Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  outpasch Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem outpasch 24876
 Description: Axiom of Pasch, outer form. This was proven by Gupta from other axioms and is therefore presented as Theorem 9.6 in [Schwabhauser] p. 70. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
outpasch.p
outpasch.i Itv
outpasch.l LineG
outpasch.g TarskiG
outpasch.a
outpasch.b
outpasch.c
outpasch.r
outpasch.q
outpasch.1
outpasch.2
Assertion
Ref Expression
outpasch
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem outpasch
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 outpasch.a . . . . . 6
21adantr 472 . . . . 5
3 simpr 468 . . . . . . 7
43eleq1d 2533 . . . . . 6
53oveq2d 6324 . . . . . . 7
65eleq2d 2534 . . . . . 6
74, 6anbi12d 725 . . . . 5
8 outpasch.p . . . . . . . 8
9 eqid 2471 . . . . . . . 8
10 outpasch.i . . . . . . . 8 Itv
11 outpasch.g . . . . . . . 8 TarskiG
12 outpasch.b . . . . . . . 8
138, 9, 10, 11, 1, 12tgbtwntriv1 24614 . . . . . . 7
1413adantr 472 . . . . . 6
1511adantr 472 . . . . . . 7 TarskiG
16 outpasch.r . . . . . . . 8
1716adantr 472 . . . . . . 7
18 outpasch.q . . . . . . . 8
1918adantr 472 . . . . . . 7
20 outpasch.c . . . . . . . 8
2120adantr 472 . . . . . . 7
22 simpr 468 . . . . . . 7
23 outpasch.1 . . . . . . . . 9
248, 9, 10, 11, 1, 20, 16, 23tgbtwncom 24611 . . . . . . . 8
2524adantr 472 . . . . . . 7
268, 9, 10, 15, 17, 19, 21, 2, 22, 25tgbtwnexch 24621 . . . . . 6
2714, 26jca 541 . . . . 5
282, 7, 27rspcedvd 3143 . . . 4
3012ad2antrr 740 . . . 4
31 eleq1 2537 . . . . . 6
32 eqidd 2472 . . . . . . 7
33 oveq2 6316 . . . . . . 7
3432, 33eleq12d 2543 . . . . . 6
3531, 34anbi12d 725 . . . . 5
3635adantl 473 . . . 4
378, 9, 10, 11, 1, 12tgbtwntriv2 24610 . . . . . 6
3837ad2antrr 740 . . . . 5
3911ad2antrr 740 . . . . . . . 8 TarskiG
4039adantr 472 . . . . . . 7 TarskiG
4120ad3antrrr 744 . . . . . . 7
4216ad3antrrr 744 . . . . . . 7
4318ad3antrrr 744 . . . . . . 7
4430adantr 472 . . . . . . 7
45 simpr 468 . . . . . . . 8
468, 9, 10, 40, 43, 42, 41, 45tgbtwncom 24611 . . . . . . 7
47 outpasch.2 . . . . . . . . 9
488, 9, 10, 11, 12, 18, 20, 47tgbtwncom 24611 . . . . . . . 8
4948ad3antrrr 744 . . . . . . 7
508, 9, 10, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 49tgbtwnexch3 24617 . . . . . 6
5139adantr 472 . . . . . . 7 TarskiG
5230adantr 472 . . . . . . 7
5318ad3antrrr 744 . . . . . . 7
5416ad3antrrr 744 . . . . . . 7
5520ad3antrrr 744 . . . . . . . 8
56 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
578, 9, 10, 11, 16, 20tgbtwntriv2 24610 . . . . . . . . . . . 12
5857ad4antr 746 . . . . . . . . . . 11
5956, 58eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10
60 simpllr 777 . . . . . . . . . 10
6159, 60pm2.65da 586 . . . . . . . . 9
6261neqned 2650 . . . . . . . 8
6347ad3antrrr 744 . . . . . . . 8
64 simpr 468 . . . . . . . 8
658, 9, 10, 51, 52, 53, 55, 54, 62, 63, 64tgbtwnouttr 24620 . . . . . . 7
668, 9, 10, 51, 52, 53, 54, 65tgbtwncom 24611 . . . . . 6
67 outpasch.l . . . . . . . . . . 11 LineG
688, 67, 10, 11, 18, 20, 16tgcolg 24678 . . . . . . . . . 10
6968biimpa 492 . . . . . . . . 9
70 3orcoma 1015 . . . . . . . . . 10
71 3orass 1010 . . . . . . . . . 10
7270, 71bitr3i 259 . . . . . . . . 9
7369, 72sylib 201 . . . . . . . 8
7473ord 384 . . . . . . 7
7574imp 436 . . . . . 6
7650, 66, 75mpjaodan 803 . . . . 5
7738, 76jca 541 . . . 4
7830, 36, 77rspcedvd 3143 . . 3
7929, 78pm2.61dan 808 . 2
8012ad2antrr 740 . . . 4
8135adantl 473 . . . 4
8237ad2antrr 740 . . . . 5
8311ad2antrr 740 . . . . . . 7 TarskiG
8416ad2antrr 740 . . . . . . 7
8518ad2antrr 740 . . . . . . 7
8620ad2antrr 740 . . . . . . 7
87 simplr 770 . . . . . . 7
88 simpr 468 . . . . . . 7
8911adantr 472 . . . . . . . . 9 TarskiG
9016adantr 472 . . . . . . . . 9
9118adantr 472 . . . . . . . . 9
9220adantr 472 . . . . . . . . . 10
93 simpr 468 . . . . . . . . . 10
948, 10, 67, 89, 90, 91, 92, 93ncolne1 24749 . . . . . . . . 9
958, 10, 67, 89, 90, 91, 94tglinerflx2 24758 . . . . . . . 8
9695adantr 472 . . . . . . 7
978, 67, 10, 89, 91, 92, 90, 93ncolcom 24685 . . . . . . . . . . 11
988, 67, 10, 89, 92, 91, 90, 97ncolrot1 24686 . . . . . . . . . 10
998, 10, 67, 89, 92, 91, 90, 98ncolne1 24749 . . . . . . . . 9
10099adantr 472 . . . . . . . 8
10148ad2antrr 740 . . . . . . . 8
1028, 10, 67, 83, 86, 85, 80, 100, 101btwnlng3 24745 . . . . . . 7
1038, 10, 67, 83, 86, 85, 100tglinerflx2 24758 . . . . . . 7
1048, 10, 67, 83, 84, 85, 86, 85, 87, 88, 96, 102, 103tglineinteq 24769 . . . . . 6
1058, 9, 10, 11, 16, 12tgbtwntriv2 24610 . . . . . . 7
106105ad2antrr 740 . . . . . 6
107104, 106eqeltrrd 2550 . . . . 5
10882, 107jca 541 . . . 4
10980, 81, 108rspcedvd 3143 . . 3
110 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10
111110cbvrexv 3006 . . . . . . . . 9
112111anbi2i 708 . . . . . . . 8
113112opabbii 4460 . . . . . . 7
11489adantr 472 . . . . . . . 8 TarskiG
11590adantr 472 . . . . . . . 8
11691adantr 472 . . . . . . . 8
11794adantr 472 . . . . . . . 8
1188, 10, 67, 114, 115, 116, 117tgelrnln 24754 . . . . . . 7
119 eqid 2471 . . . . . . 7 hlG hlG
12020ad2antrr 740 . . . . . . 7
1211ad2antrr 740 . . . . . . 7
12212adantr 472 . . . . . . . 8
123122adantr 472 . . . . . . 7
12495adantr 472 . . . . . . . 8
1258, 67, 10, 89, 91, 92, 90, 93ncolrot2 24687 . . . . . . . . . 10
126 pm2.45 404 . . . . . . . . . 10
127125, 126syl 17 . . . . . . . . 9
128127adantr 472 . . . . . . . 8
129 simpr 468 . . . . . . . 8
13048ad2antrr 740 . . . . . . . 8
1318, 9, 10, 113, 120, 123, 124, 128, 129, 130islnoppd 24861 . . . . . . 7
1328, 10, 67, 89, 90, 91, 94tglinerflx1 24757 . . . . . . . 8
133132adantr 472 . . . . . . 7
13423ad2antrr 740 . . . . . . . 8
13524ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
1368, 10, 67, 89, 92, 90, 91, 125ncolne1 24749 . . . . . . . . . . 11
137136adantr 472 . . . . . . . . . 10
1388, 9, 10, 114, 115, 120, 121, 135, 137tgbtwnne 24613 . . . . . . . . 9
139138necomd 2698 . . . . . . . 8
1408, 10, 119, 121, 115, 120, 114, 121, 134, 139, 137btwnhl2 24737 . . . . . . 7 hlG
1418, 9, 10, 113, 67, 118, 114, 119, 120, 121, 123, 131, 133, 140opphl 24875 . . . . . 6
1428, 9, 10, 113, 121, 123islnopp 24860 . . . . . 6
143141, 142mpbid 215 . . . . 5
144143simprd 470 . . . 4
145114ad2antrr 740 . . . . . . . . 9 TarskiG
146118ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
147 simplr 770 . . . . . . . . 9
1488, 67, 10, 145, 146, 147tglnpt 24673 . . . . . . . 8
149 simpr 468 . . . . . . . 8
150145ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11 TarskiG
15190ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12
152151ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
15391ad5antr 748 . . . . . . . . . . 11
154120ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
155154ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
15693ad5antr 748 . . . . . . . . . . 11
157 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12
158117ad4antr 746 . . . . . . . . . . . 12
159148ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
16094necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15
161160ad5antr 748 . . . . . . . . . . . . . 14
162147ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
1638, 10, 67, 150, 153, 152, 159, 161, 162lncom 24746 . . . . . . . . . . . . 13
164 simprl 772 . . . . . . . . . . . . 13
1658, 10, 67, 150, 159, 153, 152, 157, 163, 164coltr3 24772 . . . . . . . . . . . 12
1668, 10, 67, 150, 152, 153, 157, 158, 165lncom 24746 . . . . . . . . . . 11
16795ad5antr 748 . . . . . . . . . . 11
16899ad5antr 748 . . . . . . . . . . . 12
169123ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
170169ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
17199necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15
17247adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
1738, 10, 67, 89, 91, 92, 122, 171, 172btwnlng2 24744 . . . . . . . . . . . . . 14
174173ad5antr 748 . . . . . . . . . . . . 13
175 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14
1768, 9, 10, 150, 155, 157, 170, 175tgbtwncom 24611 . . . . . . . . . . . . 13
1778, 10, 67, 150, 170, 153, 155, 157, 174, 176coltr3 24772 . . . . . . . . . . . 12
1788, 10, 67, 150, 155, 153, 157, 168, 177lncom 24746 . . . . . . . . . . 11
1798, 10, 67, 89, 92, 91, 99tglinerflx2 24758 . . . . . . . . . . . 12
180179ad5antr 748 . . . . . . . . . . 11
1818, 10, 67, 150, 152, 153, 155, 153, 156, 166, 167, 178, 180tglineinteq 24769 . . . . . . . . . 10
1828, 9, 10, 150, 159, 157, 152, 164tgbtwncom 24611 . . . . . . . . . 10
183181, 182eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9
184121ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
1858, 9, 10, 145, 184, 148, 169, 149tgbtwncom 24611 . . . . . . . . . 10
18624ad4antr 746 . . . . . . . . . 10
1878, 9, 10, 145, 169, 151, 184, 148, 154, 185, 186axtgpasch 24594 . . . . . . . . 9
188183, 187r19.29a 2918 . . . . . . . 8
189148, 149, 188jca32 544 . . . . . . 7
190189anasss 659 . . . . . 6
191190ex 441 . . . . 5
192191reximdv2 2855 . . . 4
193144, 192mpd 15 . . 3
194109, 193pm2.61dan 808 . 2
19579, 194pm2.61dan 808 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3o 1006   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757   cdif 3387   class class class wbr 4395  copab 4453   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308  cbs 15199  cds 15277  TarskiGcstrkg 24557  Itvcitv 24563  LineGclng 24564  hlGchlg 24724 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-s2 13003  df-s3 13004  df-trkgc 24575  df-trkgb 24576  df-trkgcb 24577  df-trkgld 24579  df-trkg 24580  df-cgrg 24635  df-leg 24707  df-hlg 24725  df-mir 24777  df-rag 24818  df-perpg 24820 This theorem is referenced by:  hlpasch  24877
 Copyright terms: Public domain W3C validator