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Theorem ostth2lem3 24336
Description: Lemma for ostth2 24338. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
ostth2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.6  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
ostth2.7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
ostth2.8  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
Assertion
Ref Expression
ostth2lem3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^c  U ) ) ^ X )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, q, ph    x, T    x, U    x, X    A, q, x    x, N    x, Q    F, q    R, q    x, F
Allowed substitution hints:    Q( q)    R( x)    S( x, q)    T( q)    U( q)    J( x, q)    K( x, q)    M( q)    N( q)    X( q)

Proof of Theorem ostth2lem3
StepHypRef Expression
1 ostth.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
2 ostth2.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3 eluz2b2 11231 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
42, 3sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
54simpld 460 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6 nnq 11277 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
75, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
8 qabsabv.a . . . . . . 7  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
9 qrng.q . . . . . . . 8  |-  Q  =  (flds  QQ )
109qrngbas 24320 . . . . . . 7  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
118, 10abvcl 17987 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ )  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
121, 7, 11syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
1312adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR )
1413recnd 9668 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  CC )
15 ostth2.7 . . . . . . 7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
16 1re 9641 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
17 ostth2.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
18 eluz2b2 11231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
1917, 18sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  1  <  M ) )
2019simpld 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
21 nnq 11277 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
238, 10abvcl 17987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
241, 22, 23syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
25 ifcl 3957 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  e.  RR )
2616, 24, 25sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )  e.  RR )
2715, 26syl5eqel 2521 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2827adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  T  e.  RR )
29 0red 9643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
30 1red 9657 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
31 0lt1 10135 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
3231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
33 max2 11482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3424, 30, 33syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3534, 15syl6breqr 4466 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <_  T )
3629, 30, 27, 32, 35ltletrd 9794 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  T )
3736adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
T )
3828, 37elrpd 11338 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  T  e.  RR+ )
3938rpge0d 11345 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_  T )
40 ostth2.8 . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
415nnred 10624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
424simprd 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  N )
4341, 42rplogcld 23443 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR+ )
4420nnred 10624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4519simprd 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  M )
4644, 45rplogcld 23443 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  RR+ )
4743, 46rpdivcld 11358 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR+ )
4840, 47syl5eqel 2521 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
4948rpred 11341 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
5049adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  e.  RR )
5128, 39, 50recxpcld 23533 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^c  U )  e.  RR )
5251recnd 9668 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^c  U )  e.  CC )
5338, 50rpcxpcld 23540 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^c  U )  e.  RR+ )
5453rpne0d 11346 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^c  U )  =/=  0 )
55 nnnn0 10876 . . . 4  |-  ( X  e.  NN  ->  X  e.  NN0 )
5655adantl 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e. 
NN0 )
5714, 52, 54, 56expdivd 12427 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^c  U ) ) ^ X )  =  ( ( ( F `  N ) ^ X )  / 
( ( T  ^c  U ) ^ X
) ) )
58 reexpcl 12286 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  RR  /\  X  e.  NN0 )  -> 
( ( F `  N ) ^ X
)  e.  RR )
5912, 55, 58syl2an 479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  e.  RR )
6020adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
6160nnred 10624 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
62 nnre 10616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  NN  ->  X  e.  RR )
6362adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e.  RR )
6463, 50remulcld 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  U )  e.  RR )
6556nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_  X )
6648rpge0d 11345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  U )
6766adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_  U )
6863, 50, 65, 67mulge0d 10189 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_ 
( X  x.  U
) )
69 flge0nn0 12051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  x.  U
)  e.  RR  /\  0  <_  ( X  x.  U ) )  -> 
( |_ `  ( X  x.  U )
)  e.  NN0 )
7064, 68, 69syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  e. 
NN0 )
71 peano2nn0 10910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
7372nn0red 10926 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  RR )
7461, 73remulcld 9670 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  RR )
7528, 72reexpcld 12430 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  RR )
7674, 75remulcld 9670 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
77 peano2re 9805 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  RR  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
7850, 77syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
7963, 78remulcld 9670 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  e.  RR )
8061, 79remulcld 9670 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  e.  RR )
8151, 56reexpcld 12430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^c  U ) ^ X )  e.  RR )
8281, 28remulcld 9670 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X
)  x.  T )  e.  RR )
8380, 82remulcld 9670 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  T ) )  e.  RR )
841adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  F  e.  A )
857adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  N  e.  QQ )
869, 8qabvexp 24327 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( N ^ X ) )  =  ( ( F `  N ) ^ X
) )
8784, 85, 56, 86syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N ^ X ) )  =  ( ( F `  N ) ^ X
) )
8863recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e.  CC )
8943rpred 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
9089recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
9190adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  N )  e.  CC )
9246rpred 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  RR )
9392recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  CC )
9493adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  e.  CC )
9546adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  e.  RR+ )
9695rpne0d 11346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  =/=  0
)
9788, 91, 94, 96divassd 10417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  ( log `  N ) )  / 
( log `  M
) )  =  ( X  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) ) )
9840oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  x.  U )  =  ( X  x.  (
( log `  N
)  /  ( log `  M ) ) )
9997, 98syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  ( log `  N ) )  / 
( log `  M
) )  =  ( X  x.  U ) )
10099oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( X  x.  ( log `  N ) )  /  ( log `  M
) )  x.  ( log `  M ) )  =  ( ( X  x.  U )  x.  ( log `  M
) ) )
10188, 91mulcld 9662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( log `  N
) )  e.  CC )
102101, 94, 96divcan1d 10383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( X  x.  ( log `  N ) )  /  ( log `  M
) )  x.  ( log `  M ) )  =  ( X  x.  ( log `  N ) ) )
103100, 102eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  x.  ( log `  M
) )  =  ( X  x.  ( log `  N ) ) )
104 flltp1 12033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  x.  U )  e.  RR  ->  ( X  x.  U )  <  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )
10564, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  U )  < 
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )
10664, 73, 95, 105ltmul1dd 11393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  x.  ( log `  M
) )  <  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) )
107103, 106eqbrtrrd 4448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( log `  N
) )  <  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) )
10889adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  N )  e.  RR )
10963, 108remulcld 9670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( log `  N
) )  e.  RR )
11092adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  e.  RR )
11173, 110remulcld 9670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  x.  ( log `  M
) )  e.  RR )
112 eflt 14149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  x.  ( log `  N ) )  e.  RR  /\  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) )  e.  RR )  ->  (
( X  x.  ( log `  N ) )  <  ( ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M
) )  <->  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) )  <  ( exp `  ( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) ) )
113109, 111, 112syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  ( log `  N ) )  < 
( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) )  <-> 
( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) )  <  ( exp `  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) ) )
114107, 113mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) )  <  ( exp `  ( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) )
1155nnrpd 11339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
116 nnz 10959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  NN  ->  X  e.  ZZ )
117 reexplog 23409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR+  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( N ^ X )  =  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) ) )
118115, 116, 117syl2an 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  =  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) ) )
11960nnrpd 11339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  RR+ )
12072nn0zd 11038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  ZZ )
121 reexplog 23409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR+  /\  (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  =  ( exp `  ( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) )
122119, 120, 121syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  =  ( exp `  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) )
123114, 118, 1223brtr4d 4456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  < 
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )
124 nnexpcl 12282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  NN0 )  -> 
( N ^ X
)  e.  NN )
1255, 55, 124syl2an 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e.  NN )
12660, 72nnexpcld 12434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  NN )
127 nnltlem1 11003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N ^ X
)  e.  NN  /\  ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( N ^ X )  <  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <->  ( N ^ X )  <_  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
128125, 126, 127syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( N ^ X )  <  ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  <->  ( N ^ X )  <_  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
129123, 128mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  <_ 
( ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  -  1 ) )
130125nnnn0d 10925 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e. 
NN0 )
131 nn0uz 11193 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
132130, 131syl6eleq 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
133126nnzd 11039 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  ZZ )
134 peano2zm 10980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
135133, 134syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
136 elfz5 11790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N ^ X
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  -  1 ) )  <-> 
( N ^ X
)  <_  ( ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )
137132, 135, 136syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... ( ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  -  1 ) )  <->  ( N ^ X )  <_  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
138129, 137mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
139 padic.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
140 ostth.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
141 ostth2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
142 ostth2.4 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
143 ostth2.6 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
1449, 8, 139, 140, 1, 2, 141, 142, 17, 143, 15ostth2lem2 24335 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  NN0  /\  ( N ^ X
)  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  ( F `  ( N ^ X ) )  <_  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) ) )
1451443expia 1207 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( F `  ( N ^ X
) )  <_  (
( M  x.  (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
14672, 145syldan 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... ( ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( F `  ( N ^ X ) )  <_ 
( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
147138, 146mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N ^ X ) )  <_ 
( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )
14887, 147eqbrtrrd 4448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_ 
( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )
14980, 75remulcld 9670 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
150 peano2re 9805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  x.  U )  e.  RR  ->  (
( X  x.  U
)  +  1 )  e.  RR )
15164, 150syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  1 )  e.  RR )
15270nn0red 10926 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  e.  RR )
153 1red 9657 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
154 flle 12032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  x.  U )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( X  x.  U ) )  <_ 
( X  x.  U
) )
15564, 154syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  <_ 
( X  x.  U
) )
156152, 64, 153, 155leadd1dd 10226 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  <_ 
( ( X  x.  U )  +  1 ) )
157 nnge1 10635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  NN  ->  1  <_  X )
158157adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  <_  X )
159153, 63, 64, 158leadd2dd 10227 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  1 )  <_ 
( ( X  x.  U )  +  X
) )
16050recnd 9668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  e.  CC )
161153recnd 9668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
16288, 160, 161adddid 9666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  =  ( ( X  x.  U )  +  ( X  x.  1 ) ) )
16388mulid1d 9659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  1 )  =  X )
164163oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  ( X  x.  1 ) )  =  ( ( X  x.  U )  +  X
) )
165162, 164eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  =  ( ( X  x.  U )  +  X
) )
166159, 165breqtrrd 4452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  1 )  <_ 
( X  x.  ( U  +  1 ) ) )
16773, 151, 79, 156, 166letrd 9791 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  <_ 
( X  x.  ( U  +  1 ) ) )
16860nngt0d 10653 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
M )
169 lemul2 10457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  e.  RR  /\  ( X  x.  ( U  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )  ->  ( (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  <_  ( X  x.  ( U  +  1
) )  <->  ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  <_  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
17073, 79, 61, 168, 169syl112anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  <_  ( X  x.  ( U  +  1
) )  <->  ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  <_  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
171167, 170mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
172 expgt0 12302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  T )  -> 
0  <  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) )
17328, 120, 37, 172syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )
174 lemul1 10456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  x.  (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  <->  ( ( M  x.  ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
17574, 80, 75, 173, 174syl112anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  <->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
176171, 175mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )
17728recnd 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  T  e.  CC )
178177, 70expp1d 12414 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  =  ( ( T ^
( |_ `  ( X  x.  U )
) )  x.  T
) )
17935adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  <_  T )
180 remulcl 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( U  x.  X
)  e.  RR )
18149, 62, 180syl2an 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( U  x.  X )  e.  RR )
18288, 160mulcomd 9663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  U )  =  ( U  x.  X
) )
183155, 182breqtrd 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  <_ 
( U  x.  X
) )
18428, 179, 152, 181, 183cxplead 23531 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^c  ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  <_  ( T  ^c  ( U  x.  X ) ) )
185 cxpexp 23478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( |_ `  ( X  x.  U ) )  e.  NN0 )  -> 
( T  ^c 
( |_ `  ( X  x.  U )
) )  =  ( T ^ ( |_
`  ( X  x.  U ) ) ) )
186177, 70, 185syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^c  ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  =  ( T ^
( |_ `  ( X  x.  U )
) ) )
18738, 50, 88cxpmuld 23544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^c  ( U  x.  X ) )  =  ( ( T  ^c  U )  ^c  X ) )
188 cxpexp 23478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  ^c  U )  e.  CC  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( ( T  ^c  U )  ^c  X )  =  ( ( T  ^c  U ) ^ X
) )
18952, 56, 188syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^c  U )  ^c  X )  =  ( ( T  ^c  U ) ^ X ) )
190187, 189eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^c  ( U  x.  X ) )  =  ( ( T  ^c  U ) ^ X ) )
191184, 186, 1903brtr3d 4455 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( |_ `  ( X  x.  U
) ) )  <_ 
( ( T  ^c  U ) ^ X
) )
19228, 70reexpcld 12430 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( |_ `  ( X  x.  U
) ) )  e.  RR )
193192, 81, 38lemul1d 11381 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T ^ ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  <_  ( ( T  ^c  U ) ^ X )  <->  ( ( T ^ ( |_ `  ( X  x.  U
) ) )  x.  T )  <_  (
( ( T  ^c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
194191, 193mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T ^ ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  x.  T )  <_ 
( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  T ) )
195178, 194eqbrtrd 4446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  T ) )
196 nngt0 10638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  NN  ->  0  <  X )
197196adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
X )
198 0red 9643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
19948adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  e.  RR+ )
200199rpgt0d 11344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
U )
20150ltp1d 10537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  < 
( U  +  1 ) )
202198, 50, 78, 200, 201lttrd 9795 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( U  +  1 ) )
20363, 78, 197, 202mulgt0d 9789 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( X  x.  ( U  +  1 ) ) )
20461, 79, 168, 203mulgt0d 9789 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
205 lemul2 10457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  T )  e.  RR  /\  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) ) ) )  ->  ( ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  T )  <->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) ) )
20675, 82, 80, 204, 205syl112anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  T )  <->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) ) )
207195, 206mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  (
( ( T  ^c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
20876, 149, 83, 176, 207letrd 9791 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  (
( ( T  ^c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
20959, 76, 83, 148, 208letrd 9791 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  (
( ( T  ^c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
21080recnd 9668 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  e.  CC )
21181recnd 9668 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^c  U ) ^ X )  e.  CC )
212210, 211, 177mul12d 9841 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  T ) )  =  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  x.  T ) ) )
21361recnd 9668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
21479recnd 9668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  e.  CC )
215213, 214, 177mul32d 9842 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  T )  =  ( ( M  x.  T )  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
216213, 177mulcld 9662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  T )  e.  CC )
21778recnd 9668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( U  +  1 )  e.  CC )
218216, 88, 217mul12d 9841 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  T )  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  =  ( X  x.  (
( M  x.  T
)  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
219215, 218eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  T )  =  ( X  x.  (
( M  x.  T
)  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
220219oveq2d 6321 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X
)  x.  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  T ) )  =  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
221212, 220eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  T ) )  =  ( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
222209, 221breqtrd 4450 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_ 
( ( ( T  ^c  U ) ^ X )  x.  ( X  x.  (
( M  x.  T
)  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
22361, 28remulcld 9670 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  T )  e.  RR )
224223, 78remulcld 9670 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  + 
1 ) )  e.  RR )
22563, 224remulcld 9670 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) )  e.  RR )
226116adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e.  ZZ )
22753, 226rpexpcld 12436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^c  U ) ^ X )  e.  RR+ )
22859, 225, 227ledivmuld 11391 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ X
)  /  ( ( T  ^c  U ) ^ X ) )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_  (
( ( T  ^c  U ) ^ X
)  x.  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) ) )
229222, 228mpbird 235 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ X )  /  ( ( T  ^c  U ) ^ X ) )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
23057, 229eqbrtrd 4446 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^c  U ) ) ^ X )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   ifcif 3915   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   -ucneg 9860    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   QQcq 11264   RR+crp 11302   ...cfz 11782   |_cfl 12023   ^cexp 12269   expce 14092   Primecprime 14593    pCnt cpc 14749   ↾s cress 15085  AbsValcabv 17979  ℂfldccnfld 18905   logclog 23369    ^c ccxp 23370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-drng 17912  df-subrg 17941  df-abv 17980  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371  df-cxp 23372
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