Theorem ostth3 24468

Description: - Lemma for ostth 24469: p-adic case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )
padic.j	|- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
ostth.k	|- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
ostth.1	|- ( ph -> F e. A )
ostth3.2	|- ( ph -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
ostth3.3	|- ( ph -> P e. Prime )
ostth3.4	|- ( ph -> ( F ` P ) < 1 )
ostth3.5	|- R = -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) )
ostth3.6	|- S = if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) )

Assertion

Ref	Expression
ostth3	|- ( ph -> E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c a ) ) )

Distinct variable groups:   n, p, y   n, K   x, n, a, p, q, y, ph   J, a, p, y   S, a   A, a, n, p, q, x, y   Q, n, x, y   F, a, n, p, q, y   P, a, p, q, x, y   R, a, p, q, y   x, F

Allowed substitution hints:   P( n)   Q( q, p, a)   R( x, n)   S( x, y, n, q, p)   J( x, n, q)   K( x, y, q, p, a)

Proof of Theorem ostth3

Dummy variables k b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth3.5	. . . 4 |- R = -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) )
2		ostth.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. A )
3		ostth3.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. Prime )
4		prmuz2 14635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
6		eluz2b2 11233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( P e. NN /\ 1 < P ) )
7	5, 6	sylib 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P e. NN /\ 1 < P ) )
8	7	simpld 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. NN )
9		nnq 11279	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. QQ )
11		qabsabv.a	. . . . . . . . . 10 |- A = (AbsVal ` Q )
12		qrng.q	. . . . . . . . . . 11 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
13	12	qrngbas 24449	. . . . . . . . . 10 |- QQ = ( Base ` Q )
14	11, 13	abvcl 18045	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ P e. QQ ) -> ( F ` P ) e. RR )
15	2, 10, 14	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` P ) e. RR )
16	8	nnne0d 10656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P =/= 0 )
17	12	qrng0 24451	. . . . . . . . . 10 |- 0 = ( 0g ` Q )
18	11, 13, 17	abvgt0 18049	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ P e. QQ /\ P =/= 0 ) -> 0 < ( F ` P ) )
19	2, 10, 16, 18	syl3anc 1265	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( F ` P ) )
20	15, 19	elrpd 11340	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` P ) e. RR+ )
21	20	relogcld 23564	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( F ` P ) ) e. RR )
22	8	nnred 10626	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. RR )
23	7	simprd 465	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < P )
24	22, 23	rplogcld 23570	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` P ) e. RR+ )
25	21, 24	rerpdivcld 11371	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) e. RR )
26	25	renegcld 10048	. . . 4 |- ( ph -> -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) e. RR )
27	1, 26	syl5eqel 2515	. . 3 |- ( ph -> R e. RR )
28		ostth3.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` P ) < 1 )
29		1rp 11308	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR+
30		logltb 23541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` P ) e. RR+ /\ 1 e. RR+ ) -> ( ( F ` P ) < 1 <-> ( log ` ( F ` P ) ) < ( log ` 1 ) ) )
31	20, 29, 30	sylancl 667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` P ) < 1 <-> ( log ` ( F ` P ) ) < ( log ` 1 ) ) )
32	28, 31	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( F ` P ) ) < ( log ` 1 ) )
33		log1 23527	. . . . . . . 8 |- ( log ` 1 ) = 0
34	32, 33	syl6breq 4461	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` ( F ` P ) ) < 0 )
35	24	rpcnd 11345	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` P ) e. CC )
36	35	mul01d 9834	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` P ) x. 0 ) = 0 )
37	34, 36	breqtrrd 4448	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( F ` P ) ) < ( ( log ` P ) x. 0 ) )
38		0red 9646	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
39	21, 38, 24	ltdivmuld 11391	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) < 0 <-> ( log ` ( F ` P ) ) < ( ( log ` P ) x. 0 ) ) )
40	37, 39	mpbird 236	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) < 0 )
41	25	lt0neg1d 10185	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) < 0 <-> 0 < -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) ) )
42	40, 41	mpbid 214	. . . 4 |- ( ph -> 0 < -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) )
43	42, 1	syl6breqr 4462	. . 3 |- ( ph -> 0 < R )
44	27, 43	elrpd 11340	. 2 |- ( ph -> R e. RR+ )
45		padic.j	. . . . 5 |- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
46	12, 11, 45	padicabvcxp 24462	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ R e. RR+ ) -> ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) e. A )
47	3, 44, 46	syl2anc 666	. . 3 |- ( ph -> ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) e. A )
48		fveq2 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( y = P -> ( ( J ` P ) ` y ) = ( ( J ` P ) ` P ) )
49	48	oveq1d 6318	. . . . . . . . 9 |- ( y = P -> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) = ( ( ( J ` P ) ` P ) ^c R ) )
50		eqid 2423	. . . . . . . . 9 |- ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) )
51		ovex 6331	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J ` P ) ` P ) ^c R ) e. _V
52	49, 50, 51	fvmpt 5962	. . . . . . . 8 |- ( P e. QQ -> ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` P ) = ( ( ( J ` P ) ` P ) ^c R ) )
53	10, 52	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` P ) = ( ( ( J ` P ) ` P ) ^c R ) )
54	45	padicval 24447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ P e. QQ ) -> ( ( J ` P ) ` P ) = if ( P = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) ) )
