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Theorem ovncvrrp 38290
Description: The Lebesgue outer measure of a subset of multidimensional real numbers can always be approximated by the total outer measure of a cover of half-open (multidimensional) intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovncvrrp.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
ovncvrrp.n0  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
ovncvrrp.a  |-  ( ph  ->  A  C_  ( RR  ^m  X ) )
ovncvrrp.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
ovncvrrp.c  |-  C  =  ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } )
ovncvrrp.l  |-  L  =  ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) )
ovncvrrp.d  |-  D  =  ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  a )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) } ) )
Assertion
Ref Expression
ovncvrrp  |-  ( ph  ->  E. i  i  e.  ( ( D `  A ) `  E
) )
Distinct variable groups:    A, a,
e, i    A, l,
a, i    C, e,
i    e, E, i    L, a, e    X, a, e, i, j    h, X, k, i, j    X, l    k, a    j, l, k    ph, a, e, i, j    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( h, l)    A( h, j, k)    C( h, j, k, a, l)    D( e, h, i, j, k, a, l)    E( h, j, k, a, l)    L( h, i, j, k, l)

Proof of Theorem ovncvrrp
Dummy variables  b 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovncvrrp.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
2 ovncvrrp.n0 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
3 ovncvrrp.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( RR  ^m  X ) )
4 ovncvrrp.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
5 eqid 2422 . . . 4  |-  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  =  { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }
61, 2, 3, 4, 5ovnlerp 38288 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  {
z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } z  <_  ( (
(voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
7 simp1 1005 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  /\  z  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  ph )
8 simp3 1007 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  /\  z  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
9 rabid 3002 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  <-> 
( z  e.  RR*  /\ 
E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
109biimpi 197 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  ->  ( z  e. 
RR*  /\  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
1110simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  ->  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
1211adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  /\  z  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
13123adant1 1023 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  /\  z  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
14 nfv 1755 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
15 nfe1 1894 . . . . . . . 8  |-  F/ i E. i ( i  e.  ( C `  A )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
16 simp1l 1029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  ph )
17 simp2 1006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
18 simp3l 1033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
)  ->  ( i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) ) )
20 fveq1 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  =  i  ->  (
l `  j )  =  ( i `  j ) )
2120coeq2d 5016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  =  i  ->  ( [,)  o.  ( l `  j ) )  =  ( [,)  o.  (
i `  j )
) )
2221fveq1d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  =  i  ->  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( i `  j ) ) `  k ) )
2322ixpeq2dv 7549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  =  i  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
)
2423iuneq2d 4326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  =  i  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
)  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )
2524sseq2d 3492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  i  ->  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
)  <->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) ) )
2625elrab 3228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  { l  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) }  <->  ( i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) ) )
2719, 26sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
)  ->  i  e.  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } )
28273adant1 1023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  ->  i  e.  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } )
29 ovncvrrp.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  C  =  ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } )
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  =  ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) )
31 sseq1 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
)  <->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) ) )
3231rabbidv 3071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  A  ->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) }  =  { l  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } )
3332adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a  =  A )  ->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) }  =  { l  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } )
34 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( RR 
^m  X )  e. 
_V
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( RR  ^m  X
)  e.  _V )
3635, 3ssexd 4571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
37 elpwg 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  ~P ( RR  ^m  X )  <->  A  C_  ( RR  ^m  X ) ) )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ~P ( RR  ^m  X )  <-> 
A  C_  ( RR  ^m  X ) ) )
393, 38mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )
40 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  e.  _V
4140rabex 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) }  e.  _V
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) }  e.  _V )
4330, 33, 39, 42fvmptd 5970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C `  A
)  =  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } )
4443eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) }  =  ( C `  A ) )
45443ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  ->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) }  =  ( C `  A ) )
4628, 45eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  ->  i  e.  ( C `  A
) )
4716, 17, 18, 46syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  i  e.  ( C `  A ) )
48 ovncvrrp.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  L  =  ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) )
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  L  =  ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) )
50 coeq2 5012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( h  =  ( i `  j )  ->  ( [,)  o.  h )  =  ( [,)  o.  (
i `  j )
) )
5150fveq1d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  =  ( i `  j )  ->  (
( [,)  o.  h
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( i `  j ) ) `  k ) )
5251fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  =  ( i `  j )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  h ) `  k ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
) )
5352prodeq2ad 37612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  =  ( i `  j )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `  k
) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) ) )
5453adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  /\  h  =  (
i `  j )
)  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( [,)  o.  h
) `  k )
)  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) ) )
55 elmapi 7504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  i : NN --> ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X ) )
5655adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  i : NN --> ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X ) )
57 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
5856, 57ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
i `  j )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
59 prodex 13960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  e.  _V
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  e.  _V )
6149, 54, 58, 60fvmptd 5970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( L `  ( i `  j ) )  = 
prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) )
6261mpteq2dva 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( j  e.  NN  |->  ( L `
 ( i `  j ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )
6362fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
6463adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
65 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  ->  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
6665eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  =  z )
6766adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  =  z )
6864, 67eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  =  z )
69683adant1 1023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  <_  ( (
(voln* `  X ) `  A
) +e E )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  =  z )
70 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  <_  ( (
(voln* `  X ) `  A
) +e E )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
z  <_  ( (
(voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
7169, 70eqbrtrd 4444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  <_  ( (
(voln* `  X ) `  A
) +e E )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
72713adant1l 1256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
73723adant3l 1260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
7447, 73jca 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
75 19.8a 1912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( C `
 A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  E. i
( i  e.  ( C `  A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
7674, 75syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  E. i ( i  e.  ( C `  A )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
77763exp 1204 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  (
i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  ->  E. i ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) ) ) )
7814, 15, 77rexlimd 2906 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  ( E. i  e.  (
( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  ->  E. i ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) ) )
7978imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  /\  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  E. i ( i  e.  ( C `  A )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
807, 8, 13, 79syl21anc 1263 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  /\  z  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  E. i
( i  e.  ( C `  A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
81803exp 1204 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  {
z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  ->  ( z  <_ 
( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E )  ->  E. i
( i  e.  ( C `  A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) ) ) )
8281rexlimdv 2912 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
{ z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } z  <_  ( (
(voln* `  X ) `  A
) +e E )  ->  E. i
( i  e.  ( C `  A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) ) )
836, 82mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. i ( i  e.  ( C `  A )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
84 rabid 3002 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  { i  e.  ( C `  A
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) }  <->  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
8584bicomi 205 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  ( C `
 A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  <->  i  e.  { i  e.  ( C `
 A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) } )
8685biimpi 197 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  ( C `
 A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  i  e.  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) } )
8786adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  -> 
i  e.  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) } )
88 ovncvrrp.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  a )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) } ) )
89 nfcv 2580 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ b
( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  a )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) } )
90 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ a RR+
91 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ a (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e )
92 nfmpt1 4513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ a
( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } )
9329, 92nfcxfr 2578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ a C
94 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ a
b
9593, 94nffv 5888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ a
( C `  b
)
9691, 95nfrab 3007 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ a { i  e.  ( C `  b )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) }
9790, 96nfmpt 4512 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ a
( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  b )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) } )
98 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  b  ->  ( C `  a )  =  ( C `  b ) )
9998eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  (
i  e.  ( C `
 a )  <->  i  e.  ( C `  b ) ) )
100 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  b  ->  (
(voln* `  X ) `  a
)  =  ( (voln* `  X
) `  b )
)
101100oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  b  ->  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e )  =  ( ( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) )
102101breq2d 4435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) ) )
10399, 102anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  (
( i  e.  ( C `  a )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) )  <->  ( i  e.  ( C `  b
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) ) ) )
104103rabbidva2 3069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  { i  e.  ( C `  a )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) }  =  {
i  e.  ( C `
 b )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) } )
105104mpteq2dv 4511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  a )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) } )  =  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  b )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) } ) )
10689, 97, 105cbvmpt 4515 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  a )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) } ) )  =  ( b  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  b )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) } ) )
10788, 106eqtri 2451 . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  b )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) } ) )
108107a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  ->  D  =  ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  b )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) } ) ) )
109 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  A  ->  ( C `  b )  =  ( C `  A ) )
110109eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  A  ->  (
i  e.  ( C `
 b )  <->  i  e.  ( C `  A ) ) )
111 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  A  ->  (
(voln* `  X ) `  b
)  =  ( (voln* `  X
) `  A )
)
112111oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  A  ->  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e )  =  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) )
113112breq2d 4435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  A  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) ) )
114110, 113anbi12d 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  A  ->  (
( i  e.  ( C `  b )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) )  <->  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) ) ) )
115114rabbidva2 3069 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  A  ->  { i  e.  ( C `  b )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) }  =  {
i  e.  ( C `
 A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) } )
116115mpteq2dv 4511 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  A  ->  (
e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  b )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) } )  =  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) } ) )
117116adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  ( C `
 A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  /\  b  =  A )  ->  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  b )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) } )  =  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) } ) )
11839adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  ->  A  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )
119 rpex 37523 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  e.  _V
120119mptex 6151 . . . . . . . . 9  |-  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) } )  e. 
_V
121120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  -> 
( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) } )  e. 
_V )
122108, 117, 118, 121fvmptd 5970 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  -> 
( D `  A
)  =  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) } ) )
123 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  E  ->  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e )  =  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
124123breq2d 4435 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  E  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
125124rabbidv 3071 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  E  ->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) }  =  {
i  e.  ( C `
 A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) } )
126125adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  ( C `
 A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  /\  e  =  E )  ->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) }  =  {
i  e.  ( C `
 A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) } )
1274adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  ->  E  e.  RR+ )
128 fvex 5891 . . . . . . . . 9  |-  ( C `
 A )  e. 
_V
129128rabex 4575 . . . . . . . 8  |-  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) }  e.  _V
130129a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  ->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) }  e.  _V )
131122, 126, 127, 130fvmptd 5970 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  -> 
( ( D `  A ) `  E
)  =  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) } )
132131eqcomd 2430 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  ->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) }  =  ( ( D `  A
) `  E )
)
13387, 132eleqtrd 2509 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  -> 
i  e.  ( ( D `  A ) `
 E ) )
134133ex 435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  i  e.  ( ( D `  A ) `  E
) ) )
135134eximdv 1758 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. i ( i  e.  ( C `
 A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  E. i 
i  e.  ( ( D `  A ) `
 E ) ) )
13683, 135mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. i  i  e.  ( ( D `  A ) `  E
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614   E.wrex 2772   {crab 2775   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3981   U_ciun 4299   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482    X. cxp 4851    o. ccom 4857   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7483   X_cixp 7533   Fincfn 7580   RRcr 9545   RR*cxr 9681    <_ cle 9683   NNcn 10616   RR+crp 11309   +ecxad 11414   [,)cico 11644   prod_cprod 13958   volcvol 22413  Σ^csumge0 38112  voln*covoln 38261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6984  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-prod 13959  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-rest 15320  df-0g 15339  df-topgen 15341  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-subg 16813  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-oppr 17850  df-dvdsr 17868  df-unit 17869  df-invr 17899  df-dvr 17910  df-drng 17976  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-cmp 20400  df-ovol 22414  df-vol 22416  df-sumge0 38113  df-ovoln 38262
This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem2  38297
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