Theorem ovnhoilem1 38433

Description: The Lebesgue outer measure of a multidimensional half-open interval is less than or equal to the product of its length in each dimension. First part of the proof of Proposition 115D (b) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnhoilem1.x	|- ( ph -> X e. Fin )
ovnhoilem1.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
ovnhoilem1.b	|- ( ph -> B : X --> RR )
ovnhoilem1.c	|- I = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) )
ovnhoilem1.m	|- M = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) }
ovnhoilem1.h	|- H = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ovnhoilem1	|- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` I ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, i, j, z   B, i, j, z   i, H, j   i, I, z   i, X, j, k, z   ph, j, k

Allowed substitution hints:   ph( z, i)   A( k)   B( k)   H( z, k)   I( j, k)   M( z, i, j, k)

Proof of Theorem ovnhoilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovnhoilem1.x	. . 3 |- ( ph -> X e. Fin )
2		ovnhoilem1.c	. . . . 5 |- I = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) )
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> I = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
4		nfv 1763	. . . . 5 |- F/ k ph
5		ovnhoilem1.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A : X --> RR )
6	5	ffvelrnda 6027	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
7		ovnhoilem1.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B : X --> RR )
8	7	ffvelrnda 6027	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
9	8	rexrd 9695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR* )
10	4, 6, 9	hoissrrn2 38410	. . . 4 |- ( ph -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ ( RR ^m X ) )
11	3, 10	eqsstrd 3468	. . 3 |- ( ph -> I C_ ( RR ^m X ) )
12		ovnhoilem1.m	. . 3 |- M = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) }
13	1, 11, 12	ovnval2 38377	. 2 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` I ) = if ( X = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) )
14		iftrue 3889	. . . . 5 |- ( X = (/) -> if ( X = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) = 0 )
15	14	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> if ( X = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) = 0 )
16		0xr 9692	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
17	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. RR* )
18		pnfxr 11419	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
19	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> +oo e. RR* )
20	4, 1, 6, 8	hoiprodcl3 38412	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
21		icogelb 11693	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) -> 0 <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1269	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
23	22	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> 0 <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
24	15, 23	eqbrtrd 4426	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> if ( X = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
25		iffalse 3892	. . . . 5 |- ( -. X = (/) -> if ( X = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) = inf ( M , RR* , < ) )
26	25	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> if ( X = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) = inf ( M , RR* , < ) )
27		ssrab2 3516	. . . . . . 7 |- { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } C_ RR*
28	12, 27	eqsstri 3464	. . . . . 6 |- M C_ RR*
29	28	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> M C_ RR* )
30		icossxr 11726	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
31	30, 20	sseldi 3432	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR* )
32	31	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR* )
33		opelxpi 4869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) -> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. e. ( RR X. RR ) )
34	6, 8, 33	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. e. ( RR X. RR ) )
35		0re 9648	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
36		opelxpi 4869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 e. RR ) -> <. 0 , 0 >. e. ( RR X. RR ) )
37	35, 35, 36	mp2an 679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- <. 0 , 0 >. e. ( RR X. RR )
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> <. 0 , 0 >. e. ( RR X. RR ) )
39	34, 38	ifcld 3926	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) e. ( RR X. RR ) )
40		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) = ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) )
41	39, 40	fmptd 6051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) : X --> ( RR X. RR ) )
42		reex 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- RR e. _V
43	42, 42	xpex 6600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( RR X. RR ) e. _V
44	1, 43	jctil 540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( RR X. RR ) e. _V /\ X e. Fin ) )
45		elmapg 7490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( RR X. RR ) e. _V /\ X e. Fin ) -> ( ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
47	41, 46	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
48	47	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
49		ovnhoilem1.h	. . . . . . . . . . . 12 |- H = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) )
50	48, 49	fmptd 6051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
51		ovex 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR X. RR ) ^m X ) e. _V
52		nnex 10622	. . . . . . . . . . . 12 |- NN e. _V
53	51, 52	elmap 7505	. . . . . . . . . . 11 |- ( H e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) <-> H : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
54	50, 53	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) )
55	54	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> H e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) )
56		eqidd 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
57		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. X |-> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) = ( k e. X |-> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. )
58	34, 57	fmptd 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( k e. X |-> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) : X --> ( RR X. RR ) )
59	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> H = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) ) )
