MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem4 Structured version   Unicode version

Theorem ostth2lem4 22890
Description: Lemma for ostth2 22891. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
ostth2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.6  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
ostth2.7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
ostth2.8  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
Assertion
Ref Expression
ostth2lem4  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  /\  R  <_  S ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, q, ph    x, T    x, U    A, q, x    x, N    x, Q    F, q    R, q    x, F
Allowed substitution hints:    Q( q)    R( x)    S( x, q)    T( q)    U( q)    J( x, q)    K( x, q)    M( q)    N( q)

Proof of Theorem ostth2lem4
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
2 1re 9390 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
3 ostth.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
4 ostth2.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
5 eluz2b2 10932 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
64, 5sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
76simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
8 nnq 10971 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
10 qabsabv.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
11 qrng.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  (flds  QQ )
1211qrngbas 22873 . . . . . . . 8  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
1310, 12abvcl 16914 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ )  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
143, 9, 13syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
15 ltnle 9459 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  N )  e.  RR )  -> 
( 1  <  ( F `  N )  <->  -.  ( F `  N
)  <_  1 ) )
162, 14, 15sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  N )  <->  -.  ( F `  N
)  <_  1 ) )
171, 16mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  N )  <_  1
)
18 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
19 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
20 eluz2b2 10932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
2119, 20sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  1  <  M ) )
2221simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
23 nnq 10971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
2510, 12abvcl 16914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
263, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
27 ifcl 3836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  e.  RR )
282, 26, 27sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )  e.  RR )
2918, 28syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
30 0red 9392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
32 0lt1 9867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
34 max2 11164 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3526, 2, 34sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3635, 18syl6breqr 4337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  T )
3730, 31, 29, 33, 36ltletrd 9536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  T )
3829, 37elrpd 11030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
39 ostth2.8 . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
407nnrpd 11031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
4140relogcld 22077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
4222nnred 10342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4321simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <  M )
4442, 43rplogcld 22083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  RR+ )
4541, 44rerpdivcld 11059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR )
4639, 45syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
4738, 46rpcxpcld 22180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  ^c  U )  e.  RR+ )
4814, 47rerpdivcld 11059 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  /  ( T  ^c  U ) )  e.  RR )
4942, 29remulcld 9419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  x.  T
)  e.  RR )
50 peano2re 9547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  RR  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
5146, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
5249, 51remulcld 9419 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) )  e.  RR )
53 padic.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
54 ostth.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
55 ostth2.4 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
56 ostth2.6 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
5711, 10, 53, 54, 3, 4, 1, 55, 19, 56, 18, 39ostth2lem3 22889 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^c  U ) ) ^ n )  <_  ( n  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
5848, 52, 57ostth2lem1 22872 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  /  ( T  ^c  U ) )  <_  1 )
5914, 31, 47ledivmuld 11081 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  / 
( T  ^c  U ) )  <_ 
1  <->  ( F `  N )  <_  (
( T  ^c  U )  x.  1 ) ) )
6058, 59mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( ( T  ^c  U )  x.  1 ) )
6147rpcnd 11034 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  ^c  U )  e.  CC )
6261mulid1d 9408 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( T  ^c  U )  x.  1 )  =  ( T  ^c  U ) )
6360, 62breqtrd 4321 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( T  ^c  U )
)
6463adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( F `  N )  <_  ( T  ^c  U ) )
65 iftrue 3802 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  =  1 )
6618, 65syl5eq 2487 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  T  =  1 )
6766oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  ( T  ^c  U )  =  ( 1  ^c  U ) )
6846recnd 9417 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
69681cxpd 22157 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  ^c  U )  =  1 )
7067, 69sylan9eqr 2497 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( T  ^c  U )  =  1 )
7164, 70breqtrd 4321 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( F `  N )  <_  1
)
7217, 71mtand 659 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  M )  <_  1
)
73 ltnle 9459 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  -> 
( 1  <  ( F `  M )  <->  -.  ( F `  M
)  <_  1 ) )
742, 26, 73sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  <->  -.  ( F `  M
)  <_  1 ) )
7572, 74mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 M ) )
7630, 31, 14, 33, 1lttrd 9537 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 N ) )
7714, 76elrpd 11030 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR+ )
7877reeflogd 22078 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  =  ( F `  N ) )
79 iffalse 3804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( F `  M
)  <_  1  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  =  ( F `
 M ) )
8018, 79syl5eq 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( F `  M
)  <_  1  ->  T  =  ( F `  M ) )
8172, 80syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =  ( F `
 M ) )
8281oveq1d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  ^c  U )  =  ( ( F `  M
)  ^c  U ) )
8326recnd 9417 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  CC )
8430, 31, 26, 33, 75lttrd 9537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 M ) )
8526, 84elrpd 11030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR+ )
8685rpne0d 11037 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =/=  0 )
8783, 86, 68cxpefd 22162 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M )  ^c  U )  =  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) ) ) )
8882, 87eqtr2d 2476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M
) ) ) )  =  ( T  ^c  U ) )
8963, 78, 883brtr4d 4327 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M
) ) ) ) )
9077relogcld 22077 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR )
9185relogcld 22077 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  M )
)  e.  RR )
9246, 91remulcld 9419 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) )  e.  RR )
93 efle 13407 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR  /\  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) ) ) )
9490, 92, 93syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) ) ) )
9589, 94mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) ) )
9641recnd 9417 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
9791recnd 9417 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  M )
)  e.  CC )
9844rpcnd 11034 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  CC )
9944rpne0d 11037 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  =/=  0 )
10096, 97, 98, 99div12d 10148 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) ) )
10139oveq2i 6107 . . . . . . 7  |-  ( ( log `  ( F `
 M ) )  x.  U )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) )
102100, 101syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  U ) )
10397, 68mulcomd 9412 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  U )  =  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) )
104102, 103eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) ) )
10595, 104breqtrrd 4323 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) ) )
10691, 44rerpdivcld 11059 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR )
1077nnred 10342 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1086simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <  N )
109107, 108rplogcld 22083 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR+ )
11090, 106, 109ledivmuld 11081 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( F `  N
) )  /  ( log `  N ) )  <_  ( ( log `  ( F `  M
) )  /  ( log `  M ) )  <-> 
( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) ) ) )
111105, 110mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )  <_ 
( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) )
112111, 55, 563brtr4g 4329 . 2  |-  ( ph  ->  R  <_  S )
11375, 112jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  /\  R  <_  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ifcif 3796   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424   -ucneg 9601    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   ZZ>=cuz 10866   QQcq 10958   ^cexp 11870   expce 13352   Primecprime 13768    pCnt cpc 13908   ↾s cress 14180  AbsValcabv 16906  ℂfldccnfld 17823   logclog 22011    ^c ccxp 22012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-dvr 16780  df-drng 16839  df-subrg 16868  df-abv 16907  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013  df-cxp 22014
This theorem is referenced by:  ostth2  22891
  Copyright terms: Public domain W3C validator