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Theorem ovnhoilem2 38434
Description: The Lebesgue outer measure of a multidimensional half-open interval is less than or equal to the product of its length in each dimension. Second part of the proof of Proposition 115D (b) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnhoilem2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
ovnhoilem2.n  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
ovnhoilem2.a  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
ovnhoilem2.b  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
ovnhoilem2.i  |-  I  = 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)
ovnhoilem2.l  |-  L  =  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x ) 
|->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) ) ) )
ovnhoilem2.m  |-  M  =  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }
ovnhoilem2.f  |-  F  =  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) ) )
ovnhoilem2.s  |-  S  =  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ovnhoilem2  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  <_  ( (voln* `  X
) `  I )
)
Distinct variable groups:    A, a,
b, i, k, z    B, a, b, i, k, z    k, F, n   
I, a, b, i, n, x, z    L, a, b, i, n, x, z    i, M, z    S, k, n    X, a, b, i, j, k, l, n    x, X, z, j, k    ph, a,
b, i, k, l, n    ph, x, z
Allowed substitution hints:    ph( j)    A( x, j, n, l)    B( x, j, n, l)    S( x, z, i, j, a, b, l)    F( x, z, i, j, a, b, l)    I( j, k, l)    L( j, k, l)    M( x, j, k, n, a, b, l)

Proof of Theorem ovnhoilem2
StepHypRef Expression
1 ovnhoilem2.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }
21eleq2i 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  M  <->  z  e.  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } )
3 rabid 2969 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  <-> 
( z  e.  RR*  /\ 
E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
42, 3bitri 253 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  M  <->  ( z  e.  RR*  /\  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
54biimpi 198 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  M  ->  (
z  e.  RR*  /\  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
65simprd 465 . . . . . 6  |-  ( z  e.  M  ->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
76adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  M )  ->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
8 ovnhoilem2.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x ) 
|->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) ) ) )
9 ovnhoilem2.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
1093ad2ant1 1030 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  X  e.  Fin )
11 ovnhoilem2.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
12113ad2ant1 1030 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  A : X --> RR )
13 ovnhoilem2.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
14133ad2ant1 1030 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  B : X --> RR )
15 elmapi 7498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  i : NN --> ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X ) )
1615ffvelrnda 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
i `  n )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
17 elmapi 7498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i `  n )  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ->  (
i `  n ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
i `  n ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
1918ffvelrnda 6027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  l  e.  X
)  ->  ( (
i `  n ) `  l )  e.  ( RR  X.  RR ) )
20 xp1st 6828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i `  n
) `  l )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
)  e.  RR )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  l  e.  X
)  ->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) )  e.  RR )
22 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) )  =  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) )
2321, 22fmptd 6051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) : X --> RR )
24 reex 9635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  e.  _V
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
26 1nn 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  NN
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  1  e.  NN )
2815, 27ffvelrnd 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( i `
 1 )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
29 elmapex 7497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i `  1 )  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ->  (
( RR  X.  RR )  e.  _V  /\  X  e.  _V ) )
3029simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i `  1 )  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ->  X  e.  _V )
3128, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  X  e. 
