MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem2 Structured version   Unicode version

Theorem ostth2lem2 23936
Description: Lemma for ostth2 23939. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
ostth2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.6  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
ostth2.7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
Assertion
Ref Expression
ostth2lem2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN0 
/\  Y  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  Y )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, q, ph    x, T    x, X    A, q, x    x, N    x, Q    F, q    R, q    x, F
Allowed substitution hints:    Q( q)    R( x)    S( x, q)    T( q)    J( x, q)    K( x, q)    M( q)    N( q)    X( q)    Y( x, q)

Proof of Theorem ostth2lem2
Dummy variables  k  n  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( M ^ x )  =  ( M ^ 0 ) )
21oveq1d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( M ^ x
)  -  1 )  =  ( ( M ^ 0 )  - 
1 ) )
32oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( M ^ 0 )  -  1 ) ) )
4 oveq2 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( M  x.  x )  =  ( M  x.  0 ) )
5 oveq2 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( T ^ x )  =  ( T ^ 0 ) )
64, 5oveq12d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) )  =  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) )
76breq2d 4379 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
83, 7raleqbidv 2993 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ 0 )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
98imbi2d 314 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ x
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ 0 )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) ) )
10 oveq2 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  ( M ^ x )  =  ( M ^ n
) )
1110oveq1d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
( M ^ x
)  -  1 )  =  ( ( M ^ n )  - 
1 ) )
1211oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( M ^ n
)  -  1 ) ) )
13 oveq2 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  ( M  x.  x )  =  ( M  x.  n ) )
14 oveq2 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  ( T ^ x )  =  ( T ^ n
) )
1513, 14oveq12d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) )  =  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) )
1615breq2d 4379 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) ) ) )
1712, 16raleqbidv 2993 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ n
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) ) ) )
1817imbi2d 314 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ x
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) ) )
19 oveq2 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M ^ x )  =  ( M ^ (
n  +  1 ) ) )
2019oveq1d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( M ^ x
)  -  1 )  =  ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )
2120oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) )
22 oveq2 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M  x.  x )  =  ( M  x.  ( n  +  1
) ) )
23 oveq2 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( T ^ x )  =  ( T ^ (
n  +  1 ) ) )
2422, 23oveq12d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) )  =  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ (
n  +  1 ) ) ) )
2524breq2d 4379 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
2621, 25raleqbidv 2993 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
2726imbi2d 314 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ x
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
28 oveq2 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( M ^ x )  =  ( M ^ X
) )
2928oveq1d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( M ^ x
)  -  1 )  =  ( ( M ^ X )  - 
1 ) )
3029oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( M ^ X
)  -  1 ) ) )
31 oveq2 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( M  x.  x )  =  ( M  x.  X ) )
32 oveq2 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( T ^ x )  =  ( T ^ X
) )
3331, 32oveq12d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) )  =  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) ) )
3433breq2d 4379 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) ) )
3530, 34raleqbidv 2993 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ X
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) ) )
3635imbi2d 314 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ x
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) ) ) ) )
37 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
38 eluz2nn 11039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  NN )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4039nncnd 10468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
4140exp0d 12206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M ^ 0 )  =  1 )
4241oveq1d 6211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
0 )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
43 1m1e0 10521 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
4442, 43syl6eq 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
0 )  -  1 )  =  0 )
4544oveq2d 6212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( M ^ 0 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... 0 ) )
4645eleq2d 2452 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ 0 )  -  1 ) )  <-> 
k  e.  ( 0 ... 0 ) ) )
47 0le0 10542 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
4847a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  0 )
49 ostth.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
50 qabsabv.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
51 qrng.q . . . . . . . . . . . 12  |-  Q  =  (flds  QQ )
5251qrng0 23923 . . . . . . . . . . 11  |-  0  =  ( 0g `  Q )
5350, 52abv0 17593 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  0 )  =  0 )
5449, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  0 )
5540mul01d 9690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  x.  0 )  =  0 )
5655oveq1d 6211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) )  =  ( 0  x.  ( T ^ 0 ) ) )
