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Theorem ovncvr2 38540
Description:  B and  T are the left and right side of a cover of  A. This cover is made of n-dimensional half open intervals, and approximates the n-dimensional Lebesgue outer volume of  A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovncvr2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
ovncvr2.a  |-  ( ph  ->  A  C_  ( RR  ^m  X ) )
ovncvr2.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
ovncvr2.c  |-  C  =  ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } )
ovncvr2.l  |-  L  =  ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) )
ovncvr2.d  |-  D  =  ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  ( r  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  a )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e r ) } ) )
ovncvr2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  ( ( D `  A ) `
 E ) )
ovncvr2.b  |-  B  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
) ) )
ovncvr2.t  |-  T  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( I `  j
) `  k )
) ) )
Assertion
Ref Expression
ovncvr2  |-  ( ph  ->  ( ( ( B : NN --> ( RR 
^m  X )  /\  T : NN --> ( RR 
^m  X ) )  /\  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( B `
 j ) `  k ) [,) (
( T `  j
) `  k )
) )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( ( B `  j
) `  k ) [,) ( ( T `  j ) `  k
) ) ) ) )  <_  ( (
(voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
Distinct variable groups:    A, a,
i, r    A, l,
a    B, h    C, a, i, r    i, E, r    h, I, j, k    i, I, j   
I, l, j, k    L, a, i, r    T, h    X, a, i, j, r    h, X, k    X, l    k, a, ph, j    ph, h    ph, r
Allowed substitution hints:    ph( i, l)    A( h, j, k)    B( i, j, k, r, a, l)    C( h, j, k, l)    D( h, i, j, k, r, a, l)    T( i, j, k, r, a, l)    E( h, j, k, a, l)    I( r, a)    L( h, j, k, l)

Proof of Theorem ovncvr2
StepHypRef Expression
1 ovncvr2.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  C  =  ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } )
21a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  =  ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } ) )
3 sseq1 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
)  <->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) ) )
43rabbidv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  A  ->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) }  =  { l  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } )
54adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a  =  A )  ->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) }  =  { l  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) } )
6 ovncvr2.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  C_  ( RR  ^m  X ) )
7 ovex 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( RR 
^m  X )  e. 
_V
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( RR  ^m  X
)  e.  _V )
98, 6ssexd 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
10 elpwg 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  ~P ( RR  ^m  X )  <->  A  C_  ( RR  ^m  X ) ) )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ~P ( RR  ^m  X )  <-> 
A  C_  ( RR  ^m  X ) ) )
126, 11mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )
13 ovex 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  e.  _V
1413rabex 4571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) }  e.  _V
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) }  e.  _V )
162, 5, 12, 15fvmptd 5982 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C `  A
)  =  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } )
17 ssrab2 3526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) }  C_  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) }  C_  (
( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
1916, 18eqsstrd 3478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C `  A
)  C_  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
20 ovncvr2.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  I  e.  ( ( D `  A ) `
 E ) )
21 ovncvr2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  D  =  ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  ( r  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  a )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e r ) } ) )
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  D  =  ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  ( r  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  a )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e r ) } ) ) )
23 fveq2 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  =  A  ->  ( C `  a )  =  ( C `  A ) )
2423eleq2d 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  =  A  ->  (
i  e.  ( C `
 a )  <->  i  e.  ( C `  A ) ) )
25 fveq2 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  =  A  ->  (
(voln* `  X ) `  a
)  =  ( (voln* `  X
) `  A )
)
2625oveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  =  A  ->  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e r )  =  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e r ) )
2726breq2d 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  =  A  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e r )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e r ) ) )
2824, 27anbi12d 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  =  A  ->  (
( i  e.  ( C `  a )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e r ) )  <->  ( i  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e r ) ) ) )
2928rabbidva2 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  =  A  ->  { i  e.  ( C `  a )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e r ) }  =  {
i  e.  ( C `
 A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e r ) } )
3029mpteq2dv 4506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  A  ->  (
r  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  a )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e r ) } )  =  ( r  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e r ) } ) )
3130adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  a  =  A )  ->  (
r  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  a )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  a
) +e r ) } )  =  ( r  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e r ) } ) )
32 rpex 37644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  RR+  e.  _V
3332mptex 6166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e r ) } )  e. 
_V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( r  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e r ) } )  e. 
_V )
3522, 31, 12, 34fvmptd 5982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D `  A
)  =  ( r  e.  RR+  |->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e r ) } ) )
36 oveq2 6328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  =  E  ->  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e r )  =  ( ( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
3736breq2d 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  =  E  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e r )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
3837rabbidv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  E  ->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e r ) }  =  {
i  e.  ( C `
 A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) } )
3938adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  r  =  E )  ->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e r ) }  =  {
i  e.  ( C `
 A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) } )
40 ovncvr2.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
41 fvex 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( C `
 A )  e. 
_V
4241rabex 4571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) }  e.  _V
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) }  e.  _V )
4435, 39, 40, 43fvmptd 5982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( D `  A ) `  E
)  =  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) } )
4520, 44eleqtrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  I  e.  { i  e.  ( C `  A )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) } )
46 fveq1 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  I  ->  (
i `  j )  =  ( I `  j ) )
4746fveq2d 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  I  ->  ( L `  ( i `  j ) )  =  ( L `  (
I `  j )
) )
4847mpteq2dv 4506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  I  ->  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( L `
 ( I `  j ) ) ) )
4948fveq2d 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  I  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) ) )
5049breq1d 4428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  I  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
5150elrab 3208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  { i  e.  ( C `  A
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( i `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) }  <->  ( I  e.  ( C `  A
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
5245, 51sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( C `  A )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
5352simpld 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  ( C `
 A ) )
5419, 53sseldd 3445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
55 elmapi 7524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  ->  I : NN --> ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X ) )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  I : NN --> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
5756adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  I : NN --> ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X ) )
58 simpr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
5957, 58ffvelrnd 6051 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( I `
 j )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
60 elmapi 7524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I `  j )  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ->  (
I `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
6159, 60syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( I `
 j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
6261ffvelrnda 6050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( I `  j
) `  k )  e.  ( RR  X.  RR ) )
63 xp1st 6855 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I `  j
) `  k )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
)  e.  RR )
6462, 63syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( I `
 j ) `  k ) )  e.  RR )
65 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( I `  j ) `  k
) ) )  =  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
) )
6664, 65fmptd 6074 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( I `  j ) `  k
) ) ) : X --> RR )
67 reex 9661 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
6867a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
69 ovncvr2.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
70 elmapg 7516 . . . . . . . 8  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  X  e.  Fin )  ->  ( ( k  e.  X  |->  ( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
) )  e.  ( RR  ^m  X )  <-> 
( k  e.  X  |->  ( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
) ) : X --> RR ) )
7168, 69, 70syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  X  |->  ( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
) )  e.  ( RR  ^m  X )  <-> 
( k  e.  X  |->  ( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
) ) : X --> RR ) )
7271adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( I `  j ) `
 k ) ) )  e.  ( RR 
^m  X )  <->  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( I `  j ) `  k
) ) ) : X --> RR ) )
7366, 72mpbird 240 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( I `  j ) `  k
) ) )  e.  ( RR  ^m  X
) )
74 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( I `  j ) `  k
) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
) ) )
7573, 74fmptd 6074 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
) ) ) : NN --> ( RR  ^m  X ) )
76 ovncvr2.b . . . . . 6  |-  B  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
) ) )
7776a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( I `  j ) `  k
) ) ) ) )
7877feq1d 5740 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B : NN --> ( RR  ^m  X )  <-> 
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
) ) ) : NN --> ( RR  ^m  X ) ) )
7975, 78mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  B : NN --> ( RR 
^m  X ) )
80 xp2nd 6856 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I `  j
) `  k )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 2nd `  (
( I `  j
) `  k )
)  e.  RR )
8162, 80syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( I `
 j ) `  k ) )  e.  RR )
82 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  k
) ) )  =  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( I `  j
) `  k )
) )
8381, 82fmptd 6074 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  k
) ) ) : X --> RR )
84 elmapg 7516 . . . . . . . 8  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  X  e.  Fin )  ->  ( ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( I `  j
) `  k )
) )  e.  ( RR  ^m  X )  <-> 
( k  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( I `  j
) `  k )
) ) : X --> RR ) )
8568, 69, 84syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( I `  j
) `  k )
) )  e.  ( RR  ^m  X )  <-> 
( k  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( I `  j
) `  k )
) ) : X --> RR ) )
8685adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( I `  j ) `
 k ) ) )  e.  ( RR 
^m  X )  <->  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  k
) ) ) : X --> RR ) )
8783, 86mpbird 240 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  k
) ) )  e.  ( RR  ^m  X
) )
88 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  k
) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( I `  j
) `  k )
) ) )
8987, 88fmptd 6074 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( I `  j
) `  k )
) ) ) : NN --> ( RR  ^m  X ) )
90 ovncvr2.t . . . . . 6  |-  T  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( I `  j
) `  k )
) ) )
9190a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  k
) ) ) ) )
9291feq1d 5740 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T : NN --> ( RR  ^m  X )  <-> 
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( I `  j
) `  k )
) ) ) : NN --> ( RR  ^m  X ) ) )
9389, 92mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  T : NN --> ( RR 
^m  X ) )
9479, 93jca 539 . 2  |-  ( ph  ->  ( B : NN --> ( RR  ^m  X )  /\  T : NN --> ( RR  ^m  X ) ) )
9516idi 2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C `  A
)  =  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } )
9653, 95eleqtrd 2542 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k ) } )
97 fveq1 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  I  ->  (
l `  j )  =  ( I `  j ) )
9897coeq2d 5019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  I  ->  ( [,)  o.  ( l `  j ) )  =  ( [,)  o.  (
I `  j )
) )
9998fveq1d 5894 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  I  ->  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  k ) )
10099ixpeq2dv 7569 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  I  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  k )
)
101100adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( l  =  I  /\  j  e.  NN )  -> 
X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
)  =  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j ) ) `  k ) )
102101iuneq2dv 4314 . . . . . . 7  |-  ( l  =  I  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
)  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) )
103102sseq2d 3472 . . . . . 6  |-  ( l  =  I  ->  ( A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
)  <->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) ) )
104103elrab 3208 . . . . 5  |-  ( I  e.  { l  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  k
) }  <->  ( I  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) ) )
10596, 104sylib 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) ) )
106105simprd 469 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) )
10761adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
I `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
108 simpr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  k  e.  X )
109107, 108fvovco 37523 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  k )  =  ( ( 1st `  ( ( I `  j ) `  k
) ) [,) ( 2nd `  ( ( I `
 j ) `  k ) ) ) )
110 mptexg 6165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
k  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( I `  j ) `
 k ) ) )  e.  _V )
11169, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
) )  e.  _V )
112111adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( I `  j ) `  k
) ) )  e. 
_V )
11377, 112fvmpt2d 5987 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( B `
 j )  =  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
) ) )
114 fvex 5902 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1st `  ( ( I `  j ) `  k
) )  e.  _V
115114a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( I `
 j ) `  k ) )  e. 
_V )
116113, 115fvmpt2d 5987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( B `  j
) `  k )  =  ( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
) )
117116eqcomd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( I `
 j ) `  k ) )  =  ( ( B `  j ) `  k
) )
118 mptexg 6165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
k  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( I `  j ) `
 k ) ) )  e.  _V )
11969, 118syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( I `  j
) `  k )
) )  e.  _V )
120119adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  k
) ) )  e. 
_V )
12191, 120fvmpt2d 5987 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T `
 j )  =  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( I `  j
) `  k )
) ) )
122 fvex 5902 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  k
) )  e.  _V
123122a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( I `
 j ) `  k ) )  e. 
_V )
124121, 123fvmpt2d 5987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( T `  j
) `  k )  =  ( 2nd `  (
( I `  j
) `  k )
) )
125124eqcomd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( I `
 j ) `  k ) )  =  ( ( T `  j ) `  k
) )
126117, 125oveq12d 6338 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  k
) ) )  =  ( ( ( B `
 j ) `  k ) [,) (
( T `  j
) `  k )
) )
127109, 126eqtrd 2496 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  k )  =  ( ( ( B `  j ) `
 k ) [,) ( ( T `  j ) `  k
) ) )
128127ixpeq2dva 7568 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  (
( ( B `  j ) `  k
) [,) ( ( T `  j ) `
 k ) ) )
129128iuneq2dv 4314 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
I `  j )
) `  k )  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( B `  j ) `  k
) [,) ( ( T `  j ) `
 k ) ) )
130106, 129sseqtrd 3480 . 2  |-  ( ph  ->  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( B `
 j ) `  k ) [,) (
( T `  j
) `  k )
) )
131 ovncvr2.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) )
132131a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  L  =  ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) ) ) )
133 coeq2 5015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( I `  j )  ->  ( [,)  o.  h )  =  ( [,)  o.  (
I `  j )
) )
134133fveq1d 5894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  ( I `  j )  ->  (
( [,)  o.  h
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  k ) )
135134ad2antlr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  h  =  ( I `  j ) )  /\  k  e.  X )  ->  ( ( [,)  o.  h ) `  k
)  =  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 k ) )
136135adantllr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  h  =  (
I `  j )
)  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  h
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  k ) )
137109adantlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  h  =  (
I `  j )
)  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  k )  =  ( ( 1st `  ( ( I `  j ) `  k
) ) [,) ( 2nd `  ( ( I `
 j ) `  k ) ) ) )
138126adantlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  h  =  (
I `  j )
)  /\  k  e.  X )  ->  (
( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  k
) ) )  =  ( ( ( B `
 j ) `  k ) [,) (
( T `  j
) `  k )
) )
139136, 137, 1383eqtrd 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  h  =  (
I `  j )
)  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  h
) `  k )  =  ( ( ( B `  j ) `
 k ) [,) ( ( T `  j ) `  k
) ) )
140139fveq2d 5896 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  h  =  (
I `  j )
)  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  h ) `  k ) )  =  ( vol `  (
( ( B `  j ) `  k
) [,) ( ( T `  j ) `
 k ) ) ) )
141140prodeq2dv 14032 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  h  =  ( I `  j ) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 k ) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( B `  j
) `  k ) [,) ( ( T `  j ) `  k
) ) ) )
14269adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  X  e. 
