Theorem osumcllem11N 34639

Description: Lemma for osumclN 34640. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcl.p	|- .+ = ( +P ` K )
osumcl.o	|- ._|_ = ( _|_P ` K )
osumcl.c	|- C = ( PSubCl ` K )

Assertion

Ref	Expression
osumcllem11N	|- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )

Proof of Theorem osumcllem11N

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nonconne 2670	. 2 |- -. ( X = X /\ X =/= X )
2		simpl1 994	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> K e. HL )
3		simpl2 995	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> X e. C )
4		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
5		osumcl.c	. . . . . . . 8 |- C = ( PSubCl ` K )
6	4, 5	psubclssatN 34614	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ X e. C ) -> X C_ ( Atoms ` K ) )
7	2, 3, 6	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> X C_ ( Atoms ` K ) )
8		simpl3 996	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> Y e. C )
9	4, 5	psubclssatN 34614	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ Y e. C ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) )
10	2, 8, 9	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) )
11		osumcl.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +P ` K )
12	4, 11	paddssat 34487	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
13	2, 7, 10, 12	syl3anc 1223	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
14		osumcl.o	. . . . . 6 |- ._|_ = ( _|_P ` K )
15	4, 14	2polssN 34588	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )
16	2, 13, 15	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )
17		df-pss 3487	. . . . . . 7 |- ( ( X .+ Y ) C. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) <-> ( ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) )
18		pssnel 3887	. . . . . . 7 |- ( ( X .+ Y ) C. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -> E. p ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) )
19	17, 18	sylbir 213	. . . . . 6 |- ( ( ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) -> E. p ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) )
20		df-rex 2815	. . . . . 6 |- ( E. p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -. p e. ( X .+ Y ) <-> E. p ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) )
21	19, 20	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) -> E. p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -. p e. ( X .+ Y ) )
22		eqid 2462	. . . . . . . . . . 11 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
23		eqid 2462	. . . . . . . . . . 11 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
24		eqid 2462	. . . . . . . . . . 11 |- ( X .+ { p } ) = ( X .+ { p } )
25		eqid 2462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) )
26	22, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25	osumcllem9N 34637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ { p } ) = X )
27		simp11 1021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> K e. HL )
28		simp12 1022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X e. C )
29	27, 28, 6	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X C_ ( Atoms ` K ) )
30		simp13 1023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> Y e. C )
31	27, 30, 9	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) )
32	13	3adantr3 1152	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
33	32	3adant3 1011	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
34	4, 14	polssatN 34581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. HL /\ ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
35	27, 33, 34	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
36	4, 14	polssatN 34581	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
37	27, 35, 36	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
38		simp23 1026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )
39	37, 38	sseldd 3500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> p e. ( Atoms ` K ) )
40		simp3 993	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> -. p e. ( X .+ Y ) )
41	22, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25	osumcllem10N 34638	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) ) /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ { p } ) =/= X )
42	27, 29, 31, 39, 40, 41	syl311anc 1237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ { p } ) =/= X )
43	26, 42	pm2.21ddne 2776	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X = X /\ X =/= X ) )
44	43	3exp 1190	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) -> ( ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) -> ( -. p e. ( X .+ Y ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) ) )
45	44	3expd 1208	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) -> ( X C_ ( ._|_ ` Y ) -> ( X =/= (/) -> ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -> ( -. p e. ( X .+ Y ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) ) ) ) )
46	45	imp32 433	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -> ( -. p e. ( X .+ Y ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) ) )
47	46	rexlimdv 2948	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( E. p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -. p e. ( X .+ Y ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) )
48	21, 47	syl5 32	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) )
49	16, 48	mpand 675	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) )
50	49	necon1bd 2680	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( -. ( X = X /\ X =/= X ) -> ( X .+ Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) )
51	1, 50	mpi 17	1 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   E.wex 1591   e. wcel 1762   =/= wne 2657   E.wrex 2810   C_ wss 3471   C. wpss 3472   (/)c0 3780   {csn 4022   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   lecple 14553   joincjn 15422   Atomscatm 33937   HLchlt 34024   +Pcpadd 34468   _|_PcpolN 34575   PSubClcpscN 34607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-riotaBAD 33633

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-undef 6994  df-poset 15424  df-plt 15436  df-lub 15452  df-glb 15453  df-join 15454  df-meet 15455  df-p0 15517  df-p1 15518  df-lat 15524  df-clat 15586  df-oposet 33850  df-ol 33852  df-oml 33853  df-covers 33940  df-ats 33941  df-atl 33972  df-cvlat 33996  df-hlat 34025  df-psubsp 34176  df-pmap 34177  df-padd 34469  df-polarityN 34576  df-psubclN 34608

This theorem is referenced by:  osumclN  34640