Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem4N Structured version   Unicode version

Theorem osumcllem4N 35385
Description: Lemma for osumclN 35393. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
osumcllem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
osumcllem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
osumcllem.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
osumcllem.o  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
osumcllem.c  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
osumcllem.m  |-  M  =  ( X  .+  {
p } )
osumcllem.u  |-  U  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )
Assertion
Ref Expression
osumcllem4N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  q  =/=  r )

Proof of Theorem osumcllem4N
StepHypRef Expression
1 n0i 3772 . . 3  |-  ( r  e.  ( X  i^i  Y )  ->  -.  ( X  i^i  Y )  =  (/) )
2 incom 3673 . . . . . . 7  |-  ( X  i^i  Y )  =  ( Y  i^i  X
)
3 sslin 3706 . . . . . . . 8  |-  ( X 
C_  (  ._|_  `  Y
)  ->  ( Y  i^i  X )  C_  ( Y  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )
433ad2ant3 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  ( Y  i^i  X )  C_  ( Y  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )
52, 4syl5eqss 3530 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  ( Y  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )
6 osumcllem.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 osumcllem.o . . . . . . . 8  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
86, 7pnonsingN 35359 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
( Y  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  =  (/) )
983adant3 1015 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  ( Y  i^i  (  ._|_  `  Y
) )  =  (/) )
105, 9sseqtrd 3522 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  (/) )
11 ss0b 3797 . . . . 5  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  (/)  <->  ( X  i^i  Y )  =  (/) )
1210, 11sylib 196 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  ( X  i^i  Y )  =  (/) )
1312adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  ( X  i^i  Y )  =  (/) )
141, 13nsyl3 119 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  -.  r  e.  ( X  i^i  Y
) )
15 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  q  e.  Y )
16 eleq1 2513 . . . . . 6  |-  ( q  =  r  ->  (
q  e.  Y  <->  r  e.  Y ) )
1715, 16syl5ibcom 220 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  ( q  =  r  ->  r  e.  Y ) )
18 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  r  e.  X )
1917, 18jctild 543 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  ( q  =  r  ->  ( r  e.  X  /\  r  e.  Y ) ) )
20 elin 3669 . . . 4  |-  ( r  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( r  e.  X  /\  r  e.  Y ) )
2119, 20syl6ibr 227 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  ( q  =  r  ->  r  e.  ( X  i^i  Y
) ) )
2221necon3bd 2653 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  ( -.  r  e.  ( X  i^i  Y )  ->  q  =/=  r ) )
2314, 22mpd 15 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  q  =/=  r )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636    i^i cin 3457    C_ wss 3458   (/)c0 3767   {csn 4010   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   lecple 14576   joincjn 15442   Atomscatm 34690   HLchlt 34777   +Pcpadd 35221   _|_PcpolN 35328   PSubClcpscN 35360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-riotaBAD 34386
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-undef 7000  df-preset 15426  df-poset 15444  df-plt 15457  df-lub 15473  df-glb 15474  df-join 15475  df-meet 15476  df-p0 15538  df-p1 15539  df-lat 15545  df-clat 15607  df-oposet 34603  df-ol 34605  df-oml 34606  df-covers 34693  df-ats 34694  df-atl 34725  df-cvlat 34749  df-hlat 34778  df-pmap 34930  df-polarityN 35329
This theorem is referenced by:  osumcllem6N  35387
  Copyright terms: Public domain W3C validator