HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  osumcor2i Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem osumcor2i 27309
Description: Corollary of osumi 27307, showing it holds under the weaker hypothesis that  A and  B commute. (Contributed by NM, 6-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osum.1  |-  A  e. 
CH
osum.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
osumcor2i  |-  ( A  C_H  B  ->  ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B
) )

Proof of Theorem osumcor2i
StepHypRef Expression
1 osum.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
CH
2 osum.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
CH
31, 2cmcm2i 27258 . . . . 5  |-  ( A  C_H  B  <->  A  C_H  ( _|_ `  B ) )
42choccli 26972 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  B )  e.  CH
51, 4cmbr4i 27266 . . . . 5  |-  ( A  C_H  ( _|_ `  B
)  <->  ( A  i^i  ( ( _|_ `  A
)  vH  ( _|_ `  B ) ) ) 
C_  ( _|_ `  B
) )
63, 5bitri 253 . . . 4  |-  ( A  C_H  B  <->  ( A  i^i  ( ( _|_ `  A
)  vH  ( _|_ `  B ) ) ) 
C_  ( _|_ `  B
) )
71choccli 26972 . . . . . . . 8  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
87, 4chjcli 27122 . . . . . . 7  |-  ( ( _|_ `  A )  vH  ( _|_ `  B
) )  e.  CH
91, 8chincli 27125 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  ( _|_ `  B ) ) )  e.  CH
109, 2osumi 27307 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  ( _|_ `  B
) ) )  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  ( _|_ `  B ) ) )  +H  B )  =  ( ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  ( _|_ `  B ) ) )  vH  B ) )
117, 4chjcomi 27133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _|_ `  A )  vH  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  B
)  vH  ( _|_ `  A ) )
1211ineq2i 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( A  i^i  ( ( _|_ `  B )  vH  ( _|_ `  A ) ) )
1312oveq1i 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  ( _|_ `  B
) ) )  vH  B )  =  ( ( A  i^i  (
( _|_ `  B
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  vH  B )
144, 7chjcli 27122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _|_ `  B )  vH  ( _|_ `  A
) )  e.  CH
151, 14chincli 27125 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( ( _|_ `  B )  vH  ( _|_ `  A ) ) )  e.  CH
1615, 2chjcomi 27133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  ( ( _|_ `  B )  vH  ( _|_ `  A
) ) )  vH  B )  =  ( B  vH  ( A  i^i  ( ( _|_ `  B )  vH  ( _|_ `  A ) ) ) )
1713, 16eqtri 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  ( _|_ `  B
) ) )  vH  B )  =  ( B  vH  ( A  i^i  ( ( _|_ `  B )  vH  ( _|_ `  A ) ) ) )
182, 1pjoml4i 27252 . . . . . . . . 9  |-  ( B  vH  ( A  i^i  ( ( _|_ `  B
)  vH  ( _|_ `  A ) ) ) )  =  ( B  vH  A )
192, 1chjcomi 27133 . . . . . . . . 9  |-  ( B  vH  A )  =  ( A  vH  B
)
2018, 19eqtri 2475 . . . . . . . 8  |-  ( B  vH  ( A  i^i  ( ( _|_ `  B
)  vH  ( _|_ `  A ) ) ) )  =  ( A  vH  B )
2117, 20eqtri 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  ( _|_ `  B
) ) )  vH  B )  =  ( A  vH  B )
2221eqeq2i 2465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  (
( _|_ `  A
)  vH  ( _|_ `  B ) ) )  +H  B )  =  ( ( A  i^i  ( ( _|_ `  A
)  vH  ( _|_ `  B ) ) )  vH  B )  <->  ( ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  ( _|_ `  B ) ) )  +H  B )  =  ( A  vH  B ) )
23 inss1 3654 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  ( _|_ `  B ) ) )  C_  A
249chshii 26892 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  ( _|_ `  B ) ) )  e.  SH
251chshii 26892 . . . . . . . . 9  |-  A  e.  SH
262chshii 26892 . . . . . . . . 9  |-  B  e.  SH
2724, 25, 26shlessi 27042 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  ( _|_ `  B
) ) )  C_  A  ->  ( ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  ( _|_ `  B ) ) )  +H  B ) 
C_  ( A  +H  B ) )
2823, 27ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  ( _|_ `  B
) ) )  +H  B )  C_  ( A  +H  B )
29 sseq1 3455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  (
( _|_ `  A
)  vH  ( _|_ `  B ) ) )  +H  B )  =  ( A  vH  B
)  ->  ( (
( A  i^i  (
( _|_ `  A
)  vH  ( _|_ `  B ) ) )  +H  B )  C_  ( A  +H  B
)  <->  ( A  vH  B )  C_  ( A  +H  B ) ) )
3028, 29mpbii 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  (
( _|_ `  A
)  vH  ( _|_ `  B ) ) )  +H  B )  =  ( A  vH  B
)  ->  ( A  vH  B )  C_  ( A  +H  B ) )
3122, 30sylbi 199 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  (
( _|_ `  A
)  vH  ( _|_ `  B ) ) )  +H  B )  =  ( ( A  i^i  ( ( _|_ `  A
)  vH  ( _|_ `  B ) ) )  vH  B )  -> 
( A  vH  B
)  C_  ( A  +H  B ) )
3210, 31syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  ( _|_ `  B
) ) )  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( A  vH  B )  C_  ( A  +H  B ) )
336, 32sylbi 199 . . 3  |-  ( A  C_H  B  ->  ( A  vH  B )  C_  ( A  +H  B
) )
341, 2chsleji 27123 . . 3  |-  ( A  +H  B )  C_  ( A  vH  B )
3533, 34jctil 540 . 2  |-  ( A  C_H  B  ->  (
( A  +H  B
)  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B )  C_  ( A  +H  B
) ) )
36 eqss 3449 . 2  |-  ( ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B )  <->  ( ( A  +H  B )  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B )  C_  ( A  +H  B ) ) )
3735, 36sylibr 216 1  |-  ( A  C_H  B  ->  ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    i^i cin 3405    C_ wss 3406   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CHcch 26594   _|_cort 26595    +H cph 26596    vH chj 26598    C_H ccm 26601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cc 8870  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624  ax-hilex 26664  ax-hfvadd 26665  ax-hvcom 26666  ax-hvass 26667  ax-hv0cl 26668  ax-hvaddid 26669  ax-hfvmul 26670  ax-hvmulid 26671  ax-hvmulass 26672  ax-hvdistr1 26673  ax-hvdistr2 26674  ax-hvmul0 26675  ax-hfi 26744  ax-his1 26747  ax-his2 26748  ax-his3 26749  ax-his4 26750  ax-hcompl 26867
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-acn 8381  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-lm 20257  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cfil 22237  df-cau 22238  df-cmet 22239  df-grpo 25931  df-gid 25932  df-ginv 25933  df-gdiv 25934  df-ablo 26022  df-subgo 26042  df-vc 26177  df-nv 26223  df-va 26226  df-ba 26227  df-sm 26228  df-0v 26229  df-vs 26230  df-nmcv 26231  df-ims 26232  df-dip 26349  df-ssp 26373  df-ph 26466  df-cbn 26517  df-hnorm 26633  df-hba 26634  df-hvsub 26636  df-hlim 26637  df-hcau 26638  df-sh 26872  df-ch 26886  df-oc 26917  df-ch0 26918  df-shs 26973  df-chj 26975  df-pjh 27060  df-cm 27248
This theorem is referenced by:  cmmdi  28081
  Copyright terms: Public domain W3C validator