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Theorem ovn0lem 38505
Description: For any finite dimension, the Lebesgue outer measure of the empty set is zero. This is step (a)(ii) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovn0lem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
ovn0lem.n0  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
ovn0lem.m  |-  M  =  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) }
ovn0lem.infm  |-  ( ph  -> inf ( M ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
ovn0lem.i  |-  I  =  ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |-> 
<. 1 ,  0
>. ) )
Assertion
Ref Expression
ovn0lem  |-  ( ph  -> inf ( M ,  RR* ,  <  )  =  0 )
Distinct variable groups:    i, I,
j, k    I, l,
j, k    i, X, j, k, z    X, l    ph, j, k, l
Allowed substitution hints:    ph( z, i)    I( z)    M( z, i, j, k, l)

Proof of Theorem ovn0lem
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11742 . . 3  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2 ovn0lem.infm . . 3  |-  ( ph  -> inf ( M ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
31, 2sseldi 3416 . 2  |-  ( ph  -> inf ( M ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
4 0xr 9705 . . 3  |-  0  e.  RR*
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
6 ovn0lem.m . . . . 5  |-  M  =  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) }
7 ssrab2 3500 . . . . 5  |-  { z  e.  RR*  |  E. i  e.  ( (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) z  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) }  C_  RR*
86, 7eqsstri 3448 . . . 4  |-  M  C_  RR*
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  M  C_  RR* )
10 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
11 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
1210, 11pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR  /\  0  e.  RR )
13 opelxp 4869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
1 ,  0 >.  e.  ( RR  X.  RR ) 
<->  ( 1  e.  RR  /\  0  e.  RR ) )
1412, 13mpbir 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. 1 ,  0 >.  e.  ( RR  X.  RR )
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  l  e.  X )  ->  <. 1 ,  0 >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
16 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  e.  X  |->  <. 1 ,  0 >. )  =  ( l  e.  X  |->  <. 1 ,  0
>. )
1715, 16fmptd 6061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( l  e.  X  |-> 
<. 1 ,  0
>. ) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
18 reex 9648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  _V
1918, 18xpex 6614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  X.  RR )  e.  _V )
21 ovn0lem.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
22 elmapg 7503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  X.  RR )  e.  _V  /\  X  e.  Fin )  ->  (
( l  e.  X  |-> 
<. 1 ,  0
>. )  e.  (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  <->  ( l  e.  X  |->  <. 1 ,  0 >. ) : X --> ( RR  X.  RR ) ) )
2320, 21, 22syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( l  e.  X  |->  <. 1 ,  0
>. )  e.  (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  <->  ( l  e.  X  |->  <. 1 ,  0 >. ) : X --> ( RR  X.  RR ) ) )
2417, 23mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( l  e.  X  |-> 
<. 1 ,  0
>. )  e.  (
( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
2524adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( l  e.  X  |->  <. 1 ,  0 >. )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
26 ovn0lem.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |-> 
<. 1 ,  0
>. ) )
2725, 26fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I : NN --> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
28 ovex 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  e. 
_V
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  e.  _V )
30 nnex 10637 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
3130a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
32 elmapg 7503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  e.  _V  /\  NN  e.  _V )  ->  (
I  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  <->  I : NN --> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) ) )
3329, 31, 32syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  <->  I : NN
--> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) ) )
3427, 33mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
35 ovn0lem.n0 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
36 n0 3732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. l  l  e.  X )
3735, 36sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E. l  l  e.  X )
3837adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  E. l 
l  e.  X )
39 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  l  e.  X
)
40 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( vol `  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  l )
)
4121ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  l  e.  X )  ->  X  e.  Fin )
4227ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( I `
 j )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
43 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I `  j )  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ->  (
I `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( I `
 j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
I `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
46 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  k  e.  X )
4745, 46fvovco 37540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  k )  =  ( ( 1st `  ( ( I `  j ) `  k
) ) [,) ( 2nd `  ( ( I `
 j ) `  k ) ) ) )
48 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
4925elexd 3042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( l  e.  X  |->  <. 1 ,  0 >. )  e.  _V )
5026fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( l  e.  X  |-> 
<. 1 ,  0
>. )  e.  _V )  ->  ( I `  j )  =  ( l  e.  X  |->  <.
1 ,  0 >.
) )
5148, 49, 50syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( I `
 j )  =  ( l  e.  X  |-> 
<. 1 ,  0
>. ) )
5251adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
I `  j )  =  ( l  e.  X  |->  <. 1 ,  0
>. ) )
53 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  /\  l  =  k )  ->  <. 1 ,  0 >.  =  <. 1 ,  0 >. )
5414elexi 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  <. 1 ,  0 >.  e.  _V
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  <. 1 ,  0 >.  e.  _V )
5652, 53, 46, 55fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( I `  j
) `  k )  =  <. 1 ,  0
>. )
5756fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( I `
 j ) `  k ) )  =  ( 1st `  <. 1 ,  0 >. ) )
5810elexi 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  _V
594elexi 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  _V
6058, 59op1st 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1st `  <. 1 ,  0
>. )  =  1
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  <. 1 ,  0
>. )  =  1
)
6257, 61eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( I `
 j ) `  k ) )  =  1 )
6356fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( I `
 j ) `  k ) )  =  ( 2nd `  <. 1 ,  0 >. ) )
6458, 59op2nd 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2nd `  <. 1 ,  0
>. )  =  0
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  <. 1 ,  0
>. )  =  0
)
6663, 65eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( I `
 j ) `  k ) )  =  0 )
6762, 66oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( 1st `  (
( I `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  k
) ) )  =  ( 1 [,) 0
) )
68 0le1 10158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <_  1
6910rexri 9711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR*
70 ico0 11707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( 1 [,) 0
)  =  (/)  <->  0  <_  1 ) )
7169, 4, 70mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1 [,) 0 )  =  (/)  <->  0  <_  1
)
7268, 71mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1 [,) 0 )  =  (/)
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
1 [,) 0 )  =  (/) )
7447, 67, 733eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  k )  =  (/) )
7574fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  k ) )  =  ( vol `  (/) ) )
76 vol0 37933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( vol `  (/) )  =  0
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  (/) )  =  0 )
7875, 77eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  k ) )  =  0 )
79 0cn 9653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  CC
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  0  e.  CC )
8178, 80eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  k ) )  e.  CC )
8281adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  l  e.  X
)  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  k ) )  e.  CC )
83 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  l  ->  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  l ) )
8483fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  l  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  k ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  l )
) )
85 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  l  e.  X )  ->  l  e.  X )
86 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  l  ->  (
k  e.  X  <->  l  e.  X ) )
8786anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  l  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  <->  ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  l  e.  X
) ) )
8884eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  l  ->  (
( vol `  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  k )
)  =  0  <->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  l ) )  =  0 ) )
8987, 88imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  l  ->  (
( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X
)  ->  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) )  =  0 )  <->  ( ( (
ph  /\  j  e.  NN )  /\  l  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  l ) )  =  0 ) ) )
9089, 78chvarv 2120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  l  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  l ) )  =  0 )
9139, 40, 41, 82, 84, 85, 90fprod0 37773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  l  e.  X )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) )  =  0 )
9291ex 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( l  e.  X  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) )  =  0 ) )
9392exlimdv 1787 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( E. l  l  e.  X  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 k ) )  =  0 ) )
9438, 93mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) )  =  0 )
9594mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 k ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  0 ) )
9695fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  0 ) ) )
97 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ j
ph
9897, 31sge0z 38331 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  0 ) )  =  0 )
99 eqidd 2472 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  =  0 )
10096, 98, 993eqtrrd 2510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
101 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  I  ->  (
i `  j )  =  ( I `  j ) )
102101coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  I  ->  ( [,)  o.  ( i `  j ) )  =  ( [,)  o.  (
I `  j )
) )
103102fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  I  ->  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  k ) )
104103fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  I  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( i `  j ) ) `  k ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  k )
) )
105104ralrimivw 2810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  I  ->  A. k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  =  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 k ) ) )
106105prodeq2d 14053 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  I  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) ) )
107106mpteq2dv 4483 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  k
) ) ) )
108107fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
109108eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  (
0  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  <->  0  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
110109rspcev 3136 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  0  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  ->  E. i  e.  (
( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) 0  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
11134, 100, 110syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) 0  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )
1125, 111jca 541 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR*  /\ 
E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) 0  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
113 eqeq1 2475 . . . . . 6  |-  ( z  =  0  ->  (
z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  <->  0  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
114113rexbidv 2892 . . . . 5  |-  ( z  =  0  ->  ( E. i  e.  (
( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) z  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  <->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) 0  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
115114, 6elrab2 3186 . . . 4  |-  ( 0  e.  M  <->  ( 0  e.  RR*  /\  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) 0  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
116112, 115sylibr 217 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  M )
117 infxrlb 11645 . . 3  |-  ( ( M  C_  RR*  /\  0  e.  M )  -> inf ( M ,  RR* ,  <  )  <_  0 )
1189, 116, 117syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  -> inf ( M ,  RR* ,  <  )  <_  0
)
119 pnfxr 11435 . . . 4  |- +oo  e.  RR*
120119a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
121 iccgelb 11716 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\ inf ( M ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_ inf ( M ,  RR* ,  <  ) )
1225, 120, 2, 121syl3anc 1292 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_ inf ( M ,  RR* ,  <  )
)
1233, 5, 118, 122xrletrid 11475 1  |-  ( ph  -> inf ( M ,  RR* ,  <  )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   <.cop 3965   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811    ^m cmap 7490   Fincfn 7587  infcinf 7973   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   prod_cprod 14036   volcvol 22493  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037  df-xmet 19040  df-met 19041  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319
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