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Theorem ovnhoilem1 38541
Description: The Lebesgue outer measure of a multidimensional half-open interval is less than or equal to the product of its length in each dimension. First part of the proof of Proposition 115D (b) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnhoilem1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
ovnhoilem1.a  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
ovnhoilem1.b  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
ovnhoilem1.c  |-  I  = 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)
ovnhoilem1.m  |-  M  =  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }
ovnhoilem1.h  |-  H  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) ) )
Assertion
Ref Expression
ovnhoilem1  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  I
)  <_  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j, z    B, i,
j, z    i, H, j    i, I, z    i, X, j, k, z    ph, j,
k
Allowed substitution hints:    ph( z, i)    A( k)    B( k)    H( z, k)    I( j, k)    M( z, i, j, k)

Proof of Theorem ovnhoilem1
StepHypRef Expression
1 ovnhoilem1.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
2 ovnhoilem1.c . . . . 5  |-  I  = 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  =  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k
) ) )
4 nfv 1769 . . . . 5  |-  F/ k
ph
5 ovnhoilem1.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
65ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( A `  k )  e.  RR )
7 ovnhoilem1.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
87ffvelrnda 6037 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
98rexrd 9708 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( B `  k )  e.  RR* )
104, 6, 9hoissrrn2 38518 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  C_  ( RR  ^m  X ) )
113, 10eqsstrd 3452 . . 3  |-  ( ph  ->  I  C_  ( RR  ^m  X ) )
12 ovnhoilem1.m . . 3  |-  M  =  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }
131, 11, 12ovnval2 38485 . 2  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  I
)  =  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( M ,  RR* ,  <  ) ) )
14 iftrue 3878 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( M ,  RR* ,  <  ) )  =  0 )
1514adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( M ,  RR* ,  <  ) )  =  0 )
16 0xr 9705 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
18 pnfxr 11435 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
204, 1, 6, 8hoiprodcl3 38520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
21 icogelb 11711 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  0  <_  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) )
2217, 19, 20, 21syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) ) )
2322adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  0  <_  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) )
2415, 23eqbrtrd 4416 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( M ,  RR* ,  <  ) )  <_  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) )
25 iffalse 3881 . . . . 5  |-  ( -.  X  =  (/)  ->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( M ,  RR* ,  <  ) )  = inf ( M ,  RR* ,  <  ) )
2625adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( M ,  RR* ,  <  ) )  = inf ( M ,  RR* ,  <  ) )
27 ssrab2 3500 . . . . . . 7  |-  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } 
C_  RR*
2812, 27eqsstri 3448 . . . . . 6  |-  M  C_  RR*
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  M  C_ 
RR* )
30 icossxr 11744 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
3130, 20sseldi 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  e.  RR* )
3231adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  e.  RR* )
33 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  RR  /\  ( B `  k )  e.  RR )  ->  <. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
346, 8, 33syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
35 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
36 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  e.  RR )  -> 
<. 0 ,  0
>.  e.  ( RR  X.  RR ) )
3735, 35, 36mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <. 0 ,  0 >.  e.  ( RR  X.  RR )
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  <. 0 ,  0 >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
3934, 38ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. ,  <. 0 ,  0 >. )  e.  ( RR  X.  RR ) )
40 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 , 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >. ,  <. 0 ,  0
>. ) )  =  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. ,  <. 0 ,  0 >. ) )
4139, 40fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) ) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
42 reex 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR  e.  _V
4342, 42xpex 6614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
441, 43jctil 546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  RR )  e.  _V  /\  X  e.  Fin )
)
45 elmapg 7503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( RR  X.  RR )  e.  _V  /\  X  e.  Fin )  ->  (
( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  <->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 , 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >. ,  <. 0 ,  0
>. ) ) : X --> ( RR  X.  RR ) ) )
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  <->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 , 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >. ,  <. 0 ,  0
>. ) ) : X --> ( RR  X.  RR ) ) )
4741, 46mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
4847adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 , 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >. ,  <. 0 ,  0
>. ) )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
49 ovnhoilem1.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) ) )
5048, 49fmptd 6061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H : NN --> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
51 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  e. 
_V
52 nnex 10637 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  e.  _V
5351, 52elmap 7518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  <->  H : NN --> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
5450, 53sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
5554adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  H  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
56 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  =  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k
) ) )
57 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  X  |->  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. )  =  ( k  e.  X  |->  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. )
5834, 57fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >.
) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
5949a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  H  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 , 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >. ,  <. 0 ,  0
>. ) ) ) )
60 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  =  1  ->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. ,  <. 0 ,  0 >. )  =  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. )
6160mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  1  ->  (
k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. ,  <. 0 ,  0 >. ) )  =  ( k  e.  X  |-> 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >.
) )
6261adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  (
k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. ,  <. 0 ,  0 >. ) )  =  ( k  e.  X  |-> 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >.
) )
63 1nn 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  NN
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
65 mptexg 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
k  e.  X  |->  <.
( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >.
)  e.  _V )
661, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >.
)  e.  _V )
6759, 62, 64, 66fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( H `  1
)  =  ( k  e.  X  |->  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. )
)
6867feq1d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( H ` 
1 ) : X --> ( RR  X.  RR ) 
<->  ( k  e.  X  |-> 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >.
) : X --> ( RR 
X.  RR ) ) )
6958, 68mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( H `  1
) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
7069adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( H `  1 ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
71 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  k  e.  X )
7270, 71fvovco 37540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  ( H `  1 )
) `  k )  =  ( ( 1st `  ( ( H ` 
1 ) `  k
) ) [,) ( 2nd `  ( ( H `
 1 ) `  k ) ) ) )
7334elexd 3042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >.  e.  _V )
7467, 73fvmpt2d 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  (
( H `  1
) `  k )  =  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. )
7574fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( H `
 1 ) `  k ) )  =  ( 1st `  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. )
)
76 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A `
 k )  e. 
_V
77 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B `
 k )  e. 
_V
7876, 77op1st 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1st `  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. )  =  ( A `  k )
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. )  =  ( A `  k )
)
8075, 79eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( H `
 1 ) `  k ) )  =  ( A `  k
) )
8174fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( H `
 1 ) `  k ) )  =  ( 2nd `  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. )
)
8276, 77op2nd 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2nd `  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. )  =  ( B `  k )
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. )  =  ( B `  k )
)
8481, 83eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( H `
 1 ) `  k ) )  =  ( B `  k
) )
8580, 84oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  (
( 1st `  (
( H `  1
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( H ` 
1 ) `  k
) ) )  =  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )
8672, 85eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  ( H `  1 )
) `  k )  =  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) ) )
8786ixpeq2dva 7555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  1 ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )
8856, 3, 873eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  I  =  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H ` 
1 ) ) `  k ) )
89 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  1  ->  ( H `  j )  =  ( H ` 
1 ) )
9089coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  1  ->  ( [,)  o.  ( H `  j ) )  =  ( [,)  o.  ( H `  1 )
) )
9190fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  1  ->  (
( [,)  o.  ( H `  j )
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( H ` 
1 ) ) `  k ) )
9291ixpeq2dv 7556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  1  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  ( H `  1 )
) `  k )
)
9392ssiun2s 4313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H ` 
1 ) ) `  k )  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) )
9463, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H ` 
1 ) ) `  k )  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k )
9588, 94syl6eqss 3468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) )
9695adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  I  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j )
) `  k )
)
9786fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( H ` 
1 ) ) `  k ) )  =  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) ) )
9897eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  ( H `  1 )
) `  k )
) )
9998prodeq2dv 14054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 1 ) ) `
 k ) ) )
10099adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  1 ) ) `  k ) ) )
101 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
102 icossicc 11746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
1034, 1, 69hoiprodcl 38487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 1 ) ) `
 k ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
104102, 103sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 1 ) ) `
 k ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10591fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  1  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( H `  j ) ) `  k ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  ( H `  1 )
) `  k )
) )
106105prodeq2ad 37769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  1  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  1 ) ) `  k ) ) )
107101, 104, 106sge0snmpt 38339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  {
1 }  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) ) ) )  = 
prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 1 ) ) `
 k ) ) )
108107eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 1 ) ) `
 k ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  {
1 }  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) ) ) ) )
109108adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  1 ) ) `  k ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  {
1 }  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) ) ) ) )
110 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j ( ph  /\  -.  X  =  (/) )
11152a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  NN  e.  _V )
112 snssi 4107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  NN  ->  { 1 }  C_  NN )
11363, 112ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 1 }  C_  NN
