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Theorem ovnhoi 38543
Description: The Lebesgue outer measure of a multidimensional half-open interval is its dimensional volume (the product of its length in each dimension, when the dimension is nonzero). Proposition 115D (b) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnhoi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
ovnhoi.a  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
ovnhoi.b  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
ovnhoi.c  |-  I  = 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)
ovnhoi.l  |-  L  =  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x ) 
|->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ovnhoi  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  I
)  =  ( A ( L `  X
) B ) )
Distinct variable groups:    A, a,
b, k    B, a,
b, k    X, a,
b, k, x    ph, a,
b, k, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    I( x, k, a, b)    L( x, k, a, b)

Proof of Theorem ovnhoi
Dummy variables  c 
d  i  j  n  z  y  h  w  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovnhoi.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
2 ovnhoi.c . . . . 5  |-  I  = 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  =  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k
) ) )
4 nfv 1769 . . . . 5  |-  F/ k
ph
5 ovnhoi.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
65ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( A `  k )  e.  RR )
7 ovnhoi.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
87ffvelrnda 6037 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
98rexrd 9708 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( B `  k )  e.  RR* )
104, 6, 9hoissrrn2 38518 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  C_  ( RR  ^m  X ) )
113, 10eqsstrd 3452 . . 3  |-  ( ph  ->  I  C_  ( RR  ^m  X ) )
121, 11ovnxrcl 38509 . 2  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  I
)  e.  RR* )
13 icossxr 11744 . . 3  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
14 ovnhoi.l . . . 4  |-  L  =  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x ) 
|->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) ) ) )
1514, 1, 5, 7hoidmvcl 38522 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1613, 15sseldi 3416 . 2  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  e.  RR* )
17 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  (/)  ->  (voln* `  X )  =  (voln* `  (/) ) )
1817fveq1d 5881 . . . . . . 7  |-  ( X  =  (/)  ->  ( (voln* `  X
) `  I )  =  ( (voln* `  (/) ) `  I ) )
1918adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln* `  X
) `  I )  =  ( (voln* `  (/) ) `  I ) )
20 ixpeq1 7551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  (/)  ->  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k
) )  =  X_ k  e.  (/)  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )
21 ixp0x 7568 . . . . . . . . . . . 12  |-  X_ k  e.  (/)  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) )  =  { (/)
}
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  (/)  ->  X_ k  e.  (/)  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) )  =  { (/)
} )
2320, 22eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  (/)  ->  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k
) )  =  { (/)
} )
2423adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  X_ k  e.  X  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) )  =  { (/)
} )
252a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  I  =  X_ k  e.  X  ( ( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )
26 reex 9648 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
27 mapdm0 37542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( RR  ^m  (/) )  =  { (/)
} )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
^m  (/) )  =  { (/)
}
2928a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( RR  ^m  (/) )  =  { (/)
} )
3024, 25, 293eqtr4d 2515 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  I  =  ( RR  ^m  (/) ) )
31 eqimss 3470 . . . . . . . 8  |-  ( I  =  ( RR  ^m  (/) )  ->  I  C_  ( RR  ^m  (/) ) )
3230, 31syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  I  C_  ( RR  ^m  (/) ) )
3332ovn0val 38490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln* `  (/) ) `  I )  =  0 )
3419, 33eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln* `  X
) `  I )  =  0 )
35 0red 9662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  0  e.  RR )
3634, 35eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln* `  X
) `  I )  e.  RR )
37 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  0  = 
0 )
38 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  (/)  ->  ( L `
 X )  =  ( L `  (/) ) )
3938oveqd 6325 . . . . . . 7  |-  ( X  =  (/)  ->  ( A ( L `  X
) B )  =  ( A ( L `
 (/) ) B ) )
4039adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( A
( L `  X
) B )  =  ( A ( L `
 (/) ) B ) )
415adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  A : X
--> RR )
42 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  X  =  (/) )
4342feq2d 5725 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( A : X --> RR  <->  A : (/) --> RR ) )
4441, 43mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  A : (/) --> RR )
457adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  B : X
--> RR )
4642feq2d 5725 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( B : X --> RR  <->  B : (/) --> RR ) )
4745, 46mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  B : (/) --> RR )
4814, 44, 47hoidmv0val 38523 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( A
( L `  (/) ) B )  =  0 )
4940, 48eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( A
( L `  X
) B )  =  0 )
5037, 34, 493eqtr4d 2515 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln* `  X
) `  I )  =  ( A ( L `  X ) B ) )
5136, 50eqled 9755 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln* `  X
) `  I )  <_  ( A ( L `
 X ) B ) )
52 eqid 2471 . . . . . 6  |-  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  =  { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }
53 eqeq1 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  (
n  =  1  <->  j  =  1 ) )
5453ifbid 3894 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  if ( n  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. ,  <. 0 ,  0 >. )  =  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. ,  <. 0 ,  0 >. ) )
5554mpteq2dv 4483 . . . . . . 7  |-  ( n  =  j  ->  (
k  e.  X  |->  if ( n  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k )
>. ,  <. 0 ,  0 >. ) )  =  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) ) )
5655cbvmptv 4488 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  if ( n  =  1 , 
<. ( A `  k
) ,  ( B `
 k ) >. ,  <. 0 ,  0
>. ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  if ( j  =  1 ,  <. ( A `  k ) ,  ( B `  k ) >. ,  <. 0 ,  0 >. ) ) )
571, 5, 7, 2, 52, 56ovnhoilem1 38541 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  I
)  <_  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) ) )
5857adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  (
(voln* `  X ) `  I
)  <_  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) ) )
591adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  X  e.  Fin )
60 neqne 2651 . . . . . . 7  |-  ( -.  X  =  (/)  ->  X  =/=  (/) )
6160adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  X  =/=  (/) )
625adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  A : X --> RR )
637adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  B : X --> RR )
6414, 59, 61, 62, 63hoidmvn0val 38524 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  ( A ( L `  X ) B )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) )
6564eqcomd 2477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  =  ( A ( L `  X ) B ) )
6658, 65breqtrd 4420 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  (
(voln* `  X ) `  I
)  <_  ( A
( L `  X
) B ) )
6751, 66pm2.61dan 808 . 2  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  I
)  <_  ( A
( L `  X
) B ) )
6849, 35eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( A
( L `  X
) B )  e.  RR )
6950eqcomd 2477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( A
( L `  X
) B )  =  ( (voln* `  X ) `  I
) )
7068, 69eqled 9755 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( A
( L `  X
) B )  <_ 
( (voln* `  X ) `  I
) )
71 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  c  ->  (
a `  k )  =  ( c `  k ) )
7271oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  c  ->  (
( a `  k
) [,) ( b `
 k ) )  =  ( ( c `
 k ) [,) ( b `  k
) ) )
7372fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  c  ->  ( vol `  ( ( a `
 k ) [,) ( b `  k
) ) )  =  ( vol `  (
( c `  k
) [,) ( b `
 k ) ) ) )
7473prodeq2ad 37769 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  c  ->  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) )  =  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( c `  k ) [,) (
b `  k )
) ) )
7574ifeq2d 3891 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  c  ->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) ( b `  k ) ) ) )  =  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( c `  k ) [,) ( b `  k ) ) ) ) )
76 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  d  ->  (
b `  k )  =  ( d `  k ) )
7776oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  d  ->  (
( c `  k
) [,) ( b `
 k ) )  =  ( ( c `
 k ) [,) ( d `  k
) ) )
7877fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  d  ->  ( vol `  ( ( c `
 k ) [,) ( b `  k
) ) )  =  ( vol `  (
( c `  k
) [,) ( d `
 k ) ) ) )
7978prodeq2ad 37769 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  d  ->  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( c `  k ) [,) (
b `  k )
) )  =  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( c `  k ) [,) (
d `  k )
) ) )
8079ifeq2d 3891 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  d  ->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( c `  k ) [,) ( b `  k ) ) ) )  =  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( c `  k ) [,) ( d `  k ) ) ) ) )
8175, 80cbvmpt2v 6390 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x )  |->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) ( b `  k ) ) ) ) )  =  ( c  e.  ( RR 
^m  x ) ,  d  e.  ( RR 
^m  x )  |->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( c `  k ) [,) (
d `  k )
) ) ) )
8281a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
a  e.  ( RR 
^m  x ) ,  b  e.  ( RR 
^m  x )  |->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) ) )  =  ( c  e.  ( RR  ^m  x
) ,  d  e.  ( RR  ^m  x
)  |->  if ( x  =  (/) ,  0 , 
prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( c `  k ) [,) ( d `  k ) ) ) ) ) )
83 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( RR  ^m  x )  =  ( RR  ^m  y
) )
84 eqeq1 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
85 prodeq1 14040 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( c `  k ) [,) (
d `  k )
) )  =  prod_ k  e.  y  ( vol `  ( ( c `  k ) [,) (
d `  k )
) ) )
8684, 85ifbieq2d 3897 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( c `  k ) [,) ( d `  k ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  y  ( vol `  (
( c `  k
) [,) ( d `
 k ) ) ) ) )
8783, 83, 86mpt2eq123dv 6372 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
c  e.  ( RR 
^m  x ) ,  d  e.  ( RR 
^m  x )  |->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( c `  k ) [,) (
d `  k )
) ) ) )  =  ( c  e.  ( RR  ^m  y
) ,  d  e.  ( RR  ^m  y
)  |->  if ( y  =  (/) ,  0 , 
prod_ k  e.  y 
( vol `  (
( c `  k
) [,) ( d `
 k ) ) ) ) ) )
8882, 87eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
a  e.  ( RR 
^m  x ) ,  b  e.  ( RR 
^m  x )  |->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) ) )  =  ( c  e.  ( RR  ^m  y
) ,  d  e.  ( RR  ^m  y
)  |->  if ( y  =  (/) ,  0 , 
prod_ k  e.  y 
( vol `  (
( c `  k
) [,) ( d `
 k ) ) ) ) ) )
8988cbvmptv 4488 . . . . 5  |-  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x )  |->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) ( b `  k ) ) ) ) ) )  =  ( y  e.  Fin  |->  ( c  e.  ( RR  ^m  y ) ,  d  e.  ( RR  ^m  y ) 
|->  if ( y  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  y  ( vol `  ( ( c `  k ) [,) (
d `  k )
) ) ) ) )
9014, 89eqtri 2493 . . . 4  |-  L  =  ( y  e.  Fin  |->  ( c  e.  ( RR  ^m  y ) ,  d  e.  ( RR  ^m  y ) 
|->  if ( y  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  y  ( vol `  ( ( c `  k ) [,) (
d `  k )
) ) ) ) )
91 eqeq1 2475 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
w  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( h `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  <->  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( h `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
9291anbi2d 718 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( h `  j
) ) `  k
)  /\  w  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( h `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  ( I  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
h `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( h `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
9392rexbidv 2892 . . . . . 6  |-  ( w  =  z  ->  ( E. h  e.  (
( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( h `  j
) ) `  k
)  /\  w  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( h `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  E. h  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
h `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( h `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
94 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h  =  i  /\  j  e.  NN )  ->  h  =  i )
9594fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( h  =  i  /\  j  e.  NN )  ->  ( h `  j
)  =  ( i `
 j ) )
9695coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( h  =  i  /\  j  e.  NN )  ->  ( [,)  o.  (
h `  j )
)  =  ( [,) 
o.  ( i `  j ) ) )
9796fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( h  =  i  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( [,)  o.  ( h `  j
) ) `  k
)  =  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) )
9897ixpeq2dv 7556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( h  =  i  /\  j  e.  NN )  -> 
X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( h `  j
) ) `  k
)  =  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j ) ) `  k ) )
9998iuneq2dv 4291 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  i  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( h `  j
) ) `  k
)  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )
10099sseq2d 3446 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  i  ->  (
I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( h `  j
) ) `  k
)  <->  I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) ) )
101 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h  =  i  /\  k  e.  X )  ->  h  =  i )
102101fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( h  =  i  /\  k  e.  X )  ->  ( h `  j
)  =  ( i `
 j ) )
103102coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h  =  i  /\  k  e.  X )  ->  ( [,)  o.  (
h `  j )
)  =  ( [,) 
o.  ( i `  j ) ) )
104103fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( h  =  i  /\  k  e.  X )  ->  ( ( [,)  o.  ( h `  j
) ) `  k
)  =  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) )