_V )
3231adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  _V )
33 elmapg 7490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) )  e.  ( RR  ^m  X )  <-> 
( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) : X --> RR ) )
3425, 32, 33syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) )  e.  ( RR  ^m  X )  <-> 
( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) : X --> RR ) )
3523, 34mpbird 236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  e.  ( RR 
^m  X ) )
36 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) )
3735, 36fmptd 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) ) : NN --> ( RR 
^m  X ) )
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
39 nnex 10622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  e.  _V
4039mptex 6141 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) )  e.  _V
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) )  e.  _V )
42 ovnhoilem2.f . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) ) )
4342fvmpt2 5962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) )  e.  _V )  ->  ( F `  i )  =  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) ) )
4438, 41, 43syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( F `
 i )  =  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ) )
4544feq1d 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( ( F `  i ) : NN --> ( RR 
^m  X )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ) : NN --> ( RR  ^m  X ) ) )
4637, 45mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( F `
 i ) : NN --> ( RR  ^m  X ) )
47463ad2ant2 1031 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  i ) : NN --> ( RR  ^m  X ) )
48 xp2nd 6829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i `  n
) `  l )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
)  e.  RR )
4919, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  l  e.  X
)  ->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) )  e.  RR )
50 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) )  =  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) )
5149, 50fmptd 6051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) : X --> RR )
52 elmapg 7490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) )  e.  ( RR  ^m  X )  <-> 
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) : X --> RR ) )
5325, 32, 52syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) )  e.  ( RR  ^m  X )  <-> 
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) : X --> RR ) )
5451, 53mpbird 236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  e.  ( RR 
^m  X ) )
55 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) )
5654, 55fmptd 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) ) : NN --> ( RR 
^m  X ) )
5739mptex 6141 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) )  e.  _V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) )  e.  _V )
59 ovnhoilem2.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) ) )
6059fvmpt2 5962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) )  e.  _V )  ->  ( S `  i )  =  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) ) )
6138, 58, 60syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( S `
 i )  =  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ) )
6261feq1d 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( ( S `  i ) : NN --> ( RR 
^m  X )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ) : NN --> ( RR  ^m  X ) ) )
6356, 62mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( S `
 i ) : NN --> ( RR  ^m  X ) )
64633ad2ant2 1031 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  ( S `  i ) : NN --> ( RR  ^m  X ) )
65 simp3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  ->  I  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
)
66 ovnhoilem2.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  I  = 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  ->  I  =  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )
68 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  =  n  ->  (
i `  j )  =  ( i `  n ) )
6968fveq1d 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  n  ->  (
( i `  j
) `  k )  =  ( ( i `
 n ) `  k ) )
7069fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  n  ->  ( 1st `  ( ( i `
 j ) `  k ) )  =  ( 1st `  (
( i `  n
) `  k )
) )
7169fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  n  ->  ( 2nd `  ( ( i `
 j ) `  k ) )  =  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  k )
) )
7270, 71oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  n  ->  (
( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )  =  ( ( 1st `  (
( i `  n
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  k
) ) ) )
7372ixpeq2dv 7543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  n  ->  X_ k  e.  X  ( ( 1st `  ( ( i `
 j ) `  k ) ) [,) ( 2nd `  (
( i `  j
) `  k )
) )  =  X_ k  e.  X  (
( 1st `  (
( i `  n
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  k
) ) ) )
7473cbviunv 4320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )  = 
U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( 1st `  (
( i `  n
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  k
) ) )
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )  = 
U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( 1st `  (
( i `  n
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  k
) ) ) )
7615ffvelrnda 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
i `  j )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
77 elmapi 7498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i `  j )  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ->  (
i `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
i `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
7978adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( i `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
80 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  k  e.  X )
8179, 80fvovco 37479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( ( [,)  o.  ( i `  j ) ) `  k )  =  ( ( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) ) )
8281ixpeq2dva 7542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  (
( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) ) )
8382iuneq2dv 4303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) ) )
84 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
8540a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) )  e.  _V )
8684, 85, 43syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  i )  =  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ) )
8786fveq1d 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  i
) `  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) ) `
 n ) )
88 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
89 mptexg 6140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( X  e.  _V  ->  (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  e.  _V )
9031, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) )  e. 
_V )
9190adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  e.  _V )
9236fvmpt2 5962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) )  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) ) `
 n )  =  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) )
9388, 91, 92syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ) `  n )  =  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) )
9487, 93eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  i
) `  n )  =  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) )
9594fveq1d 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( F `  i ) `  n
) `  k )  =  ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) `  k ) )
9695adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
( F `  i
) `  n ) `  k )  =  ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) )
97 eqidd 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  =  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) )
98 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  /\  l  =  k
)  ->  l  =  k )
9998fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  /\  l  =  k
)  ->  ( (
i `  n ) `  l )  =  ( ( i `  n
) `  k )
)
10099fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  /\  l  =  k
)  ->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) )  =  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 k ) ) )
101 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  ->  k  e.  X )
102 fvex 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  k
) )  e.  _V
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( i `
 n ) `  k ) )  e. 
