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Theorem ovnlecvr2 38550
Description: Given a subset of multidimensional reals and a set of half-open intervals that covers it, the Lebesgue outer measure of the set is bounded by the generalized sum of the pre-measure of the half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnlecvr2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
ovnlecvr2.c  |-  ( ph  ->  C : NN --> ( RR 
^m  X ) )
ovnlecvr2.d  |-  ( ph  ->  D : NN --> ( RR 
^m  X ) )
ovnlecvr2.s  |-  ( ph  ->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  k ) [,) (
( D `  j
) `  k )
) )
ovnlecvr2.l  |-  L  =  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x ) 
|->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ovnlecvr2  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    C, a,
b, k    D, a,
b, k    X, a,
b, j, k, x    ph, a, b, j, k, x
Allowed substitution hints:    A( x, j, k, a, b)    C( x, j)    D( x, j)    L( x, j, k, a, b)

Proof of Theorem ovnlecvr2
Dummy variables  i 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( X  =  (/)  ->  (voln* `  X )  =  (voln* `  (/) ) )
21fveq1d 5881 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  ( (voln* `  X
) `  A )  =  ( (voln* `  (/) ) `  A ) )
32adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln* `  X
) `  A )  =  ( (voln* `  (/) ) `  A ) )
4 ovnlecvr2.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  k ) [,) (
( D `  j
) `  k )
) )
54adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  k ) [,) (
( D `  j
) `  k )
) )
6 1nn 10642 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
7 ne0i 3728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =/=  (/)
98a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  NN  =/=  (/) )
10 iunconst 4278 . . . . . . . . 9  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  U_ j  e.  NN  { (/) }  =  { (/) } )
119, 10syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  NN  {
(/) }  =  { (/)
} )
1211adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  U_ j  e.  NN  { (/) }  =  { (/) } )
13 ixpeq1 7551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  (/)  ->  X_ k  e.  X  ( (
( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) )  =  X_ k  e.  (/)  ( ( ( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) ) )
14 ixp0x 7568 . . . . . . . . . . . 12  |-  X_ k  e.  (/)  ( ( ( C `  j ) `
 k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) )  =  { (/)
}
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  (/)  ->  X_ k  e.  (/)  ( ( ( C `  j ) `
 k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) )  =  { (/)
} )
1613, 15eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  (/)  ->  X_ k  e.  X  ( (
( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) )  =  { (/)
} )
1716adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  (/)  /\  j  e.  NN )  ->  X_ k  e.  X  ( (
( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) )  =  { (/)
} )
1817iuneq2dv 4291 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  (/)  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  k ) [,) (
( D `  j
) `  k )
)  =  U_ j  e.  NN  { (/) } )
1918adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  k ) [,) (
( D `  j
) `  k )
)  =  U_ j  e.  NN  { (/) } )
20 reex 9648 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
21 mapdm0 37542 . . . . . . . . 9  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( RR  ^m  (/) )  =  { (/)
} )
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
^m  (/) )  =  { (/)
}
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( RR  ^m  (/) )  =  { (/)
} )
2412, 19, 233eqtr4d 2515 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  k ) [,) (
( D `  j
) `  k )
)  =  ( RR 
^m  (/) ) )
255, 24sseqtrd 3454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  A  C_  ( RR  ^m  (/) ) )
2625ovn0val 38490 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln* `  (/) ) `  A )  =  0 )
273, 26eqtrd 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln* `  X
) `  A )  =  0 )
28 nfv 1769 . . . . 5  |-  F/ j
ph
29 nnex 10637 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
3029a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
31 icossicc 11746 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
32 ovnlecvr2.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x ) 
|->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) ) ) )
33 ovnlecvr2.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
3433adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  X  e. 
Fin )
35 ovnlecvr2.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C : NN --> ( RR 
^m  X ) )
3635ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j )  e.  ( RR  ^m  X
) )
37 elmapi 7511 . . . . . . . 8  |-  ( ( C `  j )  e.  ( RR  ^m  X )  ->  ( C `  j ) : X --> RR )
3836, 37syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j ) : X --> RR )
39 ovnlecvr2.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D : NN --> ( RR 
^m  X ) )
4039ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `
 j )  e.  ( RR  ^m  X
) )
41 elmapi 7511 . . . . . . . 8  |-  ( ( D `  j )  e.  ( RR  ^m  X )  ->  ( D `  j ) : X --> RR )
4240, 41syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `
 j ) : X --> RR )
4332, 34, 38, 42hoidmvcl 38522 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) ( L `  X
) ( D `  j ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
4431, 43sseldi 3416 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) ( L `  X
) ( D `  j ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4528, 30, 44sge0ge0mpt 38394 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) ) )
4645adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  0  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( C `  j
) ( L `  X ) ( D `
 j ) ) ) ) )
4727, 46eqbrtrd 4416 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln* `  X
) `  A )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) ) )
48 simpl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  ph )
49 neqne 2651 . . . 4  |-  ( -.  X  =  (/)  ->  X  =/=  (/) )
5049adantl 473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  X  =/=  (/) )
5133adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  X  e.  Fin )
52 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  X  =/=  (/) )
5338ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( C `  j
) `  k )  e.  RR )
5442ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( D `  j
) `  k )  e.  RR )
5554rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( D `  j
) `  k )  e.  RR* )
56 icossre 11740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C `  j ) `  k
)  e.  RR  /\  ( ( D `  j ) `  k
)  e.  RR* )  ->  ( ( ( C `
 j ) `  k ) [,) (
( D `  j
) `  k )
)  C_  RR )
5753, 55, 56syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( ( C `  j ) `  k
) [,) ( ( D `  j ) `
 k ) ) 
C_  RR )
5857ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. k  e.  X  ( (
( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) )  C_  RR )
59 ss2ixp 7553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  X  (
( ( C `  j ) `  k
) [,) ( ( D `  j ) `
 k ) ) 
C_  RR  ->  X_ k  e.  X  ( (
( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) )  C_  X_ k  e.  X  RR )
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  X_ k  e.  X  ( (
( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) )  C_  X_ k  e.  X  RR )
6120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
62 ixpconstg 7549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  RR  e.  _V )  ->  X_ k  e.  X  RR  =  ( RR  ^m  X ) )
6333, 61, 62syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  X  RR  =  ( RR  ^m  X ) )
6463adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  X_ k  e.  X  RR  =  ( RR  ^m  X ) )
6560, 64sseqtrd 3454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  X_ k  e.  X  ( (
( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) )  C_  ( RR  ^m  X ) )
6665ralrimiva 2809 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `  j ) `  k
) [,) ( ( D `  j ) `
 k ) ) 
C_  ( RR  ^m  X ) )
67 iunss 4310 . . . . . . . 8  |-  ( U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( (
( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) )  C_  ( RR  ^m  X )  <->  A. j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  k ) [,) (
( D `  j
) `  k )
)  C_  ( RR  ^m  X ) )
6866, 67sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `  j ) `  k
) [,) ( ( D `  j ) `
 k ) ) 
C_  ( RR  ^m  X ) )
694, 68sstrd 3428 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( RR  ^m  X ) )
7069adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  A  C_  ( RR  ^m  X ) )
71 eqid 2471 . . . . 5  |-  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  =  { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }
7251, 52, 70, 71ovnn0val 38491 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( (voln* `  X
) `  A )  = inf ( { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
73 ssrab2 3500 . . . . . 6  |-  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } 
C_  RR*
7473a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } 
C_  RR* )
7528, 30, 44sge0xrclmpt 38384 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  e. 
RR* )
7675adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  e. 
RR* )
77 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C `  j ) `  k
)  e.  RR  /\  ( ( D `  j ) `  k
)  e.  RR )  ->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
7853, 54, 77syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
79 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )  =  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. )
8078, 79fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
8120, 20xpex 6614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V )
83 elmapg 7503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  X.  RR )  e.  _V  /\  X  e.  Fin )  ->  (
( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
)  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  <->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. ) : X --> ( RR  X.  RR ) ) )
8482, 34, 83syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  X  |->  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
)  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  <->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. ) : X --> ( RR  X.  RR ) ) )
8580, 84mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
86 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
)  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
)
8785, 86fmptd 6061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) : NN --> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
88 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  e. 
_V
8988a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  e.  _V )
90 elmapg 7503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  e.  _V  /\  NN  e.  _V )  ->  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) )  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  <->  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) ) : NN --> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) ) )
9189, 30, 90syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) )  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  <->  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) ) : NN --> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) ) )
9287, 91mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) )  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
9392adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) )  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
94 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
95 mptexg 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
k  e.  X  |->  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
)  e.  _V )
9633, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
)  e.  _V )
9796adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )  e.  _V )
9886fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
)  e.  _V )  ->  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) ) `  j
)  =  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
)
9994, 97, 98syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
)  =  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
)
10099coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( [,) 
o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
) `  j )
)  =  ( [,) 
o.  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) ) )
101100fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
)  =  ( ( [,)  o.  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
) `  k )
)
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
)  =  ( ( [,)  o.  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
) `  k )
)
10380adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
k  e.  X  |->  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
104 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  k  e.  X )
105103, 104fvovco 37540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  (
k  e.  X  |->  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  k
)  =  ( ( 1st `  ( ( k  e.  X  |->  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) `  k ) ) ) )
106 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  k  e.  X )
107 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >.  e.  _V
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >.  e.  _V )
10979fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  X  /\  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.  e.  _V )  ->  (
( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) `  k )  =  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. )
110106, 108, 109syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  (
( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) `  k )  =  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. )
111110fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. ) `  k ) )  =  ( 1st `  <. ( ( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
)
112 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C `  j ) `
 k )  e. 
_V
113 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D `  j ) `
 k )  e. 
_V
114 op1stg 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C `  j ) `  k
)  e.  _V  /\  ( ( D `  j ) `  k
)  e.  _V )  ->  ( 1st `  <. ( ( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )  =  ( ( C `
 j ) `  k ) )
115112, 113, 114mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1st `  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. )  =  ( ( C `  j ) `
 k )
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. )  =  ( ( C `  j ) `
 k ) )
117111, 116eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. ) `  k ) )  =  ( ( C `  j ) `  k
) )
118110fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. ) `  k ) )  =  ( 2nd `  <. ( ( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
)
119112, 113op2nd 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2nd `  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. )  =  ( ( D `  j ) `
 k )
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. )  =  ( ( D `  j ) `
 k ) )
121118, 120eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. ) `  k ) )  =  ( ( D `  j ) `  k
) )
122117, 121oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  (
( 1st `  (
( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) `  k ) ) )  =  ( ( ( C `  j ) `  k
) [,) ( ( D `  j ) `
 k ) ) )
123122adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( 1st `  (
( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) `  k ) ) )  =  ( ( ( C `  j ) `  k
) [,) ( ( D `  j ) `
 k ) ) )
124102, 105, 1233eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( ( C `  j ) `  k
) [,) ( ( D `  j ) `
 k ) )  =  ( ( [,) 
o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
) `  j )
) `  k )
)
125124ixpeq2dva 7555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  X_ k  e.  X  ( (
( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
) )
126125iuneq2dv 4291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `  j ) `  k
) [,) ( ( D `  j ) `
 k ) )  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) ) `  j
) ) `  k
) )
1274, 126sseqtrd 3454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) ) `  j
) ) `  k
) )
128127adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) ) `  j
) ) `  k
) )
129 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) ) ) ) ) )
13051adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  j  e.  NN )  ->  X  e.  Fin )
13152adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  j  e.  NN )  ->  X  =/=  (/) )
13238adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `  j ) : X --> RR )
13342adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `  j ) : X --> RR )
13432, 130, 131, 132, 133hoidmvn0val 38524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( C `  j
) ( L `  X ) ( D `
 j ) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) ) ) )
135134mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `
 j ) ( L `  X ) ( D `  j
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) ) ) ) )
136135fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) ) ) ) ) )
137124eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
)  =  ( ( ( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) ) )
138137fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
) `  j )
) `  k )
)  =  ( vol `  ( ( ( C `
 j ) `  k ) [,) (
( D `  j
) `  k )
) ) )
139138prodeq2dv 14054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) ) `  j
) ) `  k
) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( C `
 j ) `  k ) [,) (
( D `  j
) `  k )
) ) )
