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Theorem osumcllem9N 35831
Description: Lemma for osumclN 35834. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l |- .<_ = ( le ` K )
osumcllem.j |- .\/ = ( join ` K )
osumcllem.a |- A = ( Atoms ` K )
osumcllem.p |- .+ = ( +P ` K )
osumcllem.o |- ._|_ = ( _|_P ` K )
osumcllem.c |- C = ( PSubCl ` K )
osumcllem.m |- M = ( X .+ { p } )
osumcllem.u |- U = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
osumcllem9N |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> M = X )
Proof of Theorem osumcllem9N
StepHypRef Expression
1 inass 3704 . . . . . . 7 |- ( ( ( ._|_ ` X ) i^i U ) i^i M ) = ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) )
2 simp11 1026 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> K e. HL )
3 simp13 1028 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> Y e. C )
4 simp21 1029 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X C_ ( ._|_ ` Y ) )
5 osumcllem.l . . . . . . . . . 10 |- .<_ = ( le ` K )
6 osumcllem.j . . . . . . . . . 10 |- .\/ = ( join ` K )
7 osumcllem.a . . . . . . . . . 10 |- A = ( Atoms ` K )
8 osumcllem.p . . . . . . . . . 10 |- .+ = ( +P ` K )
9 osumcllem.o . . . . . . . . . 10 |- ._|_ = ( _|_P ` K )
10 osumcllem.c . . . . . . . . . 10 |- C = ( PSubCl ` K )
11 osumcllem.m . . . . . . . . . 10 |- M = ( X .+ { p } )
12 osumcllem.u . . . . . . . . . 10 |- U = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) )
135, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem3N 35825 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ Y e. C /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i U ) = Y )
142, 3, 4, 13syl3anc 1228 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i U ) = Y )
1514ineq1d 3695 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ( ( ._|_ ` X ) i^i U ) i^i M ) = ( Y i^i M ) )
161, 15syl5eqr 2512 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) = ( Y i^i M ) )
17 simp12 1027 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X e. C )
187, 10psubclssatN 35808 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. C ) -> X C_ A )
192, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X C_ A )
207, 10psubclssatN 35808 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ Y e. C ) -> Y C_ A )
212, 3, 20syl2anc 661 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> Y C_ A )
22 simp22 1030 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X =/= (/) )
237, 8paddssat 35681 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) C_ A )
242, 19, 21, 23syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ Y ) C_ A )
257, 9polssatN 35775 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ ( X .+ Y ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ A )
262, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ A )
277, 9polssatN 35775 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) C_ A )
282, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) C_ A )
2912, 28syl5eqss 3543 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> U C_ A )
30 simp23 1031 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> p e. U )
3129, 30sseldd 3500 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> p e. A )
32 simp3 998 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> -. p e. ( X .+ Y ) )
335, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem8N 35830 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. A ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( Y i^i M ) = (/) )
342, 19, 21, 4, 22, 31, 32, 33syl331anc 1253 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( Y i^i M ) = (/) )
3516, 34eqtrd 2498 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) = (/) )
3635fveq2d 5876 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) ) = ( ._|_ ` (/) ) )
377, 9pol0N 35776 . . . . 5 |- ( K e. HL -> ( ._|_ ` (/) ) = A )
382, 37syl 16 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` (/) ) = A )
3936, 38eqtrd 2498 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) ) = A )
405, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem1N 35823 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ p e. U ) -> ( U i^i M ) = M )
412, 19, 21, 30, 40syl31anc 1231 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( U i^i M ) = M )
4239, 41ineq12d 3697 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) ) i^i ( U i^i M ) ) = ( A i^i M ) )
437, 9, 10polsubclN 35819 . . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) e. C )
442, 26, 43syl2anc 661 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) e. C )
4512, 44syl5eqel 2549 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> U e. C )
467, 8, 10paddatclN 35816 . . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. C /\ p e. A ) -> ( X .+ { p } ) e. C )
472, 17, 31, 46syl3anc 1228 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ { p } ) e. C )
4811, 47syl5eqel 2549 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> M e. C )
4910psubclinN 35815 . . . 4 |- ( ( K e. HL /\ U e. C /\ M e. C ) -> ( U i^i M ) e. C )
502, 45, 48, 49syl3anc 1228 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( U i^i M ) e. C )
515, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem2N 35824 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ p e. U ) -> X C_ ( U i^i M ) )
522, 19, 21, 30, 51syl31anc 1231 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X C_ ( U i^i M ) )
5310, 9poml6N 35822 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ ( U i^i M ) e. C ) /\ X C_ ( U i^i M ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) ) i^i ( U i^i M ) ) = X )
542, 17, 50, 52, 53syl31anc 1231 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) ) i^i ( U i^i M ) ) = X )
5531snssd 4177 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> { p } C_ A )
567, 8paddssat 35681 . . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ { p } C_ A ) -> ( X .+ { p } ) C_ A )
572, 19, 55, 56syl3anc 1228 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ { p } ) C_ A )
5811, 57syl5eqss 3543 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> M C_ A )
59 sseqin2 3713 . . 3 |- ( M C_ A <-> ( A i^i M ) = M )
6058, 59sylib 196 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( A i^i M ) = M )
6142, 54, 603eqtr3rd 2507 1 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> M = X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   lecple 14719   joincjn 15700   Atomscatm 35131   HLchlt 35218   +Pcpadd 35662   _|_PcpolN 35769   PSubClcpscN 35801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-riotaBAD 34827
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-undef 7020  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-p0 15796  df-p1 15797  df-lat 15803  df-clat 15865  df-oposet 35044  df-ol 35046  df-oml 35047  df-covers 35134  df-ats 35135  df-atl 35166  df-cvlat 35190  df-hlat 35219  df-psubsp 35370  df-pmap 35371  df-padd 35663  df-polarityN 35770  df-psubclN 35802
This theorem is referenced by:  osumcllem11N  35833
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