MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem4 Structured version   Unicode version

Theorem ostth2lem4 22769
Description: Lemma for ostth2 22770. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
ostth2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.6  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
ostth2.7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
ostth2.8  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
Assertion
Ref Expression
ostth2lem4  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  /\  R  <_  S ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, q, ph    x, T    x, U    A, q, x    x, N    x, Q    F, q    R, q    x, F
Allowed substitution hints:    Q( q)    R( x)    S( x, q)    T( q)    U( q)    J( x, q)    K( x, q)    M( q)    N( q)

Proof of Theorem ostth2lem4
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
2 1re 9372 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
3 ostth.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
4 ostth2.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
5 eluz2b2 10914 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
64, 5sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
76simpld 456 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
8 nnq 10953 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
10 qabsabv.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
11 qrng.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  (flds  QQ )
1211qrngbas 22752 . . . . . . . 8  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
1310, 12abvcl 16832 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ )  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
143, 9, 13syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
15 ltnle 9441 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  N )  e.  RR )  -> 
( 1  <  ( F `  N )  <->  -.  ( F `  N
)  <_  1 ) )
162, 14, 15sylancr 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  N )  <->  -.  ( F `  N
)  <_  1 ) )
171, 16mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  N )  <_  1
)
18 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
19 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
20 eluz2b2 10914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
2119, 20sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  1  <  M ) )
2221simpld 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
23 nnq 10953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
2510, 12abvcl 16832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
263, 24, 25syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
27 ifcl 3819 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  e.  RR )
282, 26, 27sylancr 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )  e.  RR )
2918, 28syl5eqel 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
30 0red 9374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
32 0lt1 9849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
34 max2 11146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3526, 2, 34sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3635, 18syl6breqr 4320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  T )
3730, 31, 29, 33, 36ltletrd 9518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  T )
3829, 37elrpd 11012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
39 ostth2.8 . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
407nnrpd 11013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
4140relogcld 21956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
4222nnred 10324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4321simprd 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <  M )
4442, 43rplogcld 21962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  RR+ )
4541, 44rerpdivcld 11041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR )
4639, 45syl5eqel 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
4738, 46rpcxpcld 22059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  ^c  U )  e.  RR+ )
4814, 47rerpdivcld 11041 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  /  ( T  ^c  U ) )  e.  RR )
4942, 29remulcld 9401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  x.  T
)  e.  RR )
50 peano2re 9529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  RR  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
5146, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
5249, 51remulcld 9401 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) )  e.  RR )
53 padic.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
54 ostth.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
55 ostth2.4 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
56 ostth2.6 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
5711, 10, 53, 54, 3, 4, 1, 55, 19, 56, 18, 39ostth2lem3 22768 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^c  U ) ) ^ n )  <_  ( n  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
5848, 52, 57ostth2lem1 22751 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  /  ( T  ^c  U ) )  <_  1 )
5914, 31, 47ledivmuld 11063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  / 
( T  ^c  U ) )  <_ 
1  <->  ( F `  N )  <_  (
( T  ^c  U )  x.  1 ) ) )
6058, 59mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( ( T  ^c  U )  x.  1 ) )
6147rpcnd 11016 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  ^c  U )  e.  CC )
6261mulid1d 9390 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( T  ^c  U )  x.  1 )  =  ( T  ^c  U ) )
6360, 62breqtrd 4304 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( T  ^c  U )
)
6463adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( F `  N )  <_  ( T  ^c  U ) )
65 iftrue 3785 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  =  1 )
6618, 65syl5eq 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  T  =  1 )
6766oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  ( T  ^c  U )  =  ( 1  ^c  U ) )
6846recnd 9399 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
69681cxpd 22036 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  ^c  U )  =  1 )
7067, 69sylan9eqr 2487 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( T  ^c  U )  =  1 )
7164, 70breqtrd 4304 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( F `  N )  <_  1
)
7217, 71mtand 652 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  M )  <_  1
)
73 ltnle 9441 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  -> 
( 1  <  ( F `  M )  <->  -.  ( F `  M
)  <_  1 ) )
742, 26, 73sylancr 656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  <->  -.  ( F `  M
)  <_  1 ) )
7572, 74mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 M ) )
7630, 31, 14, 33, 1lttrd 9519 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 N ) )
7714, 76elrpd 11012 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR+ )
7877reeflogd 21957 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  =  ( F `  N ) )
79 iffalse 3787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( F `  M
)  <_  1  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  =  ( F `
 M ) )
8018, 79syl5eq 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( F `  M
)  <_  1  ->  T  =  ( F `  M ) )
8172, 80syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =  ( F `
 M ) )
8281oveq1d 6095 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  ^c  U )  =  ( ( F `  M
)  ^c  U ) )
8326recnd 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  CC )
8430, 31, 26, 33, 75lttrd 9519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 M ) )
8526, 84elrpd 11012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR+ )
8685rpne0d 11019 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =/=  0 )
8783, 86, 68cxpefd 22041 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M )  ^c  U )  =  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) ) ) )
8882, 87eqtr2d 2466 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M
) ) ) )  =  ( T  ^c  U ) )
8963, 78, 883brtr4d 4310 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M
) ) ) ) )
9077relogcld 21956 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR )
9185relogcld 21956 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  M )
)  e.  RR )
9246, 91remulcld 9401 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) )  e.  RR )
93 efle 13384 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR  /\  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) ) ) )
9490, 92, 93syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) ) ) )
9589, 94mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) ) )
9641recnd 9399 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
9791recnd 9399 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  M )
)  e.  CC )
9844rpcnd 11016 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  CC )
9944rpne0d 11019 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  =/=  0 )
10096, 97, 98, 99div12d 10130 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) ) )
10139oveq2i 6091 . . . . . . 7  |-  ( ( log `  ( F `
 M ) )  x.  U )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) )
102100, 101syl6eqr 2483 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  U ) )
10397, 68mulcomd 9394 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  U )  =  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) )
104102, 103eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) ) )
10595, 104breqtrrd 4306 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) ) )
10691, 44rerpdivcld 11041 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR )
1077nnred 10324 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1086simprd 460 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <  N )
109107, 108rplogcld 21962 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR+ )
11090, 106, 109ledivmuld 11063 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( F `  N
) )  /  ( log `  N ) )  <_  ( ( log `  ( F `  M
) )  /  ( log `  M ) )  <-> 
( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) ) ) )
111105, 110mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )  <_ 
( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) )
112111, 55, 563brtr4g 4312 . 2  |-  ( ph  ->  R  <_  S )
11375, 112jca 529 1  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  /\  R  <_  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   ifcif 3779   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    x. cmul 9274    < clt 9405    <_ cle 9406   -ucneg 9583    / cdiv 9980   NNcn 10309   2c2 10358   ZZ>=cuz 10848   QQcq 10940   ^cexp 11848   expce 13329   Primecprime 13745    pCnt cpc 13885   ↾s cress 14157  AbsValcabv 16824  ℂfldccnfld 17661   logclog 21890    ^c ccxp 21891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-tpos 6734  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ioc 11292  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-bc 12062  df-hash 12087  df-shft 12539  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-ef 13335  df-sin 13337  df-cos 13338  df-pi 13340  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-grp 15524  df-minusg 15525  df-mulg 15527  df-subg 15657  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-mgp 16565  df-rng 16579  df-cring 16580  df-ur 16581  df-oppr 16648  df-dvdsr 16666  df-unit 16667  df-invr 16697  df-dvr 16708  df-drng 16757  df-subrg 16786  df-abv 16825  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-lp 18581  df-perf 18582  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295  df-limc 21182  df-dv 21183  df-log 21892  df-cxp 21893
This theorem is referenced by:  ostth2  22770
  Copyright terms: Public domain W3C validator