Theorem ovnhoi 38543

Description: The Lebesgue outer measure of a multidimensional half-open interval is its dimensional volume (the product of its length in each dimension, when the dimension is nonzero). Proposition 115D (b) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnhoi.x	|- ( ph -> X e. Fin )
ovnhoi.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
ovnhoi.b	|- ( ph -> B : X --> RR )
ovnhoi.c	|- I = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) )
ovnhoi.l	|- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ovnhoi	|- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B ) )

Distinct variable groups:   A, a, b, k   B, a, b, k   X, a, b, k, x   ph, a, b, k, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   I( x, k, a, b)   L( x, k, a, b)

Proof of Theorem ovnhoi

Dummy variables c d i j n z y h w l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovnhoi.x	. . 3 |- ( ph -> X e. Fin )
2		ovnhoi.c	. . . . 5 |- I = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) )
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> I = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
4		nfv 1769	. . . . 5 |- F/ k ph
5		ovnhoi.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A : X --> RR )
6	5	ffvelrnda 6037	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
7		ovnhoi.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B : X --> RR )
8	7	ffvelrnda 6037	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
9	8	rexrd 9708	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR* )
10	4, 6, 9	hoissrrn2 38518	. . . 4 |- ( ph -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ ( RR ^m X ) )
11	3, 10	eqsstrd 3452	. . 3 |- ( ph -> I C_ ( RR ^m X ) )
12	1, 11	ovnxrcl 38509	. 2 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` I ) e. RR* )
13		icossxr 11744	. . 3 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
14		ovnhoi.l	. . . 4 |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
15	14, 1, 5, 7	hoidmvcl 38522	. . 3 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) e. ( 0 [,) +oo ) )
16	13, 15	sseldi 3416	. 2 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) e. RR* )
17		fveq2 5879	. . . . . . . 8 |- ( X = (/) -> (voln* ` X ) = (voln* ` (/) ) )
18	17	fveq1d 5881	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> ( (voln* ` X ) ` I ) = ( (voln* ` (/) ) ` I ) )
19	18	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` I ) = ( (voln* ` (/) ) ` I ) )
20		ixpeq1 7551	. . . . . . . . . . 11 |- ( X = (/) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = X_ k e. (/) ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
21		ixp0x 7568	. . . . . . . . . . . 12 |- X_ k e. (/) ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = { (/) }
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X = (/) -> X_ k e. (/) ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = { (/) } )
23	20, 22	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( X = (/) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = { (/) } )
24	23	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = { (/) } )
25	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> I = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
26		reex 9648	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. _V
27		mapdm0 37542	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR e. _V -> ( RR ^m (/) ) = { (/) } )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( RR ^m (/) ) = { (/) }
29	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( RR ^m (/) ) = { (/) } )
30	24, 25, 29	3eqtr4d 2515	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> I = ( RR ^m (/) ) )
31		eqimss 3470	. . . . . . . 8 |- ( I = ( RR ^m (/) ) -> I C_ ( RR ^m (/) ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> I C_ ( RR ^m (/) ) )
33	32	ovn0val 38490	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` (/) ) ` I ) = 0 )
34	19, 33	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` I ) = 0 )
35		0red 9662	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> 0 e. RR )
36	34, 35	eqeltrd 2549	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` I ) e. RR )
37		eqidd 2472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> 0 = 0 )
38		fveq2 5879	. . . . . . . 8 |- ( X = (/) -> ( L ` X ) = ( L ` (/) ) )
39	38	oveqd 6325	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> ( A ( L ` X ) B ) = ( A ( L ` (/) ) B ) )
40	39	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = ( A ( L ` (/) ) B ) )
41	5	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> A : X --> RR )
42		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> X = (/) )
43	42	feq2d 5725	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A : X --> RR <-> A : (/) --> RR ) )
44	41, 43	mpbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> A : (/) --> RR )
45	7	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> B : X --> RR )
46	42	feq2d 5725	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( B : X --> RR <-> B : (/) --> RR ) )
47	45, 46	mpbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> B : (/) --> RR )
48	14, 44, 47	hoidmv0val 38523	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A ( L ` (/) ) B ) = 0 )
49	40, 48	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = 0 )
50	37, 34, 49	3eqtr4d 2515	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B ) )
51	36, 50	eqled 9755	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` I ) <_ ( A ( L ` X ) B ) )
52		eqid 2471	. . . . . 6 |- { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) }
53		eqeq1 2475	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> ( n = 1 <-> j = 1 ) )
54	53	ifbid 3894	. . . . . . . 8 |- ( n = j -> if ( n = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) = if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) )
55	54	mpteq2dv 4483	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( k e. X |-> if ( n = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) = ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) )
56	55	cbvmptv 4488	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( k e. X |-> if ( n = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) ) = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) )
57	1, 5, 7, 2, 52, 56	ovnhoilem1 38541	. . . . 5 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` I ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
58	57	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` I ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
59	1	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> X e. Fin )
60		neqne 2651	. . . . . . 7 |- ( -. X = (/) -> X =/= (/) )
61	60	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> X =/= (/) )
62	5	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> A : X --> RR )
63	7	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> B : X --> RR )
64	14, 59, 61, 62, 63	hoidmvn0val 38524	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
65	64	eqcomd 2477	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( A ( L ` X ) B ) )
66	58, 65	breqtrd 4420	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` I ) <_ ( A ( L ` X ) B ) )
67	51, 66	pm2.61dan 808	. 2 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` I ) <_ ( A ( L ` X ) B ) )
68	49, 35	eqeltrd 2549	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A ( L ` X ) B ) e. RR )
69	50	eqcomd 2477	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = ( (voln* ` X ) ` I ) )
70	68, 69	eqled 9755	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A ( L ` X ) B ) <_ ( (voln* ` X ) ` I ) )
71		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = c -> ( a ` k ) = ( c ` k ) )
72	71	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = c -> ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) = ( ( c ` k ) [,) ( b ` k ) ) )
73	72	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = c -> ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) )
74	73	prodeq2ad 37769	. . . . . . . . . 10 |- ( a = c -> prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) = prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) )
75	74	ifeq2d 3891	. . . . . . . . 9 |- ( a = c -> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) = if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) )
76		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = d -> ( b ` k ) = ( d ` k ) )
77	76	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = d -> ( ( c ` k ) [,) ( b ` k ) ) = ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) )
78	77	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = d -> ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) )
79	78	prodeq2ad 37769	. . . . . . . . . 10 |- ( b = d -> prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) = prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) )
80	79	ifeq2d 3891	. . . . . . . . 9 |- ( b = d -> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) = if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) )
81	75, 80	cbvmpt2v 6390	. . . . . . . 8 |- ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) = ( c e. ( RR ^m x ) , d e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) )
82	81	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) = ( c e. ( RR ^m x ) , d e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) ) )
83		oveq2 6316	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( RR ^m x ) = ( RR ^m y ) )
84		eqeq1 2475	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x = (/) <-> y = (/) ) )
85		prodeq1 14040	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) = prod_ k e. y ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) )
86	84, 85	ifbieq2d 3897	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) = if ( y = (/) , 0 , prod_ k e. y ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) )
87	83, 83, 86	mpt2eq123dv 6372	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( c e. ( RR ^m x ) , d e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) ) = ( c e. ( RR ^m y ) , d e. ( RR ^m y ) |-> if ( y = (/) , 0 , prod_ k e. y ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) ) )
88	82, 87	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) = ( c e. ( RR ^m y ) , d e. ( RR ^m y ) |-> if ( y = (/) , 0 , prod_ k e. y ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) ) )
89	88	cbvmptv 4488	. . . . 5 |- ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) ) = ( y e. Fin |-> ( c e. ( RR ^m y ) , d e. ( RR ^m y ) |-> if ( y = (/) , 0 , prod_ k e. y ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) ) )
90	14, 89	eqtri 2493	. . . 4 |- L = ( y e. Fin |-> ( c e. ( RR ^m y ) , d e. ( RR ^m y ) |-> if ( y = (/) , 0 , prod_ k e. y ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) ) )
91		eqeq1 2475	. . . . . . . 8 |- ( w = z -> ( w = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
92	91	anbi2d 718	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) /\ w = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
