Theorem ovn0lem 38505

Description: For any finite dimension, the Lebesgue outer measure of the empty set is zero. This is step (a)(ii) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovn0lem.x	|- ( ph -> X e. Fin )
ovn0lem.n0	|- ( ph -> X =/= (/) )
ovn0lem.m	|- M = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) }
ovn0lem.infm	|- ( ph -> inf ( M , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
ovn0lem.i	|- I = ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) )

Assertion

Ref	Expression
ovn0lem	|- ( ph -> inf ( M , RR* , < ) = 0 )

Distinct variable groups:   i, I, j, k   I, l, j, k   i, X, j, k, z   X, l   ph, j, k, l

Allowed substitution hints:   ph( z, i)   I( z)   M( z, i, j, k, l)

Proof of Theorem ovn0lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 11742	. . 3 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
2		ovn0lem.infm	. . 3 |- ( ph -> inf ( M , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
3	1, 2	sseldi 3416	. 2 |- ( ph -> inf ( M , RR* , < ) e. RR* )
4		0xr 9705	. . 3 |- 0 e. RR*
5	4	a1i 11	. 2 |- ( ph -> 0 e. RR* )
6		ovn0lem.m	. . . . 5 |- M = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) }
7		ssrab2 3500	. . . . 5 |- { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) } C_ RR*
8	6, 7	eqsstri 3448	. . . 4 |- M C_ RR*
9	8	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> M C_ RR* )
10		1re 9660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
11		0re 9661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
12	10, 11	pm3.2i 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. RR /\ 0 e. RR )
13		opelxp 4869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. 1 , 0 >. e. ( RR X. RR ) <-> ( 1 e. RR /\ 0 e. RR ) )
14	12, 13	mpbir 214	. . . . . . . . . . . 12 |- <. 1 , 0 >. e. ( RR X. RR )
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ l e. X ) -> <. 1 , 0 >. e. ( RR X. RR ) )
16		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) = ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. )
17	15, 16	fmptd 6061	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) : X --> ( RR X. RR ) )
18		reex 9648	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. _V
19	18, 18	xpex 6614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR X. RR ) e. _V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR X. RR ) e. _V )
21		ovn0lem.x	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. Fin )
22		elmapg 7503	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( RR X. RR ) e. _V /\ X e. Fin ) -> ( ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
23	20, 21, 22	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
24	17, 23	mpbird 240	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
25	24	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
26		ovn0lem.i	. . . . . . . 8 |- I = ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) )
27	25, 26	fmptd 6061	. . . . . . 7 |- ( ph -> I : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
28		ovex 6336	. . . . . . . . 9 |- ( ( RR X. RR ) ^m X ) e. _V
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR X. RR ) ^m X ) e. _V )
30		nnex 10637	. . . . . . . . 9 |- NN e. _V
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> NN e. _V )
32		elmapg 7503	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) e. _V /\ NN e. _V ) -> ( I e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) <-> I : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) ) )
33	29, 31, 32	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) <-> I : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) ) )
34	27, 33	mpbird 240	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) )
35		ovn0lem.n0	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X =/= (/) )
36		n0 3732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X =/= (/) <-> E. l l e. X )
37	35, 36	sylib 201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. l l e. X )
38	37	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> E. l l e. X )
39		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ( ( ph /\ j e. NN ) /\ l e. X )
40		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` l ) )
41	21	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ l e. X ) -> X e. Fin )
42	27	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( I ` j ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
43		elmapi 7511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( I ` j ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) -> ( I ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( I ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
45	44	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( I ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
46		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> k e. X )
47	45, 46	fvovco 37540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = ( ( 1st ` ( ( I ` j ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( I ` j ) ` k ) ) ) )
48		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN )
49	25	elexd 3042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) e. _V )
50	26	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( j e. NN /\ ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) e. _V ) -> ( I ` j ) = ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) )
51	48, 49, 50	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( I ` j ) = ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) )
52	51	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( I ` j ) = ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) )
53		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) /\ l = k ) -> <. 1 , 0 >. = <. 1 , 0 >. )
54	14	elexi 3041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- <. 1 , 0 >. e. _V
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> <. 1 , 0 >. e. _V )
56	52, 53, 46, 55	fvmptd 5969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( I ` j ) ` k ) = <. 1 , 0 >. )
57	56	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( I ` j ) ` k ) ) = ( 1st ` <. 1 , 0 >. ) )
58	10	elexi 3041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. _V
59	4	elexi 3041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. _V
60	58, 59	op1st 6820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1st ` <. 1 , 0 >. ) = 1
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` <. 1 , 0 >. ) = 1 )
62	57, 61	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( I ` j ) ` k ) ) = 1 )
63	56	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( I ` j ) ` k ) ) = ( 2nd ` <. 1 , 0 >. ) )
64	58, 59	op2nd 6821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2nd ` <. 1 , 0 >. ) = 0