105104fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( h  =  i  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  (
( [,)  o.  (
h `  j )
) `  k )
)  =  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) ) )
106105prodeq2dv 14054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  i  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( h `  j
) ) `  k
) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) ) )
107106mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  i  ->  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( h `
 j ) ) `
 k ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) ) ) )
108107fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  i  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( h `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
109108eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  i  ->  (
z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( h `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  <->  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
110100, 109anbi12d 725 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  i  ->  (
( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( h `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( h `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  ( I  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
111110cbvrexv 3006 . . . . . . 7  |-  ( E. h  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
h `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( h `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
112111a1i 11 . . . . . 6  |-  ( w  =  z  ->  ( E. h  e.  (
( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( h `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( h `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
11393, 112bitrd 261 . . . . 5  |-  ( w  =  z  ->  ( E. h  e.  (
( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( h `  j
) ) `  k
)  /\  w  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( h `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
114113cbvrabv 3030 . . . 4  |-  { w  e.  RR*  |  E. h  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
h `  j )
) `  k )  /\  w  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( h `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  =  { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( I  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }
115 simpl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  n  /\  l  e.  X )  ->  j  =  n )
116115fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  =  n  /\  l  e.  X )  ->  ( i `  j
)  =  ( i `
 n ) )
117116fveq1d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  =  n  /\  l  e.  X )  ->  ( ( i `  j ) `  l
)  =  ( ( i `  n ) `
 l ) )
118117fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  n  /\  l  e.  X )  ->  ( 1st `  (
( i `  j
) `  l )
)  =  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) )
119118mpteq2dva 4482 . . . . . 6  |-  ( j  =  n  ->  (
l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  j ) `
 l ) ) )  =  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) )
120119cbvmptv 4488 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  j ) `  l
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  (
( i `  n
) `  l )
) ) )
121120mpteq2i 4479 . . . 4  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |->  ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  j ) `  l
) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) ) )
122117fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  n  /\  l  e.  X )  ->  ( 2nd `  (
( i `  j
) `  l )
)  =  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) )
123122mpteq2dva 4482 . . . . . 6  |-  ( j  =  n  ->  (
l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `
 l ) ) )  =  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) )
124123cbvmptv 4488 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  l
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( i `  n
) `  l )
) ) )
125124mpteq2i 4479 . . . 4  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |->  ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  j ) `  l
) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |->  ( n  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( i `  n ) `  l
) ) ) ) )
12659, 61, 62, 63, 2, 90, 114, 121, 125ovnhoilem2 38542 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  ( A ( L `  X ) B )  <_  ( (voln* `  X ) `  I
) )
12770, 126pm2.61dan 808 . 2  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  <_  ( (voln* `  X
) `  I )
)
12812, 16, 67, 127xrletrid 11475 1  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) `  I
)  =  ( A ( L `  X
) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   {csn 3959   <.cop 3965   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811    ^m cmap 7490   X_cixp 7540   Fincfn 7587   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    <_ cle 9694   NNcn 10631   [,)cico 11662   prod_cprod 14036   volcvol 22493  Σ^csumge0 38318  voln*covoln 38476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319  df-ovoln 38477
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