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Theorem ovnhoilem2 38542
Description: The Lebesgue outer measure of a multidimensional half-open interval is less than or equal to the product of its length in each dimension. Second part of the proof of Proposition 115D (b) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnhoilem2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
ovnhoilem2.n  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
ovnhoilem2.a  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
ovnhoilem2.b  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
ovnhoilem2.i  |-  I  = 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)
ovnhoilem2.l  |-  L  =  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x ) 
|->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) ) ) )
ovnhoilem2.m  |-  M  =  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }
ovnhoilem2.f  |-  F  =  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) ) )
ovnhoilem2.s  |-  S  =  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ovnhoilem2  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  <_  ( (voln* `  X
) `  I )
)
Distinct variable groups:    A, a,
b, i, k, z    B, a, b, i, k, z    k, F, n   
I, a, b, i, n, x, z    L, a, b, i, n, x, z    i, M, z    S, k, n    X, a, b, i, j, k, l, n    x, X, z, j, k    ph, a,
b, i, k, l, n    ph, x, z
Allowed substitution hints:    ph( j)    A( x, j, n, l)    B( x, j, n, l)    S( x, z, i, j, a, b, l)    F( x, z, i, j, a, b, l)    I( j, k, l)    L( j, k, l)    M( x, j, k, n, a, b, l)

Proof of Theorem ovnhoilem2
StepHypRef Expression
1 ovnhoilem2.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }
21eleq2i 2541 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  M  <->  z  e.  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } )
3 rabid 2953 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  <-> 
( z  e.  RR*  /\ 
E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
42, 3bitri 257 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  M  <->  ( z  e.  RR*  /\  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
54biimpi 199 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  M  ->  (
z  e.  RR*  /\  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
65simprd 470 . . . . . 6  |-  ( z  e.  M  ->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
76adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  M )  ->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
8 ovnhoilem2.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x ) 
|->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) ) ) )
9 ovnhoilem2.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
1093ad2ant1 1051 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  X  e.  Fin )
11 ovnhoilem2.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
12113ad2ant1 1051 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  A : X --> RR )
13 ovnhoilem2.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
14133ad2ant1 1051 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  B : X --> RR )
15 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  i : NN --> ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X ) )
1615ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
i `  n )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
17 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i `  n )  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ->  (
i `  n ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
i `  n ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
1918ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  l  e.  X
)  ->  ( (
i `  n ) `  l )  e.  ( RR  X.  RR ) )
20 xp1st 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i `  n
) `  l )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
)  e.  RR )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  l  e.  X
)  ->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) )  e.  RR )
22 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) )  =  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) )
2321, 22fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) : X --> RR )
24 reex 9648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  e.  _V
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
26 1nn 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  NN
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  1  e.  NN )
2815, 27ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( i `
 1 )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
29 elmapex 7510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i `  1 )  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ->  (
( RR  X.  RR )  e.  _V  /\  X  e.  _V ) )
3029simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i `  1 )  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ->  X  e.  _V )
3128, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  X  e. 
_V )
3231adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  _V )
33 elmapg 7503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) )  e.  ( RR  ^m  X )  <-> 
( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) : X --> RR ) )
3425, 32, 33syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) )  e.  ( RR  ^m  X )  <-> 
( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) : X --> RR ) )
3523, 34mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  e.  ( RR 
^m  X ) )
36 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) )
3735, 36fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) ) : NN --> ( RR 
^m  X ) )
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
39 nnex 10637 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  e.  _V
4039mptex 6152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) )  e.  _V
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) )  e.  _V )
42 ovnhoilem2.f . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) ) )
4342fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) )  e.  _V )  ->  ( F `  i )  =  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) ) )
4438, 41, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( F `
 i )  =  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ) )
4544feq1d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( ( F `  i ) : NN --> ( RR 
^m  X )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ) : NN --> ( RR  ^m  X ) ) )
4637, 45mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( F `
 i ) : NN --> ( RR  ^m  X ) )
47463ad2ant2 1052 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  i ) : NN --> ( RR  ^m  X ) )
48 xp2nd 6843 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i `  n
) `  l )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
)  e.  RR )
4919, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  l  e.  X
)  ->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) )  e.  RR )
50 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) )  =  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) )
5149, 50fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) : X --> RR )
52 elmapg 7503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) )  e.  ( RR  ^m  X )  <-> 
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) : X --> RR ) )
5325, 32, 52syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) )  e.  ( RR  ^m  X )  <-> 
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) : X --> RR ) )
5451, 53mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  e.  ( RR 
^m  X ) )
55 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) )
5654, 55fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) ) : NN --> ( RR 
^m  X ) )
5739mptex 6152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) )  e.  _V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) )  e.  _V )
59 ovnhoilem2.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) ) )
6059fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) )  e.  _V )  ->  ( S `  i )  =  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) ) )
6138, 58, 60syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( S `
 i )  =  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ) )
6261feq1d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( ( S `  i ) : NN --> ( RR 
^m  X )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ) : NN --> ( RR  ^m  X ) ) )
6356, 62mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( S `
 i ) : NN --> ( RR  ^m  X ) )
64633ad2ant2 1052 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  ( S `  i ) : NN --> ( RR  ^m  X ) )
65 simp3 1032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  ->  I  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
)
66 ovnhoilem2.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  I  = 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  ->  I  =  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )
68 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  =  n  ->  (
i `  j )  =  ( i `  n ) )
6968fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  n  ->  (
( i `  j
) `  k )  =  ( ( i `
 n ) `  k ) )
7069fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  n  ->  ( 1st `  ( ( i `
 j ) `  k ) )  =  ( 1st `  (
( i `  n
) `  k )
) )
7169fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  n  ->  ( 2nd `  ( ( i `
 j ) `  k ) )  =  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  k )
) )
7270, 71oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  n  ->  (
( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )  =  ( ( 1st `  (
( i `  n
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  k
) ) ) )
7372ixpeq2dv 7556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  n  ->  X_ k  e.  X  ( ( 1st `  ( ( i `
 j ) `  k ) ) [,) ( 2nd `  (
( i `  j
) `  k )
) )  =  X_ k  e.  X  (
( 1st `  (
( i `  n
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  k
) ) ) )
7473cbviunv 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )  = 
U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( 1st `  (
( i `  n
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  k
) ) )
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )  = 
U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( 1st `  (
( i `  n
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  k
) ) ) )
7615ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
i `  j )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
77 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i `  j )  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ->  (
i `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
i `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
7978adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( i `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
80 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  k  e.  X )
8179, 80fvovco 37540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( ( [,)  o.  ( i `  j ) ) `  k )  =  ( ( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) ) )
8281ixpeq2dva 7555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  (
( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) ) )
8382iuneq2dv 4291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) ) )
84 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
8540a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) )  e.  _V )
8684, 85, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  i )  =  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ) )
8786fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  i
) `  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) ) `
 n ) )
88 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
89 mptexg 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( X  e.  _V  ->  (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  e.  _V )
9031, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) )  e. 
_V )
9190adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  e.  _V )
9236fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) )  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) ) `
 n )  =  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) )
9388, 91, 92syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ) `  n )  =  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) )
9487, 93eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  i
) `  n )  =  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) )
9594fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( F `  i ) `  n
) `  k )  =  ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) `  k ) )
9695adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
( F `  i
) `  n ) `  k )  =  ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) )
97 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  =  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) )
98 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  /\  l  =  k
)  ->  l  =  k )
9998fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  /\  l  =  k
)  ->  ( (
i `  n ) `  l )  =  ( ( i `  n
) `  k )
)
10099fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  /\  l  =  k
)  ->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) )  =  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 k ) ) )
101 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  ->  k  e.  X )
102 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  k
) )  e.  _V
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( i `
 n ) `  k ) )  e. 
