Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem4N Unicode version

Theorem osumcllem4N 30441
Description: Lemma for osumclN 30449. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
osumcllem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
osumcllem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
osumcllem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
osumcllem.o  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
osumcllem.c  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
osumcllem.m  |-  M  =  ( X  .+  {
p } )
osumcllem.u  |-  U  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )
Assertion
Ref Expression
osumcllem4N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  q  =/=  r )

Proof of Theorem osumcllem4N
StepHypRef Expression
1 n0i 3593 . . 3  |-  ( r  e.  ( X  i^i  Y )  ->  -.  ( X  i^i  Y )  =  (/) )
2 incom 3493 . . . . . . 7  |-  ( X  i^i  Y )  =  ( Y  i^i  X
)
3 sslin 3527 . . . . . . . 8  |-  ( X 
C_  (  ._|_  `  Y
)  ->  ( Y  i^i  X )  C_  ( Y  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )
433ad2ant3 980 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  ( Y  i^i  X )  C_  ( Y  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )
52, 4syl5eqss 3352 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  ( Y  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )
6 osumcllem.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 osumcllem.o . . . . . . . 8  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
86, 7pnonsingN 30415 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
( Y  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  =  (/) )
983adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  ( Y  i^i  (  ._|_  `  Y
) )  =  (/) )
105, 9sseqtrd 3344 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  (/) )
11 ss0b 3617 . . . . 5  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  (/)  <->  ( X  i^i  Y )  =  (/) )
1210, 11sylib 189 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  ( X  i^i  Y )  =  (/) )
1312adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  ( X  i^i  Y )  =  (/) )
141, 13nsyl3 113 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  -.  r  e.  ( X  i^i  Y
) )
15 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  q  e.  Y )
16 eleq1 2464 . . . . . 6  |-  ( q  =  r  ->  (
q  e.  Y  <->  r  e.  Y ) )
1715, 16syl5ibcom 212 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  ( q  =  r  ->  r  e.  Y ) )
18 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  r  e.  X )
1917, 18jctild 528 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  ( q  =  r  ->  ( r  e.  X  /\  r  e.  Y ) ) )
20 elin 3490 . . . 4  |-  ( r  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( r  e.  X  /\  r  e.  Y ) )
2119, 20syl6ibr 219 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  ( q  =  r  ->  r  e.  ( X  i^i  Y
) ) )
2221necon3bd 2604 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  ( -.  r  e.  ( X  i^i  Y )  ->  q  =/=  r ) )
2314, 22mpd 15 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  /\  (
r  e.  X  /\  q  e.  Y )
)  ->  q  =/=  r )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   lecple 13491   joincjn 14356   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   + Pcpadd 30277   _|_ PcpolN 30384   PSubClcpscN 30416
This theorem is referenced by:  osumcllem6N  30443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-pmap 29986  df-polarityN 30385
  Copyright terms: Public domain W3C validator