_V )
10497, 100, 101, 103fvmptd 5959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  k
) ) )
105104adantlr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) `  k )  =  ( 1st `  (
( i `  n
) `  k )
) )
10696, 105eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
( F `  i
) `  n ) `  k )  =  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 k ) ) )
10761fveq1d 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( ( S `  i ) `
 n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ) `  n ) )
108107adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( S `  i
) `  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) ) `
 n ) )
109 mptexg 6140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( X  e.  _V  ->  (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  e.  _V )
11031, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) )  e. 
_V )
111110adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  e.  _V )
11255fvmpt2 5962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) )  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) ) `
 n )  =  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) )
11388, 111, 112syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ) `  n )  =  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) )
114108, 113eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( S `  i
) `  n )  =  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) )
115114fveq1d 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( S `  i ) `  n
) `  k )  =  ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) `  k ) )
116115adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
( S `  i
) `  n ) `  k )  =  ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) )
117 eqidd 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  =  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) )
118 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  =  k  ->  (
( i `  n
) `  l )  =  ( ( i `
 n ) `  k ) )
119118fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  k  ->  ( 2nd `  ( ( i `
 n ) `  l ) )  =  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  k )
) )
120119adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  /\  l  =  k
)  ->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) )  =  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 k ) ) )
121 fvex 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  k
) )  e.  _V
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( i `
 n ) `  k ) )  e. 
_V )
123117, 120, 101, 122fvmptd 5959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  k
) ) )
124123adantlr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) `  k )  =  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  k )
) )
125116, 124eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
( S `  i
) `  n ) `  k )  =  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 k ) ) )
126106, 125oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
( ( F `  i ) `  n
) `  k ) [,) ( ( ( S `
 i ) `  n ) `  k
) )  =  ( ( 1st `  (
( i `  n
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  k
) ) ) )
127126ixpeq2dva 7542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  X_ k  e.  X  ( (
( ( F `  i ) `  n
) `  k ) [,) ( ( ( S `
 i ) `  n ) `  k
) )  =  X_ k  e.  X  (
( 1st `  (
( i `  n
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  k
) ) ) )
128127iuneq2dv 4303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( ( F `  i ) `
 n ) `  k ) [,) (
( ( S `  i ) `  n
) `  k )
)  =  U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( 1st `  (
( i `  n
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  k
) ) ) )
12975, 83, 1283eqtr4d 2497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  =  U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( ( F `  i ) `
 n ) `  k ) [,) (
( ( S `  i ) `  n
) `  k )
) )
130129adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  =  U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( ( F `  i ) `
 n ) `  k ) [,) (
( ( S `  i ) `  n
) `  k )
) )
1311303adant3 1029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  =  U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( ( F `  i ) `
 n ) `  k ) [,) (
( ( S `  i ) `  n
) `  k )
) )
13267, 131sseq12d 3463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  ->  (
I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  <->  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  C_  U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( ( F `  i ) `
 n ) `  k ) [,) (
( ( S `  i ) `  n
) `  k )
) ) )
13365, 132mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  ->  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k
) )  C_  U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( ( F `  i ) `
 n ) `  k ) [,) (
( ( S `  i ) `  n
) `  k )
) )
1341333adant3r 1266 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  C_  U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( ( F `  i ) `
 n ) `  k ) [,) (
( ( S `  i ) `  n
) `  k )
) )
1358, 10, 12, 14, 47, 64, 134hoidmvle 38432 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  ( A ( L `  X ) B )  <_  (Σ^ `  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( F `  i ) `  n
) ( L `  X ) ( ( S `  i ) `
 n ) ) ) ) )
136 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( n  =  j  /\  l  e.  X )  ->  n  =  j )
137136fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( n  =  j  /\  l  e.  X )  ->  ( i `  n
)  =  ( i `
 j ) )
138137fveq1d 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  =  j  /\  l  e.  X )  ->  ( ( i `  n ) `  l
)  =  ( ( i `  j ) `
 l ) )
139138fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  =  j  /\  l  e.  X )  ->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
)  =  ( 1st `  ( ( i `  j ) `  l
) ) )
140139mpteq2dva 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  j  ->  (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  =  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  j ) `  l
) ) ) )
141140fveq1d 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  j  ->  (
( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  j ) `
 l ) ) ) `  k ) )
142141adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  X )  ->  ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  j ) `
 l ) ) ) `  k ) )
143 eqidd 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  X  ->  (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  j ) `
 l ) ) )  =  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  j ) `  l
) ) ) )
144 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  =  k  ->  (
( i `  j
) `  l )  =  ( ( i `
 j ) `  k ) )
145144fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  k  ->  ( 1st `  ( ( i `
 j ) `  l ) )  =  ( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) )
146145adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  X  /\  l  =  k )  ->  ( 1st `  (
( i `  j
) `  l )
)  =  ( 1st `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )
147 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  X  ->  k  e.  X )
148 fvex 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1st `  ( ( i `  j ) `  k
) )  e.  _V
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  X  ->  ( 1st `  ( ( i `
 j ) `  k ) )  e. 
