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Theorem ostth2lem2 22895
Description: Lemma for ostth2 22898. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
ostth2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.6  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
ostth2.7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
Assertion
Ref Expression
ostth2lem2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN0 
/\  Y  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  Y )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, q, ph    x, T    x, X    A, q, x    x, N    x, Q    F, q    R, q    x, F
Allowed substitution hints:    Q( q)    R( x)    S( x, q)    T( q)    J( x, q)    K( x, q)    M( q)    N( q)    X( q)    Y( x, q)

Proof of Theorem ostth2lem2
Dummy variables  k  n  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( M ^ x )  =  ( M ^ 0 ) )
21oveq1d 6118 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( M ^ x
)  -  1 )  =  ( ( M ^ 0 )  - 
1 ) )
32oveq2d 6119 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( M ^ 0 )  -  1 ) ) )
4 oveq2 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( M  x.  x )  =  ( M  x.  0 ) )
5 oveq2 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( T ^ x )  =  ( T ^ 0 ) )
64, 5oveq12d 6121 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) )  =  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) )
76breq2d 4316 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
83, 7raleqbidv 2943 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ 0 )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
98imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ x
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ 0 )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) ) )
10 oveq2 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  ( M ^ x )  =  ( M ^ n
) )
1110oveq1d 6118 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
( M ^ x
)  -  1 )  =  ( ( M ^ n )  - 
1 ) )
1211oveq2d 6119 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( M ^ n
)  -  1 ) ) )
13 oveq2 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  ( M  x.  x )  =  ( M  x.  n ) )
14 oveq2 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  ( T ^ x )  =  ( T ^ n
) )
1513, 14oveq12d 6121 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) )  =  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) )
1615breq2d 4316 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) ) ) )
1712, 16raleqbidv 2943 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ n
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) ) ) )
1817imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ x
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) ) )
19 oveq2 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M ^ x )  =  ( M ^ (
n  +  1 ) ) )
2019oveq1d 6118 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( M ^ x
)  -  1 )  =  ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )
2120oveq2d 6119 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) )
22 oveq2 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M  x.  x )  =  ( M  x.  ( n  +  1
) ) )
23 oveq2 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( T ^ x )  =  ( T ^ (
n  +  1 ) ) )
2422, 23oveq12d 6121 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) )  =  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ (
n  +  1 ) ) ) )
2524breq2d 4316 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
2621, 25raleqbidv 2943 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
2726imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ x
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
28 oveq2 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( M ^ x )  =  ( M ^ X
) )
2928oveq1d 6118 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( M ^ x
)  -  1 )  =  ( ( M ^ X )  - 
1 ) )
3029oveq2d 6119 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( M ^ X
)  -  1 ) ) )
31 oveq2 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( M  x.  x )  =  ( M  x.  X ) )
32 oveq2 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( T ^ x )  =  ( T ^ X
) )
3331, 32oveq12d 6121 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) )  =  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) ) )
3433breq2d 4316 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) ) )
3530, 34raleqbidv 2943 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ X
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) ) )
3635imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ x
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) ) ) ) )
37 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
38 eluz2b2 10939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
3938simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  NN )
4037, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4140nncnd 10350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
4241exp0d 12014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M ^ 0 )  =  1 )
4342oveq1d 6118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
0 )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
44 1m1e0 10402 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
4543, 44syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
0 )  -  1 )  =  0 )
4645oveq2d 6119 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( M ^ 0 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... 0 ) )
4746eleq2d 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ 0 )  -  1 ) )  <-> 
k  e.  ( 0 ... 0 ) ) )
48 0le0 10423 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
4948a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  0 )
50 ostth.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
51 qabsabv.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
52 qrng.q . . . . . . . . . . . 12  |-  Q  =  (flds  QQ )
5352qrng0 22882 . . . . . . . . . . 11  |-  0  =  ( 0g `  Q )
5451, 53abv0 16928 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  0 )  =  0 )
5550, 54syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  0 )
5641mul01d 9580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  x.  0 )  =  0 )