60		iftrue 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = 1 -> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) = <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. )
61	60	mpteq2dv 4493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j = 1 -> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) = ( k e. X |-> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) )
62	61	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j = 1 ) -> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) = ( k e. X |-> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) )
63		1nn 10627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. NN
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 1 e. NN )
65		mptexg 6140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( X e. Fin -> ( k e. X |-> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) e. _V )
66	1, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( k e. X |-> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) e. _V )
67	59, 62, 64, 66	fvmptd 5959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = ( k e. X |-> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) )
68	67	feq1d 5719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( H ` 1 ) : X --> ( RR X. RR ) <-> ( k e. X |-> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
69	58, 68	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( H ` 1 ) : X --> ( RR X. RR ) )
70	69	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( H ` 1 ) : X --> ( RR X. RR ) )
71		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> k e. X )
72	70, 71	fvovco 37479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) = ( ( 1st ` ( ( H ` 1 ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( H ` 1 ) ` k ) ) ) )
73	34	elexd 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. e. _V )
74	67, 73	fvmpt2d 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( H ` 1 ) ` k ) = <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. )
75	74	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( H ` 1 ) ` k ) ) = ( 1st ` <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) )
76		fvex 5880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A ` k ) e. _V
77		fvex 5880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B ` k ) e. _V
78	76, 77	op1st 6806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1st ` <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) = ( A ` k )
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 1st ` <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) = ( A ` k ) )
80	75, 79	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( H ` 1 ) ` k ) ) = ( A ` k ) )
81	74	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( H ` 1 ) ` k ) ) = ( 2nd ` <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) )
82	76, 77	op2nd 6807	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2nd ` <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) = ( B ` k )
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 2nd ` <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) = ( B ` k ) )
84	81, 83	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( H ` 1 ) ` k ) ) = ( B ` k ) )
85	80, 84	oveq12d 6313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( 1st ` ( ( H ` 1 ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( H ` 1 ) ` k ) ) ) = ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
86	72, 85	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) = ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
87	86	ixpeq2dva 7542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
88	56, 3, 87	3eqtr4d 2497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> I = X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) )
89		fveq2 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = 1 -> ( H ` j ) = ( H ` 1 ) )
90	89	coeq2d 5000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = 1 -> ( [,) o. ( H ` j ) ) = ( [,) o. ( H ` 1 ) ) )
91	90	fveq1d 5872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = 1 -> ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) )
92	91	ixpeq2dv 7543	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = 1 -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) )
93	92	ssiun2s 4325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. NN -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) )
94	63, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k )
95	88, 94	syl6eqss 3484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) )
96	95	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) )
97	86	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
98	97	eqcomd 2459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) )
99	98	prodeq2dv 13989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) )
100	99	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) )
101		1red 9663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. RR )
102		icossicc 11728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
103	4, 1, 69	hoiprodcl 38379	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
104	102, 103	sseldi 3432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
105	91	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = 1 -> ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) )
106	105	prodeq2ad 37682	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = 1 -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) )
107	101, 104, 106	sge0snmpt 38235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. { 1 } |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) )
108	107	eqcomd 2459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) = (Σ^ ` ( j e. { 1 } |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
109	108	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) = (Σ^ ` ( j e. { 1 } |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
110		nfv 1763	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( ph /\ -. X = (/) )
111	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> NN e. _V )
112		snssi 4119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 e. NN -> { 1 } C_ NN )
113	63, 112	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 1 } C_ NN
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> { 1 } C_ NN )
115		nfv 1763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ j e. { 1 } )
116	1	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ j e. { 1 } ) -> X e. Fin )
117		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. { 1 } ) -> ph )
118		elsni 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. { 1 } -> j = 1 )
