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Theorem ostth2lem3 22843
Description: Lemma for ostth2 22845. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
ostth2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.6  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
ostth2.7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
ostth2.8  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
Assertion
Ref Expression
ostth2lem3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^c  U ) ) ^ X )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, q, ph    x, T    x, U    x, X    A, q, x    x, N    x, Q    F, q    R, q    x, F
Allowed substitution hints:    Q( q)    R( x)    S( x, q)    T( q)    U( q)    J( x, q)    K( x, q)    M( q)    N( q)    X( q)

Proof of Theorem ostth2lem3
StepHypRef Expression
1 ostth.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
2 ostth2.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3 eluz2b2 10923 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
42, 3sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
54simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6 nnq 10962 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
8 qabsabv.a . . . . . . 7  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
9 qrng.q . . . . . . . 8  |-  Q  =  (flds  QQ )
109qrngbas 22827 . . . . . . 7  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
118, 10abvcl 16889 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ )  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
121, 7, 11syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
1312adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR )
1413recnd 9408 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  CC )
15 ostth2.7 . . . . . . 7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
16 1re 9381 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
17 ostth2.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
18 eluz2b2 10923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
1917, 18sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  1  <  M ) )
2019simpld 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
21 nnq 10962 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
238, 10abvcl 16889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
241, 22, 23syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
25 ifcl 3828 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  e.  RR )
2616, 24, 25sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )  e.  RR )
2715, 26syl5eqel 2525 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2827adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  T  e.  RR )
29 0red 9383 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
30 1red 9397 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
31 0lt1 9858 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
3231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
33 max2 11155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3424, 30, 33syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3534, 15syl6breqr 4329 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <_  T )
3629, 30, 27, 32, 35ltletrd 9527 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  T )
3736adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
T )
3828, 37elrpd 11021 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  T  e.  RR+ )
3938rpge0d 11027 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_  T )
40 ostth2.8 . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
415nnred 10333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
424simprd 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  N )
4341, 42rplogcld 22037 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR+ )
4420nnred 10333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4519simprd 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  M )
4644, 45rplogcld 22037 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  RR+ )
4743, 46rpdivcld 11040 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR+ )
4840, 47syl5eqel 2525 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
4948rpred 11023 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
5049adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  e.  RR )
5128, 39, 50recxpcld 22127 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^c  U )  e.  RR )
5251recnd 9408 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^c  U )  e.  CC )
5338, 50rpcxpcld 22134 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^c  U )  e.  RR+ )
5453rpne0d 11028 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^c  U )  =/=  0 )
55 nnnn0 10582 . . . 4  |-  ( X  e.  NN  ->  X  e.  NN0 )
5655adantl 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e. 
NN0 )
5714, 52, 54, 56expdivd 12018 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^c  U ) ) ^ X )  =  ( ( ( F `  N ) ^ X )  / 
( ( T  ^c  U ) ^ X
) ) )
58 reexpcl 11878 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  RR  /\  X  e.  NN0 )  -> 
( ( F `  N ) ^ X
)  e.  RR )
5912, 55, 58syl2an 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  e.  RR )
6020adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
6160nnred 10333 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
62 nnre 10325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  NN  ->  X  e.  RR )
6362adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e.  RR )
6463, 50remulcld 9410 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  U )  e.  RR )
6556nn0ge0d 10635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_  X )
6648rpge0d 11027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  U )
6766adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_  U )
6863, 50, 65, 67mulge0d 9912 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_ 
( X  x.  U
) )
69 flge0nn0 11662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  x.  U
)  e.  RR  /\  0  <_  ( X  x.  U ) )  -> 
( |_ `  ( X  x.  U )
)  e.  NN0 )
7064, 68, 69syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  e. 
NN0 )
71 peano2nn0 10616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
7270, 71syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
7372nn0red 10633 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  RR )
7461, 73remulcld 9410 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  RR )
7528, 72reexpcld 12021 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  RR )
7674, 75remulcld 9410 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
77 peano2re 9538 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  RR  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
7850, 77syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
7963, 78remulcld 9410 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  e.  RR )
8061, 79remulcld 9410 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  e.  RR )
8151, 56reexpcld 12021 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^c  U ) ^ X )  e.  RR )
8281, 28remulcld 9410 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X
)  x.  T )  e.  RR )
8380, 82remulcld 9410 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  T ) )  e.  RR )
841adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  F  e.  A )
857adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  N  e.  QQ )
869, 8qabvexp 22834 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( N ^ X ) )  =  ( ( F `  N ) ^ X
) )
8784, 85, 56, 86syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N ^ X ) )  =  ( ( F `  N ) ^ X
) )
8863recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e.  CC )
8943rpred 11023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
9089recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
9190adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  N )  e.  CC )
9246rpred 11023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  RR )
9392recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  CC )
9493adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  e.  CC )
9546adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  e.  RR+ )
9695rpne0d 11028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  =/=  0
)
9788, 91, 94, 96divassd 10138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  ( log `  N ) )  / 
( log `  M
) )  =  ( X  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) ) )
9840oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  x.  U )  =  ( X  x.  (
( log `  N
)  /  ( log `  M ) ) )
9997, 98syl6eqr 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  ( log `  N ) )  / 
( log `  M
) )  =  ( X  x.  U ) )
10099oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( X  x.  ( log `  N ) )  /  ( log `  M
) )  x.  ( log `  M ) )  =  ( ( X  x.  U )  x.  ( log `  M
) ) )
10188, 91mulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( log `  N
) )  e.  CC )
102101, 94, 96divcan1d 10104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( X  x.  ( log `  N ) )  /  ( log `  M
) )  x.  ( log `  M ) )  =  ( X  x.  ( log `  N ) ) )
103100, 102eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  x.  ( log `  M
) )  =  ( X  x.  ( log `  N ) ) )
104 flltp1 11646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  x.  U )  e.  RR  ->  ( X  x.  U )  <  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )
10564, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  U )  < 
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )
10664, 73, 95, 105ltmul1dd 11074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  x.  ( log `  M
) )  <  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) )
107103, 106eqbrtrrd 4311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( log `  N
) )  <  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) )
10889adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  N )  e.  RR )
10963, 108remulcld 9410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( log `  N
) )  e.  RR )
11092adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  e.  RR )
11173, 110remulcld 9410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  x.  ( log `  M
) )  e.  RR )
112 eflt 13397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  x.  ( log `  N ) )  e.  RR  /\  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) )  e.  RR )  ->  (
( X  x.  ( log `  N ) )  <  ( ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M
) )  <->  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) )  <  ( exp `  ( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) ) )
113109, 111, 112syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  ( log `  N ) )  < 
( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) )  <-> 
( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) )  <  ( exp `  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) ) )
114107, 113mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) )  <  ( exp `  ( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) )
1155nnrpd 11022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
116 nnz 10664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  NN  ->  X  e.  ZZ )
117 reexplog 22002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR+  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( N ^ X )  =  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) ) )
118115, 116, 117syl2an 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  =  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) ) )
11960nnrpd 11022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  RR+ )
12072nn0zd 10741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  ZZ )
121 reexplog 22002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR+  /\  (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  =  ( exp `  ( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) )
122119, 120, 121syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  =  ( exp `  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) )
123114, 118, 1223brtr4d 4319 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  < 
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )
124 nnexpcl 11874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  NN0 )  -> 
( N ^ X
)  e.  NN )
1255, 55, 124syl2an 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e.  NN )
12660, 72nnexpcld 12025 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  NN )
127 nnltlem1 10705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N ^ X
)  e.  NN  /\  ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( N ^ X )  <  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <->  ( N ^ X )  <_  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
128125, 126, 127syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( N ^ X )  <  ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  <->  ( N ^ X )  <_  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
129123, 128mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  <_ 
( ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  -  1 ) )
130125nnnn0d 10632 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e. 
