Theorem ovolctb 20971

Description: The volume of a denumerable set is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ovolctb	|- ( ( A C_ RR /\ A ~~ NN ) -> ( vol* ` A ) = 0 )

Proof of Theorem ovolctb

Dummy variables f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 7356	. 2 |- ( A ~~ NN -> NN ~~ A )
2		bren 7317	. . . 4 |- ( NN ~~ A <-> E. f f : NN -1-1-onto-> A )
3		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> A C_ RR )
4		f1of 5639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : NN -1-1-onto-> A -> f : NN --> A )
5	4	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f : NN --> A )
6	5	ffvelrnda 5841	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) e. A )
7	3, 6	sseldd 3355	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) e. RR )
8	7	leidd 9904	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) <_ ( f ` x ) )
9		df-br 4291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` x ) <_ ( f ` x ) <-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. <_ )
10	8, 9	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. <_ )
11		opelxpi 4869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) e. RR /\ ( f ` x ) e. RR ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( RR X. RR ) )
12	7, 7, 11	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( RR X. RR ) )
13	10, 12	elind 3538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
14		df-ov 6092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) = ( _I ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
15		opex 4554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. _V
16		fvi 5746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. _V -> ( _I ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _I ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >.
18	14, 17	eqtri 2461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >.
19	18	mpteq2i 4373	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
20	13, 19	fmptd 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
21		nnex 10326	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN e. _V
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> NN e. _V )
23	7	recnd 9410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) e. CC )
24	5	feqmptd 5742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f = ( x e. NN |-> ( f ` x ) ) )
25	22, 23, 23, 24, 24	offval2 6334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( f oF _I f ) = ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) )
26	25	feq1d 5544	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) <-> ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) )
27	20, 26	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
28		f1ofo 5646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : NN -1-1-onto-> A -> f : NN -onto-> A )
29	28	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f : NN -onto-> A )
30		forn 5621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : NN -onto-> A -> ran f = A )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ran f = A )
32	31	eleq2d 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. ran f <-> y e. A ) )
33		f1ofn 5640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : NN -1-1-onto-> A -> f Fn NN )
34	33	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f Fn NN )
35		fvelrnb 5737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f Fn NN -> ( y e. ran f <-> E. x e. NN ( f ` x ) = y ) )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. ran f <-> E. x e. NN ( f ` x ) = y ) )
37	32, 36	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. A <-> E. x e. NN ( f ` x ) = y ) )
38	25, 19	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( f oF _I f ) = ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
39	38	fveq1d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( f oF _I f ) ` x ) = ( ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) ` x ) )
40		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
41	40	fvmpt2 5779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. NN /\ <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. _V ) -> ( ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) ` x ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
42	15, 41	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. NN -> ( ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) ` x ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
43	39, 42	sylan9eq 2493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( f oF _I f ) ` x ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
44	43	fveq2d 5693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( 1st ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
45		fvex 5699	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f ` x ) e. _V
46	45, 45	op1st 6583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1st ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = ( f ` x )
47	44, 46	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( f ` x ) )
48	47, 8	eqbrtrd 4310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) )
49	43	fveq2d 5693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( 2nd ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
50	45, 45	op2nd 6584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2nd ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = ( f ` x )
51	49, 50	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( f ` x ) )
52	8, 51	breqtrrd 4316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) )
53	48, 52	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) /\ ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) )
54		breq2 4294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` x ) = y -> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) <-> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y ) )
55		breq1 4293	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` x ) = y -> ( ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <-> y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) )
56	54, 55	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` x ) = y -> ( ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) /\ ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) <-> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
57	53, 56	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( f ` x ) = y -> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
58	57	reximdva 2826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( E. x e. NN ( f ` x ) = y -> E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
59	37, 58	sylbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. A -> E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