5756oveq1d 6118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) )  =  ( 0  x.  ( T ^ 0 ) ) )
58 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
59 1re 9397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
60 nnq 10978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
6140, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
6252qrngbas 22880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
6351, 62abvcl 16921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
6450, 61, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
65 ifcl 3843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  e.  RR )
6659, 64, 65sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )  e.  RR )
6758, 66syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
6867recnd 9424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
69 0nn0 10606 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
70 expcl 11895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  CC  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( T ^ 0 )  e.  CC )
7168, 69, 70sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T ^ 0 )  e.  CC )
7271mul02d 9579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  ( T ^ 0 ) )  =  0 )
7357, 72eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) )  =  0 )
7449, 55, 733brtr4d 4334 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^
0 ) ) )
75 elfz1eq 11474 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  k  =  0 )
7675fveq2d 5707 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
7776breq1d 4314 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^
0 ) )  <->  ( F `  0 )  <_ 
( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
7874, 77syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
7947, 78sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ 0 )  -  1 ) )  ->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
8079ralrimiv 2810 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ 0 )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^
0 ) ) )
81 fveq2 5703 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
8281breq1d 4314 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  <->  ( F `  j )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) ) ) )
8382cbvralv 2959 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  <->  A. j  e.  ( 0 ... (
( M ^ n
)  -  1 ) ) ( F `  j )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) ) )
8450ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  F  e.  A
)
85 elfzelz 11465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^
( n  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
8685ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
87 zq 10971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  QQ )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  QQ )
8951, 62abvcl 16921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  A  /\  k  e.  QQ )  ->  ( F `  k
)  e.  RR )
9084, 88, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
9140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  NN )
92 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
9391, 92nnexpcld 12041 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
n )  e.  NN )
9486, 93zmodcld 11740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  e.  NN0 )
9594nn0zd 10757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  e.  ZZ )
96 zq 10971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  ZZ  ->  (
k  mod  ( M ^ n ) )  e.  QQ )
9795, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  e.  QQ )
9851, 62abvcl 16921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  QQ )  -> 
( F `  (
k  mod  ( M ^ n ) ) )  e.  RR )
9984, 97, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n ) ) )  e.  RR )
10091, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  QQ )
10184, 100, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  M )  e.  RR )
102101, 92reexpcld 12037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 M ) ^
n )  e.  RR )
10386zred 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  RR )
104103, 93nndivred 10382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  / 
( M ^ n
) )  e.  RR )
105104flcld 11660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  ZZ )
106 zq 10971 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) )  e.  QQ )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  QQ )
10851, 62abvcl 16921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) )  e.  QQ )  -> 
( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  RR )
10984, 107, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) )  e.  RR )
110102, 109remulcld 9426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  M ) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  e.  RR )
11199, 110readdcld 9425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( ( ( F `
 M ) ^
n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
11291nnred 10349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  RR )
113 nn0p1nn 10631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
114113ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN )
115114nnred 10349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  RR )
116112, 115remulcld 9426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( n  +  1
) )  e.  RR )
11767ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  T  e.  RR )
118 peano2nn0 10632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
119118ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN0 )
120117, 119reexpcld 12037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( T ^
( n  +  1 ) )  e.  RR )
121116, 120remulcld 9426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
122 nnq 10978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M ^ n )  e.  NN  ->  ( M ^ n )  e.  QQ )
12393, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
n )  e.  QQ )
124 qmulcl 10983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M ^ n
)  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) )  e.  QQ )  -> 
( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  QQ )
125123, 107, 124syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) )  e.  QQ )
126 qex 10977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  QQ  e.  _V
