. _V )
23	7	recnd 9620	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) e. CC )
24	5	feqmptd 5878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f = ( x e. NN |-> ( f ` x ) ) )
25	22, 23, 23, 24, 24	offval2 6506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( f oF _I f ) = ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) )
26	25	feq1d 5675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) <-> ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) )
27	20, 26	mpbird 235	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
28		f1ofo 5781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : NN -1-1-onto-> A -> f : NN -onto-> A )
29	28	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f : NN -onto-> A )
30		forn 5756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : NN -onto-> A -> ran f = A )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ran f = A )
32	31	eleq2d 2491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. ran f <-> y e. A ) )
33		f1ofn 5775	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : NN -1-1-onto-> A -> f Fn NN )
34	33	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f Fn NN )
35		fvelrnb 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f Fn NN -> ( y e. ran f <-> E. x e. NN ( f ` x ) = y ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. ran f <-> E. x e. NN ( f ` x ) = y ) )
37	32, 36	bitr3d 258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. A <-> E. x e. NN ( f ` x ) = y ) )
38	25, 19	syl6eq 2478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( f oF _I f ) = ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
39	38	fveq1d 5827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( f oF _I f ) ` x ) = ( ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) ` x ) )
40		eqid 2428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
41	40	fvmpt2 5917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. NN /\ <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. _V ) -> ( ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) ` x ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
42	15, 41	mpan2 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. NN -> ( ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) ` x ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
43	39, 42	sylan9eq 2482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( f oF _I f ) ` x ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
44	43	fveq2d 5829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( 1st ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
45		fvex 5835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f ` x ) e. _V
46	45, 45	op1st 6759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1st ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = ( f ` x )
47	44, 46	syl6eq 2478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( f ` x ) )
48	47, 8	eqbrtrd 4387	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) )
49	43	fveq2d 5829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( 2nd ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
50	45, 45	op2nd 6760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2nd ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = ( f ` x )
51	49, 50	syl6eq 2478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( f ` x ) )
52	8, 51	breqtrrd 4393	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) )
53	48, 52	jca 534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) /\ ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) )
54		breq2 4370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` x ) = y -> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) <-> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y ) )
55		breq1 4369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` x ) = y -> ( ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <-> y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) )
56	54, 55	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` x ) = y -> ( ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) /\ ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) <-> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
57	53, 56	syl5ibcom 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( f ` x ) = y -> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
58	57	reximdva 2839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( E. x e. NN ( f ` x ) = y -> E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
59	37, 58	sylbid 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. A -> E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
60	59	ralrimiv 2777	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> A. y e. A E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) )
61		ovolficc 22363	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) <-> A. y e. A E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
62	27, 61	syldan 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) <-> A. y e. A E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
63	60, 62	mpbird 235	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) )
64		eqid 2428	. . . . . . . . . 10 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) )
65	64	ovollb2 22384	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) ) -> ( vol* ` A ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) )
66	27, 63, 65	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) )
67		opelxpi 4828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f ` x ) e. CC /\ ( f ` x ) e. CC ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( CC X. CC ) )
68	23, 23, 67	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( CC X. CC ) )
69		absf 13344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- abs : CC --> RR
