Theorem otiunsndisjX 39045

Description: The union of singletons consisting of ordered triples which have distinct first and third components are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
otiunsndisjX	|- ( B e. X -> Disj a e. V U_ c e. W { <. a , B , c >. } )

Distinct variable groups:   B, a, c   V, a, c   W, a, c   X, a, c

Proof of Theorem otiunsndisjX

Dummy variables d e s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 391	. . . . 5 |- ( a = d -> ( a = d \/ ( U_ c e. W { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. W { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
2	1	a1d 26	. . . 4 |- ( a = d -> ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. W { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. W { <. d , B , c >. } ) = (/) ) ) )
3		eliun 4296	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. U_ c e. W { <. a , B , c >. } <-> E. c e. W s e. { <. a , B , c >. } )
4		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> a e. V )
5	4	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( c e. W /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> a e. V )
6		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( c e. W /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> B e. X )
7		simpl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( c e. W /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> c e. W )
8		otthg 4698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( a e. V /\ B e. X /\ c e. W ) -> ( <. a , B , c >. = <. d , B , e >. <-> ( a = d /\ B = B /\ c = e ) ) )
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( c e. W /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( <. a , B , c >. = <. d , B , e >. <-> ( a = d /\ B = B /\ c = e ) ) )
10		simp1 1014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( a = d /\ B = B /\ c = e ) -> a = d )
11	9, 10	syl6bi 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( c e. W /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( <. a , B , c >. = <. d , B , e >. -> a = d ) )
12	11	con3d 140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( c e. W /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( -. a = d -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
13	12	ex 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c e. W -> ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( -. a = d -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) ) )
14	13	com13 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. a = d -> ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( c e. W -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) ) )
15	14	imp31 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. )
16	15	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. )
17	16	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) /\ e e. W ) -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. )
18		elsn 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. { <. a , B , c >. } <-> s = <. a , B , c >. )
19		eqeq1 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s = <. a , B , c >. -> ( s = <. d , B , e >. <-> <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
20	19	notbid 300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s = <. a , B , c >. -> ( -. s = <. d , B , e >. <-> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
21	18, 20	sylbi 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. { <. a , B , c >. } -> ( -. s = <. d , B , e >. <-> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
22	21	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> ( -. s = <. d , B , e >. <-> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
23	22	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) /\ e e. W ) -> ( -. s = <. d , B , e >. <-> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
24	17, 23	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) /\ e e. W ) -> -. s = <. d , B , e >. )
25		elsn 3993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. { <. d , B , e >. } <-> s = <. d , B , e >. )
26	24, 25	sylnibr 311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) /\ e e. W ) -> -. s e. { <. d , B , e >. } )
27	26	nrexdv 2854	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> -. E. e e. W s e. { <. d , B , e >. } )
28		eliun 4296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. U_ e e. W { <. d , B , e >. } <-> E. e e. W s e. { <. d , B , e >. } )
29	27, 28	sylnibr 311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> -. s e. U_ e e. W { <. d , B , e >. } )
30	29	ex 440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. W ) -> ( s e. { <. a , B , c >. } -> -. s e. U_ e e. W { <. d , B , e >. } ) )
31	30	rexlimdva 2890	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( E. c e. W s e. { <. a , B , c >. } -> -. s e. U_ e e. W { <. d , B , e >. } ) )
32	3, 31	syl5bi 225	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( s e. U_ c e. W { <. a , B , c >. } -> -. s e. U_ e e. W { <. d , B , e >. } ) )
33	32	ralrimiv 2811	. . . . . . . 8 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> A. s e. U_ c e. W { <. a , B , c >. } -. s e. U_ e e. W { <. d , B , e >. } )
34		oteq3 4190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = e -> <. d , B , c >. = <. d , B , e >. )
35	34	sneqd 3991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = e -> { <. d , B , c >. } = { <. d , B , e >. } )
36	35	cbviunv 4330	. . . . . . . . . . 11 |- U_ c e. W { <. d , B , c >. } = U_ e e. W { <. d , B , e >. }
37	36	eleq2i 2531	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. U_ c e. W { <. d , B , c >. } <-> s e. U_ e e. W { <. d , B , e >. } )
38	37	notbii 302	. . . . . . . . 9 |- ( -. s e. U_ c e. W { <. d , B , c >. } <-> -. s e. U_ e e. W { <. d , B , e >. } )
39	38	ralbii 2830	. . . . . . . 8 |- ( A. s e. U_ c e. W { <. a , B , c >. } -. s e. U_ c e. W { <. d , B , c >. } <-> A. s e. U_ c e. W { <. a , B , c >. } -. s e. U_ e e. W { <. d , B , e >. } )
40	33, 39	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> A. s e. U_ c e. W { <. a , B , c >. } -. s e. U_ c e. W { <. d , B , c >. } )
41		disj 3816	. . . . . . 7 |- ( ( U_ c e. W { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. W { <. d , B , c >. } ) = (/) <-> A. s e. U_ c e. W { <. a , B , c >. } -. s e. U_ c e. W { <. d , B , c >. } )
42	40, 41	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( U_ c e. W { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. W { <. d , B , c >. } ) = (/) )
43	42	olcd 399	. . . . 5 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. W { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. W { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
44	43	ex 440	. . . 4 |- ( -. a = d -> ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. W { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. W { <. d , B , c >. } ) = (/) ) ) )
45	2, 44	pm2.61i 169	. . 3 |- ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. W { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. W { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
46	45	ralrimivva 2820	. 2 |- ( B e. X -> A. a e. V A. d e. V ( a = d \/ ( U_ c e. W { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. W { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
47		oteq1 4188	. . . . 5 |- ( a = d -> <. a , B , c >. = <. d , B , c >. )
48	47	sneqd 3991	. . . 4 |- ( a = d -> { <. a , B , c >. } = { <. d , B , c >. } )
49	48	iuneq2d 4318	. . 3 |- ( a = d -> U_ c e. W { <. a , B , c >. } = U_ c e. W { <. d , B , c >. } )
50	49	disjor 4400	. 2 |- (Disj a e. V U_ c e. W { <. a , B , c >. } <-> A. a e. V A. d e. V ( a = d \/ ( U_ c e. W { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. W { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
51	46, 50	sylibr 217	1 |- ( B e. X -> Disj a e. V U_ c e. W { <. a , B , c >. } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1454   e. wcel 1897   A.wral 2748   E.wrex 2749   i^i cin 3414   (/)c0 3742   {csn 3979   <.cotp 3987   U_ciun 4291  Disj wdisj 4386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-ot 3988  df-iun 4293  df-disj 4387

This theorem is referenced by: (None)