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Theorem ovnhoilem1 38433
Description: The Lebesgue outer measure of a multidimensional half-open interval is less than or equal to the product of its length in each dimension. First part of the proof of Proposition 115D (b) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnhoilem1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
ovnhoilem1.a  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
ovnhoilem1.b  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
ovnhoilem1.c  |-  I  = 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)
ovnhoilem1.m  |-  M  =  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }
ovnhoilem1.h  |-  H  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) ) )
Assertion
Ref Expression
ovnhoilem1  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  I
)  <_  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j, z    B, i,
j, z    i, H, j    i, I, z    i, X, j, k, z    ph, j,
k
Allowed substitution hints:    ph( z, i)    A( k)    B( k)    H( z, k)    I( j, k)    M( z, i, j, k)

Proof of Theorem ovnhoilem1
StepHypRef Expression
1 ovnhoilem1.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
2 ovnhoilem1.c . . . . 5  |-  I  = 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  =  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k
) ) )
4 nfv 1763 . . . . 5  |-  F/ k
ph
5 ovnhoilem1.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
65ffvelrnda 6027 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( A `  k )  e.  RR )
7 ovnhoilem1.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
87ffvelrnda 6027 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
98rexrd 9695 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( B `  k )  e.  RR* )
104, 6, 9hoissrrn2 38410 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  C_  ( RR  ^m  X ) )
113, 10eqsstrd 3468 . . 3  |-  ( ph  ->  I  C_  ( RR  ^m  X ) )
12 ovnhoilem1.m . . 3  |-  M  =  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }
131, 11, 12ovnval2 38377 . 2  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  I
)  =  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( M ,  RR* ,  <  ) ) )
14 iftrue 3889 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( M ,  RR* ,  <  ) )  =  0 )
1514adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( M ,  RR* ,  <  ) )  =  0 )
16 0xr 9692 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
18 pnfxr 11419 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
204, 1, 6, 8hoiprodcl3 38412 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
21 icogelb 11693 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  0  <_  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) )
2217, 19, 20, 21syl3anc 1269 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) ) )
2322adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  0  <_  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) )
2415, 23eqbrtrd 4426 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( M ,  RR* ,  <  ) )  <_  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) )
25 iffalse 3892 . . . . 5  |-  ( -.  X  =  (/)  ->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( M ,  RR* ,  <  ) )  = inf ( M ,  RR* ,  <  ) )
2625adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( M ,  RR* ,  <  ) )  = inf ( M ,  RR* ,  <  ) )
27 ssrab2 3516 . . . . . . 7  |-  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } 
C_  RR*
2812, 27eqsstri 3464 . . . . . 6  |-  M  C_  RR*
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  M  C_ 
RR* )
30 icossxr 11726 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
3130, 20sseldi 3432 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  e.  RR* )
3231adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  e.  RR* )
33 opelxpi 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  RR  /\  ( B `  k )  e.  RR )  ->  <. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
346, 8, 33syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
35 0re 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
36 opelxpi 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  e.  RR )  -> 
<. 0 ,  0
>.  e.  ( RR  X.  RR ) )
3735, 35, 36mp2an 679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <. 0 ,  0 >.  e.  ( RR  X.  RR )
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  <. 0 ,  0 >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
3934, 38ifcld 3926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. ,  <. 0 ,  0 >. )  e.  ( RR  X.  RR ) )
40 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 , 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >. ,  <. 0 ,  0
>. ) )  =  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. ,  <. 0 ,  0 >. ) )
4139, 40fmptd 6051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) ) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
42 reex 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR  e.  _V
4342, 42xpex 6600 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
441, 43jctil 540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  RR )  e.  _V  /\  X  e.  Fin )
)
45 elmapg 7490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( RR  X.  RR )  e.  _V  /\  X  e.  Fin )  ->  (
( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  <->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 , 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >. ,  <. 0 ,  0
>. ) ) : X --> ( RR  X.  RR ) ) )
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  <->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 , 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >. ,  <. 0 ,  0
>. ) ) : X --> ( RR  X.  RR ) ) )
4741, 46mpbird 236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
4847adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 , 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >. ,  <. 0 ,  0
>. ) )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
49 ovnhoilem1.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) ) )
5048, 49fmptd 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H : NN --> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
51 ovex 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  e. 
_V
52 nnex 10622 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  e.  _V
5351, 52elmap 7505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  <->  H : NN --> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
5450, 53sylibr 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
5554adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  H  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
56 eqidd 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  =  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k
) ) )
57 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  X  |->  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. )  =  ( k  e.  X  |->  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. )
5834, 57fmptd 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >.
) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
5949a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  H  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 , 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >. ,  <. 0 ,  0
>. ) ) ) )
60 iftrue 3889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  =  1  ->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. ,  <. 0 ,  0 >. )  =  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. )
6160mpteq2dv 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  1  ->  (
k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. ,  <. 0 ,  0 >. ) )  =  ( k  e.  X  |-> 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >.
) )
6261adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  (
k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. ,  <. 0 ,  0 >. ) )  =  ( k  e.  X  |-> 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >.
) )
63 1nn 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  NN
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
65 mptexg 6140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
k  e.  X  |->  <.
( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >.
)  e.  _V )
661, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >.
)  e.  _V )
6759, 62, 64, 66fvmptd 5959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( H `  1
)  =  ( k  e.  X  |->  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. )
)
6867feq1d 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( H ` 
1 ) : X --> ( RR  X.  RR ) 
<->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >.
) : X --> ( RR 
X.  RR ) ) )
6958, 68mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( H `  1
) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
7069adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( H `  1 ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
71 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  k  e.  X )
7270, 71fvovco 37479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  ( H `  1 )
) `  k )  =  ( ( 1st `  ( ( H ` 
1 ) `  k
) ) [,) ( 2nd `  ( ( H `
 1 ) `  k ) ) ) )
7334elexd 3058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >.  e.  _V )
7467, 73fvmpt2d 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  (
( H `  1
) `  k )  =  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. )
7574fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( H `
 1 ) `  k ) )  =  ( 1st `  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. )
)
76 fvex 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A `
 k )  e. 
_V
77 fvex 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B `
 k )  e. 
_V
7876, 77op1st 6806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1st `  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. )  =  ( A `  k )
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. )  =  ( A `  k )
)
8075, 79eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( H `
 1 ) `  k ) )  =  ( A `  k
) )
8174fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( H `
 1 ) `  k ) )  =  ( 2nd `  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. )
)
8276, 77op2nd 6807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2nd `  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. )  =  ( B `  k )
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. )  =  ( B `  k )
)
8481, 83eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( H `
 1 ) `  k ) )  =  ( B `  k
) )
8580, 84oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  (
( 1st `  (
( H `  1
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( H ` 
1 ) `  k
) ) )  =  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )
8672, 85eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  ( H `  1 )
) `  k )  =  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) ) )
8786ixpeq2dva 7542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  1 ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )
8856, 3, 873eqtr4d 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  I  =  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H ` 
1 ) ) `  k ) )
89 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  1  ->  ( H `  j )  =  ( H ` 
1 ) )
9089coeq2d 5000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  1  ->  ( [,)  o.  ( H `  j ) )  =  ( [,)  o.  ( H `  1 )
) )
9190fveq1d 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  1  ->  (
( [,)  o.  ( H `  j )
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( H ` 
1 ) ) `  k ) )
9291ixpeq2dv 7543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  1  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  ( H `  1 )
) `  k )
)
9392ssiun2s 4325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H ` 
1 ) ) `  k )  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) )
9463, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H ` 
1 ) ) `  k )  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k )
9588, 94syl6eqss 3484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) )
9695adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  I  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j )
) `  k )
)
9786fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( H ` 
1 ) ) `  k ) )  =  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) ) )
9897eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  ( H `  1 )
) `  k )
) )
9998prodeq2dv 13989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 1 ) ) `
 k ) ) )
10099adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  1 ) ) `  k ) ) )
101 1red 9663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
102 icossicc 11728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
1034, 1, 69hoiprodcl 38379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 1 ) ) `
 k ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
104102, 103sseldi 3432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 1 ) ) `
 k ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10591fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  1  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( H `  j ) ) `  k ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  ( H `  1 )
) `  k )
) )
106105prodeq2ad 37682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  1  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  1 ) ) `  k ) ) )
107101, 104, 106sge0snmpt 38235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  {
1 }  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) ) ) )  = 
prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 1 ) ) `
 k ) ) )
108107eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 1 ) ) `
 k ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  {
1 }  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) ) ) ) )
109108adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  1 ) ) `  k ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  {
1 }  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) ) ) ) )
110 nfv 1763 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j ( ph  /\  -.  X  =  (/) )
11152a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  NN  e.  _V )
112 snssi 4119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  NN  ->  { 1 }  C_  NN )
11363, 112ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 1 }  C_  NN
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  { 1 }  C_  NN )