55	3, 10, 54	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( J ` P ) ` P ) = if ( P = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) ) )
56	16	neneqd 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. P = 0 )
57	56	iffalsed 3921	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( P = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) ) = ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) )
58	8	nncnd 10627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. CC )
59	58	exp1d 12412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( P ^ 1 ) = P )
60	59	oveq2d 6319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( P pCnt ( P ^ 1 ) ) = ( P pCnt P ) )
61		1z 10969	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
62		pcid 14815	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ 1 e. ZZ ) -> ( P pCnt ( P ^ 1 ) ) = 1 )
63	3, 61, 62	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( P pCnt ( P ^ 1 ) ) = 1 )
64	60, 63	eqtr3d 2466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P pCnt P ) = 1 )
65	64	negeqd 9871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( P pCnt P ) = -u 1 )
66	65	oveq2d 6319	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) = ( P ^ -u 1 ) )
67		neg1z 10975	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 e. ZZ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u 1 e. ZZ )
69	58, 16, 68	cxpexpzd 23648	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P ^c -u 1 ) = ( P ^ -u 1 ) )
70	66, 69	eqtr4d 2467	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) = ( P ^c -u 1 ) )
71	55, 57, 70	3eqtrd 2468	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( J ` P ) ` P ) = ( P ^c -u 1 ) )
72	71	oveq1d 6318	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( J ` P ) ` P ) ^c R ) = ( ( P ^c -u 1 ) ^c R ) )
73	27	recnd 9671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. CC )
74	73	mulm1d 10072	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u 1 x. R ) = -u R )
75	1	negeqi 9870	. . . . . . . . . . 11 |- -u R = -u -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) )
76	25	recnd 9671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) e. CC )
77	76	negnegd 9979	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) = ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) )
78	75, 77	syl5eq 2476	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u R = ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) )
79	74, 78	eqtrd 2464	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -u 1 x. R ) = ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) )
80	79	oveq2d 6319	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ^c ( -u 1 x. R ) ) = ( P ^c ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) ) )
81	8	nnrpd 11341	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. RR+ )
82		neg1rr 10716	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. RR
83	82	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u 1 e. RR )
84	81, 83, 73	cxpmuld 23671	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ^c ( -u 1 x. R ) ) = ( ( P ^c -u 1 ) ^c R ) )
85	58, 16, 76	cxpefd 23649	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P ^c ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) ) = ( exp ` ( ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) x. ( log ` P ) ) ) )
86	21	recnd 9671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( log ` ( F ` P ) ) e. CC )
87	24	rpne0d 11348	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( log ` P ) =/= 0 )
88	86, 35, 87	divcan1d 10386	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) x. ( log ` P ) ) = ( log ` ( F ` P ) ) )
89	88	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) x. ( log ` P ) ) ) = ( exp ` ( log ` ( F ` P ) ) ) )
90	20	reeflogd 23565	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` ( F ` P ) ) ) = ( F ` P ) )
91	85, 89, 90	3eqtrd 2468	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ^c ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) ) = ( F ` P ) )
92	80, 84, 91	3eqtr3d 2472	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P ^c -u 1 ) ^c R ) = ( F ` P ) )
93	53, 72, 92	3eqtrrd 2469	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` P ) )
94		fveq2 5879	. . . . . . 7 |- ( P = p -> ( F ` P ) = ( F ` p ) )
95		fveq2 5879	. . . . . . 7 |- ( P = p -> ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` P ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) )
96	94, 95	eqeq12d 2445	. . . . . 6 |- ( P = p -> ( ( F ` P ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` P ) <-> ( F ` p ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) ) )
97	93, 96	syl5ibcom 224	. . . . 5 |- ( ph -> ( P = p -> ( F ` p ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) ) )
98	97	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( P = p -> ( F ` p ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) ) )
99		prmnn 14618	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
100	99	ad2antlr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> p e. NN )
101		nnq 11279	. . . . . . . 8 |- ( p e. NN -> p e. QQ )
102	100, 101	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> p e. QQ )
103		fveq2 5879	. . . . . . . . 9 |- ( y = p -> ( ( J ` P ) ` y ) = ( ( J ` P ) ` p ) )
104	103	oveq1d 6318	. . . . . . . 8 |- ( y = p -> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) = ( ( ( J ` P ) ` p ) ^c R ) )
105		ovex 6331	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J ` P ) ` p ) ^c R ) e. _V
106	104, 50, 105	fvmpt 5962	. . . . . . 7 |- ( p e. QQ -> ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) = ( ( ( J ` P ) ` p ) ^c R ) )
107	102, 106	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) = ( ( ( J ` P ) ` p ) ^c R ) )
108	73	ad2antrr 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> R e. CC )