57 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
58 1re 9506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
59 nnq 11114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
6039, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
6151qrngbas 23921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
6250, 61abvcl 17586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
6349, 60, 62syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
64 ifcl 3899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  e.  RR )
6558, 63, 64sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )  e.  RR )
6657, 65syl5eqel 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
6766recnd 9533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
68 0nn0 10727 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
69 expcl 12087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  CC  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( T ^ 0 )  e.  CC )
7067, 68, 69sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T ^ 0 )  e.  CC )
7170mul02d 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  ( T ^ 0 ) )  =  0 )
7256, 71eqtrd 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) )  =  0 )
7348, 54, 723brtr4d 4397 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^
0 ) ) )
74 elfz1eq 11618 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  k  =  0 )
7574fveq2d 5778 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
7675breq1d 4377 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^
0 ) )  <->  ( F `  0 )  <_ 
( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
7773, 76syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
7846, 77sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ 0 )  -  1 ) )  ->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
7978ralrimiv 2794 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ 0 )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^
0 ) ) )
80 fveq2 5774 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
8180breq1d 4377 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  <->  ( F `  j )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) ) ) )
8281cbvralv 3009 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  <->  A. j  e.  ( 0 ... (
( M ^ n
)  -  1 ) ) ( F `  j )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) ) )
8349ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  F  e.  A
)
84 elfzelz 11609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^
( n  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
8584ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
86 zq 11107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  QQ )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  QQ )
8850, 61abvcl 17586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  A  /\  k  e.  QQ )  ->  ( F `  k
)  e.  RR )
8983, 87, 88syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
9039ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  NN )
91 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
9290, 91nnexpcld 12233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
n )  e.  NN )
9385, 92zmodcld 11917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  e.  NN0 )
9493nn0zd 10882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  e.  ZZ )
95 zq 11107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  ZZ  ->  (
k  mod  ( M ^ n ) )  e.  QQ )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  e.  QQ )
9750, 61abvcl 17586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  QQ )  -> 
( F `  (
k  mod  ( M ^ n ) ) )  e.  RR )
9883, 96, 97syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n ) ) )  e.  RR )
9990, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  QQ )
10083, 99, 62syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  M )  e.  RR )
101100, 91reexpcld 12229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 M ) ^
n )  e.  RR )
10285zred 10884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  RR )
103102, 92nndivred 10501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  / 
( M ^ n
) )  e.  RR )
104103flcld 11834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  ZZ )
105 zq 11107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) )  e.  QQ )
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  QQ )
10750, 61abvcl 17586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) )  e.  QQ )  -> 
( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  RR )
10883, 106, 107syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) )  e.  RR )
109101, 108remulcld 9535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  M ) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  e.  RR )
11098, 109readdcld 9534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( ( ( F `
 M ) ^
n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
11190nnred 10467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  RR )
112 nn0p1nn 10752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
113112ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN )
114113nnred 10467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  RR )
115111, 114remulcld 9535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( n  +  1
) )  e.  RR )
11666ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  T  e.  RR )
117 peano2nn0 10753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
118117ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN0 )
119116, 118reexpcld 12229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( T ^
( n  +  1 ) )  e.  RR )
120115, 119remulcld 9535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
121 nnq 11114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M ^ n )  e.  NN  ->  ( M ^ n )  e.  QQ )
12292, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
n )  e.  QQ )
123 qmulcl 11119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M ^ n
)  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) )  e.  QQ )  -> 
( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  QQ )
124122, 106, 123syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) )  e.  QQ )
125 qex 11113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  QQ  e.  _V
126 cnfldadd 18538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  +  =  ( +g  ` fld )
12751, 126ressplusg 14748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( QQ  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  Q
) )
128125, 127ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  +  =  ( +g  `  Q )
12950, 61, 128abvtri 17592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  QQ  /\  (
( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  QQ )  -> 
( F `  (
( k  mod  ( M ^ n ) )  +  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  <_  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( F `  (
( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) ) )
13083, 96, 124, 129syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( ( k  mod  ( M ^ n
) )  +  ( ( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )  <_  (
( F `  (
k  mod  ( M ^ n ) ) )  +  ( F `
 ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) ) )
13192nnrpd 11175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
n )  e.  RR+ )
132 modval 11898 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( M ^ n )  e.  RR+ )  ->  (
k  mod  ( M ^ n ) )  =  ( k  -  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )
133102, 131, 132syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  =  ( k  -  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )
134133oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  mod  ( M ^
n ) )  +  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( k  -  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) )  +  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )
135102recnd 9533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  CC )
136 qcn 11115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  QQ  ->  (
( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  CC )
137124, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) )  e.  CC )
138135, 137npcand 9848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  -  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) ) )  +  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  k )
139134, 138eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  mod  ( M ^
n ) )  +  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  k )
140139fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( ( k  mod  ( M ^ n
) )  +  ( ( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )  =  ( F `  k ) )
141 cnfldmul 18539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x.  =  ( .r ` fld )
14251, 141ressmulr 14759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( QQ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Q ) )
143125, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x.  =  ( .r `  Q )
14450, 61, 143abvmul 17591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( M ^ n )  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) )  e.  QQ )  ->  ( F `  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) ) )  =  ( ( F `  ( M ^ n ) )  x.  ( F `
 ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )
14583, 122, 106, 144syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( F `  ( M ^ n ) )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) )
14651, 50qabvexp 23928 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( M ^ n ) )  =  ( ( F `
 M ) ^
n ) )
14783, 99, 91, 146syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( M ^ n ) )  =  ( ( F `  M ) ^ n ) )
148147oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( M ^
n ) )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  M
) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) )
149145, 148eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  M
) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) )
150149oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( F `  (
( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )  =  ( ( F `  (
k  mod  ( M ^ n ) ) )  +  ( ( ( F `  M
) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) ) )
151130, 140, 1503brtr3d 4396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  (
( F `  (
k  mod  ( M ^ n ) ) )  +  ( ( ( F `  M
) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) ) )
152116, 91reexpcld 12229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( T ^
n )  e.  RR )
153115, 152remulcld 9535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  e.  RR )
154 nn0re 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
155154ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  RR )
156111, 155remulcld 9535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  n )  e.  RR )
157156, 152remulcld 9535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  e.  RR )
158111, 152remulcld 9535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( T ^ n ) )  e.  RR )
159 zmodfz 11918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M ^ n )  e.  NN )  -> 
( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  ( 0 ... ( ( M ^
n )  -  1 ) ) )
16085, 92, 159syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  -  1 ) ) )
161 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  -  1 ) ) ( F `  j
)  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) )
162 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  ( k  mod  ( M ^ n
) )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n ) ) ) )
163162breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( k  mod  ( M ^ n
) )  ->  (
( F `  j
)  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  <->  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n ) ) )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )
164163rspcv 3131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  ( 0 ... ( ( M ^
n )  -  1 ) )  ->  ( A. j  e.  (
0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  ->  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  <_ 
( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n ) ) ) )
165160, 161, 164sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n ) ) )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) )
166111, 101remulcld 9535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( ( F `  M ) ^ n