_V )
10497, 100, 101, 103fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  k
) ) )
105104adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) `  k )  =  ( 1st `  (
( i `  n
) `  k )
) )
10696, 105eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
( F `  i
) `  n ) `  k )  =  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 k ) ) )
10761fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( ( S `  i ) `
 n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ) `  n ) )
108107adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( S `  i
) `  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) ) `
 n ) )
109 mptexg 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( X  e.  _V  ->  (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  e.  _V )
11031, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) )  e. 
_V )
111110adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  e.  _V )
11255fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) )  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) ) `
 n )  =  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) )
11388, 111, 112syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ) `  n )  =  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) )
114108, 113eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( S `  i
) `  n )  =  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) )
115114fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( S `  i ) `  n
) `  k )  =  ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) `  k ) )
116115adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
( S `  i
) `  n ) `  k )  =  ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) )
117 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  =  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) )
118 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  =  k  ->  (
( i `  n
) `  l )  =  ( ( i `
 n ) `  k ) )
119118fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  k  ->  ( 2nd `  ( ( i `
 n ) `  l ) )  =  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  k )
) )
120119adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  /\  l  =  k
)  ->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) )  =  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 k ) ) )
121 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  k
) )  e.  _V
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( i `
 n ) `  k ) )  e. 
_V )
123117, 120, 101, 122fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  k
) ) )
124123adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) `  k )  =  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  k )
) )
125116, 124eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
( S `  i
) `  n ) `  k )  =  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 k ) ) )
126106, 125oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
( ( F `  i ) `  n
) `  k ) [,) ( ( ( S `
 i ) `  n ) `  k
) )  =  ( ( 1st `  (
( i `  n
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  k
) ) ) )
127126ixpeq2dva 7555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  X_ k  e.  X  ( (
( ( F `  i ) `  n
) `  k ) [,) ( ( ( S `
 i ) `  n ) `  k
) )  =  X_ k  e.  X  (
( 1st `  (
( i `  n
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  k
) ) ) )
128127iuneq2dv 4291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( ( F `  i ) `
 n ) `  k ) [,) (
( ( S `  i ) `  n
) `  k )
)  =  U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( 1st `  (
( i `  n
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  k
) ) ) )
12975, 83, 1283eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  =  U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( ( F `  i ) `
 n ) `  k ) [,) (
( ( S `  i ) `  n
) `  k )
) )
130129adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  =  U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( ( F `  i ) `
 n ) `  k ) [,) (
( ( S `  i ) `  n
) `  k )
) )
1311303adant3 1050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  =  U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( ( F `  i ) `
 n ) `  k ) [,) (
( ( S `  i ) `  n
) `  k )
) )
13267, 131sseq12d 3447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  ->  (
I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  <->  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  C_  U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( ( F `  i ) `
 n ) `  k ) [,) (
( ( S `  i ) `  n
) `  k )
) ) )
13365, 132mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  ->  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k
) )  C_  U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( ( F `  i ) `
 n ) `  k ) [,) (
( ( S `  i ) `  n
) `  k )
) )
1341333adant3r 1289 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  C_  U_ n  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( ( F `  i ) `
 n ) `  k ) [,) (
( ( S `  i ) `  n
) `  k )
) )
1358, 10, 12, 14, 47, 64, 134hoidmvle 38540 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  ( A ( L `  X ) B )  <_  (Σ^ `  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( F `  i ) `  n
) ( L `  X ) ( ( S `  i ) `
 n ) ) ) ) )
136 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( n  =  j  /\  l  e.  X )  ->  n  =  j )
137136fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( n  =  j  /\  l  e.  X )  ->  ( i `  n
)  =  ( i `
 j ) )
138137fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  =  j  /\  l  e.  X )  ->  ( ( i `  n ) `  l
)  =  ( ( i `  j ) `
 l ) )
139138fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  =  j  /\  l  e.  X )  ->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
)  =  ( 1st `  ( ( i `  j ) `  l
) ) )
140139mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  j  ->  (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  =  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  j ) `  l
) ) ) )
141140fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  j  ->  (
( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  j ) `
 l ) ) ) `  k ) )
142141adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  X )  ->  ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  j ) `
 l ) ) ) `  k ) )
143 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  X  ->  (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  j ) `
 l ) ) )  =  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  j ) `  l
) ) ) )
144 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  =  k  ->  (
( i `  j
) `  l )  =  ( ( i `
 j ) `  k ) )
145144fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  k  ->  ( 1st `  ( ( i `
 j ) `  l ) )  =  ( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) )
146145adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  X  /\  l  =  k )  ->  ( 1st `  (
( i `  j
) `  l )
)  =  ( 1st `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )
147 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  X  ->  k  e.  X )
148 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1st `  ( ( i `  j ) `  k
) )  e.  _V
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  X  ->  ( 1st `  ( ( i `
 j ) `  k ) )  e. 