127 cnfldadd 17835 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  +  =  ( +g  ` fld )
12852, 127ressplusg 14292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( QQ  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  Q
) )
129126, 128ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  +  =  ( +g  `  Q )
13051, 62, 129abvtri 16927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  QQ  /\  (
( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  QQ )  -> 
( F `  (
( k  mod  ( M ^ n ) )  +  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  <_  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( F `  (
( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) ) )
13184, 97, 125, 130syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( ( k  mod  ( M ^ n
) )  +  ( ( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )  <_  (
( F `  (
k  mod  ( M ^ n ) ) )  +  ( F `
 ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) ) )
13293nnrpd 11038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
n )  e.  RR+ )
133 modval 11722 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( M ^ n )  e.  RR+ )  ->  (
k  mod  ( M ^ n ) )  =  ( k  -  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )
134103, 132, 133syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  =  ( k  -  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )
135134oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  mod  ( M ^
n ) )  +  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( k  -  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) )  +  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )
136103recnd 9424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  CC )
137 qcn 10979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  QQ  ->  (
( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  CC )
138125, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) )  e.  CC )
139136, 138npcand 9735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  -  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) ) )  +  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  k )
140135, 139eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  mod  ( M ^
n ) )  +  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  k )
141140fveq2d 5707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( ( k  mod  ( M ^ n
) )  +  ( ( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )  =  ( F `  k ) )
142 cnfldmul 17836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x.  =  ( .r ` fld )
14352, 142ressmulr 14303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( QQ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Q ) )
144126, 143ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x.  =  ( .r `  Q )
14551, 62, 144abvmul 16926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( M ^ n )  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) )  e.  QQ )  ->  ( F `  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) ) )  =  ( ( F `  ( M ^ n ) )  x.  ( F `
 ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )
14684, 123, 107, 145syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( F `  ( M ^ n ) )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) )
14752, 51qabvexp 22887 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( M ^ n ) )  =  ( ( F `
 M ) ^
n ) )
14884, 100, 92, 147syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( M ^ n ) )  =  ( ( F `  M ) ^ n ) )
149148oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( M ^
n ) )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  M
) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) )
150146, 149eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  M
) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) )
151150oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( F `  (
( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )  =  ( ( F `  (
k  mod  ( M ^ n ) ) )  +  ( ( ( F `  M
) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) ) )
152131, 141, 1513brtr3d 4333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  (
( F `  (
k  mod  ( M ^ n ) ) )  +  ( ( ( F `  M
) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) ) )
153117, 92reexpcld 12037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( T ^
n )  e.  RR )
154116, 153remulcld 9426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  e.  RR )
155 nn0re 10600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
156155ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  RR )
157112, 156remulcld 9426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  n )  e.  RR )
158157, 153remulcld 9426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  e.  RR )
159112, 153remulcld 9426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( T ^ n ) )  e.  RR )
160 zmodfz 11741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M ^ n )  e.  NN )  -> 
( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  ( 0 ... ( ( M ^
n )  -  1 ) ) )
16186, 93, 160syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  -  1 ) ) )
162 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  -  1 ) ) ( F `  j
)  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) )
163 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  ( k  mod  ( M ^ n
) )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n ) ) ) )
164163breq1d 4314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( k  mod  ( M ^ n
) )  ->  (
( F `  j
)  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  <->  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n ) ) )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )
165164rspcv 3081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  ( 0 ... ( ( M ^
n )  -  1 ) )  ->  ( A. j  e.  (
0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  ->  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  <_ 
( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n ) ) ) )
166161, 162, 165sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n ) ) )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) )
167112, 102remulcld 9426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( ( F `  M ) ^ n
) )  e.  RR )
