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Theorem ovnsubadd 38512
Description:  (voln* `  X
) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnsubadd.1  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
ovnsubadd.2  |-  ( ph  ->  A : NN --> ~P ( RR  ^m  X ) )
Assertion
Ref Expression
ovnsubadd  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, X    ph, n

Proof of Theorem ovnsubadd
Dummy variables  a 
e  i  j  k  l  y  z  b  d  f  m  h  o are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( X  =  (/)  ->  (voln* `  X )  =  (voln* `  (/) ) )
21fveq1d 5881 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  ( (voln* `  X
) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  =  ( (voln* `  (/) ) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) ) )
32adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln* `  X
) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  =  ( (voln* `  (/) ) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) ) )
4 ovnsubadd.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A : NN --> ~P ( RR  ^m  X ) )
54adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A : NN
--> ~P ( RR  ^m  X ) )
6 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
75, 6ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e. 
~P ( RR  ^m  X ) )
8 elpwi 3951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A `  n )  e.  ~P ( RR 
^m  X )  -> 
( A `  n
)  C_  ( RR  ^m  X ) )
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  C_  ( RR  ^m  X ) )
109ralrimiva 2809 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( A `  n ) 
C_  ( RR  ^m  X ) )
11 iunss 4310 . . . . . . . 8  |-  ( U_ n  e.  NN  ( A `  n )  C_  ( RR  ^m  X
)  <->  A. n  e.  NN  ( A `  n ) 
C_  ( RR  ^m  X ) )
1210, 11sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) 
C_  ( RR  ^m  X ) )
1312adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  U_ n  e.  NN  ( A `  n )  C_  ( RR  ^m  X ) )
14 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( X  =  (/)  ->  ( RR 
^m  X )  =  ( RR  ^m  (/) ) )
1514adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( RR  ^m  X )  =  ( RR  ^m  (/) ) )
1613, 15sseqtrd 3454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  U_ n  e.  NN  ( A `  n )  C_  ( RR  ^m  (/) ) )
1716ovn0val 38490 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln* `  (/) ) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n )
)  =  0 )
183, 17eqtrd 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln* `  X
) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  =  0 )
19 nnex 10637 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
21 ovnsubadd.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
2221adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e. 
Fin )
2322, 9ovncl 38507 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( (voln* `  X
) `  ( A `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
24 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X
) `  ( A `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) )
2523, 24fmptd 6061 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
2620, 25sge0ge0 38340 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) ) )
2726adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  0  <_  (Σ^ `  (
n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) ) )
2818, 27eqbrtrd 4416 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln* `  X
) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) ) )
2921, 12ovnxrcl 38509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  e. 
RR* )
3029adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  (
(voln* `  X ) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  e. 
RR* )
3120, 25sge0xrcl 38341 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) )  e. 
RR* )
3231adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) )  e. 
RR* )
3321ad2antrr 740 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  X  e.  Fin )
34 neqne 2651 . . . . 5  |-  ( -.  X  =  (/)  ->  X  =/=  (/) )
3534ad2antlr 741 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  X  =/=  (/) )
364ad2antrr 740 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  A : NN --> ~P ( RR  ^m  X ) )
37 simpr 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
y  e.  RR+ )
38 eqid 2471 . . . 4  |-  ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } )  =  ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } )
39 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( b  =  a  ->  (
b  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
)  <->  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) ) )
4039rabbidv 3022 . . . . 5  |-  ( b  =  a  ->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) }  =  { l  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } )
4140cbvmptv 4488 . . . 4  |-  ( b  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } )  =  ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } )
42 eqid 2471 . . . 4  |-  ( h  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `  k
) ) )  =  ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) )
43 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( o  =  j  ->  (
l `  o )  =  ( l `  j ) )
4443coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( o  =  j  ->  ( [,)  o.  ( l `  o ) )  =  ( [,)  o.  (
l `  j )
) )
4544fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( o  =  j  ->  (
( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d )  =  ( ( [,) 
o.  ( l `  j ) ) `  d ) )
4645ixpeq2dv 7556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( o  =  j  ->  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  o ) ) `  d )  =  X_ d  e.  X  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  d )
)
47 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d  =  k  ->  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  d )  =  ( ( [,) 
o.  ( l `  j ) ) `  k ) )
4847cbvixpv 7558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j ) ) `  d )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k )
4946, 48syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( o  =  j  ->  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  o ) ) `  d )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k )
)
5049cbviunv 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  o
) ) `  d
)  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
)
5150sseq2i 3443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b 
C_  U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d )  <->  b 
C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k )
)
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( b 
C_  U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d )  <->  b 
C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k )
) )
5352rabbiia 3019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d ) }  =  { l  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) }
5453mpteq2i 4479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d ) } )  =  ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } )
5554fveq1i 5880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d ) } ) `  d
)  =  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  d
)
56 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  a  ->  (
( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } ) `  d )  =  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } ) `  a ) )
5755, 56syl5eq 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  a  ->  (
( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  o
) ) `  d
) } ) `  d )  =  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } ) `  a ) )
5857eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  a  ->  (
m  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d ) } ) `  d