_V )
150143, 146, 147, 149fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  X  ->  (
( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  j
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( 1st `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )
151150adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  X )  ->  ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  j
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( 1st `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )
152142, 151eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  X )  ->  ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( 1st `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )
153138fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  =  j  /\  l  e.  X )  ->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
)  =  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  l
) ) )
154153mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  j  ->  (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) )  =  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  l
) ) ) )
155154fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  j  ->  (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `
 l ) ) ) `  k ) )
156155adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  X )  ->  ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `
 l ) ) ) `  k ) )
157 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  X  ->  (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `
 l ) ) )  =  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  l
) ) ) )
158144fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  k  ->  ( 2nd `  ( ( i `
 j ) `  l ) )  =  ( 2nd `  (
( i `  j
) `  k )
) )
159158adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  X  /\  l  =  k )  ->  ( 2nd `  (
( i `  j
) `  l )
)  =  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )
160 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) )  e.  _V
161160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  X  ->  ( 2nd `  ( ( i `
 j ) `  k ) )  e. 
_V )
162157, 159, 147, 161fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  X  ->  (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  j
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )
163162adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  X )  ->  ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  j
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )
164156, 163eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  X )  ->  ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
)  =  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) )
165152, 164oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  X )  ->  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) `  k ) [,) (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) )  =  ( ( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) ) )
166165fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  (
( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) [,) ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) `  k ) ) )  =  ( vol `  ( ( 1st `  ( ( i `  j ) `
 k ) ) [,) ( 2nd `  (
( i `  j
) `  k )
) ) ) )
167166prodeq2dv 14054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) `  k ) [,) (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) ) )  = 
prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( 1st `  ( ( i `  j ) `
 k ) ) [,) ( 2nd `  (
( i `  j
) `  k )
) ) ) )
168167cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) `  k ) [,) (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( 1st `  ( ( i `  j ) `
 k ) ) [,) ( 2nd `  (
( i `  j
) `  k )
) ) ) )
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) `  k ) [,) (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( 1st `  ( ( i `  j ) `
 k ) ) [,) ( 2nd `  (
( i `  j
) `  k )
) ) ) ) )
17081eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( ( 1st `  ( ( i `
 j ) `  k ) ) [,) ( 2nd `  (
( i `  j
) `  k )
) )  =  ( ( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
)
171170fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( vol `  ( ( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
) )
172171prodeq2dv 14054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) ) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) )
173172mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( 1st `  (
( i `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  k
) ) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) ) ) )
174169, 173eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) `  k ) [,) (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )
175174fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) [,) ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) `  k ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
1761753ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) [,) ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) `  k ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
17794adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  i
) `  n )  =  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) )
178114adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( S `  i
) `  n )  =  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) )
179177, 178oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( F `  i ) `  n
) ( L `  X ) ( ( S `  i ) `
 n ) )  =  ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) ( L `  X ) ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ) )
