Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostthlem2 Structured version   Unicode version

Theorem ostthlem2 24084
 Description: Lemma for ostth 24095. Refine ostthlem1 24083 so that it is sufficient to only show equality on the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q flds
qabsabv.a AbsVal
ostthlem1.1
ostthlem1.2
ostthlem2.3
Assertion
Ref Expression
ostthlem2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ostthlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 flds
2 qabsabv.a . 2 AbsVal
3 ostthlem1.1 . 2
4 ostthlem1.2 . 2
5 eluz2nn 11081 . . 3
6 fveq2 5803 . . . . . . 7
7 fveq2 5803 . . . . . . 7
86, 7eqeq12d 2422 . . . . . 6
98imbi2d 314 . . . . 5
10 fveq2 5803 . . . . . . 7
11 fveq2 5803 . . . . . . 7
1210, 11eqeq12d 2422 . . . . . 6
1312imbi2d 314 . . . . 5
14 fveq2 5803 . . . . . . 7
15 fveq2 5803 . . . . . . 7
1614, 15eqeq12d 2422 . . . . . 6
1716imbi2d 314 . . . . 5
18 fveq2 5803 . . . . . . 7
19 fveq2 5803 . . . . . . 7
2018, 19eqeq12d 2422 . . . . . 6
2120imbi2d 314 . . . . 5
22 fveq2 5803 . . . . . . 7
23 fveq2 5803 . . . . . . 7
2422, 23eqeq12d 2422 . . . . . 6
2524imbi2d 314 . . . . 5
26 ax-1ne0 9509 . . . . . . 7
271qrng1 24078 . . . . . . . 8
281qrng0 24077 . . . . . . . 8
292, 27, 28abv1z 17691 . . . . . . 7
303, 26, 29sylancl 660 . . . . . 6
312, 27, 28abv1z 17691 . . . . . . 7
324, 26, 31sylancl 660 . . . . . 6
3330, 32eqtr4d 2444 . . . . 5
34 ostthlem2.3 . . . . . 6
3534expcom 433 . . . . 5
36 jcab 862 . . . . . 6
37 oveq12 6241 . . . . . . . . 9
383adantr 463 . . . . . . . . . . 11
39 eluzelz 11052 . . . . . . . . . . . . 13
4039ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12
41 zq 11149 . . . . . . . . . . . 12
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11
43 eluzelz 11052 . . . . . . . . . . . . 13
4443ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12
45 zq 11149 . . . . . . . . . . . 12
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11
471qrngbas 24075 . . . . . . . . . . . 12
48 qex 11155 . . . . . . . . . . . . 13
49 cnfldmul 18636 . . . . . . . . . . . . . 14 fld
501, 49ressmulr 14856 . . . . . . . . . . . . 13
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
522, 47, 51abvmul 17688 . . . . . . . . . . 11
5338, 42, 46, 52syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
544adantr 463 . . . . . . . . . . 11
552, 47, 51abvmul 17688 . . . . . . . . . . 11
5654, 42, 46, 55syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
5753, 56eqeq12d 2422 . . . . . . . . 9
5837, 57syl5ibr 221 . . . . . . . 8
5958expcom 433 . . . . . . 7
6059a2d 26 . . . . . 6
6136, 60syl5bir 218 . . . . 5
629, 13, 17, 21, 25, 33, 35, 61prmind 14328 . . . 4
6362impcom 428 . . 3
645, 63sylan2 472 . 2
651, 2, 3, 4, 64ostthlem1 24083 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1403   wcel 1840   wne 2596  cvv 3056  cfv 5523  (class class class)co 6232  cc0 9440  c1 9441   cmul 9445  cn 10494  c2 10544  cz 10823  cuz 11043  cq 11143  cprime 14316   ↾s cress 14732  cmulr 14800  AbsValcabv 17675  ℂfldccnfld 18630 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-addf 9519  ax-mulf 9520 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-tpos 6910  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-ico 11504  df-fz 11642  df-seq 12060  df-exp 12119  df-dvds 14086  df-prm 14317  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-0g 14946  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-subg 16412  df-cmn 17014  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-cring 17411  df-oppr 17482  df-dvdsr 17500  df-unit 17501  df-invr 17531  df-dvr 17542  df-drng 17608  df-subrg 17637  df-abv 17676  df-cnfld 18631 This theorem is referenced by:  ostth1  24089  ostth3  24094
 Copyright terms: Public domain W3C validator