) )  e.  RR )
167101recnd 9533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 M ) ^
n )  e.  CC )
168108recnd 9533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) )  e.  CC )
169167, 168mulcomd 9528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  M ) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( F `  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  x.  ( ( F `
 M ) ^
n ) ) )
17050, 61abvge0 17587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  0  <_  ( F `  M ) )
17183, 99, 170syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  ( F `  M )
)
172100, 91, 171expge0d 12230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  (
( F `  M
) ^ n ) )
173104zred 10884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  RR )
174 elfzle1 11610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^
( n  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  0  <_  k )
175174ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  k
)
17692nnred 10467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
n )  e.  RR )
17792nngt0d 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <  ( M ^ n ) )
178 divge0 10328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <_  k )  /\  ( ( M ^
n )  e.  RR  /\  0  <  ( M ^ n ) ) )  ->  0  <_  ( k  /  ( M ^ n ) ) )
179102, 175, 176, 177, 178syl22anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  (
k  /  ( M ^ n ) ) )
180 flge0nn0 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( k  /  ( M ^ n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  NN0 )
181103, 179, 180syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  NN0 )
18251, 50qabvle 23927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) )  e.  NN0 )  -> 
( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  <_  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) )
18383, 181, 182syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) )  <_  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) )
184 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  +  1 ) )  -  1 ) ) )
185 0z 10792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  ZZ
18690, 118nnexpcld 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
( n  +  1 ) )  e.  NN )
187186nnzd 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
188 elfzm11 11671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( M ^ ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  +  1 ) )  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  0  <_  k  /\  k  <  ( M ^
( n  +  1 ) ) ) ) )
189185, 187, 188sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  0  <_ 
k  /\  k  <  ( M ^ ( n  +  1 ) ) ) ) )
190184, 189mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  0  <_ 
k  /\  k  <  ( M ^ ( n  +  1 ) ) ) )
191190simp3d 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  <  ( M ^ ( n  + 
1 ) ) )
19290nncnd 10468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  CC )
193192, 91expp1d 12213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
( n  +  1 ) )  =  ( ( M ^ n
)  x.  M ) )
194191, 193breqtrd 4391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  <  (
( M ^ n
)  x.  M ) )
195 ltdivmul 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
( M ^ n
)  e.  RR  /\  0  <  ( M ^
n ) ) )  ->  ( ( k  /  ( M ^
n ) )  < 
M  <->  k  <  (
( M ^ n
)  x.  M ) ) )
196102, 111, 176, 177, 195syl112anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  /  ( M ^
n ) )  < 
M  <->  k  <  (
( M ^ n
)  x.  M ) ) )
197194, 196mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  / 
( M ^ n
) )  <  M
)
19890nnzd 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
199 fllt 11842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  /  ( M ^ n ) )  e.  RR  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( k  /  ( M ^ n ) )  <  M  <->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  <  M ) )
200103, 198, 199syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  /  ( M ^
n ) )  < 
M  <->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  <  M ) )
201197, 200mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  <  M )
202173, 111, 201ltled 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  <_  M )
203108, 173, 111, 183, 202letrd 9650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) )  <_  M )
204108, 111, 101, 172, 203lemul1ad 10401 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) )  x.  (
( F `  M
) ^ n ) )  <_  ( M  x.  ( ( F `  M ) ^ n
) ) )
205169, 204eqbrtrd 4387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  M ) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  <_  ( M  x.  ( ( F `  M ) ^ n
) ) )
20690nnnn0d 10769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
207206nn0ge0d 10772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  M
)
208 max1 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( F `  M
)  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
209100, 58, 208sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  M )  <_  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) ) )
210209, 57syl6breqr 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  M )  <_  T
)
211 leexp1a 12127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  M )  e.  RR  /\  T  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( F `  M )  /\  ( F `  M
)  <_  T )
)  ->  ( ( F `  M ) ^ n )  <_ 
( T ^ n
) )
212100, 116, 91, 171, 210, 211syl32anc 1234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 M ) ^
n )  <_  ( T ^ n ) )
213101, 152, 111, 207, 212lemul2ad 10402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( ( F `  M ) ^ n
) )  <_  ( M  x.  ( T ^ n ) ) )
214109, 166, 158, 205, 213letrd 9650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  M ) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  <_  ( M  x.  ( T ^ n
) ) )
21598, 109, 157, 158, 165, 214le2addd 10087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( ( ( F `
 M ) ^
n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  <_  ( ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^
n ) )  +  ( M  x.  ( T ^ n ) ) ) )
216 nn0cn 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  CC )
