MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolcl Structured version   Unicode version

Theorem ovolcl 21640
Description: The volume of a set is an extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolcl  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol* `  A )  e.  RR* )

Proof of Theorem ovolcl
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  =  { y  e. 
RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }
21ovolval 21636 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol* `  A )  =  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) )
3 ssrab2 3585 . . 3  |-  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } 
C_  RR*
4 infmxrcl 11507 . . 3  |-  ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } 
C_  RR*  ->  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
53, 4ax-mp 5 . 2  |-  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*
62, 5syl6eqel 2563 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol* `  A )  e.  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   {crab 2818    i^i cin 3475    C_ wss 3476   U.cuni 4245    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   ran crn 5000    o. ccom 5003   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    ^m cmap 7420   supcsup 7899   RRcr 9490   1c1 9492    + caddc 9494   RR*cxr 9626    < clt 9627    <_ cle 9628    - cmin 9804   NNcn 10535   (,)cioo 11528    seqcseq 12074   abscabs 13029   vol*covol 21625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-ovol 21627
This theorem is referenced by:  ovolf  21644  ovollecl  21645  ovolsslem  21646  ovolssnul  21649  ovollb2lem  21650  ovollb2  21651  ovolctb  21652  ovolun  21661  ovolunnul  21662  ovoliunlem2  21665  ovoliun  21667  ovoliunnul  21669  ovolscalem1  21675  ovolscalem2  21676  ovolicc1  21678  ovolicc  21685  ovolicopnf  21686  ovolre  21687  voliunlem3  21713  volsup  21717  uniioovol  21739  uniiccvol  21740  vitalilem4  21771  vitalilem5  21772  itg2gt0  21918  itg2cnlem2  21920  ftc1a  22189  mblfinlem3  29646  mblfinlem4  29647  ismblfin  29648  ovoliunnfl  29649  volsupnfl  29652
  Copyright terms: Public domain W3C validator