Theorem otiunsndisj 4707

Description: The union of singletons consisting of ordered triples which have distinct first and third components are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
otiunsndisj	|- ( B e. X -> Disj a e. V U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } )

Distinct variable groups:   B, a, c   V, a, c   W, a, c   X, a, c

Proof of Theorem otiunsndisj

Dummy variables d e s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 387	. . . . 5 |- ( a = d -> ( a = d \/ ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
2	1	a1d 26	. . . 4 |- ( a = d -> ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) ) )
3		eliun 4283	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } <-> E. c e. ( W \ { a } ) s e. { <. a , B , c >. } )
4		simprl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> a e. V )
5	4	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( c e. ( W \ { a } ) /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> a e. V )
6		simprl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( c e. ( W \ { a } ) /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> B e. X )
7		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( c e. ( W \ { a } ) /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> c e. ( W \ { a } ) )
8		otthg 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( a e. V /\ B e. X /\ c e. ( W \ { a } ) ) -> ( <. a , B , c >. = <. d , B , e >. <-> ( a = d /\ B = B /\ c = e ) ) )
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( c e. ( W \ { a } ) /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( <. a , B , c >. = <. d , B , e >. <-> ( a = d /\ B = B /\ c = e ) ) )
10		simp1 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( a = d /\ B = B /\ c = e ) -> a = d )
11	9, 10	syl6bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( c e. ( W \ { a } ) /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( <. a , B , c >. = <. d , B , e >. -> a = d ) )
12	11	con3d 139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( c e. ( W \ { a } ) /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( -. a = d -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
13	12	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c e. ( W \ { a } ) -> ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( -. a = d -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) ) )
14	13	com13 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. a = d -> ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( c e. ( W \ { a } ) -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) ) )
15	14	imp31 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. )
16	15	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. )
17	16	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) /\ e e. ( W \ { d } ) ) -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. )
18		elsn 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. { <. a , B , c >. } <-> s = <. a , B , c >. )
19		eqeq1 2455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s = <. a , B , c >. -> ( s = <. d , B , e >. <-> <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
20	19	notbid 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s = <. a , B , c >. -> ( -. s = <. d , B , e >. <-> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
21	18, 20	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. { <. a , B , c >. } -> ( -. s = <. d , B , e >. <-> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
22	21	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> ( -. s = <. d , B , e >. <-> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
23	22	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) /\ e e. ( W \ { d } ) ) -> ( -. s = <. d , B , e >. <-> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
24	17, 23	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) /\ e e. ( W \ { d } ) ) -> -. s = <. d , B , e >. )
25		elsn 3982	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. { <. d , B , e >. } <-> s = <. d , B , e >. )
26	24, 25	sylnibr 307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) /\ e e. ( W \ { d } ) ) -> -. s e. { <. d , B , e >. } )
27	26	nrexdv 2843	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> -. E. e e. ( W \ { d } ) s e. { <. d , B , e >. } )
28		eliun 4283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } <-> E. e e. ( W \ { d } ) s e. { <. d , B , e >. } )
29	27, 28	sylnibr 307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } )
30	29	ex 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) -> ( s e. { <. a , B , c >. } -> -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } ) )
31	30	rexlimdva 2879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( E. c e. ( W \ { a } ) s e. { <. a , B , c >. } -> -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } ) )
32	3, 31	syl5bi 221	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } -> -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } ) )
33	32	ralrimiv 2800	. . . . . . . 8 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> A. s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } )
34		oteq3 4177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = e -> <. d , B , c >. = <. d , B , e >. )
35	34	sneqd 3980	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = e -> { <. d , B , c >. } = { <. d , B , e >. } )
36	35	cbviunv 4317	. . . . . . . . . . 11 |- U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } = U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. }
37	36	eleq2i 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } <-> s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } )
38	37	notbii 298	. . . . . . . . 9 |- ( -. s e. U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } <-> -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } )
39	38	ralbii 2819	. . . . . . . 8 |- ( A. s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } -. s e. U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } <-> A. s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } )
40	33, 39	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> A. s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } -. s e. U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } )
41		disj 3805	. . . . . . 7 |- ( ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) <-> A. s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } -. s e. U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } )
42	40, 41	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) )
43	42	olcd 395	. . . . 5 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
44	43	ex 436	. . . 4 |- ( -. a = d -> ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) ) )
45	2, 44	pm2.61i 168	. . 3 |- ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
46	45	ralrimivva 2809	. 2 |- ( B e. X -> A. a e. V A. d e. V ( a = d \/ ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
47		sneq 3978	. . . . 5 |- ( a = d -> { a } = { d } )
48	47	difeq2d 3551	. . . 4 |- ( a = d -> ( W \ { a } ) = ( W \ { d } ) )
49		oteq1 4175	. . . . 5 |- ( a = d -> <. a , B , c >. = <. d , B , c >. )
50	49	sneqd 3980	. . . 4 |- ( a = d -> { <. a , B , c >. } = { <. d , B , c >. } )
51	48, 50	iuneq12d 4304	. . 3 |- ( a = d -> U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } = U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } )
52	51	disjor 4387	. 2 |- (Disj a e. V U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } <-> A. a e. V A. d e. V ( a = d \/ ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
53	46, 52	sylibr 216	1 |- ( B e. X -> Disj a e. V U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   \ cdif 3401   i^i cin 3403   (/)c0 3731   {csn 3968   <.cotp 3976   U_ciun 4278  Disj wdisj 4373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-ot 3977  df-iun 4280  df-disj 4374

This theorem is referenced by:  usgreghash2spotv  25794