)  <->  m  e.  (
( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } ) `  a ) ) )
59 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  =  k  ->  (
( [,)  o.  h
) `  d )  =  ( ( [,) 
o.  h ) `  k ) )
6059fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  k  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  h ) `  d ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  h
) `  k )
) )
6160cbvprodv 14047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  prod_ d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `  d
) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `  k
) )
6261mpteq2i 4479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_ d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `  d
) ) )  =  ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) )
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  =  j  ->  (
h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) )  =  ( h  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `  k
) ) ) )
64 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  =  j  ->  (
m `  o )  =  ( m `  j ) )
6563, 64fveq12d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  =  j  ->  (
( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) )  =  ( ( h  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `  k
) ) ) `  ( m `  j
) ) )
6665cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) )
6766fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Σ^ `  ( o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) ) )
6867a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  a  ->  (Σ^ `  (
o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) ) ) )
69 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  a  ->  (
(voln* `  X ) `  d
)  =  ( (voln* `  X
) `  a )
)
7069oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  a  ->  (
( (voln* `  X ) `  d
) +e f )  =  ( ( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) )
7168, 70breq12d 4408 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  a  ->  (
(Σ^ `  ( o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  d
) +e f )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) ) )
7258, 71anbi12d 725 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  a  ->  (
( m  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  o
) ) `  d
) } ) `  d )  /\  (Σ^ `  (
o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  d
) +e f ) )  <->  ( m  e.  ( ( b  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  a
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) ) ) )
7372rabbidva2 3020 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  a  ->  { m  e.  ( ( b  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d ) } ) `  d
)  |  (Σ^ `  ( o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  d
) +e f ) }  =  {
m  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  a
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) } )
74 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  i  ->  (
m `  j )  =  ( i `  j ) )
7574fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  i  ->  (
( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) )  =  ( ( h  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `  k
) ) ) `  ( i `  j
) ) )
7675mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  i  ->  (
j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )
7776fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  i  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) ) )
7877breq1d 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  i  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) ) )
7978cbvrabv 3030 . . . . . . . 8  |-  { m  e.  ( ( b  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  a
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( m `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) }  =  {
i  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  a
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) }
8073, 79syl6eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( d  =  a  ->  { m  e.  ( ( b  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d ) } ) `  d
)  |  (Σ^ `  ( o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  d
) +e f ) }  =  {
i  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  a
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) } )
8180mpteq2dv 4483 . . . . . 6  |-  ( d  =  a  ->  (
f  e.  RR+  |->  { m  e.  ( ( b  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d ) } ) `  d
)  |  (Σ^ `  ( o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  d
) +e f ) } )  =  ( f  e.  RR+  |->  { i  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } ) `  a )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) } ) )
82 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  e  ->  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f )  =  ( ( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) )
8382breq2d 4407 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  e  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) ) )
8483rabbidv 3022 . . . . . . 7  |-  ( f  =  e  ->  { i  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  a
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) }  =  {
i  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  a
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) } )
8584cbvmptv 4488 . . . . . 6  |-  ( f  e.  RR+  |->  { i  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  a
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e f ) } )  =  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } ) `  a )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) } )
8681, 85syl6eq 2521 . . . . 5  |-  ( d  =  a  ->  (
f  e.  RR+  |->  { m  e.  ( ( b  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d ) } ) `  d
)  |  (Σ^ `  ( o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  d
) +e f ) } )  =  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } ) `  a )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) } ) )
8786cbvmptv 4488 . . . 4  |-  ( d  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  ( f  e.  RR+  |->  { m  e.  ( ( b  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ o  e.  NN  X_ d  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  o )
) `  d ) } ) `  d
)  |  (Σ^ `  ( o  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ d  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 d ) ) ) `  ( m `
 o ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  d
) +e f ) } ) )  =  ( a  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( ( b  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) `  a
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) } ) )
8833, 35, 36, 37, 38, 41, 42, 87ovnsubaddlem2 38511 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( (voln* `  X ) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  <_ 
( (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) ) +e y ) )
8930, 32, 88xrlexaddrp 37662 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  (
(voln* `  X ) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) ) )
9028, 89pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  U_ n  e.  NN  ( A `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( (voln* `  X ) `  ( A `  n )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   X_cixp 7540   Fincfn 7587   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    <_ cle 9694   NNcn 10631   RR+crp 11325   +ecxad 11430   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   prod_cprod 14036   volcvol 22493  Σ^csumge0 38318  voln*covoln 38476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319  df-ovoln 38477
This theorem is referenced by:  ovnome  38513  ovnsubadd2lem  38585
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