Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnlecvr2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ovnlecvr2 38550
 Description: Given a subset of multidimensional reals and a set of half-open intervals that covers it, the Lebesgue outer measure of the set is bounded by the generalized sum of the pre-measure of the half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnlecvr2.x
ovnlecvr2.c
ovnlecvr2.d
ovnlecvr2.s
ovnlecvr2.l
Assertion
Ref Expression
ovnlecvr2 voln* Σ^
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,)   (,)   (,,,,)

Proof of Theorem ovnlecvr2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . . . . 6 voln* voln*
21fveq1d 5881 . . . . 5 voln* voln*
32adantl 473 . . . 4 voln* voln*
4 ovnlecvr2.s . . . . . . 7
54adantr 472 . . . . . 6
6 1nn 10642 . . . . . . . . . . 11
7 ne0i 3728 . . . . . . . . . . 11
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
98a1i 11 . . . . . . . . 9
10 iunconst 4278 . . . . . . . . 9
119, 10syl 17 . . . . . . . 8
1211adantr 472 . . . . . . 7
13 ixpeq1 7551 . . . . . . . . . . 11
14 ixp0x 7568 . . . . . . . . . . . 12
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11
1613, 15eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
1716adantr 472 . . . . . . . . 9
1817iuneq2dv 4291 . . . . . . . 8
1918adantl 473 . . . . . . 7
20 reex 9648 . . . . . . . . 9
21 mapdm0 37542 . . . . . . . . 9
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8
2322a1i 11 . . . . . . 7
2412, 19, 233eqtr4d 2515 . . . . . 6
255, 24sseqtrd 3454 . . . . 5
2625ovn0val 38490 . . . 4 voln*
273, 26eqtrd 2505 . . 3 voln*
28 nfv 1769 . . . . 5
29 nnex 10637 . . . . . 6
3029a1i 11 . . . . 5
31 icossicc 11746 . . . . . 6
32 ovnlecvr2.l . . . . . . 7
33 ovnlecvr2.x . . . . . . . 8
3433adantr 472 . . . . . . 7
35 ovnlecvr2.c . . . . . . . . 9
3635ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8
37 elmapi 7511 . . . . . . . 8
3836, 37syl 17 . . . . . . 7
39 ovnlecvr2.d . . . . . . . . 9
4039ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8
41 elmapi 7511 . . . . . . . 8
4240, 41syl 17 . . . . . . 7
4332, 34, 38, 42hoidmvcl 38522 . . . . . 6
4431, 43sseldi 3416 . . . . 5
4528, 30, 44sge0ge0mpt 38394 . . . 4 Σ^
4645adantr 472 . . 3 Σ^
4727, 46eqbrtrd 4416 . 2 voln* Σ^
48 simpl 464 . . 3
49 neqne 2651 . . . 4
5133adantr 472 . . . . 5
52 simpr 468 . . . . 5
5338ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . 13
5442ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . 14
5554rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13
56 icossre 11740 . . . . . . . . . . . . 13
5753, 55, 56syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
5857ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11
59 ss2ixp 7553 . . . . . . . . . . 11
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . 10
6120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
62 ixpconstg 7549 . . . . . . . . . . . 12
6333, 61, 62syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
6463adantr 472 . . . . . . . . . 10
6560, 64sseqtrd 3454 . . . . . . . . 9
6665ralrimiva 2809 . . . . . . . 8
67 iunss 4310 . . . . . . . 8
6866, 67sylibr 217 . . . . . . 7
694, 68sstrd 3428 . . . . . 6
7069adantr 472 . . . . 5
71 eqid 2471 . . . . 5 Σ^ Σ^
7251, 52, 70, 71ovnn0val 38491 . . . 4 voln* inf Σ^
73 ssrab2 3500 . . . . . 6 Σ^
7473a1i 11 . . . . 5 Σ^
7528, 30, 44sge0xrclmpt 38384 . . . . . . . 8 Σ^
7675adantr 472 . . . . . . 7 Σ^
77 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . 14
7853, 54, 77syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
79 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
8078, 79fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12
8120, 20xpex 6614 . . . . . . . . . . . . . 14
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
83 elmapg 7503 . . . . . . . . . . . . 13
8482, 34, 83syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
8580, 84mpbird 240 . . . . . . . . . . 11
86 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
8785, 86fmptd 6061 . . . . . . . . . 10
88 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12
8988a1i 11 . . . . . . . . . . 11
90 elmapg 7503 . . . . . . . . . . 11
9189, 30, 90syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
9287, 91mpbird 240 . . . . . . . . 9
9392adantr 472 . . . . . . . 8
94 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
95 mptexg 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9633, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9796adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9886fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9994, 97, 98syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10099coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . . . 16
101100fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
10380adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
104 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
105103, 104fvovco 37540 . . . . . . . . . . . . . 14
