MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolcl Structured version   Unicode version

Theorem ovolcl 20936
Description: The volume of a set is an extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolcl  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol* `  A )  e.  RR* )

Proof of Theorem ovolcl
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  =  { y  e. 
RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }
21ovolval 20932 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol* `  A )  =  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) )
3 ssrab2 3432 . . 3  |-  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } 
C_  RR*
4 infmxrcl 11271 . . 3  |-  ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } 
C_  RR*  ->  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
53, 4ax-mp 5 . 2  |-  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*
62, 5syl6eqel 2526 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol* `  A )  e.  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2711   {crab 2714    i^i cin 3322    C_ wss 3323   U.cuni 4086    X. cxp 4833   `'ccnv 4834   ran crn 4836    o. ccom 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    ^m cmap 7206   supcsup 7682   RRcr 9273   1c1 9275    + caddc 9277   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   (,)cioo 11292    seqcseq 11798   abscabs 12715   vol*covol 20921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-ovol 20923
This theorem is referenced by:  ovolf  20940  ovollecl  20941  ovolsslem  20942  ovolssnul  20945  ovollb2lem  20946  ovollb2  20947  ovolctb  20948  ovolun  20957  ovolunnul  20958  ovoliunlem2  20961  ovoliun  20963  ovoliunnul  20965  ovolscalem1  20971  ovolscalem2  20972  ovolicc1  20974  ovolicc  20981  ovolicopnf  20982  ovolre  20983  voliunlem3  21008  volsup  21012  uniioovol  21034  uniiccvol  21035  vitalilem4  21066  vitalilem5  21067  itg2gt0  21213  itg2cnlem2  21215  ftc1a  21484  mblfinlem3  28383  mblfinlem4  28384  ismblfin  28385  ovoliunnfl  28386  volsupnfl  28389
  Copyright terms: Public domain W3C validator