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Theorem outpasch 24876
Description: Axiom of Pasch, outer form. This was proven by Gupta from other axioms and is therefore presented as Theorem 9.6 in [Schwabhauser] p. 70. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
outpasch.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
outpasch.i  |-  I  =  (Itv `  G )
outpasch.l  |-  L  =  (LineG `  G )
outpasch.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
outpasch.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
outpasch.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
outpasch.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
outpasch.r  |-  ( ph  ->  R  e.  P )
outpasch.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  P )
outpasch.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A I R ) )
outpasch.2  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( B I C ) )
Assertion
Ref Expression
outpasch  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I x ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, G    x, I    x, L   
x, P    x, Q    x, R    ph, x

Proof of Theorem outpasch
Dummy variables  t 
a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 outpasch.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
21adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( R I C ) )  ->  A  e.  P )
3 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Q  e.  ( R I C ) )  /\  x  =  A )  ->  x  =  A )
43eleq1d 2533 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Q  e.  ( R I C ) )  /\  x  =  A )  ->  (
x  e.  ( A I B )  <->  A  e.  ( A I B ) ) )
53oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Q  e.  ( R I C ) )  /\  x  =  A )  ->  ( R I x )  =  ( R I A ) )
65eleq2d 2534 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Q  e.  ( R I C ) )  /\  x  =  A )  ->  ( Q  e.  ( R I x )  <->  Q  e.  ( R I A ) ) )
74, 6anbi12d 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  Q  e.  ( R I C ) )  /\  x  =  A )  ->  (
( x  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I x ) )  <->  ( A  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I A ) ) ) )
8 outpasch.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  G
)
9 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
10 outpasch.i . . . . . . . 8  |-  I  =  (Itv `  G )
11 outpasch.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
12 outpasch.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
138, 9, 10, 11, 1, 12tgbtwntriv1 24614 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A I B ) )
1413adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( R I C ) )  ->  A  e.  ( A I B ) )
1511adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( R I C ) )  ->  G  e. TarskiG )
16 outpasch.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  P )
1716adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( R I C ) )  ->  R  e.  P )
18 outpasch.q . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  P )
1918adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( R I C ) )  ->  Q  e.  P )
20 outpasch.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
2120adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( R I C ) )  ->  C  e.  P )
22 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( R I C ) )  ->  Q  e.  ( R I C ) )
23 outpasch.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A I R ) )
248, 9, 10, 11, 1, 20, 16, 23tgbtwncom 24611 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( R I A ) )
2524adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( R I C ) )  ->  C  e.  ( R I A ) )
268, 9, 10, 15, 17, 19, 21, 2, 22, 25tgbtwnexch 24621 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( R I C ) )  ->  Q  e.  ( R I A ) )
2714, 26jca 541 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( R I C ) )  ->  ( A  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I A ) ) )
282, 7, 27rspcedvd 3143 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( R I C ) )  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I x ) ) )
2928adantlr 729 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  Q  e.  ( R I C ) )  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I x ) ) )
3012ad2antrr 740 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  ->  B  e.  P )
31 eleq1 2537 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  ( A I B )  <->  B  e.  ( A I B ) ) )
32 eqidd 2472 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  Q  =  Q )
33 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  ( R I x )  =  ( R I B ) )
3432, 33eleq12d 2543 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( Q  e.  ( R I x )  <->  Q  e.  ( R I B ) ) )
3531, 34anbi12d 725 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I x ) )  <->  ( B  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I B ) ) ) )
3635adantl 473 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  x  =  B )  ->  (
( x  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I x ) )  <->  ( B  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I B ) ) ) )
378, 9, 10, 11, 1, 12tgbtwntriv2 24610 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I B ) )
3837ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  ->  B  e.  ( A I B ) )
3911ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  ->  G  e. TarskiG )
4039adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  R  e.  ( Q I C ) )  ->  G  e. TarskiG )
4120ad3antrrr 744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  R  e.  ( Q I C ) )  ->  C  e.  P )
4216ad3antrrr 744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  R  e.  ( Q I C ) )  ->  R  e.  P )
4318ad3antrrr 744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  R  e.  ( Q I C ) )  ->  Q  e.  P )
4430adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  R  e.  ( Q I C ) )  ->  B  e.  P )
45 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  R  e.  ( Q I C ) )  ->  R  e.  ( Q I C ) )
468, 9, 10, 40, 43, 42, 41, 45tgbtwncom 24611 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  R  e.  ( Q I C ) )  ->  R  e.  ( C I Q ) )
47 outpasch.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( B I C ) )
488, 9, 10, 11, 12, 18, 20, 47tgbtwncom 24611 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( C I B ) )
4948ad3antrrr 744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  R  e.  ( Q I C ) )  ->  Q  e.  ( C I B ) )
508, 9, 10, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 49tgbtwnexch3 24617 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  R  e.  ( Q I C ) )  ->  Q  e.  ( R I B ) )
5139adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  C  e.  ( Q I R ) )  ->  G  e. TarskiG )
5230adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  C  e.  ( Q I R ) )  ->  B  e.  P )
5318ad3antrrr 744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  C  e.  ( Q I R ) )  ->  Q  e.  P )
5416ad3antrrr 744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  C  e.  ( Q I R ) )  ->  R  e.  P )
5520ad3antrrr 744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  C  e.  ( Q I R ) )  ->  C  e.  P )
56 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  C  e.  ( Q I R ) )  /\  Q  =  C )  ->  Q  =  C )
578, 9, 10, 11, 16, 20tgbtwntriv2 24610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ( R I C ) )
5857ad4antr 746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  C  e.  ( Q I R ) )  /\  Q  =  C )  ->  C  e.  ( R I C ) )
5956, 58eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  C  e.  ( Q I R ) )  /\  Q  =  C )  ->  Q  e.  ( R I C ) )
60 simpllr 777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  C  e.  ( Q I R ) )  /\  Q  =  C )  ->  -.  Q  e.  ( R I C ) )
6159, 60pm2.65da 586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  C  e.  ( Q I R ) )  ->  -.  Q  =  C )
6261neqned 2650 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  C  e.  ( Q I R ) )  ->  Q  =/=  C )
6347ad3antrrr 744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  C  e.  ( Q I R ) )  ->  Q  e.  ( B I C ) )
64 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  C  e.  ( Q I R ) )  ->  C  e.  ( Q I R ) )
658, 9, 10, 51, 52, 53, 55, 54, 62, 63, 64tgbtwnouttr 24620 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  C  e.  ( Q I R ) )  ->  Q  e.  ( B I R ) )
668, 9, 10, 51, 52, 53, 54, 65tgbtwncom 24611 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  /\  C  e.  ( Q I R ) )  ->  Q  e.  ( R I B ) )
67 outpasch.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  (LineG `  G )
688, 67, 10, 11, 18, 20, 16tgcolg 24678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C )  <->  ( R  e.  ( Q I C )  \/  Q  e.  ( R I C )  \/  C  e.  ( Q I R ) ) ) )
6968biimpa 492 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  -> 
( R  e.  ( Q I C )  \/  Q  e.  ( R I C )  \/  C  e.  ( Q I R ) ) )
70 3orcoma 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  e.  ( R I C )  \/  R  e.  ( Q I C )  \/  C  e.  ( Q I R ) )  <-> 
( R  e.  ( Q I C )  \/  Q  e.  ( R I C )  \/  C  e.  ( Q I R ) ) )
71 3orass 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  e.  ( R I C )  \/  R  e.  ( Q I C )  \/  C  e.  ( Q I R ) )  <-> 
( Q  e.  ( R I C )  \/  ( R  e.  ( Q I C )  \/  C  e.  ( Q I R ) ) ) )
7270, 71bitr3i 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  ( Q I C )  \/  Q  e.  ( R I C )  \/  C  e.  ( Q I R ) )  <-> 
( Q  e.  ( R I C )  \/  ( R  e.  ( Q I C )  \/  C  e.  ( Q I R ) ) ) )
7369, 72sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  -> 
( Q  e.  ( R I C )  \/  ( R  e.  ( Q I C )  \/  C  e.  ( Q I R ) ) ) )
7473ord 384 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  -> 
( -.  Q  e.  ( R I C )  ->  ( R  e.  ( Q I C )  \/  C  e.  ( Q I R ) ) ) )
7574imp 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  ->  ( R  e.  ( Q I C )  \/  C  e.  ( Q I R ) ) )
7650, 66, 75mpjaodan 803 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  ->  Q  e.  ( R I B ) )
7738, 76jca 541 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  ->  ( B  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I B ) ) )
7830, 36, 77rspcedvd 3143 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  Q  e.  ( R I C ) )  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I x ) ) )
7929, 78pm2.61dan 808 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I x ) ) )
8012ad2antrr 740 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  ->  B  e.  P )
8135adantl 473 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  =  B )  ->  (
( x  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I x ) )  <->  ( B  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I B ) ) ) )
8237ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  ->  B  e.  ( A I B ) )
8311ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  ->  G  e. TarskiG )
8416ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  ->  R  e.  P )
8518ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  ->  Q  e.  P )
8620ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  ->  C  e.  P )
87 simplr 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  ->  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )
88 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  ->  B  e.  ( R L Q ) )
8911adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  G  e. TarskiG )
9016adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  R  e.  P )
9118adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  Q  e.  P )
9220adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  C  e.  P )
93 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )
948, 10, 67, 89, 90, 91, 92, 93ncolne1 24749 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  R  =/=  Q )
958, 10, 67, 89, 90, 91, 94tglinerflx2 24758 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  Q  e.  ( R L Q ) )
9695adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  ->  Q  e.  ( R L Q ) )
978, 67, 10, 89, 91, 92, 90, 93ncolcom 24685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  -.  ( R  e.  ( C L Q )  \/  C  =  Q ) )
988, 67, 10, 89, 92, 91, 90, 97ncolrot1 24686 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  -.  ( C  e.  ( Q L R )  \/  Q  =  R ) )
998, 10, 67, 89, 92, 91, 90, 98ncolne1 24749 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  C  =/=  Q )
10099adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  ->  C  =/=  Q )
10148ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  ->  Q  e.  ( C I B ) )
1028, 10, 67, 83, 86, 85, 80, 100, 101btwnlng3 24745 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  ->  B  e.  ( C L Q ) )
1038, 10, 67, 83, 86, 85, 100tglinerflx2 24758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  ->  Q  e.  ( C L Q ) )
1048, 10, 67, 83, 84, 85, 86, 85, 87, 88, 96, 102, 103tglineinteq 24769 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  ->  B  =  Q )
1058, 9, 10, 11, 16, 12tgbtwntriv2 24610 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( R I B ) )
106105ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  ->  B  e.  ( R I B ) )
107104, 106eqeltrrd 2550 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  ->  Q  e.  ( R I B ) )
10882, 107jca 541 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  ->  ( B  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I B ) ) )
10980, 81, 108rspcedvd 3143 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  B  e.  ( R L Q ) )  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I x ) ) )
110 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  x  ->  (
t  e.  ( a I b )  <->  x  e.  ( a I b ) ) )
111110cbvrexv 3006 . . . . . . . . 9  |-  ( E. t  e.  ( R L Q ) t  e.  ( a I b )  <->  E. x  e.  ( R L Q ) x  e.  ( a I b ) )
112111anbi2i 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  ( P  \  ( R L Q ) )  /\  b  e.  ( P  \  ( R L Q ) ) )  /\  E. t  e.  ( R L Q ) t  e.  ( a I b ) )  <->  ( ( a  e.  ( P  \ 
( R L Q ) )  /\  b  e.  ( P  \  ( R L Q ) ) )  /\  E. x  e.  ( R L Q ) x  e.  ( a I b ) ) )
113112opabbii 4460 . . . . . . 7  |-  { <. a ,  b >.  |  ( ( a  e.  ( P  \  ( R L Q ) )  /\  b  e.  ( P  \  ( R L Q ) ) )  /\  E. t  e.  ( R L Q ) t  e.  ( a I b ) ) }  =  { <. a ,  b >.  |  ( ( a  e.  ( P  \ 
( R L Q ) )  /\  b  e.  ( P  \  ( R L Q ) ) )  /\  E. x  e.  ( R L Q ) x  e.  ( a I b ) ) }
11489adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  G  e. TarskiG )
11590adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  R  e.  P )
11691adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  Q  e.  P )
11794adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  R  =/=  Q )
1188, 10, 67, 114, 115, 116, 117tgelrnln 24754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  ( R L Q )  e. 
ran  L )
119 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  (hlG `  G )  =  (hlG
`  G )
12020ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  C  e.  P )
1211ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  A  e.  P )
12212adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  B  e.  P )
123122adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  B  e.  P )
12495adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  Q  e.  ( R L Q ) )
1258, 67, 10, 89, 91, 92, 90, 93ncolrot2 24687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  -.  ( C  e.  ( R L Q )  \/  R  =  Q ) )
126 pm2.45 404 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( C  e.  ( R L Q )  \/  R  =  Q )  ->  -.  C  e.  ( R L Q ) )
127125, 126syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  -.  C  e.  ( R L Q ) )
128127adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  -.  C  e.  ( R L Q ) )
129 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  -.  B  e.  ( R L Q ) )
13048ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  Q  e.  ( C I B ) )
1318, 9, 10, 113, 120, 123, 124, 128, 129, 130islnoppd 24861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  C { <. a ,  b
>.  |  ( (
a  e.  ( P 
\  ( R L Q ) )  /\  b  e.  ( P  \  ( R L Q ) ) )  /\  E. t  e.  ( R L Q ) t  e.  ( a I b ) ) } B )
1328, 10, 67, 89, 90, 91, 94tglinerflx1 24757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  R  e.  ( R L Q ) )
133132adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  R  e.  ( R L Q ) )
13423ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  C  e.  ( A I R ) )
13524ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  C  e.  ( R I A ) )
1368, 10, 67, 89, 92, 90, 91, 125ncolne1 24749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  C  =/=  R )
137136adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  C  =/=  R )
1388, 9, 10, 114, 115, 120, 121, 135, 137tgbtwnne 24613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  R  =/=  A )
139138necomd 2698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  A  =/=  R )
1408, 10, 119, 121, 115, 120, 114, 121, 134, 139, 137btwnhl2 24737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  C
( (hlG `  G
) `  R ) A )
1418, 9, 10, 113, 67, 118, 114, 119, 120, 121, 123, 131, 133, 140opphl 24875 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  A { <. a ,  b
>.  |  ( (
a  e.  ( P 
\  ( R L Q ) )  /\  b  e.  ( P  \  ( R L Q ) ) )  /\  E. t  e.  ( R L Q ) t  e.  ( a I b ) ) } B )
1428, 9, 10, 113, 121, 123islnopp 24860 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  ( A { <. a ,  b
>.  |  ( (
a  e.  ( P 
\  ( R L Q ) )  /\  b  e.  ( P  \  ( R L Q ) ) )  /\  E. t  e.  ( R L Q ) t  e.  ( a I b ) ) } B  <->  ( ( -.  A  e.  ( R L Q )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  E. x  e.  ( R L Q ) x  e.  ( A I B ) ) ) )
143141, 142mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  (
( -.  A  e.  ( R L Q )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  E. x  e.  ( R L Q ) x  e.  ( A I B ) ) )
144143simprd 470 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  E. x  e.  ( R L Q ) x  e.  ( A I B ) )
145114ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  ->  G  e. TarskiG )
146118ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  ->  ( R L Q )  e. 
ran  L )
147 simplr 770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  ->  x  e.  ( R L Q ) )
1488, 67, 10, 145, 146, 147tglnpt 24673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  ->  x  e.  P )
149 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  ->  x  e.  ( A I B ) )
150145ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
15190ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  ->  R  e.  P )
152151ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  R  e.  P
)
15391ad5antr 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  Q  e.  P
)
154120ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  ->  C  e.  P )
155154ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  C  e.  P
)
15693ad5antr 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )
157 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  t  e.  P
)
158117ad4antr 746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  R  =/=  Q
)
159148ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  x  e.  P
)
16094necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  Q  =/=  R )
161160ad5antr 748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  Q  =/=  R
)
162147ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  x  e.  ( R L Q ) )
1638, 10, 67, 150, 153, 152, 159, 161, 162lncom 24746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  x  e.  ( Q L R ) )
164 simprl 772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  t  e.  ( x I R ) )
1658, 10, 67, 150, 159, 153, 152, 157, 163, 164coltr3 24772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  t  e.  ( Q L R ) )
1668, 10, 67, 150, 152, 153, 157, 158, 165lncom 24746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  t  e.  ( R L Q ) )
16795ad5antr 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  Q  e.  ( R L Q ) )
16899ad5antr 748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  C  =/=  Q
)
169123ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  ->  B  e.  P )
170169ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  B  e.  P
)
17199necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  Q  =/=  C )
17247adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  Q  e.  ( B I C ) )
1738, 10, 67, 89, 91, 92, 122, 171, 172btwnlng2 24744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  B  e.  ( Q L C ) )
174173ad5antr 748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  B  e.  ( Q L C ) )
175 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  t  e.  ( C I B ) )
1768, 9, 10, 150, 155, 157, 170, 175tgbtwncom 24611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  t  e.  ( B I C ) )
1778, 10, 67, 150, 170, 153, 155, 157, 174, 176coltr3 24772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  t  e.  ( Q L C ) )
1788, 10, 67, 150, 155, 153, 157, 168, 177lncom 24746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  t  e.  ( C L Q ) )
1798, 10, 67, 89, 92, 91, 99tglinerflx2 24758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  Q  e.  ( C L Q ) )
180179ad5antr 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  Q  e.  ( C L Q ) )
1818, 10, 67, 150, 152, 153, 155, 153, 156, 166, 167, 178, 180tglineinteq 24769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  t  =  Q )
1828, 9, 10, 150, 159, 157, 152, 164tgbtwncom 24611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  t  e.  ( R I x ) )
183181, 182eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )  ->  Q  e.  ( R I x ) )
184121ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  ->  A  e.  P )
1858, 9, 10, 145, 184, 148, 169, 149tgbtwncom 24611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  ->  x  e.  ( B I A ) )
18624ad4antr 746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  ->  C  e.  ( R I A ) )
1878, 9, 10, 145, 169, 151, 184, 148, 154, 185, 186axtgpasch 24594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  ->  E. t  e.  P  ( t  e.  ( x I R )  /\  t  e.  ( C I B ) ) )
188183, 187r19.29a 2918 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  ->  Q  e.  ( R I x ) )
189148, 149, 188jca32 544 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( R L Q ) )  /\  x  e.  ( A I B ) )  ->  (
x  e.  P  /\  ( x  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I x ) ) ) )
190189anasss 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  /\  ( x  e.  ( R L Q )  /\  x  e.  ( A I B ) ) )  ->  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I x ) ) ) )
191190ex 441 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  (
( x  e.  ( R L Q )  /\  x  e.  ( A I B ) )  ->  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I x ) ) ) ) )
192191reximdv2 2855 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  ( E. x  e.  ( R L Q ) x  e.  ( A I B )  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I x ) ) ) )
193144, 192mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  /\  -.  B  e.  ( R L Q ) )  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I x ) ) )
194109, 193pm2.61dan 808 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ( R  e.  ( Q L C )  \/  Q  =  C ) )  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I x ) ) )
19579, 194pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( A I B )  /\  Q  e.  ( R I x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    \/ w3o 1006    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757    \ cdif 3387   class class class wbr 4395   {copab 4453   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   distcds 15277  TarskiGcstrkg 24557  Itvcitv 24563  LineGclng 24564  hlGchlg 24724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-s2 13003  df-s3 13004  df-trkgc 24575  df-trkgb 24576  df-trkgcb 24577  df-trkgld 24579  df-trkg 24580  df-cgrg 24635  df-leg 24707  df-hlg 24725  df-mir 24777  df-rag 24818  df-perpg 24820
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