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Theorem ovnsubadd 38394
Description:  (voln* `  X
) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnsubadd.1  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
ovnsubadd.2  |-  ( ph  ->  A : NN --> ~P ( RR  ^m  X ) )
Assertion
Ref Expression
ovnsubadd  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, X    ph, n

Proof of Theorem ovnsubadd
Dummy variables  a 
e  i  j  k  l  y  z  b  d  f  m  h  o are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( X  =  (/)  ->  (voln* `  X )  =  (voln* `  (/) ) )
21fveq1d 5867 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  ( (voln* `  X
) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  =  ( (voln* `  (/) ) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) ) )
32adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln* `  X
) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  =  ( (voln* `  (/) ) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) ) )
4 ovnsubadd.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A : NN --> ~P ( RR  ^m  X ) )
54adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A : NN
--> ~P ( RR  ^m  X ) )
6 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
75, 6ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e. 
~P ( RR  ^m  X ) )
8 elpwi 3960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A `  n )  e.  ~P ( RR 
^m  X )  -> 
( A `  n
)  C_  ( RR  ^m  X ) )
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  C_  ( RR  ^m  X ) )
109ralrimiva 2802 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( A `  n ) 
C_  ( RR  ^m  X ) )
11 iunss 4319 . . . . . . . 8  |-  ( U_ n  e.  NN  ( A `  n )  C_  ( RR  ^m  X
)  <->  A. n  e.  NN  ( A `  n ) 
C_  ( RR  ^m  X ) )
1210, 11sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) 
C_  ( RR  ^m  X ) )
1312adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  U_ n  e.  NN  ( A `  n )  C_  ( RR  ^m  X ) )
14 oveq2 6298 . . . . . . 7  |-  ( X  =  (/)  ->  ( RR 
^m  X )  =  ( RR  ^m  (/) ) )
1514adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( RR  ^m  X )  =  ( RR  ^m  (/) ) )
1613, 15sseqtrd 3468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  U_ n  e.  NN  ( A `  n )  C_  ( RR  ^m  (/) ) )
1716ovn0val 38372 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln* `  (/) ) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n )
)  =  0 )
183, 17eqtrd 2485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln* `  X
) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  =  0 )
19 nnex 10615 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
21 ovnsubadd.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
2221adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e. 
Fin )
2322, 9ovncl 38389 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( (voln* `  X
) `  ( A `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
24 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X
) `  ( A `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) )
2523, 24fmptd 6046 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
2620, 25sge0ge0 38226 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) ) )
2726adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  0  <_  (Σ^ `  (
n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) ) )
2818, 27eqbrtrd 4423 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln* `  X
) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) ) )
2921, 12ovnxrcl 38391 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  e. 
RR* )
3029adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  (
(voln* `  X ) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  e. 
RR* )
3120, 25sge0xrcl 38227 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) )  e. 
RR* )
3231adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) )  e. 
RR* )
3321ad2antrr 732 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  X  e.  Fin )
34 neqne 37374 . . . . 5  |-  ( -.  X  =  (/)  ->  X  =/=  (/) )
3534ad2antlr 733 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  X  =/=  (/) )
364ad2antrr 732 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  A : NN --> ~P ( RR  ^m  X ) )
37 simpr 463 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
y  e.  RR+ )
38 eqid 2451 . . . 4  |-  ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } )  =  ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } )
39 sseq1 3453 . . . . . 6  |-  ( b  =  a  ->  (
b  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
)  <->  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) ) )
4039rabbidv 3036 . . . . 5  |-  ( b  =  a  ->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) }  =  { l  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } )
4140cbvmptv 4495 . . . 4  |-  ( b  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } )  =  ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } )
42 eqid 2451 . . . 4  |-  ( h  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `  k
) ) )  =  ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) )
43 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( o  =  j  ->  (
l `  o )  =  ( l `  j ) )
4443coeq2d 4997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( o  =  j  ->  ( [,)  o.  ( l `  o ) )  =  ( [,)  o.  (
l `  j )
) )
4544fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( o  =  j  ->  (
( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d )  =  ( ( [,) 
o.  ( l `  j ) ) `  d ) )
4645ixpeq2dv 7538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( o  =  j  ->  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  o ) ) `  d )  =  X_ d  e.  X  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  d )
)
47 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d  =  k  ->  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  d )  =  ( ( [,) 
o.  ( l `  j ) ) `  k ) )
4847cbvixpv 7540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j ) ) `  d )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k )
4946, 48syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( o  =  j  ->  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  o ) ) `  d )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k )
)
5049cbviunv 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  o
) ) `  d
)  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
)
5150sseq2i 3457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b 
C_  U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d )  <->  b 
C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k )
)
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( b 
C_  U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d )  <->  b 
C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k )
) )
5352rabbiia 3033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d ) }  =  { l  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) }
5453mpteq2i 4486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d ) } )  =  ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } )
5554fveq1i 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d ) } ) `  d
)  =  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  d
)
56 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  a  ->  (
( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } ) `  d )  =  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } ) `  a ) )
5755, 56syl5eq 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  a  ->  (
( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  o
) ) `  d
) } ) `  d )  =  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } ) `  a ) )
5857eleq2d 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  a  ->  (
m  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d ) } ) `  d
)  <->  m  e.  (
( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } ) `  a ) ) )
59 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  =  k  ->  (
( [,)  o.  h
) `  d )  =  ( ( [,) 
o.  h ) `  k ) )
6059fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  k  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  h ) `  d ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  h
) `  k )
) )
6160cbvprodv 13970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  prod_ d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `  d
) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `  k
) )
6261mpteq2i 4486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_ d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `  d
) ) )  =  ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) )
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  =  j  ->  (
h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) )  =  ( h  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `  k
) ) ) )
64 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  =  j  ->  (
m `  o )  =  ( m `  j ) )
6563, 64fveq12d 5871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  =  j  ->  (
( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) )  =  ( ( h  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `  k
) ) ) `  ( m `  j
) ) )
6665cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) )
6766fveq2i 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Σ^ `  ( o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) ) )
6867a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  a  ->  (Σ^ `  (
o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) ) ) )
69 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  a  ->  (
(voln* `  X ) `  d
)  =  ( (voln* `  X
) `  a )
)
7069oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  a  ->  (
( (voln* `  X ) `  d
) +e f )  =  ( ( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) )
7168, 70breq12d 4415 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  a  ->  (
(Σ^ `  ( o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  d
) +e f )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) ) )
7258, 71anbi12d 717 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  a  ->  (
( m  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  o
) ) `  d
) } ) `  d )  /\  (Σ^ `  (
o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  d
) +e f ) )  <->  ( m  e.  ( ( b  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  a
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) ) ) )
7372rabbidva2 3034 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  a  ->  { m  e.  ( ( b  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d ) } ) `  d
)  |  (Σ^ `  ( o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  d
) +e f ) }  =  {
m  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  a
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) } )
74 fveq1 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  i  ->  (
m `  j )  =  ( i `  j ) )
7574fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  i  ->  (
( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) )  =  ( ( h  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `  k
) ) ) `  ( i `  j
) ) )
7675mpteq2dv 4490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  i  ->  (
j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )
7776fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  i  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) ) )
7877breq1d 4412 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  i  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) ) )
7978cbvrabv 3044 . . . . . . . 8  |-  { m  e.  ( ( b  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  a
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) }  =  {
i  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  a
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) }
8073, 79syl6eq 2501 . . . . . . 7  |-  ( d  =  a  ->  { m  e.  ( ( b  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d ) } ) `  d
)  |  (Σ^ `  ( o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  d
) +e f ) }  =  {
i  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  a
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) } )
8180mpteq2dv 4490 . . . . . 6  |-  ( d  =  a  ->  (
f  e.  RR+  |->  { m  e.  ( ( b  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d ) } ) `  d
)  |  (Σ^ `  ( o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  d
) +e f ) } )  =  ( f  e.  RR+  |->  { i  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } ) `  a )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) } ) )
82 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  e  ->  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f )  =  ( ( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) )
8382breq2d 4414 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  e  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) ) )
8483rabbidv 3036 . . . . . . 7  |-  ( f  =  e  ->  { i  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  a
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) }  =  {
i  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  a
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) } )
8584cbvmptv 4495 . . . . . 6  |-  ( f  e.  RR+  |->  { i  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  a
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) } )  =  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } ) `  a )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) } )
8681, 85syl6eq 2501 . . . . 5  |-  ( d  =  a  ->  (
f  e.  RR+  |->  { m  e.  ( ( b  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d ) } ) `  d
)  |  (Σ^ `  ( o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  d
) +e f ) } )  =  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } ) `  a )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) } ) )
8786cbvmptv 4495 . . . 4  |-  ( d  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  ( f  e.  RR+  |->  { m  e.  ( ( b  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d ) } ) `  d
)  |  (Σ^ `  ( o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  d
) +e f ) } ) )  =  ( a  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  a
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) } ) )
8833, 35, 36, 37, 38, 41, 42, 87ovnsubaddlem2 38393 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( (voln* `  X ) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  <_ 
( (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) ) +e y ) )
8930, 32, 88xrlexaddrp 37575 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  (
(voln* `  X ) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) ) )
9028, 89pm2.61dan 800 1  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   U_ciun 4278   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832    o. ccom 4838   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   X_cixp 7522   Fincfn 7569   RRcr 9538   0cc0 9539   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    <_ cle 9676   NNcn 10609   RR+crp 11302   +ecxad 11407   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   prod_cprod 13959   volcvol 22415  Σ^csumge0 38204  voln*covoln 38357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-ac2 8893  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-prod 13960  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-rest 15321  df-0g 15340  df-topgen 15342  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-subg 16814  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-drng 17977  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cmp 20402  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-sumge0 38205  df-ovoln 38358
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