109	108	1cxpd 23644	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( 1 ^c R ) = 1 )
110	3	ad2antrr 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> P e. Prime )
111	45	padicval 24447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ p e. QQ ) -> ( ( J ` P ) ` p ) = if ( p = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) ) )
112	110, 102, 111	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( J ` P ) ` p ) = if ( p = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) ) )
113	100	nnne0d 10656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> p =/= 0 )
114	113	neneqd 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> -. p = 0 )
115	114	iffalsed 3921	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> if ( p = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) ) = ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) )
116		pceq0 14813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. Prime /\ p e. NN ) -> ( ( P pCnt p ) = 0 <-> -. P || p ) )
117	3, 99, 116	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( P pCnt p ) = 0 <-> -. P || p ) )
118		dvdsprm 14640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ p e. Prime ) -> ( P || p <-> P = p ) )
119	5, 118	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( P || p <-> P = p ) )
120	119	necon3bbid 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( -. P || p <-> P =/= p ) )
121	117, 120	bitrd 257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( P pCnt p ) = 0 <-> P =/= p ) )
122	121	biimpar 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( P pCnt p ) = 0 )
123	122	negeqd 9871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> -u ( P pCnt p ) = -u 0 )
124		neg0 9922	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 0 = 0
125	123, 124	syl6eq 2480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> -u ( P pCnt p ) = 0 )
126	125	oveq2d 6319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) = ( P ^ 0 ) )
127	58	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> P e. CC )
128	127	exp0d 12411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( P ^ 0 ) = 1 )
129	126, 128	eqtrd 2464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) = 1 )
130	112, 115, 129	3eqtrd 2468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( J ` P ) ` p ) = 1 )
131	130	oveq1d 6318	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( ( J ` P ) ` p ) ^c R ) = ( 1 ^c R ) )
132		2re 10681	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> 2 e. RR )
134		ostth3.6	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S = if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) )
135	2	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> F e. A )
136	11, 13	abvcl 18045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. A /\ p e. QQ ) -> ( F ` p ) e. RR )
137	135, 102, 136	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( F ` p ) e. RR )
138	11, 13, 17	abvgt0 18049	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. A /\ p e. QQ /\ p =/= 0 ) -> 0 < ( F ` p ) )
139	135, 102, 113, 138	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> 0 < ( F ` p ) )
140	137, 139	elrpd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( F ` p ) e. RR+ )
141	140	adantrr 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( F ` p ) e. RR+ )
142	20	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( F ` P ) e. RR+ )
143	141, 142	ifcld 3953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) e. RR+ )
144	134, 143	syl5eqel 2515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> S e. RR+ )
145	144	rprecred 11354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( 1 / S ) e. RR )
146		simprr 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( F ` p ) < 1 )
147	28	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( F ` P ) < 1 )
148		breq1 4424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` p ) = if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) -> ( ( F ` p ) < 1 <-> if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) < 1 ) )
149		breq1 4424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` P ) = if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) -> ( ( F ` P ) < 1 <-> if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) < 1 ) )
150	148, 149	ifboth 3946	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` p ) < 1 /\ ( F ` P ) < 1 ) -> if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) < 1 )
151	146, 147, 150	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) < 1 )
152	134, 151	syl5eqbr 4455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> S < 1 )
153	144	reclt1d 11356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( S < 1 <-> 1 < ( 1 / S ) ) )
154	152, 153	mpbid 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> 1 < ( 1 / S ) )
155		expnbnd 12402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ ( 1 / S ) e. RR /\ 1 < ( 1 / S ) ) -> E. k e. NN 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) )
156	133, 145, 154, 155	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> E. k e. NN 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) )
157	144	rpcnd 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> S e. CC )
158	157	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> S e. CC )
159	144	rpne0d 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> S =/= 0 )
160	159	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> S =/= 0 )
161		nnz 10961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
162	161	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
163	158, 160, 162	exprecd 12425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / S ) ^ k ) = ( 1 / ( S ^ k ) ) )
164	2	ad3antrrr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> F e. A )
165		ax-1ne0 9610	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 =/= 0
166	12	qrng1 24452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 = ( 1r ` Q )
167	11, 166, 17	abv1z 18053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. A /\ 1 =/= 0 ) -> ( F ` 1 ) = 1 )
168	164, 165, 167	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( F ` 1 ) = 1 )
169	8	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> P e. NN )
170		nnnn0 10878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
171		nnexpcl 12286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( P ^ k ) e. NN )
172	169, 170, 171	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( P ^ k ) e. NN )
173	172	nnzd 11041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( P ^ k ) e. ZZ )
174	99	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> p e. NN )
175		nnexpcl 12286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( p e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( p ^ k ) e. NN )
176	174, 170, 175	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( p ^ k ) e. NN )
177	176	nnzd 11041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( p ^ k ) e. ZZ )
178		bezout 14503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P ^ k ) e. ZZ /\ ( p ^ k ) e. ZZ ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) )
179	173, 177, 178	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) )
180		simprl 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> P =/= p )
181	3	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> P e. Prime )
182		simplr 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> p e. Prime )
183		prmrp 14651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( P e. Prime /\ p e. Prime ) -> ( ( P gcd p ) = 1 <-> P =/= p ) )
184	181, 182, 183	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( ( P gcd p ) = 1 <-> P =/= p ) )
185	180, 184	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( P gcd p ) = 1 )
186	185	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( P gcd p ) = 1 )
187	169	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> P e. NN )
188	174	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> p e. NN )
189		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
190		rppwr 14518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. NN /\ p e. NN /\ k e. NN ) -> ( ( P gcd p ) = 1 -> ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = 1 ) )
191	187, 188, 189, 190	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( P gcd p ) = 1 -> ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = 1 ) )
192	186, 191	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = 1 )
193	192	adantrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = 1 )
194	193	eqeq1d 2425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) <-> 1 = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) )
195	2	ad3antrrr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> F e. A )
196	172	adantrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( P ^ k ) e. NN )
197		nnq 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( P ^ k ) e. NN -> ( P ^ k ) e. QQ )
198	196, 197	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( P ^ k ) e. QQ )
199		simprrl 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> a e. ZZ )
200		zq 11272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( a e. ZZ -> a e. QQ )
201	199, 200	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> a e. QQ )
202		qmulcl 11284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( P ^ k ) e. QQ /\ a e. QQ ) -> ( ( P ^ k ) x. a ) e. QQ )
203	198, 201, 202	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( P ^ k ) x. a ) e. QQ )
204	176	adantrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( p ^ k ) e. NN )
205		nnq 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( p ^ k ) e. NN -> ( p ^ k ) e. QQ )
206	204, 205	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( p ^ k ) e. QQ )
207		simprrr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> b e. ZZ )
208		zq 11272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( b e. ZZ -> b e. QQ )
209	207, 208	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> b e. QQ )
210		qmulcl 11284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( p ^ k ) e. QQ /\ b e. QQ ) -> ( ( p ^ k ) x. b ) e. QQ )
211	206, 209, 210	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( p ^ k ) x. b ) e. QQ )
212		qaddcl 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( P ^ k ) x. a ) e. QQ /\ ( ( p ^ k ) x. b ) e. QQ ) -> ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) e. QQ )
213	203, 211, 212	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) e. QQ )
214	11, 13	abvcl 18045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F e. A /\ ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) e. QQ ) -> ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) e. RR )
215	195, 213, 214	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) e. RR )
216	11, 13	abvcl 18045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F e. A /\ ( ( P ^ k ) x. a ) e. QQ ) -> ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) e. RR )
217	195, 203, 216	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) e. RR )
218	11, 13	abvcl 18045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F e. A /\ ( ( p ^ k ) x. b ) e. QQ ) -> ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) e. RR )
219	195, 211, 218	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) e. RR )
220	217, 219	readdcld 9672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) + ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) e. RR )
221		rpexpcl 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( S e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( S ^ k ) e. RR+ )
222	144, 161, 221	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( S ^ k ) e. RR+ )
223	222	rpred 11343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( S ^ k ) e. RR )
224	223	adantrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( S ^ k ) e. RR )
225		remulcl 9626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 2 e. RR /\ ( S ^ k ) e. RR ) -> ( 2 x. ( S ^ k ) ) e. RR )
226	132, 224, 225	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( 2 x. ( S ^ k ) ) e. RR )
227		qex 11278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- QQ e. _V
228		cnfldadd 18968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- + = ( +g ` ℂfld )
229	12, 228	ressplusg 15232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( QQ e. _V -> + = ( +g ` Q ) )
230	227, 229	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- + = ( +g ` Q )
231	11, 13, 230	abvtri 18051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F e. A /\ ( ( P ^ k ) x. a ) e. QQ /\ ( ( p ^ k ) x. b ) e. QQ ) -> ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) <_ ( ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) + ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) )
232	195, 203, 211, 231	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) <_ ( ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) + ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) )
233		cnfldmul 18969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- x. = ( .r ` ℂfld )
234	12, 233	ressmulr 15243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( QQ e. _V -> x. = ( .r ` Q ) )
235	227, 234	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- x. = ( .r ` Q )
236	11, 13, 235	abvmul 18050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( F e. A /\ ( P ^ k ) e. QQ /\ a e. QQ ) -> ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) = ( ( F ` ( P ^ k ) ) x. ( F ` a ) ) )
237	195, 198, 201, 236	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) = ( ( F ` ( P ^ k ) ) x. ( F ` a ) ) )
238	10	ad3antrrr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> P e. QQ )
239	170	ad2antrl 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> k e. NN0 )
240	12, 11	qabvexp 24456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( F e. A /\ P e. QQ /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( P ^ k ) ) = ( ( F ` P ) ^ k ) )
241	195, 238, 239, 240	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( P ^ k ) ) = ( ( F ` P ) ^ k ) )
242	241	oveq1d 6318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` ( P ^ k ) ) x. ( F ` a ) ) = ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) )
243	237, 242	eqtrd 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) = ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) )
244	195, 238, 14	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` P ) e. RR )
245	244, 239	reexpcld 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` P ) ^ k ) e. RR )
246	11, 13	abvcl 18045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( F e. A /\ a e. QQ ) -> ( F ` a ) e. RR )
247	195, 201, 246	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
248	245, 247	remulcld 9673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) e. RR )
249		elz 10941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( a e. ZZ <-> ( a e. RR /\ ( a = 0 \/ a e. NN \/ -u a e. NN ) ) )
250	249	simprbi 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( a e. ZZ -> ( a = 0 \/ a e. NN \/ -u a e. NN ) )
251	250	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( a = 0 \/ a e. NN \/ -u a e. NN ) )
252	11, 17	abv0 18052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( F e. A -> ( F ` 0 ) = 0 )
253	2, 252	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = 0 )
254		0le1 10139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- 0 <_ 1
255	253, 254	syl6eqbr 4459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ph -> ( F ` 0 ) <_ 1 )
256	255	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( F ` 0 ) <_ 1 )
257		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( a = 0 -> ( F ` a ) = ( F ` 0 ) )
258	257	breq1d 4431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( a = 0 -> ( ( F ` a ) <_ 1 <-> ( F ` 0 ) <_ 1 ) )
259	256, 258	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( a = 0 -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
260		ostth3.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ph -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
261		nnq 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( n e. NN -> n e. QQ )
262	11, 13	abvcl 18045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( F e. A /\ n e. QQ ) -> ( F ` n ) e. RR )
263	2, 261, 262	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. RR )
264		1re 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- 1 e. RR
265		lenlt 9714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( F ` n ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( F ` n ) <_ 1 <-> -. 1 < ( F ` n ) ) )
266	263, 264, 265	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) <_ 1 <-> -. 1 < ( F ` n ) ) )
267	266	ralbidva 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ph -> ( A. n e. NN ( F ` n ) <_ 1 <-> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) )
268	260, 267	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ph -> A. n e. NN ( F ` n ) <_ 1 )
269		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( n = a -> ( F ` n ) = ( F ` a ) )
270	269	breq1d 4431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( n = a -> ( ( F ` n ) <_ 1 <-> ( F ` a ) <_ 1 ) )
271	270	rspccv 3180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( A. n e. NN ( F ` n ) <_ 1 -> ( a e. NN -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
272	268, 271	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ph -> ( a e. NN -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
273	272	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( a e. NN -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
274	2	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> F e. A )
275	200	ad2antrl 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> a e. QQ )
276		eqid 2423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( invg ` Q ) = ( invg ` Q )
277	11, 13, 276	abvneg 18055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( F e. A /\ a e. QQ ) -> ( F ` ( ( invg ` Q ) ` a ) ) = ( F ` a ) )
278	274, 275, 277	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> ( F ` ( ( invg ` Q ) ` a ) ) = ( F ` a ) )
279	12	qrngneg 24453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( a e. QQ -> ( ( invg ` Q ) ` a ) = -u a )
280	275, 279	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> ( ( invg ` Q ) ` a ) = -u a )
281		simprr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> -u a e. NN )
282	280, 281	eqeltrd 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> ( ( invg ` Q ) ` a ) e. NN )
283	268	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> A. n e. NN ( F ` n ) <_ 1 )
284		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( n = ( ( invg ` Q ) ` a ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( ( invg ` Q ) ` a ) ) )
285	284	breq1d 4431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( n = ( ( invg ` Q ) ` a ) -> ( ( F ` n ) <_ 1 <-> ( F ` ( ( invg ` Q ) ` a ) ) <_ 1 ) )
286	285	rspcv 3179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( invg ` Q ) ` a ) e. NN -> ( A. n e. NN ( F ` n ) <_ 1 -> ( F ` ( ( invg ` Q ) ` a ) ) <_ 1 ) )
287	282, 283, 286	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> ( F ` ( ( invg ` Q ) ` a ) ) <_ 1 )
288	278, 287	eqbrtrrd 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> ( F ` a ) <_ 1 )
289	288	expr 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( -u a e. NN -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
290	259, 273, 289	3jaod 1329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( ( a = 0 \/ a e. NN \/ -u a e. NN ) -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
291	251, 290	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( F ` a ) <_ 1 )
292	291	ralrimiva 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ph -> A. a e. ZZ ( F ` a ) <_ 1 )
293	292	ad3antrrr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> A. a e. ZZ ( F ` a ) <_ 1 )
294		rsp 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( A. a e. ZZ ( F ` a ) <_ 1 -> ( a e. ZZ -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
295	293, 199, 294	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` a ) <_ 1 )
296	264	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 1 e. RR )
297	161	ad2antrl 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> k e. ZZ )
298	19	ad3antrrr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 0 < ( F ` P ) )
299		expgt0 12306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( F ` P ) e. RR /\ k e. ZZ /\ 0 < ( F ` P ) ) -> 0 < ( ( F ` P ) ^ k ) )
300	244, 297, 298, 299	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 0 < ( ( F ` P ) ^ k ) )
301		lemul2 10460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( F ` a ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( ( F ` P ) ^ k ) e. RR /\ 0 < ( ( F ` P ) ^ k ) ) ) -> ( ( F ` a ) <_ 1 <-> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) <_ ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. 1 ) ) )
302	247, 296, 245, 300, 301	syl112anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` a ) <_ 1 <-> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) <_ ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. 1 ) ) )
303	295, 302	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) <_ ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. 1 ) )
304	245	recnd 9671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` P ) ^ k ) e. CC )
305	304	mulid1d 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. 1 ) = ( ( F ` P ) ^ k ) )
306	303, 305	breqtrd 4446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) <_ ( ( F ` P ) ^ k ) )
307	144	rpred 11343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> S e. RR )
308	307	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> S e. RR )
309	142	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` P ) e. RR+ )
310	309	rpge0d 11347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 0 <_ ( F ` P ) )
311	174	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> p e. NN )
312	311, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> p e. QQ )
313	195, 312, 136	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` p ) e. RR )
314		max1 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( F ` P ) e. RR /\ ( F ` p ) e. RR ) -> ( F ` P ) <_ if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) )
315	244, 313, 314	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` P ) <_ if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) )
316	315, 134	syl6breqr 4462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` P ) <_ S )
317		leexp1a 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( F ` P ) e. RR /\ S e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( 0 <_ ( F ` P ) /\ ( F ` P ) <_ S ) ) -> ( ( F ` P ) ^ k ) <_ ( S ^ k ) )
318	244, 308, 239, 310, 316, 317	syl32anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` P ) ^ k ) <_ ( S ^ k ) )
319	248, 245, 224, 306, 318	letrd 9794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) <_ ( S ^ k ) )
320	243, 319	eqbrtrd 4442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) <_ ( S ^ k ) )
321	11, 13, 235	abvmul 18050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( F e. A /\ ( p ^ k ) e. QQ /\ b e. QQ ) -> ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) = ( ( F ` ( p ^ k ) ) x. ( F ` b ) ) )
322	195, 206, 209, 321	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) = ( ( F ` ( p ^ k ) ) x. ( F ` b ) ) )
