Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ovnf 38379
Description: The Lebesgue outer measure is a function that maps sets to nonnegative extended reals. This is step (a)(i) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ovnf.1  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
ovnf  |-  ( ph  ->  (voln* `  X ) : ~P ( RR  ^m  X ) --> ( 0 [,] +oo ) )

Proof of Theorem ovnf
Dummy variables  i 
j  k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0e0iccpnf 11740 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3 0xr 9684 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  ->  0  e.  RR* )
5 pnfxr 11409 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  -> +oo  e.  RR* )
7 ovnf.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
87adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  ->  X  e.  Fin )
9 elpwi 3959 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P ( RR 
^m  X )  -> 
y  C_  ( RR  ^m  X ) )
109adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  ->  y  C_  ( RR  ^m  X
) )
11 eqid 2450 . . . . . 6  |-  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  =  { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }
128, 10, 11ovnsupge0 38373 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  ->  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } 
C_  ( 0 [,] +oo ) )
138, 10, 11ovnpnfelsup 38375 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  -> +oo  e.  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } )
14 ne0i 3736 . . . . . 6  |-  ( +oo  e.  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  ->  { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  =/=  (/) )
1513, 14syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  ->  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  =/=  (/) )
164, 6, 12, 15inficc 37630 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  -> inf ( { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
172, 16ifcld 3923 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  ->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
18 eqid 2450 . . 3  |-  ( y  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
) )  =  ( y  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
) )
1917, 18fmptd 6044 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
) ) : ~P ( RR  ^m  X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
207ovnval 38356 . . 3  |-  ( ph  ->  (voln* `  X )  =  ( y  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
) ) )
2120feq1d 5712 . 2  |-  ( ph  ->  ( (voln* `  X ) : ~P ( RR  ^m  X ) --> ( 0 [,] +oo ) 
<->  ( y  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  if ( X  =  (/) ,  0 , inf ( { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
) ) : ~P ( RR  ^m  X ) --> ( 0 [,] +oo ) ) )
2219, 21mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  (voln* `  X ) : ~P ( RR  ^m  X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   E.wrex 2737   {crab 2740    C_ wss 3403   (/)c0 3730   ifcif 3880   ~Pcpw 3950   U_ciun 4277    |-> cmpt 4460    X. cxp 4831    o. ccom 4837   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    ^m cmap 7469   X_cixp 7519   Fincfn 7566  infcinf 7952   RRcr 9535   0cc0 9536   +oocpnf 9669   RR*cxr 9671    < clt 9672   NNcn 10606   [,)cico 11634   [,]cicc 11635   prod_cprod 13952   volcvol 22408  Σ^csumge0 38198  voln*covoln 38351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-prod 13953  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cmp 20395  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-sumge0 38199  df-ovoln 38352
This theorem is referenced by:  ovn0  38382  ovncl  38383  ovn02  38384  ovnome  38389  dmovn  38420  hspmbl  38445
  Copyright terms: Public domain W3C validator