_V )
150143, 146, 147, 149fvmptd 5959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  X  ->  (
( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  j
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( 1st `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )
151150adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  X )  ->  ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  j
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( 1st `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )
152142, 151eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  X )  ->  ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( 1st `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )
153138fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  =  j  /\  l  e.  X )  ->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
)  =  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  l
) ) )
154153mpteq2dva 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  j  ->  (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  =  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  l
) ) ) )
155154fveq1d 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  j  ->  (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `
 l ) ) ) `  k ) )
156155adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  X )  ->  ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `
 l ) ) ) `  k ) )
157 eqidd 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  X  ->  (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `
 l ) ) )  =  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  l
) ) ) )
158144fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  k  ->  ( 2nd `  ( ( i `
 j ) `  l ) )  =  ( 2nd `  (
( i `  j
) `  k )
) )
159158adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  X  /\  l  =  k )  ->  ( 2nd `  (
( i `  j
) `  l )
)  =  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )
160 fvex 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) )  e.  _V
161160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  X  ->  ( 2nd `  ( ( i `
 j ) `  k ) )  e. 
_V )
162157, 159, 147, 161fvmptd 5959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  X  ->  (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  j
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )
163162adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  X )  ->  ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  j
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )
164156, 163eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  X )  ->  ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )
165152, 164oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  X )  ->  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) `  k ) [,) (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) )  =  ( ( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) ) )
166165fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  (
( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) [,) ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) `  k ) ) )  =  ( vol `  ( ( 1st `  ( ( i `  j ) `
 k ) ) [,) ( 2nd `  (
( i `  j
) `  k )
) ) ) )
167166prodeq2dv 13989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) `  k ) [,) (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) ) )  = 
prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( 1st `  ( ( i `  j ) `
 k ) ) [,) ( 2nd `  (
( i `  j
) `  k )
) ) ) )
168167cbvmptv 4498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) `  k ) [,) (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( 1st `  ( ( i `  j ) `
 k ) ) [,) ( 2nd `  (
( i `  j
) `  k )
) ) ) )
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) `  k ) [,) (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( 1st `  ( ( i `  j ) `
 k ) ) [,) ( 2nd `  (
( i `  j
) `  k )
) ) ) ) )
17081eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( ( 1st `  ( ( i `
 j ) `  k ) ) [,) ( 2nd `  (
( i `  j
) `  k )
) )  =  ( ( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
)
171170fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( vol `  ( ( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
) )
172171prodeq2dv 13989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) ) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) )
173172mpteq2dva 4492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) ) ) )
174169, 173eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) `  k ) [,) (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )
175174fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) [,) ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) `  k ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
1761753ad2ant2 1031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) [,) ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) `  k ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
17794adantll 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  i
) `  n )  =  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) )
178114adantll 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( S `  i
) `  n )  =  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) )
179177, 178oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( F `  i ) `  n
) ( L `  X ) ( ( S `  i ) `
 n ) )  =  ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) ( L `  X ) ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ) )
1809ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  Fin )
181 ovnhoilem2.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
182181ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  ->  X  =/=  (/) )