93	92	rexbidv 2892	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( E. h e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) /\ w = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> E. h e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
94		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( h = i /\ j e. NN ) -> h = i )
95	94	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( h = i /\ j e. NN ) -> ( h ` j ) = ( i ` j ) )
96	95	coeq2d 5002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h = i /\ j e. NN ) -> ( [,) o. ( h ` j ) ) = ( [,) o. ( i ` j ) ) )
97	96	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( h = i /\ j e. NN ) -> ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) )
98	97	ixpeq2dv 7556	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( h = i /\ j e. NN ) -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) )
99	98	iuneq2dv 4291	. . . . . . . . . 10 |- ( h = i -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) )
100	99	sseq2d 3446	. . . . . . . . 9 |- ( h = i -> ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) <-> I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) )
101		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h = i /\ k e. X ) -> h = i )
102	101	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( h = i /\ k e. X ) -> ( h ` j ) = ( i ` j ) )
103	102	coeq2d 5002	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( h = i /\ k e. X ) -> ( [,) o. ( h ` j ) ) = ( [,) o. ( i ` j ) ) )
104	103	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( h = i /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) )
105	104	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h = i /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) )
106	105	prodeq2dv 14054	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = i -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) )
107	106	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = i -> ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) )
108	107	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( h = i -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
109	108	eqeq2d 2481	. . . . . . . . 9 |- ( h = i -> ( z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
110	100, 109	anbi12d 725	. . . . . . . 8 |- ( h = i -> ( ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
111	110	cbvrexv 3006	. . . . . . 7 |- ( E. h e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
112	111	a1i 11	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( E. h e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
113	93, 112	bitrd 261	. . . . 5 |- ( w = z -> ( E. h e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) /\ w = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
114	113	cbvrabv 3030	. . . 4 |- { w e. RR* | E. h e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) /\ w = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) }
115		simpl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j = n /\ l e. X ) -> j = n )
116	115	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( ( j = n /\ l e. X ) -> ( i ` j ) = ( i ` n ) )
117	116	fveq1d 5881	. . . . . . . 8 |- ( ( j = n /\ l e. X ) -> ( ( i ` j ) ` l ) = ( ( i ` n ) ` l ) )
118	117	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( ( j = n /\ l e. X ) -> ( 1st ` ( ( i ` j ) ` l ) ) = ( 1st ` ( ( i ` n ) ` l ) ) )
119	118	mpteq2dva 4482	. . . . . 6 |- ( j = n -> ( l e. X |-> ( 1st ` ( ( i ` j ) ` l ) ) ) = ( l e. X |-> ( 1st ` ( ( i ` n ) ` l ) ) ) )
120	119	cbvmptv 4488	. . . . 5 |- ( j e. NN |-> ( l e. X |-> ( 1st ` ( ( i ` j ) ` l ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( l e. X |-> ( 1st ` ( ( i ` n ) ` l ) ) ) )
121	120	mpteq2i 4479	. . . 4 |- ( i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) |-> ( j e. NN |-> ( l e. X |-> ( 1st ` ( ( i ` j ) ` l ) ) ) ) ) = ( i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) |-> ( n e. NN |-> ( l e. X |-> ( 1st ` ( ( i ` n ) ` l ) ) ) ) )
122	117	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( ( j = n /\ l e. X ) -> ( 2nd ` ( ( i ` j ) ` l ) ) = ( 2nd ` ( ( i ` n ) ` l ) ) )
123	122	mpteq2dva 4482	. . . . . 6 |- ( j = n -> ( l e. X |-> ( 2nd ` ( ( i ` j ) ` l ) ) ) = ( l e. X |-> ( 2nd ` ( ( i ` n ) ` l ) ) ) )
124	123	cbvmptv 4488	. . . . 5 |- ( j e. NN |-> ( l e. X |-> ( 2nd ` ( ( i ` j ) ` l ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( l e. X |-> ( 2nd ` ( ( i ` n ) ` l ) ) ) )
125	124	mpteq2i 4479	. . . 4 |- ( i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) |-> ( j e. NN |-> ( l e. X |-> ( 2nd ` ( ( i ` j ) ` l ) ) ) ) ) = ( i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) |-> ( n e. NN |-> ( l e. X |-> ( 2nd ` ( ( i ` n ) ` l ) ) ) ) )
126	59, 61, 62, 63, 2, 90, 114, 121, 125	ovnhoilem2 38542	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( A ( L ` X ) B ) <_ ( (voln* ` X ) ` I ) )
127	70, 126	pm2.61dan 808	. 2 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) <_ ( (voln* ` X ) ` I ) )
128	12, 16, 67, 127	xrletrid 11475	1 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   {csn 3959   <.cop 3965   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811   ^m cmap 7490   X_cixp 7540   Fincfn 7587   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   <_ cle 9694   NNcn 10631   [,)cico 11662   prod_cprod 14036   volcvol 22493  Σ^{^}csumge0 38318  voln^*covoln 38476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319  df-ovoln 38477

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