Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnhoi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ovnhoi 38543
 Description: The Lebesgue outer measure of a multidimensional half-open interval is its dimensional volume (the product of its length in each dimension, when the dimension is nonzero). Proposition 115D (b) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnhoi.x
ovnhoi.a
ovnhoi.b
ovnhoi.c
ovnhoi.l
Assertion
Ref Expression
ovnhoi voln*
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,,)   (,,,)

Proof of Theorem ovnhoi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovnhoi.x . . 3
2 ovnhoi.c . . . . 5
32a1i 11 . . . 4
4 nfv 1769 . . . . 5
5 ovnhoi.a . . . . . 6
65ffvelrnda 6037 . . . . 5
7 ovnhoi.b . . . . . . 7
87ffvelrnda 6037 . . . . . 6
98rexrd 9708 . . . . 5
104, 6, 9hoissrrn2 38518 . . . 4
113, 10eqsstrd 3452 . . 3
121, 11ovnxrcl 38509 . 2 voln*
13 icossxr 11744 . . 3
14 ovnhoi.l . . . 4
1514, 1, 5, 7hoidmvcl 38522 . . 3
1613, 15sseldi 3416 . 2
17 fveq2 5879 . . . . . . . 8 voln* voln*
1817fveq1d 5881 . . . . . . 7 voln* voln*
1918adantl 473 . . . . . 6 voln* voln*
20 ixpeq1 7551 . . . . . . . . . . 11
21 ixp0x 7568 . . . . . . . . . . . 12
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11
2320, 22eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
2423adantl 473 . . . . . . . . 9
252a1i 11 . . . . . . . . 9
26 reex 9648 . . . . . . . . . . 11
27 mapdm0 37542 . . . . . . . . . . 11
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
2928a1i 11 . . . . . . . . 9
3024, 25, 293eqtr4d 2515 . . . . . . . 8
31 eqimss 3470 . . . . . . . 8
3230, 31syl 17 . . . . . . 7
3332ovn0val 38490 . . . . . 6 voln*
3419, 33eqtrd 2505 . . . . 5 voln*
35 0red 9662 . . . . 5
3634, 35eqeltrd 2549 . . . 4 voln*
37 eqidd 2472 . . . . 5
38 fveq2 5879 . . . . . . . 8
3938oveqd 6325 . . . . . . 7
4039adantl 473 . . . . . 6
415adantr 472 . . . . . . . 8
42 simpr 468 . . . . . . . . 9
4342feq2d 5725 . . . . . . . 8
4441, 43mpbid 215 . . . . . . 7
457adantr 472 . . . . . . . 8
4642feq2d 5725 . . . . . . . 8
4745, 46mpbid 215 . . . . . . 7
4814, 44, 47hoidmv0val 38523 . . . . . 6
4940, 48eqtrd 2505 . . . . 5
5037, 34, 493eqtr4d 2515 . . . 4 voln*
5136, 50eqled 9755 . . 3 voln*
52 eqid 2471 . . . . . 6 Σ^ Σ^
53 eqeq1 2475 . . . . . . . . 9
5453ifbid 3894 . . . . . . . 8
5554mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
5655cbvmptv 4488 . . . . . 6
571, 5, 7, 2, 52, 56ovnhoilem1 38541 . . . . 5 voln*
5857adantr 472 . . . 4 voln*
591adantr 472 . . . . . 6
60 neqne 2651 . . . . . . 7
6160adantl 473 . . . . . 6
625adantr 472 . . . . . 6
637adantr 472 . . . . . 6
6414, 59, 61, 62, 63hoidmvn0val 38524 . . . . 5
6564eqcomd 2477 . . . 4
6658, 65breqtrd 4420 . . 3 voln*
6751, 66pm2.61dan 808 . 2 voln*
6849, 35eqeltrd 2549 . . . 4
6950eqcomd 2477 . . . 4 voln*
7068, 69eqled 9755 . . 3 voln*
71 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . 13
7271oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
7372fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
7473prodeq2ad 37769 . . . . . . . . . 10
7574ifeq2d 3891 . . . . . . . . 9
76 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . 13
7776oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12
7877fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
7978prodeq2ad 37769 . . . . . . . . . 10
8079ifeq2d 3891 . . . . . . . . 9
8175, 80cbvmpt2v 6390 . . . . . . . 8
8281a1i 11 . . . . . . 7
83 oveq2 6316 . . . . . . . 8
84 eqeq1 2475 . . . . . . . . 9
85 prodeq1 14040 . . . . . . . . 9
8684, 85ifbieq2d 3897 . . . . . . . 8
8783, 83, 86mpt2eq123dv 6372 . . . . . . 7
8882, 87eqtrd 2505 . . . . . 6
8988cbvmptv 4488 . . . . 5
9014, 89eqtri 2493 . . . 4
91 eqeq1 2475 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
9291anbi2d 718 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
9392rexbidv 2892 . . . . . 6 Σ^ Σ^
94 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15
9594fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
9695coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . 13
9796fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . 12
9897ixpeq2dv 7556 . . . . . . . . . . 11
9998iuneq2dv 4291 . . . . . . . . . 10
10099sseq2d 3446 . . . . . . . . 9
101 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102101fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103102coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . . 15
104103fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
105104fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
106105prodeq2dv 14054 . . . . . . . . . . . 12
107106mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . 11
108107fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10 Σ^ Σ^
109108eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9 Σ^ Σ^
110100, 109anbi12d 725 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
111110cbvrexv 3006 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
112111a1i 11 . . . . . 6 Σ^ Σ^
11393, 112bitrd 261 . . . . 5 Σ^ Σ^
114113cbvrabv 3030 . . . 4 Σ^ Σ^
115 simpl 464 . . . . . . . . . 10
116115fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
117116fveq1d 5881 . . . . . . . 8
118117fveq2d 5883 . . . . . . 7
119118mpteq2dva 4482 . . . . . 6
120119cbvmptv 4488 . . . . 5
121120mpteq2i 4479 . . . 4
122117fveq2d 5883 . . . . . . 7
123122mpteq2dva 4482 . . . . . 6
124123cbvmptv 4488 . . . . 5
125124mpteq2i 4479 . . . 4
12659, 61, 62, 63, 2, 90, 114, 121, 125ovnhoilem2 38542 . . 3 voln*
12770, 126pm2.61dan 808 . 2 voln*
12812, 16, 67, 127xrletrid 11475 1 voln*
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  cif 3872  csn 3959  cop 3965  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  c1st 6810  c2nd 6811   cmap 7490  cixp 7540  cfn 7587  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   cpnf 9690  cxr 9692   cle 9694  cn 10631  cico 11662  cprod 14036  cvol 22493  Σ^csumge0 38318  voln*covoln 38476 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319  df-ovoln 38477 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator