Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  otiunsndisjX Structured version   Unicode version

Theorem otiunsndisjX 38708
Description: The union of singletons consisting of ordered triples which have distinct first and third components are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
otiunsndisjX  |-  ( B  e.  X  -> Disj  a  e.  V  U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. } )
Distinct variable groups:    B, a,
c    V, a, c    W, a, c    X, a, c

Proof of Theorem otiunsndisjX
Dummy variables  d 
e  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 386 . . . . 5  |-  ( a  =  d  ->  (
a  =  d  \/  ( U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) )
21a1d 26 . . . 4  |-  ( a  =  d  ->  (
( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) )  ->  (
a  =  d  \/  ( U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) ) )
3 eliun 4301 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. } 
<->  E. c  e.  W  s  e.  { <. a ,  B ,  c >. } )
4 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) )  ->  a  e.  V )
54adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  W  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  -> 
a  e.  V )
6 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  W  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  ->  B  e.  X )
7 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  W  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  -> 
c  e.  W )
8 otthg 4701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  V  /\  B  e.  X  /\  c  e.  W )  ->  ( <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. 
<->  ( a  =  d  /\  B  =  B  /\  c  =  e ) ) )
95, 6, 7, 8syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( c  e.  W  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  -> 
( <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. 
<->  ( a  =  d  /\  B  =  B  /\  c  =  e ) ) )
10 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  =  d  /\  B  =  B  /\  c  =  e )  ->  a  =  d )
119, 10syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( c  e.  W  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  -> 
( <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>.  ->  a  =  d ) )
1211con3d 138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( c  e.  W  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  -> 
( -.  a  =  d  ->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
)
1312ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  W  ->  (
( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) )  ->  ( -.  a  =  d  ->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) ) )
1413com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  a  =  d  -> 
( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( c  e.  W  ->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) ) )
1514imp31 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  /\  c  e.  W )  ->  -.  <.
a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.
)
1615adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  W )  /\  s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. } )  ->  -.  <.
a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.
)
1716adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  W )  /\  s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. } )  /\  e  e.  W )  ->  -.  <.
a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.
)
18 elsn 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  { <. a ,  B ,  c >. } 
<->  s  =  <. a ,  B ,  c >.
)
19 eqeq1 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  <. a ,  B ,  c >.  ->  (
s  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  <.
a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.
) )
2019notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  <. a ,  B ,  c >.  ->  ( -.  s  =  <. d ,  B ,  e
>. 
<->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) )
2118, 20sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  { <. a ,  B ,  c >. }  ->  ( -.  s  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
)
2221adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  W )  /\  s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. } )  ->  ( -.  s  =  <. d ,  B ,  e
>. 
<->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) )
2322adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  W )  /\  s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. } )  /\  e  e.  W )  ->  ( -.  s  =  <. d ,  B ,  e
>. 
<->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) )
2417, 23mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  W )  /\  s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. } )  /\  e  e.  W )  ->  -.  s  =  <. d ,  B ,  e >.
)
25 elsn 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } 
<->  s  =  <. d ,  B ,  e >.
)
2624, 25sylnibr 306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  W )  /\  s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. } )  /\  e  e.  W )  ->  -.  s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } )
2726nrexdv 2881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  W )  /\  s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. } )  ->  -.  E. e  e.  W  s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } )
28 eliun 4301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B ,  e >. } 
<->  E. e  e.  W  s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } )
2927, 28sylnibr 306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  W )  /\  s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. } )  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B ,  e >. } )
3029ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  /\  c  e.  W )  ->  (
s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. }  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B ,  e >. } ) )
3130rexlimdva 2917 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( E. c  e.  W  s  e.  {
<. a ,  B , 
c >. }  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B ,  e >. } ) )
323, 31syl5bi 220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( s  e. 
U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B ,  e >. } ) )
3332ralrimiv 2837 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  A. s  e.  U_  c  e.  W  { <. a ,  B , 
c >. }  -.  s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B ,  e >. } )
34 oteq3 4195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  e  ->  <. d ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
3534sneqd 4008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  e  ->  { <. d ,  B ,  c
>. }  =  { <. d ,  B ,  e
>. } )
3635cbviunv 4335 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. }  =  U_ e  e.  W  { <. d ,  B ,  e >. }
3736eleq2i 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } 
<->  s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B ,  e >. } )
3837notbii 297 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  s  e.  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } 
<->  -.  s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B , 
e >. } )
3938ralbii 2856 . . . . . . . 8  |-  ( A. s  e.  U_  c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  -.  s  e.  U_ c  e.  W  { <. d ,  B , 
c >. }  <->  A. s  e.  U_  c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  -.  s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B ,  e >. } )
4033, 39sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  A. s  e.  U_  c  e.  W  { <. a ,  B , 
c >. }  -.  s  e.  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } )
41 disj 3833 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  W  { <. d ,  B , 
c >. } )  =  (/) 
<-> 
A. s  e.  U_  c  e.  W  { <. a ,  B , 
c >. }  -.  s  e.  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } )
4240, 41sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) )
4342olcd 394 . . . . 5  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  W  { <. a ,  B , 
c >. }  i^i  U_ c  e.  W  { <. d ,  B , 
c >. } )  =  (/) ) )
4443ex 435 . . . 4  |-  ( -.  a  =  d  -> 
( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) ) )
452, 44pm2.61i 167 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) )  ->  (
a  =  d  \/  ( U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) )
4645ralrimivva 2846 . 2  |-  ( B  e.  X  ->  A. a  e.  V  A. d  e.  V  ( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  W  { <. d ,  B , 
c >. } )  =  (/) ) )
47 oteq1 4193 . . . . 5  |-  ( a  =  d  ->  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  c >. )
4847sneqd 4008 . . . 4  |-  ( a  =  d  ->  { <. a ,  B ,  c
>. }  =  { <. d ,  B ,  c
>. } )
4948iuneq2d 4323 . . 3  |-  ( a  =  d  ->  U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  =  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } )
5049disjor 4405 . 2  |-  (Disj  a  e.  V  U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. } 
<-> 
A. a  e.  V  A. d  e.  V  ( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) )
5146, 50sylibr 215 1  |-  ( B  e.  X  -> Disj  a  e.  V  U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776    i^i cin 3435   (/)c0 3761   {csn 3996   <.cotp 4004   U_ciun 4296  Disj wdisj 4391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pr 4657
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-ot 4005  df-iun 4298  df-disj 4392
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator