Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnlecvr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ovnlecvr 38498
 Description: Given a subset of multidimensional reals and a set of half-open intervals that covers it, the Lebesgue outer measure of the set is bounded by the generalized sum of the pre-measure of the half-open intervals. The statement would also be true with the empty set, but covers are not used for the zero-dimensional case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnlecvr.x
ovnlecvr.n0
ovnlecvr.l
ovnlecvr.i
ovnlecvr.ss
Assertion
Ref Expression
ovnlecvr voln* Σ^
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem ovnlecvr
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovnlecvr.x . . 3
2 ovnlecvr.n0 . . 3
3 ovnlecvr.ss . . . 4
4 ovnlecvr.i . . . . . . . . 9
54ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8
6 elmapi 7511 . . . . . . . 8
75, 6syl 17 . . . . . . 7
87hoissrrn 38489 . . . . . 6
98ralrimiva 2809 . . . . 5
10 iunss 4310 . . . . 5
119, 10sylibr 217 . . . 4
123, 11sstrd 3428 . . 3
13 eqid 2471 . . 3 Σ^ Σ^
141, 2, 12, 13ovnn0val 38491 . 2 voln* inf Σ^
15 ssrab2 3500 . . . 4 Σ^
1615a1i 11 . . 3 Σ^
17 nnex 10637 . . . . . . 7
1817a1i 11 . . . . . 6
19 icossicc 11746 . . . . . . . 8
20 nfv 1769 . . . . . . . . 9
211adantr 472 . . . . . . . . 9
22 ovnlecvr.l . . . . . . . . 9
2320, 21, 22, 7hoiprodcl2 38495 . . . . . . . 8
2419, 23sseldi 3416 . . . . . . 7
25 eqid 2471 . . . . . . 7
2624, 25fmptd 6061 . . . . . 6
2718, 26sge0xrcl 38341 . . . . 5 Σ^
28 ovex 6336 . . . . . . . . 9
2928, 17pm3.2i 462 . . . . . . . 8
30 elmapg 7503 . . . . . . . 8
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7
324, 31sylibr 217 . . . . . 6
3322a1i 11 . . . . . . . . . 10
34 coeq2 4998 . . . . . . . . . . . . . 14
3534fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . 13
3635fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
3736prodeq2ad 37769 . . . . . . . . . . 11
3837adantl 473 . . . . . . . . . 10
39 prodex 14038 . . . . . . . . . . 11
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10
4133, 38, 5, 40fvmptd 5969 . . . . . . . . 9
4241mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8
4342fveq2d 5883 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
443, 43jca 541 . . . . . 6 Σ^ Σ^
45 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11
46 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . 14
4746coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . 13
4847fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . 12
4948adantr 472 . . . . . . . . . . 11
5045, 49ixpeq2d 37469 . . . . . . . . . 10
5150iuneq2d 4296 . . . . . . . . 9
5251sseq2d 3446 . . . . . . . 8
5348fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
5453prodeq2ad 37769 . . . . . . . . . . 11
5554mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . 10
5655fveq2d 5883 . . . . . . . . 9 Σ^ Σ^
5756eqeq2d 2481 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
5852, 57anbi12d 725 . . . . . . 7 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
5958rspcev 3136 . . . . . 6 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
6032, 44, 59syl2anc 673 . . . . 5 Σ^ Σ^
6127, 60jca 541 . . . 4 Σ^ Σ^ Σ^
62 eqeq1 2475 . . . . . . 7 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
6362anbi2d 718 . . . . . 6 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
6463rexbidv 2892 . . . . 5 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
6564elrab 3184 . . . 4 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
6661, 65sylibr 217 . . 3 Σ^ Σ^
67 infxrlb 11645 . . 3 Σ^ Σ^ Σ^ inf Σ^ Σ^
6816, 66, 67syl2anc 673 . 2 inf Σ^ Σ^
6914, 68eqbrtrd 4416 1 voln* Σ^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmap 7490  cixp 7540  cfn 7587  infcinf 7973  cr 9556  cc0 9557   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cn 10631  cico 11662  cicc 11663  cprod 14036  cvol 22493  Σ^csumge0 38318  voln*covoln 38476 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319  df-ovoln 38477 This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  38510
 Copyright terms: Public domain W3C validator