Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnlecvr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ovnlecvr 38498
Description: Given a subset of multidimensional reals and a set of half-open intervals that covers it, the Lebesgue outer measure of the set is bounded by the generalized sum of the pre-measure of the half-open intervals. The statement would also be true with  X the empty set, but covers are not used for the zero-dimensional case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnlecvr.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
ovnlecvr.n0  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
ovnlecvr.l  |-  L  =  ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 k ) ) )
ovnlecvr.i  |-  ( ph  ->  I : NN --> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
ovnlecvr.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) )
Assertion
Ref Expression
ovnlecvr  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, i    i, I, j, k    i, L    i, X, j, k    ph, i, j, k
Allowed substitution hints:    A( j, k)    L( j, k)

Proof of Theorem ovnlecvr
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovnlecvr.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
2 ovnlecvr.n0 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
3 ovnlecvr.ss . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) )
4 ovnlecvr.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I : NN --> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
54ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( I `
 j )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
6 elmapi 7511 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  j )  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ->  (
I `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
75, 6syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( I `
 j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
87hoissrrn 38489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j ) ) `  k )  C_  ( RR  ^m  X ) )
98ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
I `  j )
) `  k )  C_  ( RR  ^m  X
) )
10 iunss 4310 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j ) ) `  k )  C_  ( RR  ^m  X )  <->  A. j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
)  C_  ( RR  ^m  X ) )
119, 10sylibr 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
I `  j )
) `  k )  C_  ( RR  ^m  X
) )
123, 11sstrd 3428 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( RR  ^m  X ) )
13 eqid 2471 . . 3  |-  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  =  { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }
141, 2, 12, 13ovnn0val 38491 . 2  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  A
)  = inf ( { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
15 ssrab2 3500 . . . 4  |-  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } 
C_  RR*
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } 
C_  RR* )
17 nnex 10637 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
19 icossicc 11746 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
20 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ph  /\  j  e.  NN )
211adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  X  e. 
Fin )
22 ovnlecvr.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 k ) ) )
2320, 21, 22, 7hoiprodcl2 38495 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( L `
 ( I `  j ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2419, 23sseldi 3416 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( L `
 ( I `  j ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
25 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  |->  ( L `
 ( I `  j ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `  j
) ) )
2624, 25fmptd 6061 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
2718, 26sge0xrcl 38341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  e.  RR* )
28 ovex 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  e. 
_V
2928, 17pm3.2i 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  e. 
_V  /\  NN  e.  _V )
30 elmapg 7503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  e.  _V  /\  NN  e.  _V )  ->  (
I  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  <->  I : NN --> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  <->  I : NN --> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
324, 31sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
3322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  L  =  ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 k ) ) ) )
34 coeq2 4998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  ( I `  j )  ->  ( [,)  o.  i )  =  ( [,)  o.  (
I `  j )
) )
3534fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( I `  j )  ->  (
( [,)  o.  i
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  k ) )
3635fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I `  j )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  i ) `  k ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  k )
) )
3736prodeq2ad 37769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( I `  j )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `  k
) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) ) )
3837adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  i  =  ( I `  j ) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 k ) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 k ) ) )
39 prodex 14038 . . . . . . . . . . 11  |-  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) )  e.  _V
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) )  e.  _V )
4133, 38, 5, 40fvmptd 5969 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( L `
 ( I `  j ) )  = 
prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 k ) ) )
4241mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) ) ) )
4342fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
443, 43jca 541 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
45 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  i  =  I
46 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  I  ->  (
i `  j )  =  ( I `  j ) )
4746coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  I  ->  ( [,)  o.  ( i `  j ) )  =  ( [,)  o.  (
I `  j )
) )
4847fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  I  ->  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  k ) )
4948adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  I  /\  k  e.  X )  ->  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  =  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 k ) )
5045, 49ixpeq2d 37469 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  I  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  k )
)
5150iuneq2d 4296 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) )
5251sseq2d 3446 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  <->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) ) )
5348fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  I  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( i `  j ) ) `  k ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  k )
) )
5453prodeq2ad 37769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  I  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) ) )
5554mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  I  ->  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) ) ) )
5655fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
5756eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
5852, 57anbi12d 725 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  (
( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  ( A  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
I `  j )
) `  k )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
5958rspcev 3136 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
6032, 44, 59syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
6127, 60jca 541 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  e.  RR*  /\ 
E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
62 eqeq1 2475 . . . . . . 7  |-  ( z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  ->  (
z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
6362anbi2d 718 . . . . . 6  |-  ( z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  ->  (
( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  ( A  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
6463rexbidv 2892 . . . . 5  |-  ( z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  ->  ( E. i  e.  (
( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
6564elrab 3184 . . . 4  |-  ( (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  e.  {
z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  <-> 
( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  e.  RR*  /\ 
E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
6661, 65sylibr 217 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  e.  {
z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } )
67 infxrlb 11645 . . 3  |-  ( ( { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } 
C_  RR*  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  e.  {
z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } )  -> inf ( {
z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) ) )
6816, 66, 67syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  -> inf ( { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) ) )
6914, 68eqbrtrd 4416 1  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   X_cixp 7540   Fincfn 7587  infcinf 7973   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   prod_cprod 14036   volcvol 22493  Σ^csumge0 38318  voln*covoln 38476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319  df-ovoln 38477
This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  38510
  Copyright terms: Public domain W3C validator