Theorem osumcllem11N 32963

Description: Lemma for osumclN 32964. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcl.p	|- .+ = ( +P ` K )
osumcl.o	|- ._|_ = ( _|_P ` K )
osumcl.c	|- C = ( PSubCl ` K )

Assertion

Ref	Expression
osumcllem11N	|- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )

Proof of Theorem osumcllem11N

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nonconne 2611	. 2 |- -. ( X = X /\ X =/= X )
2		simpl1 1000	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> K e. HL )
3		simpl2 1001	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> X e. C )
4		eqid 2402	. . . . . . . 8 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
5		osumcl.c	. . . . . . . 8 |- C = ( PSubCl ` K )
6	4, 5	psubclssatN 32938	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ X e. C ) -> X C_ ( Atoms ` K ) )
7	2, 3, 6	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> X C_ ( Atoms ` K ) )
8		simpl3 1002	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> Y e. C )
9	4, 5	psubclssatN 32938	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ Y e. C ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) )
10	2, 8, 9	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) )
11		osumcl.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +P ` K )
12	4, 11	paddssat 32811	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
13	2, 7, 10, 12	syl3anc 1230	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
14		osumcl.o	. . . . . 6 |- ._|_ = ( _|_P ` K )
15	4, 14	2polssN 32912	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )
16	2, 13, 15	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )
17		df-pss 3429	. . . . . . 7 |- ( ( X .+ Y ) C. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) <-> ( ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) )
18		pssnel 3836	. . . . . . 7 |- ( ( X .+ Y ) C. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -> E. p ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) )
19	17, 18	sylbir 213	. . . . . 6 |- ( ( ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) -> E. p ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) )
20		df-rex 2759	. . . . . 6 |- ( E. p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -. p e. ( X .+ Y ) <-> E. p ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) )
21	19, 20	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) -> E. p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -. p e. ( X .+ Y ) )
22		eqid 2402	. . . . . . . . . . 11 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
23		eqid 2402	. . . . . . . . . . 11 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
24		eqid 2402	. . . . . . . . . . 11 |- ( X .+ { p } ) = ( X .+ { p } )
25		eqid 2402	. . . . . . . . . . 11 |- ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) )
26	22, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25	osumcllem9N 32961	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ { p } ) = X )
27		simp11 1027	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> K e. HL )
28		simp12 1028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X e. C )
29	27, 28, 6	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X C_ ( Atoms ` K ) )
30		simp13 1029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> Y e. C )
31	27, 30, 9	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) )
32	13	3adantr3 1158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
33	32	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
34	4, 14	polssatN 32905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. HL /\ ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
35	27, 33, 34	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
36	4, 14	polssatN 32905	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
37	27, 35, 36	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
38		simp23 1032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )
39	37, 38	sseldd 3442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> p e. ( Atoms ` K ) )
40		simp3 999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> -. p e. ( X .+ Y ) )
41	22, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25	osumcllem10N 32962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) ) /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ { p } ) =/= X )
42	27, 29, 31, 39, 40, 41	syl311anc 1244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ { p } ) =/= X )
43	26, 42	pm2.21ddne 2717	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X = X /\ X =/= X ) )
44	43	3exp 1196	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) -> ( ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) -> ( -. p e. ( X .+ Y ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) ) )
45	44	3expd 1214	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) -> ( X C_ ( ._|_ ` Y ) -> ( X =/= (/) -> ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -> ( -. p e. ( X .+ Y ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) ) ) ) )
46	45	imp32 431	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -> ( -. p e. ( X .+ Y ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) ) )
47	46	rexlimdv 2893	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( E. p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -. p e. ( X .+ Y ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) )
48	21, 47	syl5 30	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) )
49	16, 48	mpand 673	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) )
50	49	necon1bd 2621	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( -. ( X = X /\ X =/= X ) -> ( X .+ Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) )
51	1, 50	mpi 18	1 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   E.wex 1633   e. wcel 1842   =/= wne 2598   E.wrex 2754   C_ wss 3413   C. wpss 3414   (/)c0 3737   {csn 3971   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   lecple 14914   joincjn 15895   Atomscatm 32261   HLchlt 32348   +Pcpadd 32792   _|_PcpolN 32899   PSubClcpscN 32931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-riotaBAD 31957

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-undef 7004  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-p1 15992  df-lat 15998  df-clat 16060  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-psubsp 32500  df-pmap 32501  df-padd 32793  df-polarityN 32900  df-psubclN 32932

This theorem is referenced by:  osumclN  32964