Theorem ovnsubadd 38394

Description: (voln^* ` X ) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnsubadd.1	|- ( ph -> X e. Fin )
ovnsubadd.2	|- ( ph -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )

Assertion

Ref	Expression
ovnsubadd	|- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, X   ph, n

Proof of Theorem ovnsubadd

Dummy variables a e i j k l y z b d f m h o are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5865	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> (voln* ` X ) = (voln* ` (/) ) )
2	1	fveq1d 5867	. . . . 5 |- ( X = (/) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) = ( (voln* ` (/) ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) )
3	2	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) = ( (voln* ` (/) ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) )
4		ovnsubadd.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
5	4	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
6		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
7	5, 6	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. ~P ( RR ^m X ) )
8		elpwi 3960	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ` n ) e. ~P ( RR ^m X ) -> ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
10	9	ralrimiva 2802	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. NN ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
11		iunss 4319	. . . . . . . 8 |- ( U_ n e. NN ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) <-> A. n e. NN ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
12	10, 11	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( ph -> U_ n e. NN ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
13	12	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> U_ n e. NN ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
14		oveq2 6298	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> ( RR ^m X ) = ( RR ^m (/) ) )
15	14	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( RR ^m X ) = ( RR ^m (/) ) )
16	13, 15	sseqtrd 3468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> U_ n e. NN ( A ` n ) C_ ( RR ^m (/) ) )
17	16	ovn0val 38372	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` (/) ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) = 0 )
18	3, 17	eqtrd 2485	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) = 0 )
19		nnex 10615	. . . . . 6 |- NN e. _V
20	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> NN e. _V )
21		ovnsubadd.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. Fin )
22	21	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. Fin )
23	22, 9	ovncl 38389	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
24		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) )
25	23, 24	fmptd 6046	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
26	20, 25	sge0ge0 38226	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) )
27	26	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> 0 <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) )
28	18, 27	eqbrtrd 4423	. 2 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) )
29	21, 12	ovnxrcl 38391	. . . 4 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) e. RR* )
30	29	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) e. RR* )
31	20, 25	sge0xrcl 38227	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) e. RR* )
32	31	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) e. RR* )
33	21	ad2antrr 732	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ y e. RR+ ) -> X e. Fin )
34		neqne 37374	. . . . 5 |- ( -. X = (/) -> X =/= (/) )
35	34	ad2antlr 733	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ y e. RR+ ) -> X =/= (/) )
36	4	ad2antrr 732	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ y e. RR+ ) -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
37		simpr 463	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
38		eqid 2451	. . . 4 |- ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } ) = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } )
39		sseq1 3453	. . . . . 6 |- ( b = a -> ( b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) <-> a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) ) )
40	39	rabbidv 3036	. . . . 5 |- ( b = a -> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } = { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } )
41	40	cbvmptv 4495	. . . 4 |- ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } )
42		eqid 2451	. . . 4 |- ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) = ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) )
43		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( o = j -> ( l ` o ) = ( l ` j ) )
44	43	coeq2d 4997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( o = j -> ( [,) o. ( l ` o ) ) = ( [,) o. ( l ` j ) ) )
45	44	fveq1d 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( o = j -> ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) = ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` d ) )
46	45	ixpeq2dv 7538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( o = j -> X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) = X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` d ) )
47		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( d = k -> ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` d ) = ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) )
48	47	cbvixpv 7540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` d ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k )
49	46, 48	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( o = j -> X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) )
50	49	cbviunv 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k )
51	50	sseq2i 3457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) <-> b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) )
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) -> ( b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) <-> b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) ) )
53	52	rabbiia 3033	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } = { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) }
54	53	mpteq2i 4486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) = ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } )
55	54	fveq1i 5866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) = ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` d )
56		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = a -> ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` d ) = ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) )
57	55, 56	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = a -> ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) = ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) )
58	57	eleq2d 2514	. . . . . . . . . 10 |- ( d = a -> ( m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) <-> m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) ) )
59		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( d = k -> ( ( [,) o. h ) ` d ) = ( ( [,) o. h ) ` k ) )
60	59	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d = k -> ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) )
61	60	cbvprodv 13970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) )
62	61	mpteq2i 4486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) = ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) )
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o = j -> ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) = ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) )
64		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o = j -> ( m ` o ) = ( m ` j ) )
65	63, 64	fveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( o = j -> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) = ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) )
66	65	cbvmptv 4495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) )
67	66	fveq2i 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) )
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = a -> (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) )
69		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = a -> ( (voln* ` X ) ` d ) = ( (voln* ` X ) ` a ) )
70	69	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = a -> ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) = ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) )
71	68, 70	breq12d 4415	. . . . . . . . . 10 |- ( d = a -> ( (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) <-> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) ) )
72	58, 71	anbi12d 717	. . . . . . . . 9 |- ( d = a -> ( ( m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) /\ (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) ) <-> ( m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) ) ) )
73	72	rabbidva2 3034	. . . . . . . 8 |- ( d = a -> { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) | (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) } = { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) } )
74		fveq1 5864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = i -> ( m ` j ) = ( i ` j ) )
75	74	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = i -> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) = ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) )
76	75	mpteq2dv 4490	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = i -> ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) )
77	76	fveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( m = i -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) )
78	77	breq1d 4412	. . . . . . . . 9 |- ( m = i -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) <-> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) ) )
79	78	cbvrabv 3044	. . . . . . . 8 |- { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) } = { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) }
80	73, 79	syl6eq 2501	. . . . . . 7 |- ( d = a -> { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) | (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) } = { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) } )
81	80	mpteq2dv 4490	. . . . . 6 |- ( d = a -> ( f e. RR+ |-> { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) | (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) } ) = ( f e. RR+ |-> { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) } ) )
82		oveq2 6298	. . . . . . . . 9 |- ( f = e -> ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) = ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) )
83	82	breq2d 4414	. . . . . . . 8 |- ( f = e -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) <-> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) ) )
84	83	rabbidv 3036	. . . . . . 7 |- ( f = e -> { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) } = { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) } )
85	84	cbvmptv 4495	. . . . . 6 |- ( f e. RR+ |-> { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) } ) = ( e e. RR+ |-> { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) } )
86	81, 85	syl6eq 2501	. . . . 5 |- ( d = a -> ( f e. RR+ |-> { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) | (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) } ) = ( e e. RR+ |-> { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) } ) )
87	86	cbvmptv 4495	. . . 4 |- ( d e. ~P ( RR ^m X ) |-> ( f e. RR+ |-> { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) | (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) } ) ) = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> ( e e. RR+ |-> { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) } ) )
88	33, 35, 36, 37, 38, 41, 42, 87	ovnsubaddlem2 38393	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ y e. RR+ ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e y ) )
89	30, 32, 88	xrlexaddrp 37575	. 2 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) )
90	28, 89	pm2.61dan 800	1 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   U_ciun 4278   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   X. cxp 4832   o. ccom 4838   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ^m cmap 7472   X_cixp 7522   Fincfn 7569   RRcr 9538   0cc0 9539   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674   <_ cle 9676   NNcn 10609   RR+crp 11302   +ecxad 11407   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   prod_cprod 13959   volcvol 22415  Σ^{^}csumge0 38204  voln^*covoln 38357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-ac2 8893  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-prod 13960  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-rest 15321  df-0g 15340  df-topgen 15342  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-subg 16814  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-drng 17977  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cmp 20402  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-sumge0 38205  df-ovoln 38358

This theorem is referenced by:  ovnome  38395