Theorem osumcllem11N 33332

Description: Lemma for osumclN 33333. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcl.p	|- .+ = ( +P ` K )
osumcl.o	|- ._|_ = ( _|_P ` K )
osumcl.c	|- C = ( PSubCl ` K )

Assertion

Ref	Expression
osumcllem11N	|- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )

Proof of Theorem osumcllem11N

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nonconne 2613	. 2 |- -. ( X = X /\ X =/= X )
2		simpl1 986	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> K e. HL )
3		simpl2 987	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> X e. C )
4		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
5		osumcl.c	. . . . . . . 8 |- C = ( PSubCl ` K )
6	4, 5	psubclssatN 33307	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ X e. C ) -> X C_ ( Atoms ` K ) )
7	2, 3, 6	syl2anc 656	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> X C_ ( Atoms ` K ) )
8		simpl3 988	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> Y e. C )
9	4, 5	psubclssatN 33307	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ Y e. C ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) )
10	2, 8, 9	syl2anc 656	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) )
11		osumcl.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +P ` K )
12	4, 11	paddssat 33180	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
13	2, 7, 10, 12	syl3anc 1213	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
14		osumcl.o	. . . . . 6 |- ._|_ = ( _|_P ` K )
15	4, 14	2polssN 33281	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )
16	2, 13, 15	syl2anc 656	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )
17		df-pss 3341	. . . . . . 7 |- ( ( X .+ Y ) C. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) <-> ( ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) )
18		pssnel 3741	. . . . . . 7 |- ( ( X .+ Y ) C. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -> E. p ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) )
19	17, 18	sylbir 213	. . . . . 6 |- ( ( ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) -> E. p ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) )
20		df-rex 2719	. . . . . 6 |- ( E. p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -. p e. ( X .+ Y ) <-> E. p ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) )
21	19, 20	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) -> E. p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -. p e. ( X .+ Y ) )
22		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
23		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
24		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- ( X .+ { p } ) = ( X .+ { p } )
25		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) )
26	22, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25	osumcllem9N 33330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ { p } ) = X )
27		simp11 1013	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> K e. HL )
28		simp12 1014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X e. C )
29	27, 28, 6	syl2anc 656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X C_ ( Atoms ` K ) )
30		simp13 1015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> Y e. C )
31	27, 30, 9	syl2anc 656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) )
32	13	3adantr3 1144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
33	32	3adant3 1003	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
34	4, 14	polssatN 33274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. HL /\ ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
35	27, 33, 34	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
36	4, 14	polssatN 33274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
37	27, 35, 36	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
38		simp23 1018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )
39	37, 38	sseldd 3354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> p e. ( Atoms ` K ) )
40		simp3 985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> -. p e. ( X .+ Y ) )
41	22, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25	osumcllem10N 33331	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) ) /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ { p } ) =/= X )
42	27, 29, 31, 39, 40, 41	syl311anc 1227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ { p } ) =/= X )
43	26, 42	pm2.21ddne 2683	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X = X /\ X =/= X ) )
44	43	3exp 1181	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) -> ( ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) -> ( -. p e. ( X .+ Y ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) ) )
45	44	3expd 1199	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) -> ( X C_ ( ._|_ ` Y ) -> ( X =/= (/) -> ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -> ( -. p e. ( X .+ Y ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) ) ) ) )
46	45	imp32 433	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -> ( -. p e. ( X .+ Y ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) ) )
47	46	rexlimdv 2838	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( E. p e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -. p e. ( X .+ Y ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) )
48	21, 47	syl5 32	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) /\ ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) )
49	16, 48	mpand 670	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( ( X .+ Y ) =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) -> ( X = X /\ X =/= X ) ) )
50	49	necon1bd 2677	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( -. ( X = X /\ X =/= X ) -> ( X .+ Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) )
51	1, 50	mpi 17	1 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   E.wex 1591   e. wcel 1761   =/= wne 2604   E.wrex 2714   C_ wss 3325   C. wpss 3326   (/)c0 3634   {csn 3874   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   lecple 14241   joincjn 15110   Atomscatm 32630   HLchlt 32717   +Pcpadd 33161   _|_PcpolN 33268   PSubClcpscN 33300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-riotaBAD 32326

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-undef 6788  df-poset 15112  df-plt 15124  df-lub 15140  df-glb 15141  df-join 15142  df-meet 15143  df-p0 15205  df-p1 15206  df-lat 15212  df-clat 15274  df-oposet 32543  df-ol 32545  df-oml 32546  df-covers 32633  df-ats 32634  df-atl 32665  df-cvlat 32689  df-hlat 32718  df-psubsp 32869  df-pmap 32870  df-padd 33162  df-polarityN 33269  df-psubclN 33301

This theorem is referenced by:  osumclN  33333