115 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  { 1 } )
1161ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  { 1 } )  ->  X  e.  Fin )
117 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { 1 } )  ->  ph )
118 elsni 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  { 1 }  ->  j  =  1 )
119118adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { 1 } )  -> 
j  =  1 )
12069adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( H `  1 ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
12189adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( H `  j )  =  ( H ` 
1 ) )
122121feq1d 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  (
( H `  j
) : X --> ( RR 
X.  RR )  <->  ( H `  1 ) : X --> ( RR  X.  RR ) ) )
123120, 122mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( H `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
124117, 119, 123syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { 1 } )  -> 
( H `  j
) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
125124adantlr 722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  { 1 } )  ->  ( H `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
126115, 116, 125hoiprodcl 38379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  { 1 } )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
127102, 126sseldi 3432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  { 1 } )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
128 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  X  |->  <. 0 ,  0 >. )  =  ( k  e.  X  |->  <. 0 ,  0
>. )
12938, 128fmptd 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( k  e.  X  |-> 
<. 0 ,  0
>. ) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
130129adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  -> 
( k  e.  X  |-> 
<. 0 ,  0
>. ) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
131 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  ->  ph )
132 eldifi 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  ( NN  \  { 1 } )  ->  j  e.  NN )
133132adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  -> 
j  e.  NN )
13448elexd 3058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 , 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >. ,  <. 0 ,  0
>. ) )  e.  _V )
13559, 134fvmpt2d 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `
 j )  =  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) ) )
136131, 133, 135syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  -> 
( H `  j
)  =  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 , 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >. ,  <. 0 ,  0
>. ) ) )
137 eldifsni 4101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( j  e.  ( NN  \  { 1 } )  ->  j  =/=  1
)
138137neneqd 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( j  e.  ( NN  \  { 1 } )  ->  -.  j  = 
1 )
139138iffalsed 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  ( NN  \  { 1 } )  ->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. )  =  <. 0 ,  0
>. )
140139mpteq2dv 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  ( NN  \  { 1 } )  ->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) )  =  ( k  e.  X  |->  <. 0 ,  0 >. )
)
141140adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  -> 
( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) )  =  ( k  e.  X  |->  <. 0 ,  0 >. )
)
142136, 141eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  -> 
( H `  j
)  =  ( k  e.  X  |->  <. 0 ,  0 >. )
)
143142feq1d 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  -> 
( ( H `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) 
<->  ( k  e.  X  |-> 
<. 0 ,  0
>. ) : X --> ( RR 
X.  RR ) ) )
144130, 143mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  -> 
( H `  j
) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
145144adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( H `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
146 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  k  e.  X )
147145, 146fvovco 37479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k )  =  ( ( 1st `  (
( H `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( H `  j ) `  k
) ) ) )
14837elexi 3057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  <. 0 ,  0 >.  e.  _V
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  <. 0 ,  0 >.  e.  _V )
150142, 149fvmpt2d 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( ( H `  j ) `  k )  =  <. 0 ,  0 >. )
151150fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( 1st `  ( ( H `  j ) `  k
) )  =  ( 1st `  <. 0 ,  0 >. )
)
15216elexi 3057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  _V
153152, 152op1st 6806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1st `  <. 0 ,  0
>. )  =  0
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( 1st ` 
<. 0 ,  0
>. )  =  0
)
155151, 154eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( 1st `  ( ( H `  j ) `  k
) )  =  0 )
156150fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( 2nd `  ( ( H `  j ) `  k
) )  =  ( 2nd `  <. 0 ,  0 >. )
)
157152, 152op2nd 6807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2nd `  <. 0 ,  0
>. )  =  0
158157a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( 2nd ` 
<. 0 ,  0
>. )  =  0
)
159156, 158eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( 2nd `  ( ( H `  j ) `  k
) )  =  0 )
160155, 159oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( ( 1st `  ( ( H `
 j ) `  k ) ) [,) ( 2nd `  (
( H `  j
) `  k )
) )  =  ( 0 [,) 0 ) )
161 0le0 10706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <_  0
162 ico0 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( 0 [,) 0
)  =  (/)  <->  0  <_  0 ) )
16316, 16, 162mp2an 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0 [,) 0 )  =  (/)  <->  0  <_  0
)
164161, 163mpbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0 [,) 0 )  =  (/)
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( 0 [,) 0 )  =  (/) )
166147, 160, 1653eqtrd 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k )  =  (/) )
167166fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) )  =  ( vol `  (/) ) )
168 vol0 37846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( vol `  (/) )  =  0
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( vol `  (/) )  =  0
)
170167, 169eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) )  =  0 )
171170prodeq2dv 13989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) )  =  prod_ k  e.  X 
0 )
172171adantlr 722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( [,)  o.  ( H `  j )
) `  k )
)  =  prod_ k  e.  X  0 )
173 0cnd 9641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
174 fprodconst 14044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  0  e.  CC )  ->  prod_ k  e.  X 
0  =  ( 0 ^ ( # `  X
) ) )
1751, 173, 174syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X 
0  =  ( 0 ^ ( # `  X
) ) )
176175ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  ->  prod_ k  e.  X  0  =  ( 0 ^ ( # `  X ) ) )
177 neqne 37384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  X  =  (/)  ->  X  =/=  (/) )
178177adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  X  =/=  (/) )
1791adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  X  e.  Fin )
180 hashnncl 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