106 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10979fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110106, 108, 109syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111110fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114 op1stg 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115112, 113, 114mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117111, 116eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118110fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119112, 113op2nd 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
121118, 120eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16
122117, 121oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15
123122adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14
124102, 105, 1233eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13
125124ixpeq2dva 7555 . . . . . . . . . . . 12
126125iuneq2dv 4291 . . . . . . . . . . 11
1274, 126sseqtrd 3454 . . . . . . . . . 10
128127adantr 472 . . . . . . . . 9
129 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10 Σ^ Σ^
13051adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
13152adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
13238adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13
13342adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13
13432, 130, 131, 132, 133hoidmvn0val 38524 . . . . . . . . . . . 12
135134mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . 11
136135fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10 Σ^ Σ^
137124eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15
138137fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
139138prodeq2dv 14054 . . . . . . . . . . . . 13
140139mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . 12
141140fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11 Σ^ Σ^
142141adantr 472 . . . . . . . . . 10 Σ^ Σ^
143129, 136, 1423eqtr4d 2515 . . . . . . . . 9 Σ^ Σ^
144128, 143jca 541 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
145 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13
146 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . 13
147145, 146nfeq 2623 . . . . . . . . . . . 12
148 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15
149 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16
150 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . 16
151149, 150nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . 15
152148, 151nfeq 2623 . . . . . . . . . . . . . 14
153 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
154153coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . . . 16
155154fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
156155adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
157152, 156ixpeq2d 37469 . . . . . . . . . . . . 13
158157adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
159147, 158iuneq2df 37442 . . . . . . . . . . 11
160159sseq2d 3446 . . . . . . . . . 10
161 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . 16
162152, 161nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . 15
163155fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
164163a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16
165164adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
166162, 165ralrimi 2800 . . . . . . . . . . . . . 14
167166prodeq2d 14053 . . . . . . . . . . . . 13
168147, 167mpteq2da 4481 . . . . . . . . . . . 12
169168fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11 Σ^ Σ^
170169eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
171160, 170anbi12d 725 . . . . . . . . 9 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
172171rspcev 3136 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
17393, 144, 172syl2anc 673 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
17476, 173jca 541 . . . . . 6 Σ^ Σ^ Σ^
175 eqeq1 2475 . . . . . . . . 9 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
176175anbi2d 718 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
177176rexbidv 2892 . . . . . . 7 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
178177elrab 3184 . . . . . 6 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
179174, 178sylibr 217 . . . . 5 Σ^ Σ^
180 infxrlb 11645 . . . . 5 Σ^ Σ^ Σ^ inf Σ^ Σ^
18174, 179, 180syl2anc 673 . . . 4 inf Σ^ Σ^
18272, 181eqbrtrd 4416 . . 3 voln* Σ^
18348, 50, 182syl2anc 673 . 2 voln* Σ^
18447, 183pm2.61dan 808 1 voln* Σ^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  cif 3872  csn 3959  cop 3965  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  c1st 6810  c2nd 6811   cmap 7490  cixp 7540  cfn 7587  infcinf 7973  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cn 10631  cico 11662  cicc 11663  cprod 14036  cvol 22493  Σ^csumge0 38318  voln*covoln 38476 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319  df-ovoln 38477 This theorem is referenced by:  hspmbllem2  38567
 Copyright terms: Public domain W3C validator