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  { 1 }  C_  NN )
115 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  { 1 } )
1161ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  { 1 } )  ->  X  e.  Fin )
117 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { 1 } )  ->  ph )
118 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  { 1 }  ->  j  =  1 )
119118adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { 1 } )  -> 
j  =  1 )
12069adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( H `  1 ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
12189adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( H `  j )  =  ( H ` 
1 ) )
122121feq1d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  (
( H `  j
) : X --> ( RR 
X.  RR )  <->  ( H `  1 ) : X --> ( RR  X.  RR ) ) )
123120, 122mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( H `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
124117, 119, 123syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { 1 } )  -> 
( H `  j
) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
125124adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  { 1 } )  ->  ( H `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
126115, 116, 125hoiprodcl 38487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  { 1 } )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
127102, 126sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  { 1 } )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
128 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  X  |->  <. 0 ,  0 >. )  =  ( k  e.  X  |->  <. 0 ,  0
>. )
12938, 128fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( k  e.  X  |-> 
<. 0 ,  0
>. ) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
130129adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  -> 
( k  e.  X  |-> 
<. 0 ,  0
>. ) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
131 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  ->  ph )
132 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  ( NN  \  { 1 } )  ->  j  e.  NN )
133132adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  -> 
j  e.  NN )
13448elexd 3042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 , 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >. ,  <. 0 ,  0
>. ) )  e.  _V )
13559, 134fvmpt2d 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `
 j )  =  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) ) )
136131, 133, 135syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  -> 
( H `  j
)  =  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 , 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >. ,  <. 0 ,  0
>. ) ) )
137 eldifsni 4089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( j  e.  ( NN  \  { 1 } )  ->  j  =/=  1
)
138137neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( j  e.  ( NN  \  { 1 } )  ->  -.  j  = 
1 )
139138iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  ( NN  \  { 1 } )  ->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. )  =  <. 0 ,  0
>. )
140139mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  ( NN  \  { 1 } )  ->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) )  =  ( k  e.  X  |->  <. 0 ,  0 >. )
)
141140adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  -> 
( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) )  =  ( k  e.  X  |->  <. 0 ,  0 >. )
)
142136, 141eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  -> 
( H `  j
)  =  ( k  e.  X  |->  <. 0 ,  0 >. )
)
143142feq1d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  -> 
( ( H `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) 
<->  ( k  e.  X  |-> 
<. 0 ,  0
>. ) : X --> ( RR 
X.  RR ) ) )
144130, 143mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  -> 
( H `  j
) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
145144adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( H `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
146 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  k  e.  X )
147145, 146fvovco 37540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k )  =  ( ( 1st `  (
( H `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( H `  j ) `  k
) ) ) )
14837elexi 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  <. 0 ,  0 >.  e.  _V
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  <. 0 ,  0 >.  e.  _V )
150142, 149fvmpt2d 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( ( H `  j ) `  k )  =  <. 0 ,  0 >. )
151150fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( 1st `  ( ( H `  j ) `  k
) )  =  ( 1st `  <. 0 ,  0 >. )
)
15216elexi 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  _V
153152, 152op1st 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1st `  <. 0 ,  0
>. )  =  0
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( 1st ` 
<. 0 ,  0
>. )  =  0
)
155151, 154eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( 1st `  ( ( H `  j ) `  k
) )  =  0 )
156150fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( 2nd `  ( ( H `  j ) `  k
) )  =  ( 2nd `  <. 0 ,  0 >. )
)
157152, 152op2nd 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2nd `  <. 0 ,  0
>. )  =  0
158157a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( 2nd ` 
<. 0 ,  0
>. )  =  0
)
159156, 158eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( 2nd `  ( ( H `  j ) `  k
) )  =  0 )
160155, 159oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( ( 1st `  ( ( H `
 j ) `  k ) ) [,) ( 2nd `  (
( H `  j
) `  k )
) )  =  ( 0 [,) 0 ) )
161 0le0 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <_  0
162 ico0 11707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( 0 [,) 0
)  =  (/)  <->  0  <_  0 ) )
16316, 16, 162mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0 [,) 0 )  =  (/)  <->  0  <_  0
)
164161, 163mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0 [,) 0 )  =  (/)
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( 0 [,) 0 )  =  (/) )
166147, 160, 1653eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k )  =  (/) )
167166fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) )  =  ( vol `  (/) ) )
168 vol0 37933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( vol `  (/) )  =  0
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( vol `  (/) )  =  0
)
170167, 169eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( NN  \  {
1 } ) )  /\  k  e.  X
)  ->  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) )  =  0 )
171170prodeq2dv 14054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) )  =  prod_ k  e.  X 
0 )
172171adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( [,)  o.  ( H `  j )
) `  k )
)  =  prod_ k  e.  X  0 )
173 0cnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
174 fprodconst 14109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  0  e.  CC )  ->  prod_ k  e.  X 
0  =  ( 0 ^ ( # `  X
) ) )
1751, 173, 174syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X 
0  =  ( 0 ^ ( # `  X
) ) )
176175ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  ->  prod_ k  e.  X  0  =  ( 0 ^ ( # `  X ) ) )
177 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  X  =  (/)  ->  X  =/=  (/) )
