Theorem ovnsubadd 38512

Description: (voln^* ` X ) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnsubadd.1	|- ( ph -> X e. Fin )
ovnsubadd.2	|- ( ph -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )

Assertion

Ref	Expression
ovnsubadd	|- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, X   ph, n

Proof of Theorem ovnsubadd

Dummy variables a e i j k l y z b d f m h o are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5879	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> (voln* ` X ) = (voln* ` (/) ) )
2	1	fveq1d 5881	. . . . 5 |- ( X = (/) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) = ( (voln* ` (/) ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) )
3	2	adantl 473	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) = ( (voln* ` (/) ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) )
4		ovnsubadd.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
5	4	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
6		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
7	5, 6	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. ~P ( RR ^m X ) )
8		elpwi 3951	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ` n ) e. ~P ( RR ^m X ) -> ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
10	9	ralrimiva 2809	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. NN ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
11		iunss 4310	. . . . . . . 8 |- ( U_ n e. NN ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) <-> A. n e. NN ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
12	10, 11	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ph -> U_ n e. NN ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
13	12	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> U_ n e. NN ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
14		oveq2 6316	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> ( RR ^m X ) = ( RR ^m (/) ) )
15	14	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( RR ^m X ) = ( RR ^m (/) ) )
16	13, 15	sseqtrd 3454	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> U_ n e. NN ( A ` n ) C_ ( RR ^m (/) ) )
17	16	ovn0val 38490	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` (/) ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) = 0 )
18	3, 17	eqtrd 2505	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) = 0 )
19		nnex 10637	. . . . . 6 |- NN e. _V
20	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> NN e. _V )
21		ovnsubadd.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. Fin )
22	21	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. Fin )
23	22, 9	ovncl 38507	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
24		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) )
25	23, 24	fmptd 6061	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
26	20, 25	sge0ge0 38340	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) )
27	26	adantr 472	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> 0 <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) )
28	18, 27	eqbrtrd 4416	. 2 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) )
29	21, 12	ovnxrcl 38509	. . . 4 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) e. RR* )
30	29	adantr 472	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) e. RR* )
31	20, 25	sge0xrcl 38341	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) e. RR* )
32	31	adantr 472	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) e. RR* )
33	21	ad2antrr 740	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ y e. RR+ ) -> X e. Fin )
34		neqne 2651	. . . . 5 |- ( -. X = (/) -> X =/= (/) )
35	34	ad2antlr 741	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ y e. RR+ ) -> X =/= (/) )
36	4	ad2antrr 740	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ y e. RR+ ) -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
37		simpr 468	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
38		eqid 2471	. . . 4 |- ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } ) = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } )
39		sseq1 3439	. . . . . 6 |- ( b = a -> ( b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) <-> a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) ) )
40	39	rabbidv 3022	. . . . 5 |- ( b = a -> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } = { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } )
41	40	cbvmptv 4488	. . . 4 |- ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } )
42		eqid 2471	. . . 4 |- ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) = ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) )
43		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( o = j -> ( l ` o ) = ( l ` j ) )
44	43	coeq2d 5002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( o = j -> ( [,) o. ( l ` o ) ) = ( [,) o. ( l ` j ) ) )
45	44	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( o = j -> ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) = ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` d ) )
46	45	ixpeq2dv 7556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( o = j -> X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) = X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` d ) )
47		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( d = k -> ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` d ) = ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) )
48	47	cbvixpv 7558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` d ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k )
49	46, 48	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( o = j -> X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) )
50	49	cbviunv 4308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k )
51	50	sseq2i 3443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) <-> b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) )
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) -> ( b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) <-> b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) ) )
53	52	rabbiia 3019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } = { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) }
54	53	mpteq2i 4479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) = ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } )
55	54	fveq1i 5880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) = ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` d )
56		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = a -> ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` d ) = ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) )
57	55, 56	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = a -> ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) = ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) )
58	57	eleq2d 2534	. . . . . . . . . 10 |- ( d = a -> ( m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) <-> m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) ) )
59		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( d = k -> ( ( [,) o. h ) ` d ) = ( ( [,) o. h ) ` k ) )
60	59	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d = k -> ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) )
61	60	cbvprodv 14047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) )
62	61	mpteq2i 4479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) = ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) )
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o = j -> ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) = ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) )
64		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o = j -> ( m ` o ) = ( m ` j ) )
65	63, 64	fveq12d 5885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( o = j -> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) = ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) )
66	65	cbvmptv 4488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) )
67	66	fveq2i 5882	. . . . . . . . . . . 12 |- (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) )
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = a -> (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) )
69		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = a -> ( (voln* ` X ) ` d ) = ( (voln* ` X ) ` a ) )
70	69	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = a -> ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) = ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) )
71	68, 70	breq12d 4408	. . . . . . . . . 10 |- ( d = a -> ( (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) <-> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) ) )
72	58, 71	anbi12d 725	. . . . . . . . 9 |- ( d = a -> ( ( m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) /\ (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) ) <-> ( m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) ) ) )
73	72	rabbidva2 3020	. . . . . . . 8 |- ( d = a -> { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) | (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) } = { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) } )
74		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = i -> ( m ` j ) = ( i ` j ) )
75	74	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = i -> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) = ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) )
76	75	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = i -> ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) )
77	76	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( m = i -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) )
78	77	breq1d 4405	. . . . . . . . 9 |- ( m = i -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) <-> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) ) )
79	78	cbvrabv 3030	. . . . . . . 8 |- { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) } = { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) }
80	73, 79	syl6eq 2521	. . . . . . 7 |- ( d = a -> { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) | (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) } = { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) } )
81	80	mpteq2dv 4483	. . . . . 6 |- ( d = a -> ( f e. RR+ |-> { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) | (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) } ) = ( f e. RR+ |-> { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) } ) )
82		oveq2 6316	. . . . . . . . 9 |- ( f = e -> ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) = ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) )
83	82	breq2d 4407	. . . . . . . 8 |- ( f = e -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) <-> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) ) )
84	83	rabbidv 3022	. . . . . . 7 |- ( f = e -> { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) } = { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) } )
85	84	cbvmptv 4488	. . . . . 6 |- ( f e. RR+ |-> { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) } ) = ( e e. RR+ |-> { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) } )
86	81, 85	syl6eq 2521	. . . . 5 |- ( d = a -> ( f e. RR+ |-> { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) | (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) } ) = ( e e. RR+ |-> { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) } ) )
87	86	cbvmptv 4488	. . . 4 |- ( d e. ~P ( RR ^m X ) |-> ( f e. RR+ |-> { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) | (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) } ) ) = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> ( e e. RR+ |-> { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) } ) )
88	33, 35, 36, 37, 38, 41, 42, 87	ovnsubaddlem2 38511	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ y e. RR+ ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e y ) )
89	30, 32, 88	xrlexaddrp 37662	. 2 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) )
90	28, 89	pm2.61dan 808	1 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^m cmap 7490   X_cixp 7540   Fincfn 7587   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   <_ cle 9694   NNcn 10631   RR+crp 11325   +ecxad 11430   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   prod_cprod 14036   volcvol 22493  Σ^{^}csumge0 38318  voln^*covoln 38476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319  df-ovoln 38477

This theorem is referenced by:  ovnome  38513  ovnsubadd2lem  38585