NN0 )
131 nn0uz 10891 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
132130, 131syl6eleq 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
133126nnzd 10742 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  ZZ )
134 peano2zm 10684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
135133, 134syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
136 elfz5 11441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N ^ X
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  -  1 ) )  <-> 
( N ^ X
)  <_  ( ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )
137132, 135, 136syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... ( ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  -  1 ) )  <->  ( N ^ X )  <_  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
138129, 137mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
139 padic.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
140 ostth.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
141 ostth2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
142 ostth2.4 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
143 ostth2.6 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
1449, 8, 139, 140, 1, 2, 141, 142, 17, 143, 15ostth2lem2 22842 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  NN0  /\  ( N ^ X
)  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  ( F `  ( N ^ X ) )  <_  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) ) )
1451443expia 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( F `  ( N ^ X
) )  <_  (
( M  x.  (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
14672, 145syldan 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... ( ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( F `  ( N ^ X ) )  <_ 
( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
147138, 146mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N ^ X ) )  <_ 
( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )
14887, 147eqbrtrrd 4311 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_ 
( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )
14980, 75remulcld 9410 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
150 peano2re 9538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  x.  U )  e.  RR  ->  (
( X  x.  U
)  +  1 )  e.  RR )
15164, 150syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  1 )  e.  RR )
15270nn0red 10633 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  e.  RR )
153 1red 9397 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
154 flle 11645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  x.  U )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( X  x.  U ) )  <_ 
( X  x.  U
) )
15564, 154syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  <_ 
( X  x.  U
) )
156152, 64, 153, 155leadd1dd 9949 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  <_ 
( ( X  x.  U )  +  1 ) )
157 nnge1 10344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  NN  ->  1  <_  X )
158157adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  <_  X )
159153, 63, 64, 158leadd2dd 9950 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  1 )  <_ 
( ( X  x.  U )  +  X
) )
16050recnd 9408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  e.  CC )
161153recnd 9408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
16288, 160, 161adddid 9406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  =  ( ( X  x.  U )  +  ( X  x.  1 ) ) )
16388mulid1d 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  1 )  =  X )
164163oveq2d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  ( X  x.  1 ) )  =  ( ( X  x.  U )  +  X
) )
165162, 164eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  =  ( ( X  x.  U )  +  X
) )
166159, 165breqtrrd 4315 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  1 )  <_ 
( X  x.  ( U  +  1 ) ) )
16773, 151, 79, 156, 166letrd 9524 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  <_ 
( X  x.  ( U  +  1 ) ) )
16860nngt0d 10361 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
M )
169 lemul2 10178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  e.  RR  /\  ( X  x.  ( U  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )  ->  ( (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  <_  ( X  x.  ( U  +  1
) )  <->  ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  <_  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
17073, 79, 61, 168, 169syl112anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  <_  ( X  x.  ( U  +  1
) )  <->  ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  <_  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
171167, 170mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
172 expgt0 11893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  T )  -> 
0  <  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) )
17328, 120, 37, 172syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )
174 lemul1 10177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  x.  (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  <->  ( ( M  x.  ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
17574, 80, 75, 173, 174syl112anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  <->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
176171, 175mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )
17728recnd 9408 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  T  e.  CC )
178177, 70expp1d 12005 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  =  ( ( T ^
( |_ `  ( X  x.  U )
) )  x.  T
) )
17935adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  <_  T )
180 remulcl 9363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( U  x.  X
)  e.  RR )
18149, 62, 180syl2an 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( U  x.  X )  e.  RR )
18288, 160mulcomd 9403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  U )  =  ( U  x.  X
) )
183155, 182breqtrd 4313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  <_ 
( U  x.  X
) )
18428, 179, 152, 181, 183cxplead 22125 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^c  ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  <_  ( T  ^c  ( U  x.  X ) ) )
185 cxpexp 22072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( |_ `  ( X  x.  U ) )  e.  NN0 )  -> 
( T  ^c 
( |_ `  ( X  x.  U )
) )  =  ( T ^ ( |_
`  ( X  x.  U ) ) ) )
186177, 70, 185syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^c  ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  =  ( T ^
( |_ `  ( X  x.  U )
) ) )
18738, 50, 88cxpmuld 22138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^c  ( U  x.  X ) )  =  ( ( T  ^c  U )  ^c  X ) )
188 cxpexp 22072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  ^c  U )  e.  CC  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( ( T  ^c  U )  ^c  X )  =  ( ( T  ^c  U ) ^ X
) )
18952, 56, 188syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^c  U )  ^c  X )  =  ( ( T  ^c  U ) ^ X ) )
190187, 189eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^c  ( U  x.  X ) )  =  ( ( T  ^c  U ) ^ X ) )
191184, 186, 1903brtr3d 4318 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( |_ `  ( X  x.  U
) ) )  <_ 
( ( T  ^c  U ) ^ X
) )
19228, 70reexpcld 12021 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( |_ `  ( X  x.  U
) ) )  e.  RR )
193192, 81, 38lemul1d 11062 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T ^ ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  <_  ( ( T  ^c  U ) ^ X )  <->  ( ( T ^ ( |_ `  ( X  x.  U
) ) )  x.  T )  <_  (
( ( T  ^c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
194191, 193mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T ^ ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  x.  T )  <_ 
( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  T ) )
195178, 194eqbrtrd 4309 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  T ) )
196 nngt0 10347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  NN  ->  0  <  X )
197196adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
X )
198 0red 9383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
19948adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  e.  RR+ )
200199rpgt0d 11026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
U )
20150ltp1d 10259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  < 
( U  +  1 ) )
202198, 50, 78, 200, 201lttrd 9528 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( U  +  1 ) )
20363, 78, 197, 202mulgt0d 9522 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( X  x.  ( U  +  1 ) ) )
20461, 79, 168, 203mulgt0d 9522 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
205 lemul2 10178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  T )  e.  RR  /\  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) ) ) )  ->  ( ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  T )  <->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) ) )
20675, 82, 80, 204, 205syl112anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  T )  <->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) ) )
207195, 206mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  (
( ( T  ^c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
20876, 149, 83, 176, 207letrd 9524 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  (
( ( T  ^c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
20959, 76, 83, 148, 208letrd 9524 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  (
( ( T  ^c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
21080recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  e.  CC )
21181recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^c  U ) ^ X )  e.  CC )
212210, 211, 177mul12d 9574 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  T ) )  =  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  x.  T ) ) )
21361recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
21479recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  e.  CC )
215213, 214, 177mul32d 9575 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  T )  =  ( ( M  x.  T )  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
216213, 177mulcld 9402 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  T )  e.  CC )
21778recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( U  +  1 )  e.  CC )
218216, 88, 217mul12d 9574 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  T )  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  =  ( X  x.  (
( M  x.  T
)  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
219215, 218eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  T )  =  ( X  x.  (
( M  x.  T
)  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
220219oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X
)  x.  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  T ) )  =  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
221212, 220eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  T ) )  =  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
222209, 221breqtrd 4313 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_ 
( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  ( X  x.  (
( M  x.  T
)  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
22361, 28remulcld 9410 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  T )  e.  RR )
224223, 78remulcld 9410 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  + 
1 ) )  e.  RR )
22563, 224remulcld 9410 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) )  e.  RR )
226116adantl 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e.  ZZ )
22753, 226rpexpcld 12027 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^c  U ) ^ X )  e.  RR+ )
22859, 225, 227ledivmuld 11072 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ X
)  /  ( ( T  ^c  U ) ^ X ) )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_  (
( ( T  ^c  U ) ^ X
)  x.  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) ) )
229222, 228mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ X )  /  ( ( T  ^c  U ) ^ X ) )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
23057, 229eqbrtrd 4309 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^c  U ) ) ^ X )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   ifcif 3788   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   -ucneg 9592    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   QQcq 10949   RR+crp 10987   ...cfz 11433   |_cfl 11636   ^cexp 11861   expce 13343   Primecprime 13759    pCnt cpc 13899   ↾s cress 14171  AbsValcabv 16881  ℂfldccnfld 17777   logclog 21965    ^c ccxp 21966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-drng 16814  df-subrg 16843  df-abv 16882  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-cxp 21968
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