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Theorem ovncvrrp 38504
Description: The Lebesgue outer measure of a subset of multidimensional real numbers can always be approximated by the total outer measure of a cover of half-open (multidimensional) intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovncvrrp.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
ovncvrrp.n0  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
ovncvrrp.a  |-  ( ph  ->  A  C_  ( RR  ^m  X ) )
ovncvrrp.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
ovncvrrp.c  |-  C  =  ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } )
ovncvrrp.l  |-  L  =  ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) )
ovncvrrp.d  |-  D  =  ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  a )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) } ) )
Assertion
Ref Expression
ovncvrrp  |-  ( ph  ->  E. i  i  e.  ( ( D `  A ) `  E
) )
Distinct variable groups:    A, a,
e, i    A, l,
a, i    C, e,
i    e, E, i    L, a, e    X, a, e, i, j    h, X, k, i, j    X, l    k, a    j, l, k    ph, a, e, i, j    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( h, l)    A( h, j, k)    C( h, j, k, a, l)    D( e, h, i, j, k, a, l)    E( h, j, k, a, l)    L( h, i, j, k, l)

Proof of Theorem ovncvrrp
Dummy variables  b 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovncvrrp.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
2 ovncvrrp.n0 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
3 ovncvrrp.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( RR  ^m  X ) )
4 ovncvrrp.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
5 eqid 2471 . . . 4  |-  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  =  { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }
61, 2, 3, 4, 5ovnlerp 38502 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  {
z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } z  <_  ( (
(voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
7 simp1 1030 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  /\  z  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  ph )
8 simp3 1032 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  /\  z  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
9 rabid 2953 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  <-> 
( z  e.  RR*  /\ 
E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
109biimpi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  ->  ( z  e. 
RR*  /\  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) ) )
1110simprd 470 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { z  e. 
RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  ->  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
1211adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  /\  z  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
13123adant1 1048 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  /\  z  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
14 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
15 nfe1 1935 . . . . . . . 8  |-  F/ i E. i ( i  e.  ( C `  A )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
16 simp1l 1054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  ph )
17 simp2 1031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
18 simp3l 1058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
)  ->  ( i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) ) )
20 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  =  i  ->  (
l `  j )  =  ( i `  j ) )
2120coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  =  i  ->  ( [,)  o.  ( l `  j ) )  =  ( [,)  o.  (
i `  j )
) )
2221fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  =  i  ->  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( i `  j ) ) `  k ) )
2322ixpeq2dv 7556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  =  i  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
)
2423iuneq2d 4296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  =  i  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
)  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )
2524sseq2d 3446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  i  ->  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
)  <->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) ) )
2625elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  { l  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) }  <->  ( i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) ) )
2719, 26sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
)  ->  i  e.  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } )
28273adant1 1048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  ->  i  e.  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } )
29 ovncvrrp.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  C  =  ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } )
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  =  ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) )
31 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
)  <->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) ) )
3231rabbidv 3022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  A  ->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) }  =  { l  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } )
3332adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a  =  A )  ->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) }  =  { l  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } )
34 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( RR 
^m  X )  e. 
_V
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( RR  ^m  X
)  e.  _V )
3635, 3ssexd 4543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
37 elpwg 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  ~P ( RR  ^m  X )  <->  A  C_  ( RR  ^m  X ) ) )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ~P ( RR  ^m  X )  <-> 
A  C_  ( RR  ^m  X ) ) )
393, 38mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )
40 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  e.  _V
4140rabex 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) }  e.  _V
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) }  e.  _V )
4330, 33, 39, 42fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C `  A
)  =  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } )
4443eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) }  =  ( C `  A ) )
45443ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  ->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) }  =  ( C `  A ) )
4628, 45eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  ->  i  e.  ( C `  A
) )
4716, 17, 18, 46syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  i  e.  ( C `  A ) )
48 ovncvrrp.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  L  =  ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) )
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  L  =  ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) )
50 coeq2 4998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( h  =  ( i `  j )  ->  ( [,)  o.  h )  =  ( [,)  o.  (
i `  j )
) )
5150fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  =  ( i `  j )  ->  (
( [,)  o.  h
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( i `  j ) ) `  k ) )
5251fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  =  ( i `  j )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  h ) `  k ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
) )
5352prodeq2ad 37769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  =  ( i `  j )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `  k
) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) ) )
5453adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  /\  h  =  (
i `  j )
)  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( [,)  o.  h
) `  k )
)  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) ) )
55 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  i : NN --> ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X ) )
5655adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  i : NN --> ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X ) )
57 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
5856, 57ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
i `  j )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
59 prodex 14038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  e.  _V
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  e.  _V )
6149, 54, 58, 60fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( L `  ( i `  j ) )  = 
prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) )
6261mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( j  e.  NN  |->  ( L `
 ( i `  j ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )
6362fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
65 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  ->  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
6665eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  =  z )
6766adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  =  z )
6864, 67eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  =  z )
69683adant1 1048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  <_  ( (
(voln* `  X ) `  A
) +e E )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  =  z )
70 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  <_  ( (
(voln* `  X ) `  A
) +e E )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
z  <_  ( (
(voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
7169, 70eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  <_  ( (
(voln* `  X ) `  A
) +e E )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
72713adant1l 1284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  -> 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
73723adant3l 1288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
7447, 73jca 541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
75 19.8a 1955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( C `
 A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  E. i
( i  e.  ( C `  A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
7674, 75syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  /\  i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  E. i ( i  e.  ( C `  A )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
77763exp 1230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  (
i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  ( ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  ->  E. i ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) ) ) )
7814, 15, 77rexlimd 2866 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  ( E. i  e.  (
( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  ->  E. i ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) ) )
7978imp 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  <_  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  /\  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )  ->  E. i ( i  e.  ( C `  A )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
807, 8, 13, 79syl21anc 1291 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  /\  z  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  E. i
( i  e.  ( C `  A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
81803exp 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  {
z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\  z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) }  ->  ( z  <_ 
( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E )  ->  E. i
( i  e.  ( C `  A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) ) ) )
8281rexlimdv 2870 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
{ z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\  z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) } z  <_  ( (
(voln* `  X ) `  A
) +e E )  ->  E. i
( i  e.  ( C `  A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) ) )
836, 82mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. i ( i  e.  ( C `  A )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
84 rabid 2953 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  { i  e.  ( C `  A
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) }  <->  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
8584bicomi 207 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  ( C `
 A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  <->  i  e.  { i  e.  ( C `
 A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) } )
8685biimpi 199 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  ( C `
 A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  i  e.  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) } )
8786adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  -> 
i  e.  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) } )
88 ovncvrrp.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  a )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) } ) )
89 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ b
( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  a )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) } )
90 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ a RR+
91 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ a (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e )
92 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ a
( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } )
9329, 92nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ a C
94 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ a
b
9593, 94nffv 5886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ a
( C `  b
)
9691, 95nfrab 2958 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ a { i  e.  ( C `  b )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) }
9790, 96nfmpt 4484 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ a
( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  b )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) } )
98 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  b  ->  ( C `  a )  =  ( C `  b ) )
9998eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  (
i  e.  ( C `
 a )  <->  i  e.  ( C `  b ) ) )
100 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  b  ->  (
(voln* `  X ) `  a
)  =  ( (voln* `  X
) `  b )
)
101100oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  b  ->  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e )  =  ( ( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) )
102101breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) ) )
10399, 102anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  (
( i  e.  ( C `  a )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) )  <->  ( i  e.  ( C `  b
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) ) ) )
104103rabbidva2 3020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  { i  e.  ( C `  a )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) }  =  {
i  e.  ( C `
 b )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) } )
105104mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  a )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) } )  =  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  b )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) } ) )
10689, 97, 105cbvmpt 4487 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  a )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e e ) } ) )  =  ( b  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  b )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) } ) )
10788, 106eqtri 2493 . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  b )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) } ) )
108107a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  ->  D  =  ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  b )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) } ) ) )
109 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  A  ->  ( C `  b )  =  ( C `  A ) )
110109eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  A  ->  (
i  e.  ( C `
 b )  <->  i  e.  ( C `  A ) ) )
111 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  A  ->  (
(voln* `  X ) `  b
)  =  ( (voln* `  X
) `  A )
)
112111oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  A  ->  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e )  =  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) )
113112breq2d 4407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  A  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) ) )
114110, 113anbi12d 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  A  ->  (
( i  e.  ( C `  b )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) )  <->  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) ) ) )
115114rabbidva2 3020 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  A  ->  { i  e.  ( C `  b )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) }  =  {
i  e.  ( C `
 A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) } )
116115mpteq2dv 4483 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  A  ->  (
e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  b )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) } )  =  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) } ) )
117116adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  ( C `
 A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  /\  b  =  A )  ->  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  b )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e e ) } )  =  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) } ) )
11839adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  ->  A  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )
119 rpex 37656 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  e.  _V
120119mptex 6152 . . . . . . . . 9  |-  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) } )  e. 
_V
121120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  -> 
( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) } )  e. 
_V )
122108, 117, 118, 121fvmptd 5969 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  -> 
( D `  A
)  =  ( e  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) } ) )
123 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  E  ->  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e )  =  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
124123breq2d 4407 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  E  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
125124rabbidv 3022 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  E  ->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) }  =  {
i  e.  ( C `
 A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) } )
126125adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  ( C `
 A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  /\  e  =  E )  ->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e e ) }  =  {
i  e.  ( C `
 A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) } )
1274adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  ->  E  e.  RR+ )
128 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( C `
 A )  e. 
_V
129128rabex 4550 . . . . . . . 8  |-  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) }  e.  _V
130129a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  ->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) }  e.  _V )
131122, 126, 127, 130fvmptd 5969 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  -> 
( ( D `  A ) `  E
)  =  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) } )
132131eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  ->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) }  =  ( ( D `  A
) `  E )
)
13387, 132eleqtrd 2551 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )  -> 
i  e.  ( ( D `  A ) `
 E ) )
134133ex 441 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  i  e.  ( ( D `  A ) `  E
) ) )
135134eximdv 1772 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. i ( i  e.  ( C `
 A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )  ->  E. i 
i  e.  ( ( D `  A ) `
 E ) ) )
13683, 135mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. i  i  e.  ( ( D `  A ) `  E
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   X_cixp 7540   Fincfn 7587   RRcr 9556   RR*cxr 9692    <_ cle 9694   NNcn 10631   RR+crp 11325   +ecxad 11430   [,)cico 11662   prod_cprod 14036   volcvol 22493  Σ^csumge0 38318  voln*covoln 38476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319  df-ovoln 38477
This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem2  38511  hspmbllem3  38568
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