168102recnd 9424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 M ) ^
n )  e.  CC )
169109recnd 9424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) )  e.  CC )
170168, 169mulcomd 9419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  M ) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( F `  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  x.  ( ( F `
 M ) ^
n ) ) )
17151, 62abvge0 16922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  0  <_  ( F `  M ) )
17284, 100, 171syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  ( F `  M )
)
173101, 92, 172expge0d 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  (
( F `  M
) ^ n ) )
174105zred 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  RR )
175 elfzle1 11466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^
( n  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  0  <_  k )
176175ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  k
)
17793nnred 10349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
n )  e.  RR )
17893nngt0d 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <  ( M ^ n ) )
179 divge0 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <_  k )  /\  ( ( M ^
n )  e.  RR  /\  0  <  ( M ^ n ) ) )  ->  0  <_  ( k  /  ( M ^ n ) ) )
180103, 176, 177, 178, 179syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  (
k  /  ( M ^ n ) ) )
181 flge0nn0 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( k  /  ( M ^ n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  NN0 )
182104, 180, 181syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  NN0 )
18352, 51qabvle 22886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) )  e.  NN0 )  -> 
( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  <_  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) )
18484, 182, 183syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) )  <_  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) )
185 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  +  1 ) )  -  1 ) ) )
186 0z 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  ZZ
18791, 119nnexpcld 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
( n  +  1 ) )  e.  NN )
188187nnzd 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
189 elfzm11 11540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( M ^ ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  +  1 ) )  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  0  <_  k  /\  k  <  ( M ^
( n  +  1 ) ) ) ) )
190186, 188, 189sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  0  <_ 
k  /\  k  <  ( M ^ ( n  +  1 ) ) ) ) )
191185, 190mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  0  <_ 
k  /\  k  <  ( M ^ ( n  +  1 ) ) ) )
192191simp3d 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  <  ( M ^ ( n  + 
1 ) ) )
19391nncnd 10350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  CC )
194193, 92expp1d 12021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
( n  +  1 ) )  =  ( ( M ^ n
)  x.  M ) )
195192, 194breqtrd 4328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  <  (
( M ^ n
)  x.  M ) )
196 ltdivmul 10216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
( M ^ n
)  e.  RR  /\  0  <  ( M ^
n ) ) )  ->  ( ( k  /  ( M ^
n ) )  < 
M  <->  k  <  (
( M ^ n
)  x.  M ) ) )
197103, 112, 177, 178, 196syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  /  ( M ^
n ) )  < 
M  <->  k  <  (
( M ^ n
)  x.  M ) ) )
198195, 197mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  / 
( M ^ n
) )  <  M
)
19991nnzd 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
200 fllt 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  /  ( M ^ n ) )  e.  RR  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( k  /  ( M ^ n ) )  <  M  <->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  <  M ) )
201104, 199, 200syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  /  ( M ^
n ) )  < 
M  <->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  <  M ) )
202198, 201mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  <  M )
203174, 112, 202ltled 9534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  <_  M )
204109, 174, 112, 184, 203letrd 9540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) )  <_  M )
205109, 112, 102, 173, 204lemul1ad 10284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) )  x.  (
( F `  M
) ^ n ) )  <_  ( M  x.  ( ( F `  M ) ^ n
) ) )
206170, 205eqbrtrd 4324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  M ) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  <_  ( M  x.  ( ( F `  M ) ^ n
) ) )
20791nnnn0d 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
208207nn0ge0d 10651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  M
)
209 max1 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( F `  M
)  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
210101, 59, 209sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  M )  <_  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) ) )
211210, 58syl6breqr 4344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  M )  <_  T
)
212 leexp1a 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  M )  e.  RR  /\  T  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( F `  M )  /\  ( F `  M
)  <_  T )
)  ->  ( ( F `  M ) ^ n )  <_ 
( T ^ n
) )
213101, 117, 92, 172, 211, 212syl32anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 M ) ^
n )  <_  ( T ^ n ) )
214102, 153, 112, 208, 213lemul2ad 10285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( ( F `  M ) ^ n
) )  <_  ( M  x.  ( T ^ n ) ) )
215110, 167, 159, 206, 214letrd 9540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  M ) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  <_  ( M  x.  ( T ^ n
) ) )
21699, 110, 158, 159, 166, 215le2addd 9969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( ( ( F `
 M ) ^
n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  <_  ( ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^
n ) )  +  ( M  x.  ( T ^ n ) ) ) )
217 nn0cn 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  CC )
218217ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  CC )
219 ax-1cn 9352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