217216ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  CC )
218 1cnd 9523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  1  e.  CC )
219192, 217, 218adddid 9531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( n  +  1
) )  =  ( ( M  x.  n
)  +  ( M  x.  1 ) ) )
220192mulid1d 9524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
221220oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  n )  +  ( M  x.  1 ) )  =  ( ( M  x.  n
)  +  M ) )
222219, 221eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( n  +  1
) )  =  ( ( M  x.  n
)  +  M ) )
223222oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  =  ( ( ( M  x.  n )  +  M
)  x.  ( T ^ n ) ) )
224192, 217mulcld 9527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  n )  e.  CC )
225152recnd 9533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( T ^
n )  e.  CC )
226224, 192, 225adddird 9532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( M  x.  n )  +  M )  x.  ( T ^ n
) )  =  ( ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n ) )  +  ( M  x.  ( T ^ n ) ) ) )
227223, 226eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  =  ( ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n ) )  +  ( M  x.  ( T ^ n ) ) ) )
228215, 227breqtrrd 4393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( ( ( F `
 M ) ^
n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  <_  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) ) )
229 max2 11309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
230100, 58, 229sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  1  <_  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) ) )
231230, 57syl6breqr 4407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  1  <_  T
)
232 nn0z 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
233232ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
234 uzid 11015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
235233, 234syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  n ) )
236 peano2uz 11054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
237235, 236syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  n ) )
238116, 231, 237leexp2ad 12244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( T ^
n )  <_  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) )
23990, 113nnmulcld 10500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( n  +  1
) )  e.  NN )
240239nngt0d 10496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <  ( M  x.  ( n  +  1 ) ) )
241 lemul2 10312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T ^ n
)  e.  RR  /\  ( T ^ ( n  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M  x.  ( n  +  1
) ) ) )  ->  ( ( T ^ n )  <_ 
( T ^ (
n  +  1 ) )  <->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
242152, 119, 115, 240, 241syl112anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( T ^ n )  <_ 
( T ^ (
n  +  1 ) )  <->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
243238, 242mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) )
244110, 153, 120, 228, 243letrd 9650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( ( ( F `
 M ) ^
n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  <_  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ (
n  +  1 ) ) ) )
24589, 110, 120, 151, 244letrd 9650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) )
246245expr 613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( A. j  e.  (
0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  ->  ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  ( n  +  1
) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
247246ralrimdva 2800 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
24882, 247syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
249248expcom 433 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ n
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) )  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  ( n  +  1 ) )  x.  ( T ^
( n  +  1 ) ) ) ) ) )
250249a2d 26 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) )  -> 
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
2519, 18, 27, 36, 79, 250nn0ind 10874 . . . 4  |-  ( X  e.  NN0  ->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) ) ) )
252251impcom 428 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ X
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) )
253 fveq2 5774 . . . . 5  |-  ( k  =  Y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  Y ) )
254253breq1d 4377 . . . 4  |-  ( k  =  Y  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) )  <->  ( F `  Y )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) ) )
255254rspccv 3132 . . 3  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) )  ->  ( Y  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  - 
1 ) )  -> 
( F `  Y
)  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) ) ) )
256252, 255syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( Y  e.  ( 0 ... (
( M ^ X
)  -  1 ) )  ->  ( F `  Y )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) ) )
2572563impia 1191 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN0 
/\  Y  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  Y )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   _Vcvv 3034   ifcif 3857   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718   -ucneg 9719    / cdiv 10123   NNcn 10452   2c2 10502   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   QQcq 11101   RR+crp 11139   ...cfz 11593   |_cfl 11826    mod cmo 11896   ^cexp 12069   Primecprime 14219    pCnt cpc 14362   ↾s cress 14635   +g cplusg 14702   .rcmulr 14703  AbsValcabv 17578  ℂfldccnfld 18533   logclog 23027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-ico 11456  df-fz 11594  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-subg 16315  df-cmn 16917  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-cring 17314  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-invr 17434  df-dvr 17445  df-drng 17511  df-subrg 17540  df-abv 17579  df-cnfld 18534
This theorem is referenced by:  ostth2lem3  23937
  Copyright terms: Public domain W3C validator