140139mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) ) ) ) )
141140fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) ) ) ) ) )
142141adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) ) ) ) ) )
143129, 136, 1423eqtr4d 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) ) )
144128, 143jca 541 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( A  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) ) ) )
145 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j
i
146 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) )
147145, 146nfeq 2623 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
)
148 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
i
149 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k NN
150 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
)
151149, 150nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) )
152148, 151nfeq 2623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k  i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
)
153 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) )  ->  (
i `  j )  =  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
) `  j )
)
154153coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) )  ->  ( [,)  o.  ( i `  j ) )  =  ( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) )
155154fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) )  ->  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
) `  j )
) `  k )
)
156155adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
)  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
) `  j )
) `  k )
)
157152, 156ixpeq2d 37469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) )  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
) )
158157adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
)  /\  j  e.  NN )  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
) )
159147, 158iuneq2df 37442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) )  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
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 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) ) `  j
) ) `  k
) )
160159sseq2d 3446 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) )  ->  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  <->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) ) `  j
) ) `  k
) ) )
161 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k  j  e.  NN
162152, 161nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) )  /\  j  e.  NN )
163155fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( i `  j ) ) `  k ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) )
164163a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) )  ->  (
k  e.  X  -> 
( vol `  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
)  =  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) ) `  j
) ) `  k
) ) ) )
165164adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
)  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( i `  j ) ) `  k ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) )
166162, 165ralrimi 2800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
)  /\  j  e.  NN )  ->  A. k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  =  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) )
167166prodeq2d 14053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. (
( C `  j
) `  k ) ,  ( ( D `
 j ) `  k ) >. )
)  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) ) `  j
) ) `  k
) ) )
168147, 167mpteq2da 4481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) )  ->  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) ) `  j
) ) `  k
) ) ) )
169168fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) ) )
170169eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) )  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) ) ) )
171160, 170anbi12d 725 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
) `  k ) >. ) )  ->  (
( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  ( A  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) ) ) ) )
172171rspcev 3136 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) )  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. ( ( C `
 j ) `  k ) ,  ( ( D `  j
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) ) `  k
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <.
( ( C `  j ) `  k
) ,  ( ( D `  j ) `
 k ) >.
) ) `  j
) ) `  k
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X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
17393, 144, 172syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
17476, 173jca 541 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( C `  j
) ( L `  X ) ( D `
 j ) ) ) )  e.  RR*  /\ 
E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
175 eqeq1 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  -> 
( z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
176175anbi2d 718 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  -> 
( ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  ( A  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
177176rexbidv 2892 . . . . . . 7  |-  ( z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  -> 
( E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
178177elrab 3184 . . . . . 6  |-  ( (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( C `  j
) ( L `  X ) ( D `
 j ) ) ) )  e.  {
z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  <-> 
( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  e. 
RR*  /\  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
179174, 178sylibr 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  e. 
{ z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } )
180 infxrlb 11645 . . . . 5  |-  ( ( { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } 
C_  RR*  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  e. 
{ z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } )  -> inf ( {
z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) ) )
18174, 179, 180syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  -> inf ( {
z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) ) )
18272, 181eqbrtrd 4416 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( (voln* `  X
) `  A )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) ) )
18348, 50, 182syl2anc 673 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  (
(voln* `  X ) `  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) ) )
18447, 183pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   {csn 3959   <.cop 3965   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811    ^m cmap 7490   X_cixp 7540   Fincfn 7587  infcinf 7973   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   prod_cprod 14036   volcvol 22493  Σ^csumge0 38318  voln*covoln 38476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319  df-ovoln 38477
This theorem is referenced by:  hspmbllem2  38567
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