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Theorem osumcllem9N 35831
Description: Lemma for osumclN 35834. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
osumcllem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
osumcllem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
osumcllem.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
osumcllem.o  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
osumcllem.c  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
osumcllem.m  |-  M  =  ( X  .+  {
p } )
osumcllem.u  |-  U  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )
Assertion
Ref Expression
osumcllem9N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  M  =  X )

Proof of Theorem osumcllem9N
StepHypRef Expression
1 inass 3704 . . . . . . 7  |-  ( ( (  ._|_  `  X )  i^i  U )  i^i 
M )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M ) )
2 simp11 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  K  e.  HL )
3 simp13 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  Y  e.  C )
4 simp21 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )
5 osumcllem.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 osumcllem.j . . . . . . . . . 10  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 osumcllem.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( Atoms `  K )
8 osumcllem.p . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +P `  K
)
9 osumcllem.o . . . . . . . . . 10  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
10 osumcllem.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
11 osumcllem.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( X  .+  {
p } )
12 osumcllem.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )
135, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem3N 35825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (
(  ._|_  `  X )  i^i  U )  =  Y )
142, 3, 4, 13syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  X
)  i^i  U )  =  Y )
1514ineq1d 3695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( ( (  ._|_  `  X )  i^i  U
)  i^i  M )  =  ( Y  i^i  M ) )
161, 15syl5eqr 2512 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  X
)  i^i  ( U  i^i  M ) )  =  ( Y  i^i  M
) )
17 simp12 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  e.  C )
187, 10psubclssatN 35808 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C )  ->  X  C_  A )
192, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  C_  A )
207, 10psubclssatN 35808 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C )  ->  Y  C_  A )
212, 3, 20syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  Y  C_  A )
22 simp22 1030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  =/=  (/) )
237, 8paddssat 35681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A )
242, 19, 21, 23syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( X  .+  Y
)  C_  A )
257, 9polssatN 35775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  A )  -> 
(  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  A )
262, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  A )
277, 9polssatN 35775 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  C_  A )
282, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )  C_  A )
2912, 28syl5eqss 3543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  U  C_  A )
30 simp23 1031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  p  e.  U )
3129, 30sseldd 3500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  p  e.  A )
32 simp3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )
335, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem8N 35830 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  A )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( Y  i^i  M
)  =  (/) )
342, 19, 21, 4, 22, 31, 32, 33syl331anc 1253 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( Y  i^i  M
)  =  (/) )
3516, 34eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  X
)  i^i  ( U  i^i  M ) )  =  (/) )
3635fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  =  (  ._|_  `  (/) ) )
377, 9pol0N 35776 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  (  ._|_  `  (/) )  =  A )
382, 37syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  (/) )  =  A )
3936, 38eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  =  A )
405, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem1N 35823 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  p  e.  U )  ->  ( U  i^i  M
)  =  M )
412, 19, 21, 30, 40syl31anc 1231 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( U  i^i  M
)  =  M )
4239, 41ineq12d 3697 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  i^i  ( U  i^i  M
) )  =  ( A  i^i  M ) )
437, 9, 10polsubclN 35819 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  e.  C )
442, 26, 43syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )  e.  C )
4512, 44syl5eqel 2549 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  U  e.  C )
467, 8, 10paddatclN 35816 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  p  e.  A )  ->  ( X  .+  {
p } )  e.  C )
472, 17, 31, 46syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( X  .+  {
p } )  e.  C )
4811, 47syl5eqel 2549 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  M  e.  C )
4910psubclinN 35815 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  U  e.  C  /\  M  e.  C )  ->  ( U  i^i  M
)  e.  C )
502, 45, 48, 49syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( U  i^i  M
)  e.  C )
515, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem2N 35824 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  p  e.  U )  ->  X  C_  ( U  i^i  M ) )
522, 19, 21, 30, 51syl31anc 1231 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  C_  ( U  i^i  M ) )
5310, 9poml6N 35822 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  ( U  i^i  M )  e.  C )  /\  X  C_  ( U  i^i  M ) )  ->  (
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  i^i  ( U  i^i  M
) )  =  X )
542, 17, 50, 52, 53syl31anc 1231 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  i^i  ( U  i^i  M
) )  =  X )
5531snssd 4177 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  { p }  C_  A )
567, 8paddssat 35681 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  {
p }  C_  A
)  ->  ( X  .+  { p } ) 
C_  A )
572, 19, 55, 56syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( X  .+  {
p } )  C_  A )
5811, 57syl5eqss 3543 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  M  C_  A )
59 sseqin2 3713 . . 3  |-  ( M 
C_  A  <->  ( A  i^i  M )  =  M )
6058, 59sylib 196 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( A  i^i  M
)  =  M )
6142, 54, 603eqtr3rd 2507 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  M  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   lecple 14719   joincjn 15700   Atomscatm 35131   HLchlt 35218   +Pcpadd 35662   _|_PcpolN 35769   PSubClcpscN 35801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-riotaBAD 34827
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-undef 7020  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-p0 15796  df-p1 15797  df-lat 15803  df-clat 15865  df-oposet 35044  df-ol 35046  df-oml 35047  df-covers 35134  df-ats 35135  df-atl 35166  df-cvlat 35190  df-hlat 35219  df-psubsp 35370  df-pmap 35371  df-padd 35663  df-polarityN 35770  df-psubclN 35802
This theorem is referenced by:  osumcllem11N  35833
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