220219a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  1  e.  CC )
221193, 218, 220adddid 9422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( n  +  1
) )  =  ( ( M  x.  n
)  +  ( M  x.  1 ) ) )
222193mulid1d 9415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
223222oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  n )  +  ( M  x.  1 ) )  =  ( ( M  x.  n
)  +  M ) )
224221, 223eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( n  +  1
) )  =  ( ( M  x.  n
)  +  M ) )
225224oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  =  ( ( ( M  x.  n )  +  M
)  x.  ( T ^ n ) ) )
226193, 218mulcld 9418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  n )  e.  CC )
227153recnd 9424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( T ^
n )  e.  CC )
228226, 193, 227adddird 9423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( M  x.  n )  +  M )  x.  ( T ^ n
) )  =  ( ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n ) )  +  ( M  x.  ( T ^ n ) ) ) )
229225, 228eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  =  ( ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n ) )  +  ( M  x.  ( T ^ n ) ) ) )
230216, 229breqtrrd 4330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( ( ( F `
 M ) ^
n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  <_  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) ) )
231 max2 11171 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
232101, 59, 231sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  1  <_  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) ) )
233232, 58syl6breqr 4344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  1  <_  T
)
234 nn0z 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
235234ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
236 uzid 10887 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
237235, 236syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  n ) )
238 peano2uz 10920 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
239237, 238syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  n ) )
240117, 233, 239leexp2ad 12052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( T ^
n )  <_  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) )
24191, 114nnmulcld 10381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( n  +  1
) )  e.  NN )
242241nngt0d 10377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <  ( M  x.  ( n  +  1 ) ) )
243 lemul2 10194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T ^ n
)  e.  RR  /\  ( T ^ ( n  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M  x.  ( n  +  1
) ) ) )  ->  ( ( T ^ n )  <_ 
( T ^ (
n  +  1 ) )  <->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
244153, 120, 116, 242, 243syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( T ^ n )  <_ 
( T ^ (
n  +  1 ) )  <->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
245240, 244mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) )
246111, 154, 121, 230, 245letrd 9540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( ( ( F `
 M ) ^
n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  <_  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ (
n  +  1 ) ) ) )
24790, 111, 121, 152, 246letrd 9540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) )
248247expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( A. j  e.  (
0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  ->  ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  ( n  +  1
) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
249248ralrimdva 2818 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
25083, 249syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
251250expcom 435 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ n
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) )  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  ( n  +  1 ) )  x.  ( T ^
( n  +  1 ) ) ) ) ) )
252251a2d 26 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) )  -> 
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
2539, 18, 27, 36, 80, 252nn0ind 10750 . . . 4  |-  ( X  e.  NN0  ->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) ) ) )
254253impcom 430 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ X
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) )
255 fveq2 5703 . . . . 5  |-  ( k  =  Y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  Y ) )
256255breq1d 4314 . . . 4  |-  ( k  =  Y  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) )  <->  ( F `  Y )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) ) )
257256rspccv 3082 . . 3  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) )  ->  ( Y  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  - 
1 ) )  -> 
( F `  Y
)  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) ) ) )
258254, 257syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( Y  e.  ( 0 ... (
( M ^ X
)  -  1 ) )  ->  ( F `  Y )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) ) )
2592583impia 1184 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN0 
/\  Y  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  Y )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   _Vcvv 2984   ifcif 3803   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295    + caddc 9297    x. cmul 9299    < clt 9430    <_ cle 9431    - cmin 9607   -ucneg 9608    / cdiv 10005   NNcn 10334   2c2 10383   NN0cn0 10591   ZZcz 10658   ZZ>=cuz 10873   QQcq 10965   RR+crp 11003   ...cfz 11449   |_cfl 11652    mod cmo 11720   ^cexp 11877   Primecprime 13775    pCnt cpc 13915   ↾s cress 14187   +g cplusg 14250   .rcmulr 14251  AbsValcabv 16913  ℂfldccnfld 17830   logclog 22018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-tpos 6757  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-ico 11318  df-fz 11450  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-0g 14392  df-mnd 15427  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-subg 15690  df-cmn 16291  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-cring 16660  df-oppr 16727  df-dvdsr 16745  df-unit 16746  df-invr 16776  df-dvr 16787  df-drng 16846  df-subrg 16875  df-abv 16914  df-cnfld 17831
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