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Theorem ovn0lem 38505
 Description: For any finite dimension, the Lebesgue outer measure of the empty set is zero. This is step (a)(ii) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovn0lem.x
ovn0lem.n0
ovn0lem.m Σ^
ovn0lem.infm inf
ovn0lem.i
Assertion
Ref Expression
ovn0lem inf
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,,,,)

Proof of Theorem ovn0lem
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11742 . . 3
2 ovn0lem.infm . . 3 inf
31, 2sseldi 3416 . 2 inf
4 0xr 9705 . . 3
54a1i 11 . 2
6 ovn0lem.m . . . . 5 Σ^
7 ssrab2 3500 . . . . 5 Σ^
86, 7eqsstri 3448 . . . 4
98a1i 11 . . 3
10 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . 14
11 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . 14
1210, 11pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . 13
13 opelxp 4869 . . . . . . . . . . . . 13
1412, 13mpbir 214 . . . . . . . . . . . 12
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11
16 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
1715, 16fmptd 6061 . . . . . . . . . 10
18 reex 9648 . . . . . . . . . . . . 13
1918, 18xpex 6614 . . . . . . . . . . . 12
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11
21 ovn0lem.x . . . . . . . . . . 11
22 elmapg 7503 . . . . . . . . . . 11
2320, 21, 22syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
2417, 23mpbird 240 . . . . . . . . 9
2524adantr 472 . . . . . . . 8
26 ovn0lem.i . . . . . . . 8
2725, 26fmptd 6061 . . . . . . 7
28 ovex 6336 . . . . . . . . 9
2928a1i 11 . . . . . . . 8
30 nnex 10637 . . . . . . . . 9
3130a1i 11 . . . . . . . 8
32 elmapg 7503 . . . . . . . 8
3329, 31, 32syl2anc 673 . . . . . . 7
3427, 33mpbird 240 . . . . . 6
35 ovn0lem.n0 . . . . . . . . . . . 12
36 n0 3732 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36sylib 201 . . . . . . . . . . 11
3837adantr 472 . . . . . . . . . 10
39 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13
40 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13
4121ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
4227ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
43 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
46 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4745, 46fvovco 37540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4925elexd 3042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5026fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5148, 49, 50syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5251adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
53 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5414elexi 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5652, 53, 46, 55fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5756fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5810elexi 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
594elexi 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6058, 59op1st 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6257, 61eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6356fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6458, 59op2nd 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6663, 65eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6762, 66oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
68 0le1 10158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6910rexri 9711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
70 ico0 11707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7169, 4, 70mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7268, 71mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7447, 67, 733eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7574fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16
76 vol0 37933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7875, 77eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15
79 0cn 9653 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
8178, 80eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . 14
8281adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13
83 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
8483fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
85 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
86 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . 15
8884eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15
8987, 88imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14
9089, 78chvarv 2120 . . . . . . . . . . . . 13
9139, 40, 41, 82, 84, 85, 90fprod0 37773 . . . . . . . . . . . 12
9291ex 441 . . . . . . . . . . 11
9392exlimdv 1787 . . . . . . . . . 10
9438, 93mpd 15 . . . . . . . . 9
9594mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8
9695fveq2d 5883 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
97 nfv 1769 . . . . . . . 8
9897, 31sge0z 38331 . . . . . . 7 Σ^
99 eqidd 2472 . . . . . . 7
10096, 98, 993eqtrrd 2510 . . . . . 6 Σ^
101 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . 14
103102fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . 13
104103fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
105104ralrimivw 2810 . . . . . . . . . . 11
106105prodeq2d 14053 . . . . . . . . . 10
107106mpteq2dv 4483 . . . . . . . . 9
108107fveq2d 5883 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
109108eqeq2d 2481 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
110109rspcev 3136 . . . . . 6 Σ^ Σ^
11134, 100, 110syl2anc 673 . . . . 5 Σ^
1125, 111jca 541 . . . 4 Σ^
113 eqeq1 2475 . . . . . 6 Σ^ Σ^
114113rexbidv 2892 . . . . 5 Σ^ Σ^
115114, 6elrab2 3186 . . . 4 Σ^
116112, 115sylibr 217 . . 3
117 infxrlb 11645 . . 3 inf
1189, 116, 117syl2anc 673 . 2 inf
119 pnfxr 11435 . . . 4
120119a1i 11 . . 3
121 iccgelb 11716 . . 3 inf inf
1225, 120, 2, 121syl3anc 1292 . 2 inf
1233, 5, 118, 122xrletrid 11475 1 inf
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  cop 3965   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  c1st 6810  c2nd 6811   cmap 7490  cfn 7587  infcinf 7973  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cn 10631  cico 11662  cicc 11663  cprod 14036  cvol 22493  Σ^csumge0 38318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037  df-xmet 19040  df-met 19041  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319 This theorem is referenced by:  ovn0  38506
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