Theorem osumcllem11N 33531

Description: Lemma for osumclN 33532. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcl.p	|- .+ = ( +P ` K )
osumcl.o	|- ._|_ = ( _|_P ` K )
osumcl.c	|- C = ( PSubCl ` K )

Assertion

Ref	Expression
osumcllem11N	|- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )

Proof of Theorem osumcllem11N

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nonconne 2635	. 2 |- -. ( X = X /\ X =/= X )
2		simpl1 1011	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> K e. HL )
3		simpl2 1012	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> X e. C )
4		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
5		osumcl.c	. . . . . . . 8 |- C = ( PSubCl ` K )
6	4, 5	psubclssatN 33506	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ X e. C ) -> X C_ ( Atoms ` K ) )
7	2, 3, 6	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> X C_ ( Atoms ` K ) )
8		simpl3 1013	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> Y e. C )
9	4, 5	psubclssatN 33506	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ Y e. C ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) )
10	2, 8, 9	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) )
11		osumcl.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +P ` K )
12	4, 11	paddssat 33379	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
13	2, 7, 10, 12	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
14		osumcl.o	. . . . . 6 |- ._|_ = ( _|_P ` K )
15	4, 14	2polssN 33480	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )
16	2, 13, 15	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )
17		df-pss 3420	. . . . . . 7 |- ( ( X .+ Y ) C. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) <-> ( ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) )
18		pssnel 3832	. . . . . . 7 |- ( ( X .+ Y ) C. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -> E. p ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) )
19	17, 18	sylbir 217	. . . . . 6 |- ( ( ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) -> E. p ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) )
20		df-rex 2743	. . . . . 6 |- ( E. p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -. p e. ( X .+ Y ) <-> E. p ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) )
21	19, 20	sylibr 216	. . . . 5 |- ( ( ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) -> E. p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -. p e. ( X .+ Y ) )
22		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
23		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
24		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( X .+ { p } ) = ( X .+ { p } )
25		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) )
26	22, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25	osumcllem9N 33529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ { p } ) = X )
27		simp11 1038	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> K e. HL )
28		simp12 1039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X e. C )
29	27, 28, 6	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X C_ ( Atoms ` K ) )
30		simp13 1040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> Y e. C )
31	27, 30, 9	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) )
32	13	3adantr3 1169	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
33	32	3adant3 1028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
34	4, 14	polssatN 33473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. HL /\ ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
35	27, 33, 34	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
36	4, 14	polssatN 33473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
37	27, 35, 36	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
38		simp23 1043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )
39	37, 38	sseldd 3433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> p e. ( Atoms ` K ) )
40		simp3 1010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> -. p e. ( X .+ Y ) )
41	22, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25	osumcllem10N 33530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) ) /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ { p } ) =/= X )
42	27, 29, 31, 39, 40, 41	syl311anc 1282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ { p } ) =/= X )
43	26, 42	pm2.21ddne 2708	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X = X /\ X =/= X ) )
44	43	3exp 1207	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) -> ( ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) -> ( -. p e. ( X .+ Y ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) ) )
45	44	3expd 1226	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) -> ( X C_ ( ._|_ ` Y ) -> ( X =/= (/) -> ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -> ( -. p e. ( X .+ Y ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) ) ) ) )
46	45	imp32 435	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -> ( -. p e. ( X .+ Y ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) ) )
47	46	rexlimdv 2877	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( E. p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -. p e. ( X .+ Y ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) )
48	21, 47	syl5 33	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) )
49	16, 48	mpand 681	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) )
50	49	necon1bd 2642	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( -. ( X = X /\ X =/= X ) -> ( X .+ Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) )
51	1, 50	mpi 20	1 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   =/= wne 2622   E.wrex 2738   C_ wss 3404   C. wpss 3405   (/)c0 3731   {csn 3968   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   lecple 15197   joincjn 16189   Atomscatm 32829   HLchlt 32916   +Pcpadd 33360   _|_PcpolN 33467   PSubClcpscN 33499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-riotaBAD 32525

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-undef 7020  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-lub 16220  df-glb 16221  df-join 16222  df-meet 16223  df-p0 16285  df-p1 16286  df-lat 16292  df-clat 16354  df-oposet 32742  df-ol 32744  df-oml 32745  df-covers 32832  df-ats 32833  df-atl 32864  df-cvlat 32888  df-hlat 32917  df-psubsp 33068  df-pmap 33069  df-padd 33361  df-polarityN 33468  df-psubclN 33500

This theorem is referenced by:  osumclN  33532