70		subf 9828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
71		fco 5699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( abs : CC --> RR /\ - : ( CC X. CC ) --> CC ) -> ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR )
72	69, 70, 71	mp2an 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR )
74	73	feqmptd 5878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( abs o. - ) = ( y e. ( CC X. CC ) |-> ( ( abs o. - ) ` y ) ) )
75		fveq2 5825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. -> ( ( abs o. - ) ` y ) = ( ( abs o. - ) ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
76		df-ov 6252	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) = ( ( abs o. - ) ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
77	75, 76	syl6eqr 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. -> ( ( abs o. - ) ` y ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) )
78	68, 38, 74, 77	fmptco 6015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) = ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) ) )
79		cnmet 21734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs o. - ) e. ( Met ` CC )
80		met0 21300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( Met ` CC ) /\ ( f ` x ) e. CC ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) = 0 )
81	79, 23, 80	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) = 0 )
82	81	mpteq2dva 4453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> 0 ) )
83	78, 82	eqtrd 2462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) = ( x e. NN |-> 0 ) )
84		fconstmpt 4840	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( NN X. { 0 } ) = ( x e. NN |-> 0 )
85	83, 84	syl6eqr 2480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) = ( NN X. { 0 } ) )
86	85	seqeq3d 12171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) )
87		1z 10918	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
88		nnuz 11145	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
89	88	ser0f 12216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) = ( NN X. { 0 } ) )
90	87, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) = ( NN X. { 0 } )
91	86, 90	syl6eq 2478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = ( NN X. { 0 } ) )
92	91	rneqd 5024	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = ran ( NN X. { 0 } ) )
93		1nn 10571	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
94		ne0i 3710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. NN -> NN =/= (/) )
95		rnxp 5229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( NN =/= (/) -> ran ( NN X. { 0 } ) = { 0 } )
96	93, 94, 95	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( NN X. { 0 } ) = { 0 }
97	92, 96	syl6eq 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = { 0 } )
98	97	supeq1d 7913	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) = sup ( { 0 } , RR* , < ) )
99		xrltso 11391	. . . . . . . . . 10 |- < Or RR*
100		0xr 9638	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
101		supsn 7941	. . . . . . . . . 10 |- ( ( < Or RR* /\ 0 e. RR* ) -> sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0 )
102	99, 100, 101	mp2an 676	. . . . . . . . 9 |- sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0
103	98, 102	syl6eq 2478	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) = 0 )
104	66, 103	breqtrd 4391	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) <_ 0 )
105		ovolge0 22376	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` A ) )
106	105	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> 0 <_ ( vol* ` A ) )
107		ovolcl 22373	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR -> ( vol* ` A ) e. RR* )
108	107	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) e. RR* )
109		xrletri3 11402	. . . . . . . 8 |- ( ( ( vol* ` A ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( vol* ` A ) = 0 <-> ( ( vol* ` A ) <_ 0 /\ 0 <_ ( vol* ` A ) ) ) )
110	108, 100, 109	sylancl 666	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( vol* ` A ) = 0 <-> ( ( vol* ` A ) <_ 0 /\ 0 <_ ( vol* ` A ) ) ) )
111	104, 106, 110	mpbir2and 930	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) = 0 )
112	111	ex 435	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( f : NN -1-1-onto-> A -> ( vol* ` A ) = 0 ) )
113	112	exlimdv 1772	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( E. f f : NN -1-1-onto-> A -> ( vol* ` A ) = 0 ) )
114	2, 113	syl5bi 220	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( NN ~~ A -> ( vol* ` A ) = 0 ) )
115	114	imp 430	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ NN ~~ A ) -> ( vol* ` A ) = 0 )
116	1, 115	sylan2 476	1 |- ( ( A C_ RR /\ A ~~ NN ) -> ( vol* ` A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   E.wex 1657   e. wcel 1872   =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 3022   i^i cin 3378   C_ wss 3379   (/)c0 3704   {csn 3941   <.cop 3947   U.cuni 4162   class class class wbr 4366   |-> cmpt 4425   _I cid 4706   Or wor 4716   X. cxp 4794   ran crn 4797   o. ccom 4800   Fn wfn 5539   -->wf 5540   -onto->wfo 5542   -1-1-onto->wf1o 5543   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   oFcof 6487   1stc1st 6749   2ndc2nd 6750   ~~ cen 7521   supcsup 7907   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491   + caddc 9493   RR*cxr 9625   < clt 9626   <_ cle 9627   - cmin 9811   NNcn 10560   ZZcz 10888   [,]cicc 11589   seqcseq 12163   abscabs 13241   Metcme 18899   vol*covol 22355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xadd 11361  df-ioo 11590  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-sum 13696  df-xmet 18906  df-met 18907  df-ovol 22358

This theorem is referenced by:  ovolq  22386  ovolctb2  22387  ovoliunnfl  31889