1809ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  Fin )
181 ovnhoilem2.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
182181ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  ->  X  =/=  (/) )
18319adantlll 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  /\  l  e.  X )  ->  (
( i `  n
) `  l )  e.  ( RR  X.  RR ) )
184183, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  /\  l  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( i `
 n ) `  l ) )  e.  RR )
185184, 22fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) : X --> RR )
186183, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  /\  l  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( i `
 n ) `  l ) )  e.  RR )
187186, 50fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) : X --> RR )
1888, 180, 182, 185, 187hoidmvn0val 38524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) ( L `
 X ) ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) `  k ) [,) (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) ) ) )
189179, 188eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( F `  i ) `  n
) ( L `  X ) ( ( S `  i ) `
 n ) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) [,) ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) `  k ) ) ) )
190189mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( F `  i ) `  n
) ( L `  X ) ( ( S `  i ) `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) `  k ) [,) (
( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) ) ) ) )
191190fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( F `  i ) `  n
) ( L `  X ) ( ( S `  i ) `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) [,) ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) `  k ) ) ) ) ) )
1921913adant3 1050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( F `
 i ) `  n ) ( L `
 X ) ( ( S `  i
) `  n )
) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) `  k
) [,) ( ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `
 l ) ) ) `  k ) ) ) ) ) )
193 simp3 1032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
194176, 192, 1933eqtr4d 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( F `
 i ) `  n ) ( L `
 X ) ( ( S `  i
) `  n )
) ) )  =  z )
1951943adant3l 1288 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( F `
 i ) `  n ) ( L `
 X ) ( ( S `  i
) `  n )
) ) )  =  z )
196135, 195breqtrd 4420 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  ( A ( L `  X ) B )  <_  z
)
1971963exp 1230 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  -> 
( ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
( A ( L `
 X ) B )  <_  z )
) )
198197adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  M )  ->  (
i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
( A ( L `
 X ) B )  <_  z )
) )
199198rexlimdv 2870 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  M )  ->  ( E. i  e.  (
( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
( A ( L `
 X ) B )  <_  z )
)
2007, 199mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  M )  ->  ( A ( L `  X ) B )  <_  z )
201200ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  M  ( A ( L `  X ) B )  <_  z )
202 ssrab2 3500 . . . . . 6  |-  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } 
C_  RR*
2031, 202eqsstri 3448 . . . . 5  |-  M  C_  RR*
204203a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  C_  RR* )
205 icossxr 11744 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
2068, 9, 11, 13hoidmvcl 38522 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
207205, 206sseldi 3416 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  e.  RR* )
208 infxrgelb 11646 . . . 4  |-  ( ( M  C_  RR*  /\  ( A ( L `  X ) B )  e.  RR* )  ->  (
( A ( L `
 X ) B )  <_ inf ( M ,  RR* ,  <  )  <->  A. z  e.  M  ( A ( L `  X ) B )  <_  z ) )
209204, 207, 208syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ( L `  X ) B )  <_ inf ( M ,  RR* ,  <  )  <->  A. z  e.  M  ( A ( L `  X ) B )  <_  z ) )
210201, 209mpbird 240 . 2  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  <_ inf ( M ,  RR* ,  <  )
)
21166a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  =  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k
) ) )
212 nfv 1769 . . . . . 6  |-  F/ k
ph
21311ffvelrnda 6037 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( A `  k )  e.  RR )
21413ffvelrnda 6037 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
215214rexrd 9708 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( B `  k )  e.  RR* )
216212, 213, 215hoissrrn2 38518 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  C_  ( RR  ^m  X ) )
217211, 216eqsstrd 3452 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  C_  ( RR  ^m  X ) )
2189, 181, 217, 1ovnn0val 38491 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  I
)  = inf ( M ,  RR* ,  <  )
)
219218eqcomd 2477 . 2  |-  ( ph  -> inf ( M ,  RR* ,  <  )  =  ( (voln* `  X ) `  I
) )
220210, 219breqtrd 4420 1  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  <_  ( (voln* `  X
) `  I )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811    ^m cmap 7490   X_cixp 7540   Fincfn 7587  infcinf 7973   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   [,)cico 11662   prod_cprod 14036   volcvol 22493  Σ^csumge0 38318  voln*covoln 38476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319  df-ovoln 38477
This theorem is referenced by:  ovnhoi  38543
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