60	59	ralrimiv 2796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> A. y e. A E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) )
61		ovolficc 20950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) <-> A. y e. A E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
62	27, 61	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) <-> A. y e. A E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
63	60, 62	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) )
64		eqid 2441	. . . . . . . . . 10 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) )
65	64	ovollb2 20970	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) ) -> ( vol* ` A ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) )
66	27, 63, 65	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) )
67		opelxpi 4869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f ` x ) e. CC /\ ( f ` x ) e. CC ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( CC X. CC ) )
68	23, 23, 67	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( CC X. CC ) )
69		absf 12823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- abs : CC --> RR
70		subf 9610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
71		fco 5566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( abs : CC --> RR /\ - : ( CC X. CC ) --> CC ) -> ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR )
72	69, 70, 71	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR )
74	73	feqmptd 5742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( abs o. - ) = ( y e. ( CC X. CC ) |-> ( ( abs o. - ) ` y ) ) )
75		fveq2 5689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. -> ( ( abs o. - ) ` y ) = ( ( abs o. - ) ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
76		df-ov 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) = ( ( abs o. - ) ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
77	75, 76	syl6eqr 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. -> ( ( abs o. - ) ` y ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) )
78	68, 38, 74, 77	fmptco 5874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) = ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) ) )
79		cnmet 20349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs o. - ) e. ( Met ` CC )
80		met0 19916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( Met ` CC ) /\ ( f ` x ) e. CC ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) = 0 )
81	79, 23, 80	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) = 0 )
82	81	mpteq2dva 4376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> 0 ) )
83	78, 82	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) = ( x e. NN |-> 0 ) )
84		fconstmpt 4880	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( NN X. { 0 } ) = ( x e. NN |-> 0 )
85	83, 84	syl6eqr 2491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) = ( NN X. { 0 } ) )
86	85	seqeq3d 11812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) )
87		1z 10674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
88		nnuz 10894	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
89	88	ser0f 11857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) = ( NN X. { 0 } ) )
90	87, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) = ( NN X. { 0 } )
91	86, 90	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = ( NN X. { 0 } ) )
92	91	rneqd 5065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = ran ( NN X. { 0 } ) )
93		1nn 10331	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
94		ne0i 3641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. NN -> NN =/= (/) )
95		rnxp 5266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( NN =/= (/) -> ran ( NN X. { 0 } ) = { 0 } )
96	93, 94, 95	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( NN X. { 0 } ) = { 0 }
97	92, 96	syl6eq 2489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = { 0 } )
98	97	supeq1d 7694	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) = sup ( { 0 } , RR* , < ) )
99		xrltso 11116	. . . . . . . . . 10 |- < Or RR*
100		0xr 9428	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
101		supsn 7717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( < Or RR* /\ 0 e. RR* ) -> sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0 )
102	99, 100, 101	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0
103	98, 102	syl6eq 2489	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) = 0 )
104	66, 103	breqtrd 4314	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) <_ 0 )
105		ovolge0 20962	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` A ) )
106	105	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> 0 <_ ( vol* ` A ) )
107		ovolcl 20959	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR -> ( vol* ` A ) e. RR* )
108	107	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) e. RR* )
109		xrletri3 11127	. . . . . . . 8 |- ( ( ( vol* ` A ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( vol* ` A ) = 0 <-> ( ( vol* ` A ) <_ 0 /\ 0 <_ ( vol* ` A ) ) ) )
110	108, 100, 109	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( vol* ` A ) = 0 <-> ( ( vol* ` A ) <_ 0 /\ 0 <_ ( vol* ` A ) ) ) )
111	104, 106, 110	mpbir2and 913	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) = 0 )
112	111	ex 434	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( f : NN -1-1-onto-> A -> ( vol* ` A ) = 0 ) )
113	112	exlimdv 1690	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( E. f f : NN -1-1-onto-> A -> ( vol* ` A ) = 0 ) )
114	2, 113	syl5bi 217	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( NN ~~ A -> ( vol* ` A ) = 0 ) )
115	114	imp 429	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ NN ~~ A ) -> ( vol* ` A ) = 0 )
116	1, 115	sylan2 474	1 |- ( ( A C_ RR /\ A ~~ NN ) -> ( vol* ` A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   i^i cin 3325   C_ wss 3326   (/)c0 3635   {csn 3875   <.cop 3881   U.cuni 4089   class class class wbr 4290   e. cmpt 4348   _I cid 4629   Or wor 4638   X. cxp 4836   ran crn 4839   o. ccom 4842   Fn wfn 5411   -->wf 5412   -onto->wfo 5414   -1-1-onto->wf1o 5415   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   oFcof 6316   1stc1st 6573   2ndc2nd 6574   ~~ cen 7305   supcsup 7688   CCcc 9278   RRcr 9279   0cc0 9280   1c1 9281   + caddc 9283   RR*cxr 9415   < clt 9416   <_ cle 9417   - cmin 9593   NNcn 10320   ZZcz 10644   [,]cicc 11301   seqcseq 11804   abscabs 12721   Metcme 17800   vol*covol 20944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xadd 11088  df-ioo 11302  df-ico 11304  df-icc 11305  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-sum 13162  df-xmet 17808  df-met 17809  df-ovol 20946

This theorem is referenced by:  ovolq  20972  ovolctb2  20973  ovoliunnfl  28430