119	118	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. { 1 } ) -> j = 1 )
120	69	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j = 1 ) -> ( H ` 1 ) : X --> ( RR X. RR ) )
121	89	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j = 1 ) -> ( H ` j ) = ( H ` 1 ) )
122	121	feq1d 5719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j = 1 ) -> ( ( H ` j ) : X --> ( RR X. RR ) <-> ( H ` 1 ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
123	120, 122	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j = 1 ) -> ( H ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
124	117, 119, 123	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. { 1 } ) -> ( H ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
125	124	adantlr 722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ j e. { 1 } ) -> ( H ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
126	115, 116, 125	hoiprodcl 38379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ j e. { 1 } ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
127	102, 126	sseldi 3432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ j e. { 1 } ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
128		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. X |-> <. 0 , 0 >. ) = ( k e. X |-> <. 0 , 0 >. )
129	38, 128	fmptd 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( k e. X |-> <. 0 , 0 >. ) : X --> ( RR X. RR ) )
130	129	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> ( k e. X |-> <. 0 , 0 >. ) : X --> ( RR X. RR ) )
131		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> ph )
132		eldifi 3557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j e. ( NN \ { 1 } ) -> j e. NN )
133	132	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> j e. NN )
134	48	elexd 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) e. _V )
135	59, 134	fvmpt2d 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( H ` j ) = ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) )
136	131, 133, 135	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> ( H ` j ) = ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) )
137		eldifsni 4101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( j e. ( NN \ { 1 } ) -> j =/= 1 )
138	137	neneqd 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( j e. ( NN \ { 1 } ) -> -. j = 1 )
139	138	iffalsed 3894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j e. ( NN \ { 1 } ) -> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) = <. 0 , 0 >. )
140	139	mpteq2dv 4493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. ( NN \ { 1 } ) -> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) = ( k e. X |-> <. 0 , 0 >. ) )
141	140	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) = ( k e. X |-> <. 0 , 0 >. ) )
142	136, 141	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> ( H ` j ) = ( k e. X |-> <. 0 , 0 >. ) )
143	142	feq1d 5719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> ( ( H ` j ) : X --> ( RR X. RR ) <-> ( k e. X |-> <. 0 , 0 >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
144	130, 143	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> ( H ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
145	144	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( H ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
146		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> k e. X )
147	145, 146	fvovco 37479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) = ( ( 1st ` ( ( H ` j ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( H ` j ) ` k ) ) ) )
148	37	elexi 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- <. 0 , 0 >. e. _V
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> <. 0 , 0 >. e. _V )
150	142, 149	fvmpt2d 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( ( H ` j ) ` k ) = <. 0 , 0 >. )
151	150	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( H ` j ) ` k ) ) = ( 1st ` <. 0 , 0 >. ) )
152	16	elexi 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. _V
153	152, 152	op1st 6806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1st ` <. 0 , 0 >. ) = 0
154	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` <. 0 , 0 >. ) = 0 )
155	151, 154	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( H ` j ) ` k ) ) = 0 )
156	150	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( H ` j ) ` k ) ) = ( 2nd ` <. 0 , 0 >. ) )
157	152, 152	op2nd 6807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2nd ` <. 0 , 0 >. ) = 0
158	157	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` <. 0 , 0 >. ) = 0 )
159	156, 158	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( H ` j ) ` k ) ) = 0 )
160	155, 159	oveq12d 6313	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( ( 1st ` ( ( H ` j ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( H ` j ) ` k ) ) ) = ( 0 [,) 0 ) )
161		0le0 10706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 <_ 0
162		ico0 11689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 0 e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( 0 [,) 0 ) = (/) <-> 0 <_ 0 ) )
163	16, 16, 162	mp2an 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 [,) 0 ) = (/) <-> 0 <_ 0 )
164	161, 163	mpbir 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 [,) 0 ) = (/)
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( 0 [,) 0 ) = (/) )
166	147, 160, 165	3eqtrd 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) = (/) )
167	166	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` (/) ) )
168		vol0 37846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( vol ` (/) ) = 0
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( vol ` (/) ) = 0 )
170	167, 169	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) = 0 )
171	170	prodeq2dv 13989	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X 0 )
172	171	adantlr 722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X 0 )
173		0cnd 9641	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 e. CC )
174		fprodconst 14044	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. Fin /\ 0 e. CC ) -> prod_ k e. X 0 = ( 0 ^ ( # ` X ) ) )
175	1, 173, 174	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> prod_ k e. X 0 = ( 0 ^ ( # ` X ) ) )
176	175	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> prod_ k e. X 0 = ( 0 ^ ( # ` X ) ) )
177		neqne 37384	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. X = (/) -> X =/= (/) )
178	177	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> X =/= (/) )
179	1	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> X e. Fin )
180		hashnncl 12554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. Fin -> ( ( # ` X ) e. NN <-> X =/= (/) ) )
181	179, 180	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( ( # ` X ) e. NN <-> X =/= (/) ) )
182	178, 181	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( # ` X ) e. NN )
183		0exp 12314	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` X ) e. NN -> ( 0 ^ ( # ` X ) ) = 0 )
184	182, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( 0 ^ ( # ` X ) ) = 0 )
185	184	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> ( 0 ^ ( # ` X ) ) = 0 )
186	172, 176, 185	3eqtrd 2491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) = 0 )
187	110, 111, 114, 127, 186	sge0ss 38264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> (Σ^ ` ( j e. { 1 } |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
188	100, 109, 187	3eqtrd 2491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
189	96, 188	jca 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
190		nfcv 2594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k i
191		nfcv 2594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k NN
192		nfmpt1 4495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) )
193	191, 192	nfmpt 4494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( j e. NN |-> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) )
194	49, 193	nfcxfr 2592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k H
195	190, 194	nfeq 2605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k i = H
196		fveq1 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = H -> ( i ` j ) = ( H ` j ) )
197	196	coeq2d 5000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = H -> ( [,) o. ( i ` j ) ) = ( [,) o. ( H ` j ) ) )
198	197	fveq1d 5872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = H -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) )
199	198	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = H /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) )
200	195, 199	ixpeq2d 37420	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = H -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) )
201	200	iuneq2d 4308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = H -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) )
202	201	sseq2d 3462	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = H -> ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) <-> I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) )
203	198	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = H -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) )
204	203	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = H -> ( k e. X -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) )
205	195, 204	ralrimi 2790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = H -> A. k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) )
206	205	prodeq2d 13988	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = H -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) )
207	206	mpteq2dv 4493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = H -> ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) )
208	207	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = H -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
209	208	eqeq2d 2463	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = H -> ( prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
210	202, 209	anbi12d 718	. . . . . . . . . 10 |- ( i = H -> ( ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
211	210	rspcev 3152	. . . . . . . . 9 |- ( ( H e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) /\ ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
212	55, 189, 211	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
213	32, 212	jca 535	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR* /\ E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
214		eqeq1 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( z = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) -> ( z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
215	214	anbi2d 711	. . . . . . . . 9 |- ( z = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) -> ( ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
216	215	rexbidv 2903	. . . . . . . 8 |- ( z = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) -> ( E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
217	216	elrab 3198	. . . . . . 7 |- ( prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } <-> ( prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR* /\ E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
218	213, 217	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } )
219	12	eqcomi 2462	. . . . . . 7 |- { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } = M
220	219	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } = M )
221	218, 220	eleqtrd 2533	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. M )
222		infxrlb 11627	. . . . 5 |- ( ( M C_ RR* /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. M ) -> inf ( M , RR* , < ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
223	29, 221, 222	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> inf ( M , RR* , < ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
224	26, 223	eqbrtrd 4426	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> if ( X = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
225	24, 224	pm2.61dan 801	. 2 |- ( ph -> if ( X = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
226	13, 225	eqbrtrd 4426	1 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` I ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   E.wrex 2740   {crab 2743   _Vcvv 3047   \ cdif 3403   C_ wss 3406   (/)c0 3733   ifcif 3883   {csn 3970   <.cop 3976   U_ciun 4281   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   X. cxp 4835   o. ccom 4841   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   1stc1st 6796   2ndc2nd 6797   ^m cmap 7477   X_cixp 7527   Fincfn 7574  infcinf 7960   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679   < clt 9680   <_ cle 9681   NNcn 10616   [,)cico 11644   [,]cicc 11645   ^cexp 12279   #chash 12522   prod_cprod 13971   volcvol 22427  Σ^{^}csumge0 38214  voln^*covoln 38367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-prod 13972  df-rest 15333  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cmp 20414  df-ovol 22428  df-vol 22430  df-sumge0 38215  df-ovoln 38368

This theorem is referenced by:  ovnhoi  38435