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` <. 1 , 0 >. ) = 0 )
66	63, 65	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( I ` j ) ` k ) ) = 0 )
67	62, 66	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( 1st ` ( ( I ` j ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( I ` j ) ` k ) ) ) = ( 1 [,) 0 ) )
68		0le1 10158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 <_ 1
69	10	rexri 9711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. RR*
70		ico0 11707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 1 e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( 1 [,) 0 ) = (/) <-> 0 <_ 1 ) )
71	69, 4, 70	mp2an 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 [,) 0 ) = (/) <-> 0 <_ 1 )
72	68, 71	mpbir 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 [,) 0 ) = (/)
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1 [,) 0 ) = (/) )
74	47, 67, 73	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = (/) )
75	74	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` (/) ) )
76		vol0 37933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( vol ` (/) ) = 0
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` (/) ) = 0 )
78	75, 77	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = 0 )
79		0cn 9653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. CC
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> 0 e. CC )
81	78, 80	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) e. CC )
82	81	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ l e. X ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) e. CC )
83		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = l -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` l ) )
84	83	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = l -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` l ) ) )
85		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ l e. X ) -> l e. X )
86		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = l -> ( k e. X <-> l e. X ) )
87	86	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = l -> ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) <-> ( ( ph /\ j e. NN ) /\ l e. X ) ) )
88	84	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = l -> ( ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = 0 <-> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` l ) ) = 0 ) )
89	87, 88	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = l -> ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = 0 ) <-> ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ l e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` l ) ) = 0 ) ) )
90	89, 78	chvarv 2120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ l e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` l ) ) = 0 )
91	39, 40, 41, 82, 84, 85, 90	fprod0 37773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ l e. X ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = 0 )
92	91	ex 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( l e. X -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = 0 ) )
93	92	exlimdv 1787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( E. l l e. X -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = 0 ) )
94	38, 93	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = 0 )
95	94	mpteq2dva 4482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> 0 ) )
96	95	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> 0 ) ) )
97		nfv 1769	. . . . . . . 8 |- F/ j ph
98	97, 31	sge0z 38331	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> 0 ) ) = 0 )
99		eqidd 2472	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 = 0 )
100	96, 98, 99	3eqtrrd 2510	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
101		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = I -> ( i ` j ) = ( I ` j ) )
102	101	coeq2d 5002	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = I -> ( [,) o. ( i ` j ) ) = ( [,) o. ( I ` j ) ) )
103	102	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = I -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) )
104	103	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = I -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) )
105	104	ralrimivw 2810	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = I -> A. k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) )
106	105	prodeq2d 14053	. . . . . . . . . 10 |- ( i = I -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) )
107	106	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . 9 |- ( i = I -> ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) )
108	107	fveq2d 5883	. . . . . . . 8 |- ( i = I -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
109	108	eqeq2d 2481	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
110	109	rspcev 3136	. . . . . 6 |- ( ( I e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) /\ 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
111	34, 100, 110	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
112	5, 111	jca 541	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 e. RR* /\ E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
113		eqeq1 2475	. . . . . 6 |- ( z = 0 -> ( z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
114	113	rexbidv 2892	. . . . 5 |- ( z = 0 -> ( E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
115	114, 6	elrab2 3186	. . . 4 |- ( 0 e. M <-> ( 0 e. RR* /\ E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
116	112, 115	sylibr 217	. . 3 |- ( ph -> 0 e. M )
117		infxrlb 11645	. . 3 |- ( ( M C_ RR* /\ 0 e. M ) -> inf ( M , RR* , < ) <_ 0 )
118	9, 116, 117	syl2anc 673	. 2 |- ( ph -> inf ( M , RR* , < ) <_ 0 )
119		pnfxr 11435	. . . 4 |- +oo e. RR*
120	119	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> +oo e. RR* )
121		iccgelb 11716	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ inf ( M , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ inf ( M , RR* , < ) )
122	5, 120, 2, 121	syl3anc 1292	. 2 |- ( ph -> 0 <_ inf ( M , RR* , < ) )
123	3, 5, 118, 122	xrletrid 11475	1 |- ( ph -> inf ( M , RR* , < ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   <.cop 3965   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811   ^m cmap 7490   Fincfn 7587  infcinf 7973   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   NNcn 10631   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   prod_cprod 14036   volcvol 22493  Σ^{^}csumge0 38318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037  df-xmet 19040  df-met 19041  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319

This theorem is referenced by:  ovn0  38506