MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  otiunsndisj Structured version   Unicode version

Theorem otiunsndisj 4743
Description: The union of singletons consisting of ordered triples which have distinct first and third components are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
otiunsndisj  |-  ( B  e.  X  -> Disj  a  e.  V  U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. } )
Distinct variable groups:    B, a,
c    V, a, c    W, a, c    X, a, c

Proof of Theorem otiunsndisj
Dummy variables  d 
e  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 385 . . . . 5  |-  ( a  =  d  ->  (
a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) )
21a1d 25 . . . 4  |-  ( a  =  d  ->  (
( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) )  ->  (
a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) ) )
3 eliun 4320 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  <->  E. c  e.  ( W  \  {
a } ) s  e.  { <. a ,  B ,  c >. } )
4 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) )  ->  a  e.  V )
54adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  ( W 
\  { a } )  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  ->  a  e.  V )
6 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  ( W 
\  { a } )  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  ->  B  e.  X )
7 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  ( W 
\  { a } )  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  ->  c  e.  ( W  \  {
a } ) )
8 otthg 4720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  V  /\  B  e.  X  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  ->  ( <. a ,  B ,  c
>.  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  ( a  =  d  /\  B  =  B  /\  c  =  e )
) )
95, 6, 7, 8syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( c  e.  ( W 
\  { a } )  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  ->  ( <. a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  ( a  =  d  /\  B  =  B  /\  c  =  e )
) )
10 simp1 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  =  d  /\  B  =  B  /\  c  =  e )  ->  a  =  d )
119, 10syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( c  e.  ( W 
\  { a } )  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  ->  ( <. a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.  ->  a  =  d ) )
1211con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( c  e.  ( W 
\  { a } )  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  ->  ( -.  a  =  d  ->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) )
1312ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  ( W  \  { a } )  ->  ( ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
)  ->  ( -.  a  =  d  ->  -. 
<. a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.
) ) )
1413com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  a  =  d  -> 
( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( c  e.  ( W  \  { a } )  ->  -.  <.
a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.
) ) )
1514imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  /\  c  e.  ( W  \  {
a } ) )  ->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  ->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  /\  e  e.  ( W  \  { d } ) )  ->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. )
18 elsn 4028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  { <. a ,  B ,  c >. } 
<->  s  =  <. a ,  B ,  c >.
)
19 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  <. a ,  B ,  c >.  ->  (
s  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  <.
a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.
) )
2019notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  <. a ,  B ,  c >.  ->  ( -.  s  =  <. d ,  B ,  e
>. 
<->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) )
2118, 20sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  { <. a ,  B ,  c >. }  ->  ( -.  s  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
)
2221adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  ->  ( -.  s  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
)
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  /\  e  e.  ( W  \  { d } ) )  -> 
( -.  s  = 
<. d ,  B , 
e >. 
<->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) )
2417, 23mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  /\  e  e.  ( W  \  { d } ) )  ->  -.  s  =  <. d ,  B ,  e
>. )
25 elsn 4028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } 
<->  s  =  <. d ,  B ,  e >.
)
2624, 25sylnibr 305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  /\  e  e.  ( W  \  { d } ) )  ->  -.  s  e.  { <. d ,  B ,  e
>. } )
2726nrexdv 2899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  ->  -.  E. e  e.  ( W  \  {
d } ) s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } )
28 eliun 4320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  U_ e  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
e >. }  <->  E. e  e.  ( W  \  {
d } ) s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } )
2927, 28sylnibr 305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W 
\  { d } ) { <. d ,  B ,  e >. } )
3029ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  /\  c  e.  ( W  \  {
a } ) )  ->  ( s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. }  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
e >. } ) )
3130rexlimdva 2935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( E. c  e.  ( W  \  {
a } ) s  e.  { <. a ,  B ,  c >. }  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W 
\  { d } ) { <. d ,  B ,  e >. } ) )
323, 31syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( s  e. 
U_ c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c
>. }  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  e
>. } ) )
3332ralrimiv 2855 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  A. s  e.  U_  c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
e >. } )
34 oteq3 4213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  e  ->  <. d ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
3534sneqd 4026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  e  ->  { <. d ,  B ,  c
>. }  =  { <. d ,  B ,  e
>. } )
3635cbviunv 4354 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ c  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
c >. }  =  U_ e  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  e >. }
3736eleq2i 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  U_ c  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
c >. }  <->  s  e.  U_ e  e.  ( W 
\  { d } ) { <. d ,  B ,  e >. } )
3837notbii 296 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  s  e.  U_ c  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
c >. }  <->  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  e
>. } )
3938ralbii 2874 . . . . . . . 8  |-  ( A. s  e.  U_  c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  -.  s  e.  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c
>. }  <->  A. s  e.  U_  c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
e >. } )
4033, 39sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  A. s  e.  U_  c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  -.  s  e.  U_ c  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
c >. } )
41 disj 3853 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c
>. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
c >. } )  =  (/) 
<-> 
A. s  e.  U_  c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  -.  s  e.  U_ c  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
c >. } )
4240, 41sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) )
4342olcd 393 . . . . 5  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W 
\  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) )
4443ex 434 . . . 4  |-  ( -.  a  =  d  -> 
( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) ) )
452, 44pm2.61i 164 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) )  ->  (
a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) )
4645ralrimivva 2864 . 2  |-  ( B  e.  X  ->  A. a  e.  V  A. d  e.  V  ( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c
>. } )  =  (/) ) )
47 sneq 4024 . . . . 5  |-  ( a  =  d  ->  { a }  =  { d } )
4847difeq2d 3607 . . . 4  |-  ( a  =  d  ->  ( W  \  { a } )  =  ( W 
\  { d } ) )
49 oteq1 4211 . . . . 5  |-  ( a  =  d  ->  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  c >. )
5049sneqd 4026 . . . 4  |-  ( a  =  d  ->  { <. a ,  B ,  c
>. }  =  { <. d ,  B ,  c
>. } )
5148, 50iuneq12d 4341 . . 3  |-  ( a  =  d  ->  U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  =  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )
5251disjor 4421 . 2  |-  (Disj  a  e.  V  U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  <->  A. a  e.  V  A. d  e.  V  ( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c
>. } )  =  (/) ) )
5346, 52sylibr 212 1  |-  ( B  e.  X  -> Disj  a  e.  V  U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794    \ cdif 3458    i^i cin 3460   (/)c0 3770   {csn 4014   <.cotp 4022   U_ciun 4315  Disj wdisj 4407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-ot 4023  df-iun 4317  df-disj 4408
This theorem is referenced by:  usgreghash2spotv  25044
  Copyright terms: Public domain W3C validator