Fin )
14376fvmpt2 5985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
) )  e.  _V )  ->  ( B `  j )  =  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( I `  j ) `
 k ) ) ) )
14458, 112, 143syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( B `
 j )  =  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
) ) )
145144feq1d 5740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( B `  j ) : X --> RR  <->  ( k  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( I `  j ) `  k
) ) ) : X --> RR ) )
14666, 145mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( B `
 j ) : X --> RR )
147146adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( B `  j ) : X --> RR )
148147, 108ffvelrnd 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( B `  j
) `  k )  e.  RR )
14990fvmpt2 5985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( I `  j
) `  k )
) )  e.  _V )  ->  ( T `  j )  =  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( I `  j ) `
 k ) ) ) )
15058, 120, 149syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T `
 j )  =  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( I `  j
) `  k )
) ) )
151150feq1d 5740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( T `  j ) : X --> RR  <->  ( k  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  k
) ) ) : X --> RR ) )
15283, 151mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T `
 j ) : X --> RR )
153152adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( T `  j ) : X --> RR )
154153, 108ffvelrnd 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( T `  j
) `  k )  e.  RR )
155 volicore 38510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B `  j ) `  k
)  e.  RR  /\  ( ( T `  j ) `  k
)  e.  RR )  ->  ( vol `  (
( ( B `  j ) `  k
) [,) ( ( T `  j ) `
 k ) ) )  e.  RR )
156148, 154, 155syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( ( B `  j ) `
 k ) [,) ( ( T `  j ) `  k
) ) )  e.  RR )
157142, 156fprodrecl 14062 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( B `
 j ) `  k ) [,) (
( T `  j
) `  k )
) )  e.  RR )
158132, 141, 59, 157fvmptd 5982 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( L `
 ( I `  j ) )  = 
prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( B `  j
) `  k ) [,) ( ( T `  j ) `  k
) ) ) )
159158eqcomd 2468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( B `
 j ) `  k ) [,) (
( T `  j
) `  k )
) )  =  ( L `  ( I `
 j ) ) )
160159mpteq2dva 4505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( B `  j
) `  k ) [,) ( ( T `  j ) `  k
) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `  j
) ) ) )
161160fveq2d 5896 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( B `  j
) `  k ) [,) ( ( T `  j ) `  k
) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) ) )
16252simprd 469 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( L `  ( I `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
163161, 162eqbrtrd 4439 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( B `  j
) `  k ) [,) ( ( T `  j ) `  k
) ) ) ) )  <_  ( (
(voln* `  X ) `  A
) +e E ) )
16494, 130, 163jca31 541 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( B : NN --> ( RR 
^m  X )  /\  T : NN --> ( RR 
^m  X ) )  /\  A  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( B `
 j ) `  k ) [,) (
( T `  j
) `  k )
) )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( ( B `  j
) `  k ) [,) ( ( T `  j ) `  k
) ) ) ) )  <_  ( (
(voln* `  X ) `  A
) +e E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   {crab 2753   _Vcvv 3057    C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   U_ciun 4292   class class class wbr 4418    |-> cmpt 4477    X. cxp 4854    o. ccom 4860   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   1stc1st 6823   2ndc2nd 6824    ^m cmap 7503   X_cixp 7553   Fincfn 7600   RRcr 9569    <_ cle 9707   NNcn 10642   RR+crp 11336   +ecxad 11441   [,)cico 11671   prod_cprod 14014   volcvol 22470  Σ^csumge0 38307  voln*covoln 38465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648  ax-addf 9649  ax-mulf 9650
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-tpos 7004  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-pm 7506  df-ixp 7554  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fi 7956  df-sup 7987  df-inf 7988  df-oi 8056  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-q 11299  df-rp 11337  df-xneg 11443  df-xadd 11444  df-xmul 11445  df-ioo 11673  df-ico 11675  df-icc 11676  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-fl 12066  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-clim 13607  df-rlim 13608  df-sum 13808  df-prod 14015  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-rest 15376  df-0g 15395  df-topgen 15397  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-grp 16728  df-minusg 16729  df-subg 16869  df-cmn 17487  df-abl 17488  df-mgp 17779  df-ur 17791  df-ring 17837  df-cring 17838  df-oppr 17906  df-dvdsr 17924  df-unit 17925  df-invr 17955  df-dvr 17966  df-drng 18032  df-psmet 19017  df-xmet 19018  df-met 19019  df-bl 19020  df-mopn 19021  df-cnfld 19026  df-top 19976  df-bases 19977  df-topon 19978  df-cmp 20457  df-ovol 22471  df-vol 22473
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