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Theorem osumcllem9N 33359
Description: Lemma for osumclN 33362. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
osumcllem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
osumcllem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
osumcllem.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
osumcllem.o  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
osumcllem.c  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
osumcllem.m  |-  M  =  ( X  .+  {
p } )
osumcllem.u  |-  U  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )
Assertion
Ref Expression
osumcllem9N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  M  =  X )

Proof of Theorem osumcllem9N
StepHypRef Expression
1 inass 3553 . . . . . . 7  |-  ( ( (  ._|_  `  X )  i^i  U )  i^i 
M )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M ) )
2 simp11 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  K  e.  HL )
3 simp13 1020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  Y  e.  C )
4 simp21 1021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )
5 osumcllem.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 osumcllem.j . . . . . . . . . 10  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 osumcllem.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( Atoms `  K )
8 osumcllem.p . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +P `  K
)
9 osumcllem.o . . . . . . . . . 10  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
10 osumcllem.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
11 osumcllem.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( X  .+  {
p } )
12 osumcllem.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )
135, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem3N 33353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (
(  ._|_  `  X )  i^i  U )  =  Y )
142, 3, 4, 13syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  X
)  i^i  U )  =  Y )
1514ineq1d 3544 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( ( (  ._|_  `  X )  i^i  U
)  i^i  M )  =  ( Y  i^i  M ) )
161, 15syl5eqr 2483 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  X
)  i^i  ( U  i^i  M ) )  =  ( Y  i^i  M
) )
17 simp12 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  e.  C )
187, 10psubclssatN 33336 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C )  ->  X  C_  A )
192, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  C_  A )
207, 10psubclssatN 33336 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C )  ->  Y  C_  A )
212, 3, 20syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  Y  C_  A )
22 simp22 1022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  =/=  (/) )
237, 8paddssat 33209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A )
242, 19, 21, 23syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( X  .+  Y
)  C_  A )
257, 9polssatN 33303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  A )  -> 
(  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  A )
262, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  A )
277, 9polssatN 33303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  C_  A )
282, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )  C_  A )
2912, 28syl5eqss 3393 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  U  C_  A )
30 simp23 1023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  p  e.  U )
3129, 30sseldd 3350 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  p  e.  A )
32 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )
335, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem8N 33358 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  A )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( Y  i^i  M
)  =  (/) )
342, 19, 21, 4, 22, 31, 32, 33syl331anc 1243 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( Y  i^i  M
)  =  (/) )
3516, 34eqtrd 2469 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  X
)  i^i  ( U  i^i  M ) )  =  (/) )
3635fveq2d 5688 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  =  (  ._|_  `  (/) ) )
377, 9pol0N 33304 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  (  ._|_  `  (/) )  =  A )
382, 37syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  (/) )  =  A )
3936, 38eqtrd 2469 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  =  A )
405, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem1N 33351 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  p  e.  U )  ->  ( U  i^i  M
)  =  M )
412, 19, 21, 30, 40syl31anc 1221 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( U  i^i  M
)  =  M )
4239, 41ineq12d 3546 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  i^i  ( U  i^i  M
) )  =  ( A  i^i  M ) )
437, 9, 10polsubclN 33347 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  e.  C )
442, 26, 43syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )  e.  C )
4512, 44syl5eqel 2521 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  U  e.  C )
467, 8, 10paddatclN 33344 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  p  e.  A )  ->  ( X  .+  {
p } )  e.  C )
472, 17, 31, 46syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( X  .+  {
p } )  e.  C )
4811, 47syl5eqel 2521 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  M  e.  C )
4910psubclinN 33343 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  U  e.  C  /\  M  e.  C )  ->  ( U  i^i  M
)  e.  C )
502, 45, 48, 49syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( U  i^i  M
)  e.  C )
515, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem2N 33352 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  p  e.  U )  ->  X  C_  ( U  i^i  M ) )
522, 19, 21, 30, 51syl31anc 1221 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  C_  ( U  i^i  M ) )
5310, 9poml6N 33350 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  ( U  i^i  M )  e.  C )  /\  X  C_  ( U  i^i  M ) )  ->  (
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  i^i  ( U  i^i  M
) )  =  X )
542, 17, 50, 52, 53syl31anc 1221 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  i^i  ( U  i^i  M
) )  =  X )
5531snssd 4011 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  { p }  C_  A )
567, 8paddssat 33209 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  {
p }  C_  A
)  ->  ( X  .+  { p } ) 
C_  A )
572, 19, 55, 56syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( X  .+  {
p } )  C_  A )
5811, 57syl5eqss 3393 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  M  C_  A )
59 sseqin2 3562 . . 3  |-  ( M 
C_  A  <->  ( A  i^i  M )  =  M )
6058, 59sylib 196 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( A  i^i  M
)  =  M )
6142, 54, 603eqtr3rd 2478 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  M  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2600    i^i cin 3320    C_ wss 3321   (/)c0 3630   {csn 3870   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   lecple 14237   joincjn 15106   Atomscatm 32659   HLchlt 32746   +Pcpadd 33190   _|_PcpolN 33297   PSubClcpscN 33329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-riotaBAD 32355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-op 3877  df-uni 4085  df-iun 4166  df-iin 4167  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-id 4628  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-undef 6784  df-poset 15108  df-plt 15120  df-lub 15136  df-glb 15137  df-join 15138  df-meet 15139  df-p0 15201  df-p1 15202  df-lat 15208  df-clat 15270  df-oposet 32572  df-ol 32574  df-oml 32575  df-covers 32662  df-ats 32663  df-atl 32694  df-cvlat 32718  df-hlat 32747  df-psubsp 32898  df-pmap 32899  df-padd 33191  df-polarityN 33298  df-psubclN 33330
This theorem is referenced by:  osumcllem11N  33361
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