Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  outsidele Structured version   Unicode version

Theorem outsidele 28076
 Description: Relate OutsideOf to . Theorem 6.13 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Scott Fenton, 24-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
outsidele OutsideOf

Proof of Theorem outsidele
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 454 . . . . . 6
2 simpr1 989 . . . . . 6
3 simpr2 990 . . . . . 6
4 simpr3 991 . . . . . 6
5 brsegle2 28053 . . . . . 6 Cgr
61, 2, 3, 2, 4, 5syl122anc 1222 . . . . 5 Cgr
76adantr 462 . . . 4 OutsideOf Cgr
8 simprl 750 . . . . . . . . . 10 OutsideOf Cgr OutsideOf
9 outsideofcom 28072 . . . . . . . . . . 11 OutsideOf OutsideOf
109ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10 OutsideOf Cgr OutsideOf OutsideOf
118, 10mpbid 210 . . . . . . . . 9 OutsideOf Cgr OutsideOf
12 simpll 748 . . . . . . . . . . 11
13 simplr1 1025 . . . . . . . . . . 11
14 simplr3 1027 . . . . . . . . . . 11
1512, 13, 14cgrrflxd 27932 . . . . . . . . . 10 Cgr
1615adantr 462 . . . . . . . . 9 OutsideOf Cgr Cgr
1711, 16jca 529 . . . . . . . 8 OutsideOf Cgr OutsideOf Cgr
18 simprrl 758 . . . . . . . . . . 11 OutsideOf Cgr
19 simpr 458 . . . . . . . . . . . . 13
20 simplr2 1026 . . . . . . . . . . . . 13
21 btwncolinear1 28013 . . . . . . . . . . . . 13
2212, 13, 19, 20, 21syl13anc 1215 . . . . . . . . . . . 12
2322adantr 462 . . . . . . . . . . 11 OutsideOf Cgr
2418, 23mpd 15 . . . . . . . . . 10 OutsideOf Cgr
25 outsidene1 28067 . . . . . . . . . . . . . 14 OutsideOf
2625ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13 OutsideOf Cgr OutsideOf
278, 26mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 OutsideOf Cgr
2827neneqd 2622 . . . . . . . . . . 11 OutsideOf Cgr
29 df-3an 962 . . . . . . . . . . . . 13 OutsideOf Cgr OutsideOf Cgr
30 simpr2l 1042 . . . . . . . . . . . . . . 15 OutsideOf Cgr
3112, 20, 13, 19, 30btwncomand 27959 . . . . . . . . . . . . . 14 OutsideOf Cgr
32 simpr3 991 . . . . . . . . . . . . . 14 OutsideOf Cgr
33 btwnswapid2 27962 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3412, 20, 19, 13, 33syl13anc 1215 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14 OutsideOf Cgr
3631, 32, 35mp2and 674 . . . . . . . . . . . . 13 OutsideOf Cgr
3729, 36sylan2br 473 . . . . . . . . . . . 12 OutsideOf Cgr
3837expr 612 . . . . . . . . . . 11 OutsideOf Cgr
3928, 38mtod 177 . . . . . . . . . 10 OutsideOf Cgr
40 broutsideof 28065 . . . . . . . . . 10 OutsideOf
4124, 39, 40sylanbrc 659 . . . . . . . . 9 OutsideOf Cgr OutsideOf
42 simprrr 759 . . . . . . . . 9 OutsideOf Cgr Cgr
4341, 42jca 529 . . . . . . . 8 OutsideOf Cgr OutsideOf Cgr
44 outsideofeq 28074 . . . . . . . . . 10 OutsideOf Cgr OutsideOf Cgr
4512, 13, 20, 13, 14, 14, 19, 44syl133anc 1236 . . . . . . . . 9 OutsideOf Cgr OutsideOf Cgr
4645adantr 462 . . . . . . . 8 OutsideOf Cgr OutsideOf Cgr OutsideOf Cgr
4717, 43, 46mp2and 674 . . . . . . 7 OutsideOf Cgr
48 opeq2 4057 . . . . . . . . 9
4948breq2d 4301 . . . . . . . 8
5018, 49syl5ibrcom 222 . . . . . . 7 OutsideOf Cgr
5147, 50mpd 15 . . . . . 6 OutsideOf Cgr
5251an4s 817 . . . . 5 OutsideOf Cgr
5352rexlimdvaa 2840 . . . 4 OutsideOf Cgr
547, 53sylbid 215 . . 3 OutsideOf
55 btwnsegle 28061 . . . 4
5655adantr 462 . . 3 OutsideOf
5754, 56impbid 191 . 2 OutsideOf
5857ex 434 1 OutsideOf
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 960   wceq 1364   wcel 1761   wne 2604  wrex 2714  cop 3880   class class class wbr 4289  cfv 5415  cn 10318  cee 23053   cbtwn 23054  Cgrccgr 23055   ccolin 27981   csegle 28050  OutsideOfcoutsideof 28063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-ee 23056  df-btwn 23057  df-cgr 23058  df-ofs 27927  df-colinear 27983  df-ifs 27984  df-cgr3 27985  df-fs 27986  df-segle 28051  df-outsideof 28064 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator