MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem4 Structured version   Unicode version

Theorem ostth2lem4 23549
Description: Lemma for ostth2 23550. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
ostth2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.6  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
ostth2.7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
ostth2.8  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
Assertion
Ref Expression
ostth2lem4  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  /\  R  <_  S ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, q, ph    x, T    x, U    A, q, x    x, N    x, Q    F, q    R, q    x, F
Allowed substitution hints:    Q( q)    R( x)    S( x, q)    T( q)    U( q)    J( x, q)    K( x, q)    M( q)    N( q)

Proof of Theorem ostth2lem4
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
2 1re 9591 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
3 ostth.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
4 ostth2.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
5 eluz2b2 11150 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
64, 5sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
76simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
8 nnq 11191 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
10 qabsabv.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
11 qrng.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  (flds  QQ )
1211qrngbas 23532 . . . . . . . 8  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
1310, 12abvcl 17256 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ )  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
143, 9, 13syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
15 ltnle 9660 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  N )  e.  RR )  -> 
( 1  <  ( F `  N )  <->  -.  ( F `  N
)  <_  1 ) )
162, 14, 15sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  N )  <->  -.  ( F `  N
)  <_  1 ) )
171, 16mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  N )  <_  1
)
18 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
19 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
20 eluz2b2 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
2119, 20sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  1  <  M ) )
2221simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
23 nnq 11191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
2510, 12abvcl 17256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
263, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
27 ifcl 3981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  e.  RR )
282, 26, 27sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )  e.  RR )
2918, 28syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
30 0red 9593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
32 0lt1 10071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
34 max2 11384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3526, 2, 34sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3635, 18syl6breqr 4487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  T )
3730, 31, 29, 33, 36ltletrd 9737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  T )
3829, 37elrpd 11250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
39 ostth2.8 . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
407nnrpd 11251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
4140relogcld 22736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
4222nnred 10547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4321simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <  M )
4442, 43rplogcld 22742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  RR+ )
4541, 44rerpdivcld 11279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR )
4639, 45syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
4738, 46rpcxpcld 22839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  ^c  U )  e.  RR+ )
4814, 47rerpdivcld 11279 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  /  ( T  ^c  U ) )  e.  RR )
4942, 29remulcld 9620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  x.  T
)  e.  RR )
50 peano2re 9748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  RR  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
5146, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
5249, 51remulcld 9620 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) )  e.  RR )
53 padic.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
54 ostth.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
55 ostth2.4 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
56 ostth2.6 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
5711, 10, 53, 54, 3, 4, 1, 55, 19, 56, 18, 39ostth2lem3 23548 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^c  U ) ) ^ n )  <_  ( n  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
5848, 52, 57ostth2lem1 23531 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  /  ( T  ^c  U ) )  <_  1 )
5914, 31, 47ledivmuld 11301 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  / 
( T  ^c  U ) )  <_ 
1  <->  ( F `  N )  <_  (
( T  ^c  U )  x.  1 ) ) )
6058, 59mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( ( T  ^c  U )  x.  1 ) )
6147rpcnd 11254 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  ^c  U )  e.  CC )
6261mulid1d 9609 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( T  ^c  U )  x.  1 )  =  ( T  ^c  U ) )
6360, 62breqtrd 4471 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( T  ^c  U )
)
6463adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( F `  N )  <_  ( T  ^c  U ) )
65 iftrue 3945 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  =  1 )
6618, 65syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  T  =  1 )
6766oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  ( T  ^c  U )  =  ( 1  ^c  U ) )
6846recnd 9618 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
69681cxpd 22816 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  ^c  U )  =  1 )
7067, 69sylan9eqr 2530 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( T  ^c  U )  =  1 )
7164, 70breqtrd 4471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( F `  N )  <_  1
)
7217, 71mtand 659 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  M )  <_  1
)
73 ltnle 9660 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  -> 
( 1  <  ( F `  M )  <->  -.  ( F `  M
)  <_  1 ) )
742, 26, 73sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  <->  -.  ( F `  M
)  <_  1 ) )
7572, 74mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 M ) )
7630, 31, 14, 33, 1lttrd 9738 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 N ) )
7714, 76elrpd 11250 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR+ )
7877reeflogd 22737 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  =  ( F `  N ) )
79 iffalse 3948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( F `  M
)  <_  1  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  =  ( F `
 M ) )
8018, 79syl5eq 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( F `  M
)  <_  1  ->  T  =  ( F `  M ) )
8172, 80syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =  ( F `
 M ) )
8281oveq1d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  ^c  U )  =  ( ( F `  M
)  ^c  U ) )
8326recnd 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  CC )
8430, 31, 26, 33, 75lttrd 9738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 M ) )
8526, 84elrpd 11250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR+ )
8685rpne0d 11257 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =/=  0 )
8783, 86, 68cxpefd 22821 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M )  ^c  U )  =  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) ) ) )
8882, 87eqtr2d 2509 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M
) ) ) )  =  ( T  ^c  U ) )
8963, 78, 883brtr4d 4477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M
) ) ) ) )
9077relogcld 22736 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR )
9185relogcld 22736 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  M )
)  e.  RR )
9246, 91remulcld 9620 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) )  e.  RR )
93 efle 13710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR  /\  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) ) ) )
9490, 92, 93syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) ) ) )
9589, 94mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) ) )
9641recnd 9618 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
9791recnd 9618 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  M )
)  e.  CC )
9844rpcnd 11254 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  CC )
9944rpne0d 11257 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  =/=  0 )
10096, 97, 98, 99div12d 10352 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) ) )
10139oveq2i 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( log `  ( F `
 M ) )  x.  U )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) )
102100, 101syl6eqr 2526 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  U ) )
10397, 68mulcomd 9613 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  U )  =  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) )
104102, 103eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) ) )
10595, 104breqtrrd 4473 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) ) )
10691, 44rerpdivcld 11279 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR )
1077nnred 10547 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1086simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <  N )
109107, 108rplogcld 22742 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR+ )
11090, 106, 109ledivmuld 11301 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( F `  N
) )  /  ( log `  N ) )  <_  ( ( log `  ( F `  M
) )  /  ( log `  M ) )  <-> 
( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) ) ) )
111105, 110mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )  <_ 
( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) )
112111, 55, 563brtr4g 4479 . 2  |-  ( ph  ->  R  <_  S )
11375, 112jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  /\  R  <_  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625   -ucneg 9802    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   ZZ>=cuz 11078   QQcq 11178   ^cexp 12130   expce 13655   Primecprime 14072    pCnt cpc 14215   ↾s cress 14487  AbsValcabv 17248  ℂfldccnfld 18191   logclog 22670    ^c ccxp 22671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-dvr 17116  df-drng 17181  df-subrg 17210  df-abv 17249  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-cxp 22673
This theorem is referenced by:  ostth2  23550
  Copyright terms: Public domain W3C validator