Theorem ostth3 22909

Description: - Lemma for ostth 22910: p-adic case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )
padic.j	|- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
ostth.k	|- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
ostth.1	|- ( ph -> F e. A )
ostth3.2	|- ( ph -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
ostth3.3	|- ( ph -> P e. Prime )
ostth3.4	|- ( ph -> ( F ` P ) < 1 )
ostth3.5	|- R = -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) )
ostth3.6	|- S = if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) )

Assertion

Ref	Expression
ostth3	|- ( ph -> E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c a ) ) )

Distinct variable groups:   n, p, y   n, K   x, n, a, p, q, y, ph   J, a, p, y   S, a   A, a, n, p, q, x, y   Q, n, x, y   F, a, n, p, q, y   P, a, p, q, x, y   R, a, p, q, y   x, F

Allowed substitution hints:   P( n)   Q( q, p, a)   R( x, n)   S( x, y, n, q, p)   J( x, n, q)   K( x, y, q, p, a)

Proof of Theorem ostth3

Dummy variables k b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth3.5	. . . 4 |- R = -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) )
2		ostth.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. A )
3		ostth3.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. Prime )
4		prmuz2 13802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
5	3, 4	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
6		eluz2b2 10948	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( P e. NN /\ 1 < P ) )
7	5, 6	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P e. NN /\ 1 < P ) )
8	7	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. NN )
9		nnq 10987	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. QQ )
11		qabsabv.a	. . . . . . . . . 10 |- A = (AbsVal ` Q )
12		qrng.q	. . . . . . . . . . 11 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
13	12	qrngbas 22890	. . . . . . . . . 10 |- QQ = ( Base ` Q )
14	11, 13	abvcl 16931	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ P e. QQ ) -> ( F ` P ) e. RR )
15	2, 10, 14	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` P ) e. RR )
16	8	nnne0d 10387	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P =/= 0 )
17	12	qrng0 22892	. . . . . . . . . 10 |- 0 = ( 0g ` Q )
18	11, 13, 17	abvgt0 16935	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ P e. QQ /\ P =/= 0 ) -> 0 < ( F ` P ) )
19	2, 10, 16, 18	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( F ` P ) )
20	15, 19	elrpd 11046	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` P ) e. RR+ )
21	20	relogcld 22094	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( F ` P ) ) e. RR )
22	8	nnred 10358	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. RR )
23	7	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < P )
24	22, 23	rplogcld 22100	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` P ) e. RR+ )
25	21, 24	rerpdivcld 11075	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) e. RR )
26	25	renegcld 9796	. . . 4 |- ( ph -> -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) e. RR )
27	1, 26	syl5eqel 2527	. . 3 |- ( ph -> R e. RR )
28		ostth3.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` P ) < 1 )
29		1rp 11016	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR+
30		logltb 22070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` P ) e. RR+ /\ 1 e. RR+ ) -> ( ( F ` P ) < 1 <-> ( log ` ( F ` P ) ) < ( log ` 1 ) ) )
31	20, 29, 30	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` P ) < 1 <-> ( log ` ( F ` P ) ) < ( log ` 1 ) ) )
32	28, 31	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( F ` P ) ) < ( log ` 1 ) )
33		log1 22056	. . . . . . . 8 |- ( log ` 1 ) = 0
34	32, 33	syl6breq 4352	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` ( F ` P ) ) < 0 )
35	24	rpcnd 11050	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` P ) e. CC )
36	35	mul01d 9589	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` P ) x. 0 ) = 0 )
37	34, 36	breqtrrd 4339	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( F ` P ) ) < ( ( log ` P ) x. 0 ) )
38		0red 9408	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
39	21, 38, 24	ltdivmuld 11095	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) < 0 <-> ( log ` ( F ` P ) ) < ( ( log ` P ) x. 0 ) ) )
40	37, 39	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) < 0 )
41	25	lt0neg1d 9930	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) < 0 <-> 0 < -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) ) )
42	40, 41	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> 0 < -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) )
43	42, 1	syl6breqr 4353	. . 3 |- ( ph -> 0 < R )
44	27, 43	elrpd 11046	. 2 |- ( ph -> R e. RR+ )
45		padic.j	. . . . 5 |- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
46	12, 11, 45	padicabvcxp 22903	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ R e. RR+ ) -> ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) e. A )
47	3, 44, 46	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) e. A )
48		fveq2 5712	. . . . . . . . . 10 |- ( y = P -> ( ( J ` P ) ` y ) = ( ( J ` P ) ` P ) )
49	48	oveq1d 6127	. . . . . . . . 9 |- ( y = P -> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) = ( ( ( J ` P ) ` P ) ^c R ) )
50		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) )
51		ovex 6137	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J ` P ) ` P ) ^c R ) e. _V
52	49, 50, 51	fvmpt 5795	. . . . . . . 8 |- ( P e. QQ -> ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` P ) = ( ( ( J ` P ) ` P ) ^c R ) )
53	10, 52	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` P ) = ( ( ( J ` P ) ` P ) ^c R ) )
54	45	padicval 22888	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ P e. QQ ) -> ( ( J ` P ) ` P ) = if ( P = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) ) )
55	3, 10, 54	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( J ` P ) ` P ) = if ( P = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) ) )
56	16	neneqd 2627	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. P = 0 )
57		iffalse 3820	. . . . . . . . . 10 |- ( -. P = 0 -> if ( P = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) ) = ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) )
58	56, 57	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( P = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) ) = ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) )
59	8	nncnd 10359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. CC )
60	59	exp1d 12024	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( P ^ 1 ) = P )
61	60	oveq2d 6128	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( P pCnt ( P ^ 1 ) ) = ( P pCnt P ) )
62		1z 10697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
63		pcid 13960	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ 1 e. ZZ ) -> ( P pCnt ( P ^ 1 ) ) = 1 )
64	3, 62, 63	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( P pCnt ( P ^ 1 ) ) = 1 )
65	61, 64	eqtr3d 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P pCnt P ) = 1 )
66	65	negeqd 9625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( P pCnt P ) = -u 1 )
67	66	oveq2d 6128	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) = ( P ^ -u 1 ) )
68		neg1z 10702	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 e. ZZ
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u 1 e. ZZ )
70	59, 16, 69	cxpexpzd 22178	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P ^c -u 1 ) = ( P ^ -u 1 ) )
71	67, 70	eqtr4d 2478	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) = ( P ^c -u 1 ) )
72	55, 58, 71	3eqtrd 2479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( J ` P ) ` P ) = ( P ^c -u 1 ) )
73	72	oveq1d 6127	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( J ` P ) ` P ) ^c R ) = ( ( P ^c -u 1 ) ^c R ) )
74	27	recnd 9433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. CC )
75	74	mulm1d 9817	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u 1 x. R ) = -u R )
76	1	negeqi 9624	. . . . . . . . . . 11 |- -u R = -u -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) )
77	25	recnd 9433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) e. CC )
78	77	negnegd 9731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) = ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) )
79	76, 78	syl5eq 2487	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u R = ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) )
80	75, 79	eqtrd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -u 1 x. R ) = ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) )
81	80	oveq2d 6128	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ^c ( -u 1 x. R ) ) = ( P ^c ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) ) )
82	8	nnrpd 11047	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. RR+ )
83		neg1rr 10447	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. RR
84	83	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u 1 e. RR )
85	82, 84, 74	cxpmuld 22201	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ^c ( -u 1 x. R ) ) = ( ( P ^c -u 1 ) ^c R ) )
86	59, 16, 77	cxpefd 22179	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P ^c ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) ) = ( exp ` ( ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) x. ( log ` P ) ) ) )
87	21	recnd 9433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( log ` ( F ` P ) ) e. CC )
88	24	rpne0d 11053	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( log ` P ) =/= 0 )
89	87, 35, 88	divcan1d 10129	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) x. ( log ` P ) ) = ( log ` ( F ` P ) ) )
90	89	fveq2d 5716	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) x. ( log ` P ) ) ) = ( exp ` ( log ` ( F ` P ) ) ) )
91	20	reeflogd 22095	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` ( F ` P ) ) ) = ( F ` P ) )
92	86, 90, 91	3eqtrd 2479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ^c ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) ) = ( F ` P ) )
93	81, 85, 92	3eqtr3d 2483	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P ^c -u 1 ) ^c R ) = ( F ` P ) )
94	53, 73, 93	3eqtrrd 2480	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` P ) )
95		fveq2 5712	. . . . . . 7 |- ( P = p -> ( F ` P ) = ( F ` p ) )
96		fveq2 5712	. . . . . . 7 |- ( P = p -> ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` P ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) )
97	95, 96	eqeq12d 2457	. . . . . 6 |- ( P = p -> ( ( F ` P ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` P ) <-> ( F ` p ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) ) )
98	94, 97	syl5ibcom 220	. . . . 5 |- ( ph -> ( P = p -> ( F ` p ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) ) )
99	98	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( P = p -> ( F ` p ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) ) )
100		prmnn 13787	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
101	100	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> p e. NN )
102		nnq 10987	. . . . . . . 8 |- ( p e. NN -> p e. QQ )
103	101, 102	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> p e. QQ )
104		fveq2 5712	. . . . . . . . 9 |- ( y = p -> ( ( J ` P ) ` y ) = ( ( J ` P ) ` p ) )
105	104	oveq1d 6127	. . . . . . . 8 |- ( y = p -> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) = ( ( ( J ` P ) ` p ) ^c R ) )
106		ovex 6137	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J ` P ) ` p ) ^c R ) e. _V
107	105, 50, 106	fvmpt 5795	. . . . . . 7 |- ( p e. QQ -> ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) = ( ( ( J ` P ) ` p ) ^c R ) )
108	103, 107	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) = ( ( ( J ` P ) ` p ) ^c R ) )
109	74	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> R e. CC )
110	109	1cxpd 22174	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( 1 ^c R ) = 1 )
111	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> P e. Prime )
112	45	padicval 22888	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ p e. QQ ) -> ( ( J ` P ) ` p ) = if ( p = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) ) )
113	111, 103, 112	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( J ` P ) ` p ) = if ( p = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) ) )
114	101	nnne0d 10387	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> p =/= 0 )
115	114	neneqd 2627	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> -. p = 0 )
116		iffalse 3820	. . . . . . . . . 10 |- ( -. p = 0 -> if ( p = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) ) = ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) )
117	115, 116	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> if ( p = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) ) = ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) )
118		pceq0 13958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. Prime /\ p e. NN ) -> ( ( P pCnt p ) = 0 <-> -. P || p ) )
119	3, 100, 118	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( P pCnt p ) = 0 <-> -. P || p ) )
120		dvdsprm 13806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ p e. Prime ) -> ( P || p <-> P = p ) )
121	5, 120	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( P || p <-> P = p ) )
122	121	necon3bbid 2636	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( -. P || p <-> P =/= p ) )
123	119, 122	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( P pCnt p ) = 0 <-> P =/= p ) )
124	123	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( P pCnt p ) = 0 )
125	124	negeqd 9625	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> -u ( P pCnt p ) = -u 0 )
126		neg0 9676	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 0 = 0
127	125, 126	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> -u ( P pCnt p ) = 0 )
128	127	oveq2d 6128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) = ( P ^ 0 ) )
129	59	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> P e. CC )
130	129	exp0d 12023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( P ^ 0 ) = 1 )
131	128, 130	eqtrd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) = 1 )
132	113, 117, 131	3eqtrd 2479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( J ` P ) ` p ) = 1 )
133	132	oveq1d 6127	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( ( J ` P ) ` p ) ^c R ) = ( 1 ^c R ) )
134		2re 10412	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> 2 e. RR )
136		ostth3.6	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S = if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) )
137	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> F e. A )
138	11, 13	abvcl 16931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. A /\ p e. QQ ) -> ( F ` p ) e. RR )
139	137, 103, 138	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( F ` p ) e. RR )
140	11, 13, 17	abvgt0 16935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. A /\ p e. QQ /\ p =/= 0 ) -> 0 < ( F ` p ) )
141	137, 103, 114, 140	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> 0 < ( F ` p ) )
142	139, 141	elrpd 11046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( F ` p ) e. RR+ )
143	142	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( F ` p ) e. RR+ )
144	20	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( F ` P ) e. RR+ )
145		ifcl 3852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` p ) e. RR+ /\ ( F ` P ) e. RR+ ) -> if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) e. RR+ )
146	143, 144, 145	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) e. RR+ )
147	136, 146	syl5eqel 2527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> S e. RR+ )
148	147	rprecred 11059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( 1 / S ) e. RR )
149		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( F ` p ) < 1 )
150	28	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( F ` P ) < 1 )
151		breq1 4316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` p ) = if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) -> ( ( F ` p ) < 1 <-> if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) < 1 ) )
152		breq1 4316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` P ) = if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) -> ( ( F ` P ) < 1 <-> if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) < 1 ) )
153	151, 152	ifboth 3846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` p ) < 1 /\ ( F ` P ) < 1 ) -> if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) < 1 )
154	149, 150, 153	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) < 1 )
155	136, 154	syl5eqbr 4346	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> S < 1 )
156	147	reclt1d 11061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( S < 1 <-> 1 < ( 1 / S ) ) )
157	155, 156	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> 1 < ( 1 / S ) )
158		expnbnd 12014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ ( 1 / S ) e. RR /\ 1 < ( 1 / S ) ) -> E. k e. NN 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) )
159	135, 148, 157, 158	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> E. k e. NN 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) )
160	147	rpcnd 11050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> S e. CC )
161	160	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> S e. CC )
162	147	rpne0d 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> S =/= 0 )
163	162	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> S =/= 0 )
164		nnz 10689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
165	164	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
166	161, 163, 165	exprecd 12037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / S ) ^ k ) = ( 1 / ( S ^ k ) ) )
167	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> F e. A )
168		ax-1ne0 9372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 =/= 0
169	12	qrng1 22893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 = ( 1r ` Q )
170	11, 169, 17	abv1z 16939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. A /\ 1 =/= 0 ) -> ( F ` 1 ) = 1 )
171	167, 168, 170	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( F ` 1 ) = 1 )
172	8	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> P e. NN )
173		nnnn0 10607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
174		nnexpcl 11899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( P ^ k ) e. NN )
175	172, 173, 174	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( P ^ k ) e. NN )
176	175	nnzd 10767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( P ^ k ) e. ZZ )
177	100	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> p e. NN )
178		nnexpcl 11899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( p e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( p ^ k ) e. NN )
179	177, 173, 178	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( p ^ k ) e. NN )
180	179	nnzd 10767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( p ^ k ) e. ZZ )
181		bezout 13747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P ^ k ) e. ZZ /\ ( p ^ k ) e. ZZ ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) )
182	176, 180, 181	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) )
183		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> P =/= p )
184	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> P e. Prime )
185		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> p e. Prime )
186		prmrp 13808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( P e. Prime /\ p e. Prime ) -> ( ( P gcd p ) = 1 <-> P =/= p ) )
187	184, 185, 186	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( ( P gcd p ) = 1 <-> P =/= p ) )
188	183, 187	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( P gcd p ) = 1 )
189	188	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( P gcd p ) = 1 )
190	172	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> P e. NN )
191	177	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> p e. NN )
192		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
193		rppwr 13762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. NN /\ p e. NN /\ k e. NN ) -> ( ( P gcd p ) = 1 -> ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = 1 ) )
194	190, 191, 192, 193	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( P gcd p ) = 1 -> ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = 1 ) )
195	189, 194	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = 1 )
196	195	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = 1 )
197	196	eqeq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) <-> 1 = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) )
198	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> F e. A )
199	175	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( P ^ k ) e. NN )
200		nnq 10987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( P ^ k ) e. NN -> ( P ^ k ) e. QQ )
201	199, 200	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( P ^ k ) e. QQ )
202		simprrl 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> a e. ZZ )
203		zq 10980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( a e. ZZ -> a e. QQ )
204	202, 203	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> a e. QQ )
205		qmulcl 10992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( P ^ k ) e. QQ /\ a e. QQ ) -> ( ( P ^ k ) x. a ) e. QQ )
206	201, 204, 205	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( P ^ k ) x. a ) e. QQ )
207	179	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( p ^ k ) e. NN )
208		nnq 10987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( p ^ k ) e. NN -> ( p ^ k ) e. QQ )
209	207, 208	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( p ^ k ) e. QQ )
210		simprrr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> b e. ZZ )
211		zq 10980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( b e. ZZ -> b e. QQ )
212	210, 211	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> b e. QQ )
213		qmulcl 10992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( p ^ k ) e. QQ /\ b e. QQ ) -> ( ( p ^ k ) x. b ) e. QQ )
214	209, 212, 213	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( p ^ k ) x. b ) e. QQ )
215		qaddcl 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( P ^ k ) x. a ) e. QQ /\ ( ( p ^ k ) x. b ) e. QQ ) -> ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) e. QQ )
216	206, 214, 215	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) e. QQ )
217	11, 13	abvcl 16931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F e. A /\ ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) e. QQ ) -> ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) e. RR )
218	198, 216, 217	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) e. RR )
219	11, 13	abvcl 16931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F e. A /\ ( ( P ^ k ) x. a ) e. QQ ) -> ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) e. RR )
220	198, 206, 219	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) e. RR )
221	11, 13	abvcl 16931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F e. A /\ ( ( p ^ k ) x. b ) e. QQ ) -> ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) e. RR )
222	198, 214, 221	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) e. RR )
223	220, 222	readdcld 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) + ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) e. RR )
224		rpexpcl 11905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( S e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( S ^ k ) e. RR+ )
225	147, 164, 224	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( S ^ k ) e. RR+ )
226	225	rpred 11048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( S ^ k ) e. RR )
227	226	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( S ^ k ) e. RR )
228		remulcl 9388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 2 e. RR /\ ( S ^ k ) e. RR ) -> ( 2 x. ( S ^ k ) ) e. RR )
229	134, 227, 228	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( 2 x. ( S ^ k ) ) e. RR )
230		qex 10986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- QQ e. _V
231		cnfldadd 17845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- + = ( +g ` ℂfld )
232	12, 231	ressplusg 14301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( QQ e. _V -> + = ( +g ` Q ) )
233	230, 232	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- + = ( +g ` Q )
234	11, 13, 233	abvtri 16937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F e. A /\ ( ( P ^ k ) x. a ) e. QQ /\ ( ( p ^ k ) x. b ) e. QQ ) -> ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) <_ ( ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) + ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) )
235	198, 206, 214, 234	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) <_ ( ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) + ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) )
236		cnfldmul 17846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- x. = ( .r ` ℂfld )
237	12, 236	ressmulr 14312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( QQ e. _V -> x. = ( .r ` Q ) )
238	230, 237	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- x. = ( .r ` Q )
239	11, 13, 238	abvmul 16936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( F e. A /\ ( P ^ k ) e. QQ /\ a e. QQ ) -> ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) = ( ( F ` ( P ^ k ) ) x. ( F ` a ) ) )
240	198, 201, 204, 239	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) = ( ( F ` ( P ^ k ) ) x. ( F ` a ) ) )
241	10	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> P e. QQ )
242	173	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> k e. NN0 )
243	12, 11	qabvexp 22897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( F e. A /\ P e. QQ /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( P ^ k ) ) = ( ( F ` P ) ^ k ) )
244	198, 241, 242, 243	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( P ^ k ) ) = ( ( F ` P ) ^ k ) )
245	244	oveq1d 6127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` ( P ^ k ) ) x. ( F ` a ) ) = ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) )
246	240, 245	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) = ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) )
247	198, 241, 14	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` P ) e. RR )
248	247, 242	reexpcld 12046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` P ) ^ k ) e. RR )
249	11, 13	abvcl 16931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( F e. A /\ a e. QQ ) -> ( F ` a ) e. RR )
250	198, 204, 249	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
251	248, 250	remulcld 9435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) e. RR )
252		elz 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( a e. ZZ <-> ( a e. RR /\ ( a = 0 \/ a e. NN \/ -u a e. NN ) ) )
253	252	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( a e. ZZ -> ( a = 0 \/ a e. NN \/ -u a e. NN ) )
254	253	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( a = 0 \/ a e. NN \/ -u a e. NN ) )
255	11, 17	abv0 16938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( F e. A -> ( F ` 0 ) = 0 )
256	2, 255	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = 0 )
257		0le1 9884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- 0 <_ 1
258	256, 257	syl6eqbr 4350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ph -> ( F ` 0 ) <_ 1 )
259	258	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( F ` 0 ) <_ 1 )
260		fveq2 5712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( a = 0 -> ( F ` a ) = ( F ` 0 ) )
261	260	breq1d 4323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( a = 0 -> ( ( F ` a ) <_ 1 <-> ( F ` 0 ) <_ 1 ) )
262	259, 261	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( a = 0 -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
263		ostth3.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ph -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
264		nnq 10987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( n e. NN -> n e. QQ )
265	11, 13	abvcl 16931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( F e. A /\ n e. QQ ) -> ( F ` n ) e. RR )
266	2, 264, 265	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. RR )
267		1re 9406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- 1 e. RR
268		lenlt 9474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( F ` n ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( F ` n ) <_ 1 <-> -. 1 < ( F ` n ) ) )
269	266, 267, 268	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) <_ 1 <-> -. 1 < ( F ` n ) ) )
270	269	ralbidva 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ph -> ( A. n e. NN ( F ` n ) <_ 1 <-> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) )
271	263, 270	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ph -> A. n e. NN ( F ` n ) <_ 1 )
272		fveq2 5712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( n = a -> ( F ` n ) = ( F ` a ) )
273	272	breq1d 4323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( n = a -> ( ( F ` n ) <_ 1 <-> ( F ` a ) <_ 1 ) )
274	273	rspccv 3091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( A. n e. NN ( F ` n ) <_ 1 -> ( a e. NN -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
275	271, 274	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ph -> ( a e. NN -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
276	275	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( a e. NN -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
277	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> F e. A )
278	203	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> a e. QQ )
279		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( invg ` Q ) = ( invg ` Q )
280	11, 13, 279	abvneg 16941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( F e. A /\ a e. QQ ) -> ( F ` ( ( invg ` Q ) ` a ) ) = ( F ` a ) )
281	277, 278, 280	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> ( F ` ( ( invg ` Q ) ` a ) ) = ( F ` a ) )
282	12	qrngneg 22894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( a e. QQ -> ( ( invg ` Q ) ` a ) = -u a )
283	278, 282	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> ( ( invg ` Q ) ` a ) = -u a )
284		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> -u a e. NN )
285	283, 284	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> ( ( invg ` Q ) ` a ) e. NN )
286	271	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> A. n e. NN ( F ` n ) <_ 1 )
287		fveq2 5712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( n = ( ( invg ` Q ) ` a ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( ( invg ` Q ) ` a ) ) )
288	287	breq1d 4323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( n = ( ( invg ` Q ) ` a ) -> ( ( F ` n ) <_ 1 <-> ( F ` ( ( invg ` Q ) ` a ) ) <_ 1 ) )
289	288	rspcv 3090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( invg ` Q ) ` a ) e. NN -> ( A. n e. NN ( F ` n ) <_ 1 -> ( F ` ( ( invg ` Q ) ` a ) ) <_ 1 ) )
290	285, 286, 289	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> ( F ` ( ( invg ` Q ) ` a ) ) <_ 1 )
291	281, 290	eqbrtrrd 4335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> ( F ` a ) <_ 1 )
292	291	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( -u a e. NN -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
293	262, 276, 292	3jaod 1282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( ( a = 0 \/ a e. NN \/ -u a e. NN ) -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
294	254, 293	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( F ` a ) <_ 1 )
295	294	ralrimiva 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ph -> A. a e. ZZ ( F ` a ) <_ 1 )
296	295	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> A. a e. ZZ ( F ` a ) <_ 1 )
297		rsp 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( A. a e. ZZ ( F ` a ) <_ 1 -> ( a e. ZZ -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
298	296, 202, 297	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` a ) <_ 1 )
299	267	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 1 e. RR )
300	164	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> k e. ZZ )
301	19	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 0 < ( F ` P ) )
302		expgt0 11918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( F ` P ) e. RR /\ k e. ZZ /\ 0 < ( F ` P ) ) -> 0 < ( ( F ` P ) ^ k ) )
303	247, 300, 301, 302	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 0 < ( ( F ` P ) ^ k ) )
304		lemul2 10203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( F ` a ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( ( F ` P ) ^ k ) e. RR /\ 0 < ( ( F ` P ) ^ k ) ) ) -> ( ( F ` a ) <_ 1 <-> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) <_ ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. 1 ) ) )
305	250, 299, 248, 303, 304	syl112anc 1222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` a ) <_ 1 <-> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) <_ ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. 1 ) ) )
306	298, 305	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) <_ ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. 1 ) )
307	248	recnd 9433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` P ) ^ k ) e. CC )
308	307	mulid1d 9424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. 1 ) = ( ( F ` P ) ^ k ) )
309	306, 308	breqtrd 4337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) <_ ( ( F ` P ) ^ k ) )
310	147	rpred 11048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> S e. RR )
311	310	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> S e. RR )
312	144	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` P ) e. RR+ )
313	312	rpge0d 11052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 0 <_ ( F ` P ) )
314	177	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> p e. NN )
315	314, 102	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> p e. QQ )
316	198, 315, 138	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` p ) e. RR )
317		max1 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( F ` P ) e. RR /\ ( F ` p ) e. RR ) -> ( F ` P ) <_ if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) )
318	247, 316, 317	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` P ) <_ if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) )
319	318, 136	syl6breqr 4353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` P ) <_ S )
320		leexp1a 11943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( F ` P ) e. RR /\ S e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( 0 <_ ( F ` P ) /\ ( F ` P ) <_ S ) ) -> ( ( F ` P ) ^ k ) <_ ( S ^ k ) )
321	247, 311, 242, 313, 319, 320	syl32anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` P ) ^ k ) <_ ( S ^ k ) )
322	251, 248, 227, 309, 321	letrd 9549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) <_ ( S ^ k ) )
323	246, 322	eqbrtrd 4333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) <_ ( S ^ k ) )
324	11, 13, 238	abvmul 16936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( F e. A /\ ( p ^ k ) e. QQ /\ b e. QQ ) -> ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) = ( ( F ` ( p ^ k ) ) x. ( F ` b ) ) )
325	198, 209, 212, 324	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) = ( ( F ` ( p ^ k ) ) x. ( F ` b ) ) )
326	12, 11	qabvexp 22897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( F e. A /\ p e. QQ /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( p ^ k ) ) = ( ( F ` p ) ^ k ) )
327	198, 315, 242, 326	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( p ^ k ) ) = ( ( F ` p ) ^ k ) )
328	327	oveq1d 6127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` ( p ^ k ) ) x. ( F ` b ) ) = ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) )
329	325, 328	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) = ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) )
330	316, 242	reexpcld 12046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` p ) ^ k ) e. RR )
331	11, 13	abvcl 16931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( F e. A /\ b e. QQ ) -> ( F ` b ) e. RR )
332	198, 212, 331	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` b ) e. RR )
333	330, 332	remulcld 9435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) e. RR )
334		fveq2 5712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( a = b -> ( F ` a ) = ( F ` b ) )
335	334	breq1d 4323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( a = b -> ( ( F ` a ) <_ 1 <-> ( F ` b ) <_ 1 ) )
336	335	rspcv 3090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( b e. ZZ -> ( A. a e. ZZ ( F ` a ) <_ 1 -> ( F ` b ) <_ 1 ) )
337	210, 296, 336	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` b ) <_ 1 )
338	314	nnne0d 10387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> p =/= 0 )
339	198, 315, 338, 140	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 0 < ( F ` p ) )
340		expgt0 11918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( F ` p ) e. RR /\ k e. ZZ /\ 0 < ( F ` p ) ) -> 0 < ( ( F ` p ) ^ k ) )
341	316, 300, 339, 340	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 0 < ( ( F ` p ) ^ k ) )
342		lemul2 10203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( F ` b ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( ( F ` p ) ^ k ) e. RR /\ 0 < ( ( F ` p ) ^ k ) ) ) -> ( ( F ` b ) <_ 1 <-> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) <_ ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. 1 ) ) )
343	332, 299, 330, 341, 342	syl112anc 1222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` b ) <_ 1 <-> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) <_ ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. 1 ) ) )
344	337, 343	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) <_ ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. 1 ) )
345	330	recnd 9433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` p ) ^ k ) e. CC )
346	345	mulid1d 9424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. 1 ) = ( ( F ` p ) ^ k ) )
347	344, 346	breqtrd 4337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) <_ ( ( F ` p ) ^ k ) )
348	143	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` p ) e. RR+ )
349	348	rpge0d 11052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 0 <_ ( F ` p ) )
350		max2 11180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( F ` P ) e. RR /\ ( F ` p ) e. RR ) -> ( F ` p ) <_ if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) )
351	247, 316, 350	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` p ) <_ if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) )
352	351, 136	syl6breqr 4353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` p ) <_ S )
353		leexp1a 11943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( F ` p ) e. RR /\ S e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( 0 <_ ( F ` p ) /\ ( F ` p ) <_ S ) ) -> ( ( F ` p ) ^ k ) <_ ( S ^ k ) )
354	316, 311, 242, 349, 352, 353	syl32anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` p ) ^ k ) <_ ( S ^ k ) )
355	333, 330, 227, 347, 354	letrd 9549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) <_ ( S ^ k ) )
356	329, 355	eqbrtrd 4333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) <_ ( S ^ k ) )
357	220, 222, 227, 227, 323, 356	le2addd 9978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) + ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) <_ ( ( S ^ k ) + ( S ^ k ) ) )
358	225	rpcnd 11050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( S ^ k ) e. CC )
359	358	2timesd 10588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( 2 x. ( S ^ k ) ) = ( ( S ^ k ) + ( S ^ k ) ) )
360	359	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( 2 x. ( S ^ k ) ) = ( ( S ^ k ) + ( S ^ k ) ) )
361	357, 360	breqtrrd 4339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) + ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) )
362	218, 223, 229, 235, 361	letrd 9549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) )
363		fveq2 5712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) -> ( F ` 1 ) = ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) )
364	363	breq1d 4323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) -> ( ( F ` 1 ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) <-> ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
365	362, 364	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( 1 = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) -> ( F ` 1 ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
366	197, 365	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) -> ( F ` 1 ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
367	366	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) -> ( F ` 1 ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
368	367	rexlimdvva 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) -> ( F ` 1 ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
369	182, 368	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( F ` 1 ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) )
370	171, 369	eqbrtrrd 4335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> 1 <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) )
371	225	rpregt0d 11054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( S ^ k ) e. RR /\ 0 < ( S ^ k ) ) )
372		ledivmul2 10230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ ( ( S ^ k ) e. RR /\ 0 < ( S ^ k ) ) ) -> ( ( 1 / ( S ^ k ) ) <_ 2 <-> 1 <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
373	267, 134, 372	mp3an12 1304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S ^ k ) e. RR /\ 0 < ( S ^ k ) ) -> ( ( 1 / ( S ^ k ) ) <_ 2 <-> 1 <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
374	371, 373	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( S ^ k ) ) <_ 2 <-> 1 <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
375	370, 374	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( S ^ k ) ) <_ 2 )
376	166, 375	eqbrtrd 4333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / S ) ^ k ) <_ 2 )
377		reexpcl 11903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 / S ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / S ) ^ k ) e. RR )
378	148, 173, 377	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / S ) ^ k ) e. RR )
379		lenlt 9474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( 1 / S ) ^ k ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( ( 1 / S ) ^ k ) <_ 2 <-> -. 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) ) )
380	378, 134, 379	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / S ) ^ k ) <_ 2 <-> -. 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) ) )
381	376, 380	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> -. 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) )
382	381	pm2.21d 106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) -> -. ( F ` p ) < 1 ) )
383	382	rexlimdva 2862	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( E. k e. NN 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) -> -. ( F ` p ) < 1 ) )
384	159, 383	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> -. ( F ` p ) < 1 )
385	384	expr 615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( F ` p ) < 1 -> -. ( F ` p ) < 1 ) )
386	385	pm2.01d 169	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> -. ( F ` p ) < 1 )
387	263	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
388		fveq2 5712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = p -> ( F ` n ) = ( F ` p ) )
389	388	breq2d 4325	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = p -> ( 1 < ( F ` n ) <-> 1 < ( F ` p ) ) )
390	389	notbid 294	. . . . . . . . . 10 |- ( n = p -> ( -. 1 < ( F ` n ) <-> -. 1 < ( F ` p ) ) )
391	390	rspcv 3090	. . . . . . . . 9 |- ( p e. NN -> ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) -> -. 1 < ( F ` p ) ) )
392	101, 387, 391	sylc 60	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> -. 1 < ( F ` p ) )
393		lttri3 9479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` p ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( F ` p ) = 1 <-> ( -. ( F ` p ) < 1 /\ -. 1 < ( F ` p ) ) ) )
394	139, 267, 393	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( F ` p ) = 1 <-> ( -. ( F ` p ) < 1 /\ -. 1 < ( F ` p ) ) ) )
395	386, 392, 394	mpbir2and 913	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( F ` p ) = 1 )
396	110, 133, 395	3eqtr4d 2485	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( ( J ` P ) ` p ) ^c R ) = ( F ` p ) )
397	108, 396	eqtr2d 2476	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( F ` p ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) )
398	397	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( P =/= p -> ( F ` p ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) ) )
399	99, 398	pm2.61dne 2712	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( F ` p ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) )
400	12, 11, 2, 47, 399	ostthlem2 22899	. 2 |- ( ph -> F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) )
401		oveq2 6120	. . . . 5 |- ( a = R -> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c a ) = ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) )
402	401	mpteq2dv 4400	. . . 4 |- ( a = R -> ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c a ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) )
403	402	eqeq2d 2454	. . 3 |- ( a = R -> ( F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c a ) ) <-> F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ) )
404	403	rspcev 3094	. 2 |- ( ( R e. RR+ /\ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ) -> E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c a ) ) )
405	44, 400, 404	syl2anc 661	1 |- ( ph -> E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c a ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   \/ w3o 964   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 2993   ifcif 3812   class class class wbr 4313   e. cmpt 4371   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304   + caddc 9306   x. cmul 9308   < clt 9439   <_ cle 9440   -ucneg 9617   / cdiv 10014   NNcn 10343   2c2 10392   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   QQcq 10974   RR+crp 11012   ^cexp 11886   expce 13368   || cdivides 13556   gcd cgcd 13711   Primecprime 13784   pCnt cpc 13924   ↾_s cress 14196   +g cplusg 14259   .rcmulr 14260   invgcminusg 15432  AbsValcabv 16923  ℂ_fldccnfld 17840   logclog 22028   ^c ccxp 22029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-tpos 6766  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-ef 13374  df-sin 13376  df-cos 13377  df-pi 13379  df-dvds 13557  df-gcd 13712  df-prm 13785  df-pc 13925  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-mulg 15569  df-subg 15699  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-cring 16670  df-oppr 16737  df-dvdsr 16755  df-unit 16756  df-invr 16786  df-dvr 16797  df-drng 16856  df-subrg 16885  df-abv 16924  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg