Theorem otiunsndisj 4743

Description: The union of singletons consisting of ordered triples which have distinct first and third components are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
otiunsndisj	|- ( B e. X -> Disj a e. V U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } )

Distinct variable groups:   B, a, c   V, a, c   W, a, c   X, a, c

Proof of Theorem otiunsndisj

Dummy variables d e s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 385	. . . . 5 |- ( a = d -> ( a = d \/ ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
2	1	a1d 25	. . . 4 |- ( a = d -> ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) ) )
3		eliun 4320	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } <-> E. c e. ( W \ { a } ) s e. { <. a , B , c >. } )
4		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> a e. V )
5	4	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( c e. ( W \ { a } ) /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> a e. V )
6		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( c e. ( W \ { a } ) /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> B e. X )
7		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( c e. ( W \ { a } ) /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> c e. ( W \ { a } ) )
8		otthg 4720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( a e. V /\ B e. X /\ c e. ( W \ { a } ) ) -> ( <. a , B , c >. = <. d , B , e >. <-> ( a = d /\ B = B /\ c = e ) ) )
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( c e. ( W \ { a } ) /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( <. a , B , c >. = <. d , B , e >. <-> ( a = d /\ B = B /\ c = e ) ) )
10		simp1 997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( a = d /\ B = B /\ c = e ) -> a = d )
11	9, 10	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( c e. ( W \ { a } ) /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( <. a , B , c >. = <. d , B , e >. -> a = d ) )
12	11	con3d 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( c e. ( W \ { a } ) /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( -. a = d -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
13	12	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c e. ( W \ { a } ) -> ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( -. a = d -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) ) )
14	13	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. a = d -> ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( c e. ( W \ { a } ) -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) ) )
15	14	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. )
16	15	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. )
17	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) /\ e e. ( W \ { d } ) ) -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. )
18		elsn 4028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. { <. a , B , c >. } <-> s = <. a , B , c >. )
19		eqeq1 2447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s = <. a , B , c >. -> ( s = <. d , B , e >. <-> <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
20	19	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s = <. a , B , c >. -> ( -. s = <. d , B , e >. <-> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
21	18, 20	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. { <. a , B , c >. } -> ( -. s = <. d , B , e >. <-> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
22	21	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> ( -. s = <. d , B , e >. <-> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
23	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) /\ e e. ( W \ { d } ) ) -> ( -. s = <. d , B , e >. <-> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
24	17, 23	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) /\ e e. ( W \ { d } ) ) -> -. s = <. d , B , e >. )
25		elsn 4028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. { <. d , B , e >. } <-> s = <. d , B , e >. )
26	24, 25	sylnibr 305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) /\ e e. ( W \ { d } ) ) -> -. s e. { <. d , B , e >. } )
27	26	nrexdv 2899	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> -. E. e e. ( W \ { d } ) s e. { <. d , B , e >. } )
28		eliun 4320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } <-> E. e e. ( W \ { d } ) s e. { <. d , B , e >. } )
29	27, 28	sylnibr 305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } )
30	29	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) -> ( s e. { <. a , B , c >. } -> -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } ) )
31	30	rexlimdva 2935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( E. c e. ( W \ { a } ) s e. { <. a , B , c >. } -> -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } ) )
32	3, 31	syl5bi 217	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } -> -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } ) )
33	32	ralrimiv 2855	. . . . . . . 8 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> A. s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } )
34		oteq3 4213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = e -> <. d , B , c >. = <. d , B , e >. )
35	34	sneqd 4026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = e -> { <. d , B , c >. } = { <. d , B , e >. } )
36	35	cbviunv 4354	. . . . . . . . . . 11 |- U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } = U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. }
37	36	eleq2i 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } <-> s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } )
38	37	notbii 296	. . . . . . . . 9 |- ( -. s e. U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } <-> -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } )
39	38	ralbii 2874	. . . . . . . 8 |- ( A. s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } -. s e. U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } <-> A. s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } )
40	33, 39	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> A. s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } -. s e. U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } )
41		disj 3853	. . . . . . 7 |- ( ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) <-> A. s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } -. s e. U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } )
42	40, 41	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) )
43	42	olcd 393	. . . . 5 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
44	43	ex 434	. . . 4 |- ( -. a = d -> ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) ) )
45	2, 44	pm2.61i 164	. . 3 |- ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
46	45	ralrimivva 2864	. 2 |- ( B e. X -> A. a e. V A. d e. V ( a = d \/ ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
47		sneq 4024	. . . . 5 |- ( a = d -> { a } = { d } )
48	47	difeq2d 3607	. . . 4 |- ( a = d -> ( W \ { a } ) = ( W \ { d } ) )
49		oteq1 4211	. . . . 5 |- ( a = d -> <. a , B , c >. = <. d , B , c >. )
50	49	sneqd 4026	. . . 4 |- ( a = d -> { <. a , B , c >. } = { <. d , B , c >. } )
51	48, 50	iuneq12d 4341	. . 3 |- ( a = d -> U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } = U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } )
52	51	disjor 4421	. 2 |- (Disj a e. V U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } <-> A. a e. V A. d e. V ( a = d \/ ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
53	46, 52	sylibr 212	1 |- ( B e. X -> Disj a e. V U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   \ cdif 3458   i^i cin 3460   (/)c0 3770   {csn 4014   <.cotp 4022   U_ciun 4315  Disj wdisj 4407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-ot 4023  df-iun 4317  df-disj 4408

This theorem is referenced by:  usgreghash2spotv  25044