323	12, 11	qabvexp 24456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( F e. A /\ p e. QQ /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( p ^ k ) ) = ( ( F ` p ) ^ k ) )
324	195, 312, 239, 323	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( p ^ k ) ) = ( ( F ` p ) ^ k ) )
325	324	oveq1d 6318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` ( p ^ k ) ) x. ( F ` b ) ) = ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) )
326	322, 325	eqtrd 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) = ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) )
327	313, 239	reexpcld 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` p ) ^ k ) e. RR )
328	11, 13	abvcl 18045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( F e. A /\ b e. QQ ) -> ( F ` b ) e. RR )
329	195, 209, 328	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` b ) e. RR )
330	327, 329	remulcld 9673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) e. RR )
331		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( a = b -> ( F ` a ) = ( F ` b ) )
332	331	breq1d 4431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( a = b -> ( ( F ` a ) <_ 1 <-> ( F ` b ) <_ 1 ) )
333	332	rspcv 3179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( b e. ZZ -> ( A. a e. ZZ ( F ` a ) <_ 1 -> ( F ` b ) <_ 1 ) )
334	207, 293, 333	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` b ) <_ 1 )
335	311	nnne0d 10656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> p =/= 0 )
336	195, 312, 335, 138	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 0 < ( F ` p ) )
337		expgt0 12306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( F ` p ) e. RR /\ k e. ZZ /\ 0 < ( F ` p ) ) -> 0 < ( ( F ` p ) ^ k ) )
338	313, 297, 336, 337	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 0 < ( ( F ` p ) ^ k ) )
339		lemul2 10460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( F ` b ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( ( F ` p ) ^ k ) e. RR /\ 0 < ( ( F ` p ) ^ k ) ) ) -> ( ( F ` b ) <_ 1 <-> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) <_ ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. 1 ) ) )
340	329, 296, 327, 338, 339	syl112anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` b ) <_ 1 <-> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) <_ ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. 1 ) ) )
341	334, 340	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) <_ ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. 1 ) )
342	327	recnd 9671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` p ) ^ k ) e. CC )
343	342	mulid1d 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. 1 ) = ( ( F ` p ) ^ k ) )
344	341, 343	breqtrd 4446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) <_ ( ( F ` p ) ^ k ) )
345	141	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` p ) e. RR+ )
346	345	rpge0d 11347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 0 <_ ( F ` p ) )
347		max2 11484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( F ` P ) e. RR /\ ( F ` p ) e. RR ) -> ( F ` p ) <_ if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) )
348	244, 313, 347	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` p ) <_ if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) )
349	348, 134	syl6breqr 4462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` p ) <_ S )
350		leexp1a 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( F ` p ) e. RR /\ S e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( 0 <_ ( F ` p ) /\ ( F ` p ) <_ S ) ) -> ( ( F ` p ) ^ k ) <_ ( S ^ k ) )
351	313, 308, 239, 346, 349, 350	syl32anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` p ) ^ k ) <_ ( S ^ k ) )
352	330, 327, 224, 344, 351	letrd 9794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) <_ ( S ^ k ) )
353	326, 352	eqbrtrd 4442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) <_ ( S ^ k ) )
354	217, 219, 224, 224, 320, 353	le2addd 10234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) + ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) <_ ( ( S ^ k ) + ( S ^ k ) ) )
355	222	rpcnd 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( S ^ k ) e. CC )
356	355	2timesd 10857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( 2 x. ( S ^ k ) ) = ( ( S ^ k ) + ( S ^ k ) ) )
357	356	adantrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( 2 x. ( S ^ k ) ) = ( ( S ^ k ) + ( S ^ k ) ) )
358	354, 357	breqtrrd 4448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) + ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) )
359	215, 220, 226, 232, 358	letrd 9794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) )
360		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) -> ( F ` 1 ) = ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) )
361	360	breq1d 4431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) -> ( ( F ` 1 ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) <-> ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
362	359, 361	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( 1 = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) -> ( F ` 1 ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
363	194, 362	sylbid 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) -> ( F ` 1 ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
364	363	anassrs 653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) -> ( F ` 1 ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
365	364	rexlimdvva 2925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) -> ( F ` 1 ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
366	179, 365	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( F ` 1 ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) )
367	168, 366	eqbrtrrd 4444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> 1 <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) )