181179, 180syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
182178, 181mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  ( # `
 X )  e.  NN )
183 0exp 12314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  X )  e.  NN  ->  ( 0 ^ ( # `  X
) )  =  0 )
184182, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  (
0 ^ ( # `  X ) )  =  0 )
185184adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  ->  ( 0 ^ ( # `  X
) )  =  0 )
186172, 176, 1853eqtrd 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( [,)  o.  ( H `  j )
) `  k )
)  =  0 )
187110, 111, 114, 127, 186sge0ss 38264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  { 1 }  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
188100, 109, 1873eqtrd 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
18996, 188jca 535 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  (
I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k )  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
190 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
i
191 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k NN
192 nfmpt1 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) )
193191, 192nfmpt 4494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) ) )
19449, 193nfcxfr 2592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k H
195190, 194nfeq 2605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k  i  =  H
196 fveq1 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  H  ->  (
i `  j )  =  ( H `  j ) )
197196coeq2d 5000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  H  ->  ( [,)  o.  ( i `  j ) )  =  ( [,)  o.  ( H `  j )
) )
198197fveq1d 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  H  ->  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( H `  j ) ) `  k ) )
199198adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  H  /\  k  e.  X )  ->  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  =  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) )
200195, 199ixpeq2d 37420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  H  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  ( H `  j )
) `  k )
)
201200iuneq2d 4308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  H  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) )
202201sseq2d 3462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  H  ->  (
I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  <->  I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) ) )
203198fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  H  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( i `  j ) ) `  k ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  ( H `  j )
) `  k )
) )
204203a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  H  ->  (
k  e.  X  -> 
( vol `  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
)  =  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) ) ) )
205195, 204ralrimi 2790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  H  ->  A. k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  =  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) ) )
206205prodeq2d 13988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  H  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) ) )
207206mpteq2dv 4493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  H  ->  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) ) ) )
208207fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  H  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
209208eqeq2d 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  H  ->  ( prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  <->  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
210202, 209anbi12d 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  H  ->  (
( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  ( I  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j )
) `  k )  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
211210rspcev 3152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  (
I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k )  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
21255, 189, 211syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
21332, 212jca 535 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  ( prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  e.  RR*  /\  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
214 eqeq1 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  ->  ( z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  <->  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
215214anbi2d 711 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  ->  ( ( I 
C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  ( I  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
216215rexbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  ->  ( E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
217216elrab 3198 . . . . . . 7  |-  ( prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  e.  { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  <-> 
( prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  e.  RR*  /\  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
218213, 217sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  e.  {
z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } )
21912eqcomi 2462 . . . . . . 7  |-  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  =  M
220219a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  =  M )
221218, 220eleqtrd 2533 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  e.  M
)
222 infxrlb 11627 . . . . 5  |-  ( ( M  C_  RR*  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  e.  M
)  -> inf ( M ,  RR* ,  <  )  <_  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) )
22329, 221, 222syl2anc 667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  -> inf ( M ,  RR* ,  <  )  <_  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) )
22426, 223eqbrtrd 4426 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( M ,  RR* ,  <  ) )  <_  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) )
22524, 224pm2.61dan 801 . 2  |-  ( ph  ->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( M ,  RR* ,  <  ) )  <_  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) ) )
22613, 225eqbrtrd 4426 1  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  I
)  <_  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   E.wrex 2740   {crab 2743   _Vcvv 3047    \ cdif 3403    C_ wss 3406   (/)c0 3733   ifcif 3883   {csn 3970   <.cop 3976   U_ciun 4281   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464    X. cxp 4835    o. ccom 4841   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   1stc1st 6796   2ndc2nd 6797    ^m cmap 7477   X_cixp 7527   Fincfn 7574  infcinf 7960   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679    < clt 9680    <_ cle 9681   NNcn 10616   [,)cico 11644   [,]cicc 11645   ^cexp 12279   #chash 12522   prod_cprod 13971   volcvol 22427  Σ^csumge0 38214  voln*covoln 38367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-prod 13972  df-rest 15333  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cmp 20414  df-ovol 22428  df-vol 22430  df-sumge0 38215  df-ovoln 38368
This theorem is referenced by:  ovnhoi  38435
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