18319adantlll 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  /\  l  e.  X )  ->  (
( i `  n
) `  l )  e.  ( RR  X.  RR ) )
184183, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  /\  l  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( i `
 n ) `  l ) )  e.  RR )
185184, 22fmptd 6051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) : X --> RR )
186183, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  /\  l  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( i `
 n ) `  l ) )  e.  RR )
187186, 50fmptd 6051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) : X --> RR )
1888, 180, 182, 185, 187hoidmvn0val 38416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ( L `
 X ) ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) `  k ) [,) (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) ) ) )
189179, 188eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( F `  i ) `  n
) ( L `  X ) ( ( S `  i ) `
 n ) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) [,) ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) `  k ) ) ) )
190189mpteq2dva 4492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( F `  i ) `  n
) ( L `  X ) ( ( S `  i ) `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) `  k ) [,) (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) ) ) ) )
191190fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( F `  i ) `  n
) ( L `  X ) ( ( S `  i ) `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) [,) ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) `  k ) ) ) ) ) )
1921913adant3 1029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( F `
 i ) `  n ) ( L `
 X ) ( ( S `  i
) `  n )
) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) [,) ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) `  k ) ) ) ) ) )
193 simp3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
194176, 192, 1933eqtr4d 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( F `
 i ) `  n ) ( L `
 X ) ( ( S `  i
) `  n )
) ) )  =  z )
1951943adant3l 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( F `
 i ) `  n ) ( L `
 X ) ( ( S `  i
) `  n )
) ) )  =  z )
196135, 195breqtrd 4430 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  ( A ( L `  X ) B )  <_  z
)
1971963exp 1208 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  -> 
( ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
( A ( L `
 X ) B )  <_  z )
) )
198197adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  M )  ->  (
i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
( A ( L `
 X ) B )  <_  z )
) )
199198rexlimdv 2879 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  M )  ->  ( E. i  e.  (
( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
( A ( L `
 X ) B )  <_  z )
)
2007, 199mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  M )  ->  ( A ( L `  X ) B )  <_  z )
201200ralrimiva 2804 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  M  ( A ( L `  X ) B )  <_  z )
202 ssrab2 3516 . . . . . 6  |-  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } 
C_  RR*
2031, 202eqsstri 3464 . . . . 5  |-  M  C_  RR*
204203a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  C_  RR* )
205 icossxr 11726 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
2068, 9, 11, 13hoidmvcl 38414 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
207205, 206sseldi 3432 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  e.  RR* )
208 infxrgelb 11628 . . . 4  |-  ( ( M  C_  RR*  /\  ( A ( L `  X ) B )  e.  RR* )  ->  (
( A ( L `
 X ) B )  <_ inf ( M ,  RR* ,  <  )  <->  A. z  e.  M  ( A ( L `  X ) B )  <_  z ) )
209204, 207, 208syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ( L `  X ) B )  <_ inf ( M ,  RR* ,  <  )  <->  A. z  e.  M  ( A ( L `  X ) B )  <_  z ) )
210201, 209mpbird 236 . 2  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  <_ inf ( M ,  RR* ,  <  )
)
21166a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  =  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k
) ) )
212 nfv 1763 . . . . . 6  |-  F/ k
ph
21311ffvelrnda 6027 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( A `  k )  e.  RR )
21413ffvelrnda 6027 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
215214rexrd 9695 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( B `  k )  e.  RR* )
216212, 213, 215hoissrrn2 38410 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  C_  ( RR  ^m  X ) )
217211, 216eqsstrd 3468 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  C_  ( RR  ^m  X ) )
2189, 181, 217, 1ovnn0val 38383 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  I
)  = inf ( M ,  RR* ,  <  )
)
219218eqcomd 2459 . 2  |-  ( ph  -> inf ( M ,  RR* ,  <  )  =  ( (voln* `  X ) `  I
) )
220210, 219breqtrd 4430 1  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  <_  ( (voln* `  X
) `  I )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   {crab 2743   _Vcvv 3047    C_ wss 3406   (/)c0 3733   ifcif 3883   U_ciun 4281   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464    X. cxp 4835    o. ccom 4841   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   1stc1st 6796   2ndc2nd 6797    ^m cmap 7477   X_cixp 7527   Fincfn 7574  infcinf 7960   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679    < clt 9680    <_ cle 9681   NNcn 10616   [,)cico 11644   prod_cprod 13971   volcvol 22427  Σ^csumge0 38214  voln*covoln 38367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-prod 13972  df-rest 15333  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cmp 20414  df-ovol 22428  df-vol 22430  df-sumge0 38215  df-ovoln 38368
This theorem is referenced by:  ovnhoi  38435
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