368	222	rpregt0d 11349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( S ^ k ) e. RR /\ 0 < ( S ^ k ) ) )
369		ledivmul2 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ ( ( S ^ k ) e. RR /\ 0 < ( S ^ k ) ) ) -> ( ( 1 / ( S ^ k ) ) <_ 2 <-> 1 <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
370	264, 132, 369	mp3an12 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S ^ k ) e. RR /\ 0 < ( S ^ k ) ) -> ( ( 1 / ( S ^ k ) ) <_ 2 <-> 1 <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
371	368, 370	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( S ^ k ) ) <_ 2 <-> 1 <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
372	367, 371	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( S ^ k ) ) <_ 2 )
373	163, 372	eqbrtrd 4442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / S ) ^ k ) <_ 2 )
374		reexpcl 12290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 / S ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / S ) ^ k ) e. RR )
375	145, 170, 374	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / S ) ^ k ) e. RR )
376		lenlt 9714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( 1 / S ) ^ k ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( ( 1 / S ) ^ k ) <_ 2 <-> -. 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) ) )
377	375, 132, 376	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / S ) ^ k ) <_ 2 <-> -. 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) ) )
378	373, 377	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> -. 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) )
379	378	pm2.21d 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) -> -. ( F ` p ) < 1 ) )
380	379	rexlimdva 2918	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( E. k e. NN 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) -> -. ( F ` p ) < 1 ) )
381	156, 380	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> -. ( F ` p ) < 1 )
382	381	expr 619	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( F ` p ) < 1 -> -. ( F ` p ) < 1 ) )
383	382	pm2.01d 173	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> -. ( F ` p ) < 1 )
384	260	ad2antrr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
385		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = p -> ( F ` n ) = ( F ` p ) )
386	385	breq2d 4433	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = p -> ( 1 < ( F ` n ) <-> 1 < ( F ` p ) ) )
387	386	notbid 296	. . . . . . . . . 10 |- ( n = p -> ( -. 1 < ( F ` n ) <-> -. 1 < ( F ` p ) ) )
388	387	rspcv 3179	. . . . . . . . 9 |- ( p e. NN -> ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) -> -. 1 < ( F ` p ) ) )
389	100, 384, 388	sylc 63	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> -. 1 < ( F ` p ) )
390		lttri3 9719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` p ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( F ` p ) = 1 <-> ( -. ( F ` p ) < 1 /\ -. 1 < ( F ` p ) ) ) )
391	137, 264, 390	sylancl 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( F ` p ) = 1 <-> ( -. ( F ` p ) < 1 /\ -. 1 < ( F ` p ) ) ) )
392	383, 389, 391	mpbir2and 931	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( F ` p ) = 1 )
393	109, 131, 392	3eqtr4d 2474	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( ( J ` P ) ` p ) ^c R ) = ( F ` p ) )
394	107, 393	eqtr2d 2465	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( F ` p ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) )
395	394	ex 436	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( P =/= p -> ( F ` p ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) ) )
396	98, 395	pm2.61dne 2742	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( F ` p ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) )
397	12, 11, 2, 47, 396	ostthlem2 24458	. 2 |- ( ph -> F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) )
398		oveq2 6311	. . . . 5 |- ( a = R -> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c a ) = ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) )
399	398	mpteq2dv 4509	. . . 4 |- ( a = R -> ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c a ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) )
400	399	eqeq2d 2437	. . 3 |- ( a = R -> ( F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c a ) ) <-> F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ) )
401	400	rspcev 3183	. 2 |- ( ( R e. RR+ /\ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ) -> E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c a ) ) )
402	44, 397, 401	syl2anc 666	1 |- ( ph -> E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c a ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   \/ w3o 982   = wceq 1438   e. wcel 1869   =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082   ifcif 3910   class class class wbr 4421   |-> cmpt 4480   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542   + caddc 9544   x. cmul 9546   < clt 9677   <_ cle 9678   -ucneg 9863   / cdiv 10271   NNcn 10611   2c2 10661   NN0cn0 10871   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161   QQcq 11266   RR+crp 11304   ^cexp 12273   expce 14107   || cdvds 14298   gcd cgcd 14461   Primecprime 14615   pCnt cpc 14779   ↾_s cress 15115   +g cplusg 15183   .rcmulr 15184   invgcminusg 16663  AbsValcabv 18037  ℂ_fldccnfld 18963   logclog 23496   ^c ccxp 23497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-tpos 6979  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ioc 11642  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-fac 12461  df-bc 12489  df-hash 12517  df-shft 13124  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-prm 14616  df-pc 14780  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-drng 17970  df-subrg 17999  df-abv 18038  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-cncf 21902  df-limc 22813  df-dv 22814  df-log 23498  df-cxp 23499

This theorem is referenced by:  ostth  24469