Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  outsideofrflx Structured version   Unicode version

Theorem outsideofrflx 30899
Description: Reflexitivity of outsideness. Theorem 6.5 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Scott Fenton, 18-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
outsideofrflx  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A  =/=  P  ->  POutsideOf <. A ,  A >. ) )

Proof of Theorem outsideofrflx
StepHypRef Expression
1 axbtwnid 24967 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( P  Btwn  <. A ,  A >.  ->  P  =  A ) )
2 eqcom 2431 . . . . 5  |-  ( P  =  A  <->  A  =  P )
31, 2syl6ib 229 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( P  Btwn  <. A ,  A >.  ->  A  =  P ) )
43necon3ad 2630 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A  =/=  P  ->  -.  P  Btwn  <. A ,  A >. ) )
5 colineartriv2 30840 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  P  Colinear  <. A ,  A >. )
64, 5jctild 545 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A  =/=  P  ->  ( P  Colinear  <. A ,  A >.  /\  -.  P  Btwn  <. A ,  A >. ) ) )
7 broutsideof 30893 . 2  |-  ( POutsideOf <. A ,  A >.  <->  ( P  Colinear  <. A ,  A >.  /\  -.  P  Btwn  <. A ,  A >. ) )
86, 7syl6ibr 230 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A  =/=  P  ->  POutsideOf <. A ,  A >. ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   <.cop 4004   class class class wbr 4423   ` cfv 5601   NNcn 10616   EEcee 24916    Btwn cbtwn 24917    Colinear ccolin 30809  OutsideOfcoutsideof 30891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-oi 8034  df-card 8381  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-sum 13752  df-ee 24919  df-btwn 24920  df-cgr 24921  df-colinear 30811  df-outsideof 30892
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator