Theorem otiunsndisjX 38708

Description: The union of singletons consisting of ordered triples which have distinct first and third components are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
otiunsndisjX	|- ( B e. X -> Disj a e. V U_ c e. W { <. a , B , c >. } )

Distinct variable groups:   B, a, c   V, a, c   W, a, c   X, a, c

Proof of Theorem otiunsndisjX

Dummy variables d e s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 386	. . . . 5 |- ( a = d -> ( a = d \/ ( U_ c e. W { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. W { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
2	1	a1d 26	. . . 4 |- ( a = d -> ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. W { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. W { <. d , B , c >. } ) = (/) ) ) )
3		eliun 4301	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. U_ c e. W { <. a , B , c >. } <-> E. c e. W s e. { <. a , B , c >. } )
4		simprl 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> a e. V )
5	4	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( c e. W /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> a e. V )
6		simprl 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( c e. W /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> B e. X )
7		simpl 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( c e. W /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> c e. W )
8		otthg 4701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( a e. V /\ B e. X /\ c e. W ) -> ( <. a , B , c >. = <. d , B , e >. <-> ( a = d /\ B = B /\ c = e ) ) )
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( c e. W /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( <. a , B , c >. = <. d , B , e >. <-> ( a = d /\ B = B /\ c = e ) ) )
10		simp1 1005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( a = d /\ B = B /\ c = e ) -> a = d )
11	9, 10	syl6bi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( c e. W /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( <. a , B , c >. = <. d , B , e >. -> a = d ) )
12	11	con3d 138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( c e. W /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( -. a = d -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
13	12	ex 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c e. W -> ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( -. a = d -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) ) )
14	13	com13 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. a = d -> ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( c e. W -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) ) )
15	14	imp31 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. )
16	15	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. )
17	16	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) /\ e e. W ) -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. )
18		elsn 4010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. { <. a , B , c >. } <-> s = <. a , B , c >. )
19		eqeq1 2426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s = <. a , B , c >. -> ( s = <. d , B , e >. <-> <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
20	19	notbid 295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s = <. a , B , c >. -> ( -. s = <. d , B , e >. <-> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
21	18, 20	sylbi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. { <. a , B , c >. } -> ( -. s = <. d , B , e >. <-> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
22	21	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> ( -. s = <. d , B , e >. <-> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
23	22	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) /\ e e. W ) -> ( -. s = <. d , B , e >. <-> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
24	17, 23	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) /\ e e. W ) -> -. s = <. d , B , e >. )
25		elsn 4010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. { <. d , B , e >. } <-> s = <. d , B , e >. )
26	24, 25	sylnibr 306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) /\ e e. W ) -> -. s e. { <. d , B , e >. } )
27	26	nrexdv 2881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> -. E. e e. W s e. { <. d , B , e >. } )
28		eliun 4301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. U_ e e. W { <. d , B , e >. } <-> E. e e. W s e. { <. d , B , e >. } )
29	27, 28	sylnibr 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> -. s e. U_ e e. W { <. d , B , e >. } )
30	29	ex 435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) -> ( s e. { <. a , B , c >. } -> -. s e. U_ e e. W { <. d , B , e >. } ) )
31	30	rexlimdva 2917	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( E. c e. W s e. { <. a , B , c >. } -> -. s e. U_ e e. W { <. d , B , e >. } ) )
32	3, 31	syl5bi 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( s e. U_ c e. W { <. a , B , c >. } -> -. s e. U_ e e. W { <. d , B , e >. } ) )
33	32	ralrimiv 2837	. . . . . . . 8 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> A. s e. U_ c e. W { <. a , B , c >. } -. s e. U_ e e. W { <. d , B , e >. } )
34		oteq3 4195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = e -> <. d , B , c >. = <. d , B , e >. )
35	34	sneqd 4008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = e -> { <. d , B , c >. } = { <. d , B , e >. } )
36	35	cbviunv 4335	. . . . . . . . . . 11 |- U_ c e. W { <. d , B , c >. } = U_ e e. W { <. d , B , e >. }
37	36	eleq2i 2500	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. U_ c e. W { <. d , B , c >. } <-> s e. U_ e e. W { <. d , B , e >. } )
38	37	notbii 297	. . . . . . . . 9 |- ( -. s e. U_ c e. W { <. d , B , c >. } <-> -. s e. U_ e e. W { <. d , B , e >. } )
39	38	ralbii 2856	. . . . . . . 8 |- ( A. s e. U_ c e. W { <. a , B , c >. } -. s e. U_ c e. W { <. d , B , c >. } <-> A. s e. U_ c e. W { <. a , B , c >. } -. s e. U_ e e. W { <. d , B , e >. } )
40	33, 39	sylibr 215	. . . . . . 7 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> A. s e. U_ c e. W { <. a , B , c >. } -. s e. U_ c e. W { <. d , B , c >. } )
41		disj 3833	. . . . . . 7 |- ( ( U_ c e. W { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. W { <. d , B , c >. } ) = (/) <-> A. s e. U_ c e. W { <. a , B , c >. } -. s e. U_ c e. W { <. d , B , c >. } )
42	40, 41	sylibr 215	. . . . . 6 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( U_ c e. W { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. W { <. d , B , c >. } ) = (/) )
43	42	olcd 394	. . . . 5 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. W { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. W { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
44	43	ex 435	. . . 4 |- ( -. a = d -> ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. W { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. W { <. d , B , c >. } ) = (/) ) ) )
45	2, 44	pm2.61i 167	. . 3 |- ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. W { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. W { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
46	45	ralrimivva 2846	. 2 |- ( B e. X -> A. a e. V A. d e. V ( a = d \/ ( U_ c e. W { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. W { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
47		oteq1 4193	. . . . 5 |- ( a = d -> <. a , B , c >. = <. d , B , c >. )
48	47	sneqd 4008	. . . 4 |- ( a = d -> { <. a , B , c >. } = { <. d , B , c >. } )
49	48	iuneq2d 4323	. . 3 |- ( a = d -> U_ c e. W { <. a , B , c >. } = U_ c e. W { <. d , B , c >. } )
50	49	disjor 4405	. 2 |- (Disj a e. V U_ c e. W { <. a , B , c >. } <-> A. a e. V A. d e. V ( a = d \/ ( U_ c e. W { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. W { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
51	46, 50	sylibr 215	1 |- ( B e. X -> Disj a e. V U_ c e. W { <. a , B , c >. } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   i^i cin 3435   (/)c0 3761   {csn 3996   <.cotp 4004   U_ciun 4296  Disj wdisj 4391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pr 4657

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-ot 4005  df-iun 4298  df-disj 4392

This theorem is referenced by: (None)