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Theorem osumcllem11N 34639
Description: Lemma for osumclN 34640. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcl.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
osumcl.o  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
osumcl.c  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
Assertion
Ref Expression
osumcllem11N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( X  .+  Y
)  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) ) )

Proof of Theorem osumcllem11N
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nonconne 2670 . 2  |-  -.  ( X  =  X  /\  X  =/=  X )
2 simpl1 994 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  K  e.  HL )
3 simpl2 995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  X  e.  C )
4 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
5 osumcl.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
64, 5psubclssatN 34614 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C )  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) )
72, 3, 6syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  X  C_  ( Atoms `  K
) )
8 simpl3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  Y  e.  C )
94, 5psubclssatN 34614 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K ) )
102, 8, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K
) )
11 osumcl.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +P `  K
)
124, 11paddssat 34487 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  ( Atoms `  K
)  /\  Y  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( X  .+  Y )  C_  ( Atoms `  K ) )
132, 7, 10, 12syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( X  .+  Y
)  C_  ( Atoms `  K ) )
14 osumcl.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
154, 142polssN 34588 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  ( Atoms `  K
) )  ->  ( X  .+  Y )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )
162, 13, 15syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( X  .+  Y
)  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) ) )
17 df-pss 3487 . . . . . . 7  |-  ( ( X  .+  Y ) 
C.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  <-> 
( ( X  .+  Y )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  /\  ( X 
.+  Y )  =/=  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) ) )
18 pssnel 3887 . . . . . . 7  |-  ( ( X  .+  Y ) 
C.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  ->  E. p ( p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) ) )
1917, 18sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  .+  Y
)  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) )  /\  ( X 
.+  Y )  =/=  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  ->  E. p ( p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) ) )
20 df-rex 2815 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) )  -.  p  e.  ( X  .+  Y
)  <->  E. p ( p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) ) )
2119, 20sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( X  .+  Y
)  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) )  /\  ( X 
.+  Y )  =/=  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  ->  E. p  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )
22 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
23 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
24 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X 
.+  { p }
)  =  ( X 
.+  { p }
)
25 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) )
2622, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25osumcllem9N 34637 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  ( X  .+  { p }
)  =  X )
27 simp11 1021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  K  e.  HL )
28 simp12 1022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  X  e.  C )
2927, 28, 6syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  X  C_  ( Atoms `  K )
)
30 simp13 1023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  Y  e.  C )
3127, 30, 9syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K )
)
32133adantr3 1152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  C_  ( Atoms `  K ) )
33323adant3 1011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  ( X  .+  Y )  C_  ( Atoms `  K )
)
344, 14polssatN 34581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  ( Atoms `  K
) )  ->  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  ( Atoms `  K )
)
3527, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  ( Atoms `  K )
)
364, 14polssatN 34581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  ( Atoms `  K )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) )  C_  ( Atoms `  K ) )
3727, 35, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  C_  ( Atoms `  K ) )
38 simp23 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) ) )
3937, 38sseldd 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K )
)
40 simp3 993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )
4122, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25osumcllem10N 34638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )
)  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  ( X  .+  { p } )  =/=  X )
4227, 29, 31, 39, 40, 41syl311anc 1237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  ( X  .+  { p }
)  =/=  X )
4326, 42pm2.21ddne 2776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  ( X  =  X  /\  X  =/=  X ) )
44433exp 1190 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  ->  ( ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) ) )  ->  ( -.  p  e.  ( X  .+  Y )  ->  ( X  =  X  /\  X  =/=  X ) ) ) )
45443expd 1208 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  ->  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  -> 
( X  =/=  (/)  ->  (
p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) )  ->  ( -.  p  e.  ( X  .+  Y )  ->  ( X  =  X  /\  X  =/=  X ) ) ) ) ) )
4645imp32 433 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( p  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  ->  ( -.  p  e.  ( X  .+  Y )  ->  ( X  =  X  /\  X  =/=  X ) ) ) )
4746rexlimdv 2948 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( E. p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )  -.  p  e.  ( X 
.+  Y )  -> 
( X  =  X  /\  X  =/=  X
) ) )
4821, 47syl5 32 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( ( ( X 
.+  Y )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )  /\  ( X  .+  Y )  =/=  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) ) )  ->  ( X  =  X  /\  X  =/= 
X ) ) )
4916, 48mpand 675 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( ( X  .+  Y )  =/=  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  ->  ( X  =  X  /\  X  =/= 
X ) ) )
5049necon1bd 2680 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( -.  ( X  =  X  /\  X  =/=  X )  ->  ( X  .+  Y )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) ) )
511, 50mpi 17 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( X  .+  Y
)  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762    =/= wne 2657   E.wrex 2810    C_ wss 3471    C. wpss 3472   (/)c0 3780   {csn 4022   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   lecple 14553   joincjn 15422   Atomscatm 33937   HLchlt 34024   +Pcpadd 34468   _|_PcpolN 34575   PSubClcpscN 34607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-riotaBAD 33633
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-undef 6994  df-poset 15424  df-plt 15436  df-lub 15452  df-glb 15453  df-join 15454  df-meet 15455  df-p0 15517  df-p1 15518  df-lat 15524  df-clat 15586  df-oposet 33850  df-ol 33852  df-oml 33853  df-covers 33940  df-ats 33941  df-atl 33972  df-cvlat 33996  df-hlat 34025  df-psubsp 34176  df-pmap 34177  df-padd 34469  df-polarityN 34576  df-psubclN 34608
This theorem is referenced by:  osumclN  34640
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