178177adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  X  =/=  (/) )
1791adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  X  e.  Fin )
180 hashnncl 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
181179, 180syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
182178, 181mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  ( # `
 X )  e.  NN )
183 0exp 12345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  X )  e.  NN  ->  ( 0 ^ ( # `  X
) )  =  0 )
184182, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  (
0 ^ ( # `  X ) )  =  0 )
185184adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  ->  ( 0 ^ ( # `  X
) )  =  0 )
186172, 176, 1853eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  ( NN  \  { 1 } ) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( [,)  o.  ( H `  j )
) `  k )
)  =  0 )
187110, 111, 114, 127, 186sge0ss 38368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  { 1 }  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
188100, 109, 1873eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
18996, 188jca 541 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  (
I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k )  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
190 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
i
191 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k NN
192 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) )
193191, 192nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) ) )
19449, 193nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k H
195190, 194nfeq 2623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k  i  =  H
196 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  H  ->  (
i `  j )  =  ( H `  j ) )
197196coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  H  ->  ( [,)  o.  ( i `  j ) )  =  ( [,)  o.  ( H `  j )
) )
198197fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  H  ->  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( H `  j ) ) `  k ) )
199198adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  H  /\  k  e.  X )  ->  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  =  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) )
200195, 199ixpeq2d 37469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  H  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  ( H `  j )
) `  k )
)
201200iuneq2d 4296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  H  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) )
202201sseq2d 3446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  H  ->  (
I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  <->  I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) ) )
203198fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  H  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( i `  j ) ) `  k ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  ( H `  j )
) `  k )
) )
204203a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  H  ->  (
k  e.  X  -> 
( vol `  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
)  =  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) ) ) )
205195, 204ralrimi 2800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  H  ->  A. k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  =  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) ) )
206205prodeq2d 14053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  H  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) ) )
207206mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  H  ->  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k ) ) ) )
208207fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  H  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
209208eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  H  ->  ( prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  <->  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
210202, 209anbi12d 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  H  ->  (
( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  ( I  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j )
) `  k )  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
211210rspcev 3136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  (
I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( H `  j ) ) `  k )  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( H `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
21255, 189, 211syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
21332, 212jca 541 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  ( prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  e.  RR*  /\  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
214 eqeq1 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  ->  ( z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  <->  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
215214anbi2d 718 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  ->  ( ( I 
C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  ( I  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
216215rexbidv 2892 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  ->  ( E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
217216elrab 3184 . . . . . . 7  |-  ( prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  e.  { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  <-> 
( prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  e.  RR*  /\  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
218213, 217sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  e.  {
z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } )
21912eqcomi 2480 . . . . . . 7  |-  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  =  M
220219a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  =  M )
221218, 220eleqtrd 2551 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  e.  M
)
222 infxrlb 11645 . . . . 5  |-  ( ( M  C_  RR*  /\  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  e.  M
)  -> inf ( M ,  RR* ,  <  )  <_  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) )
22329, 221, 222syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  -> inf ( M ,  RR* ,  <  )  <_  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) )
22426, 223eqbrtrd 4416 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( M ,  RR* ,  <  ) )  <_  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) )
22524, 224pm2.61dan 808 . 2  |-  ( ph  ->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( M ,  RR* ,  <  ) )  <_  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) ) )
22613, 225eqbrtrd 4416 1  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  I
)  <_  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   {csn 3959   <.cop 3965   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811    ^m cmap 7490   X_cixp 7540   Fincfn 7587  infcinf 7973   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   ^cexp 12310   #chash 12553   prod_cprod 14036   volcvol 22493  Σ^csumge0 38318  voln*covoln 38476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319  df-ovoln 38477
This theorem is referenced by:  ovnhoi  38543
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