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Theorem ostth2lem2 24468
Description: Lemma for ostth2 24471. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
ostth2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.6  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
ostth2.7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
Assertion
Ref Expression
ostth2lem2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN0 
/\  Y  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  Y )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, q, ph    x, T    x, X    A, q, x    x, N    x, Q    F, q    R, q    x, F
Allowed substitution hints:    Q( q)    R( x)    S( x, q)    T( q)    J( x, q)    K( x, q)    M( q)    N( q)    X( q)    Y( x, q)

Proof of Theorem ostth2lem2
Dummy variables  k  n  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( M ^ x )  =  ( M ^ 0 ) )
21oveq1d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( M ^ x
)  -  1 )  =  ( ( M ^ 0 )  - 
1 ) )
32oveq2d 6320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( M ^ 0 )  -  1 ) ) )
4 oveq2 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( M  x.  x )  =  ( M  x.  0 ) )
5 oveq2 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( T ^ x )  =  ( T ^ 0 ) )
64, 5oveq12d 6322 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) )  =  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) )
76breq2d 4434 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
83, 7raleqbidv 3040 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ 0 )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
98imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ x
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ 0 )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) ) )
10 oveq2 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  ( M ^ x )  =  ( M ^ n
) )
1110oveq1d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
( M ^ x
)  -  1 )  =  ( ( M ^ n )  - 
1 ) )
1211oveq2d 6320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( M ^ n
)  -  1 ) ) )
13 oveq2 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  ( M  x.  x )  =  ( M  x.  n ) )
14 oveq2 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  ( T ^ x )  =  ( T ^ n
) )
1513, 14oveq12d 6322 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) )  =  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) )
1615breq2d 4434 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) ) ) )
1712, 16raleqbidv 3040 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ n
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) ) ) )
1817imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ x
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) ) )
19 oveq2 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M ^ x )  =  ( M ^ (
n  +  1 ) ) )
2019oveq1d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( M ^ x
)  -  1 )  =  ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )
2120oveq2d 6320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) )
22 oveq2 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M  x.  x )  =  ( M  x.  ( n  +  1
) ) )
23 oveq2 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( T ^ x )  =  ( T ^ (
n  +  1 ) ) )
2422, 23oveq12d 6322 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) )  =  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ (
n  +  1 ) ) ) )
2524breq2d 4434 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
2621, 25raleqbidv 3040 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
2726imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ x
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
28 oveq2 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( M ^ x )  =  ( M ^ X
) )
2928oveq1d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( M ^ x
)  -  1 )  =  ( ( M ^ X )  - 
1 ) )
3029oveq2d 6320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( M ^ X
)  -  1 ) ) )
31 oveq2 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( M  x.  x )  =  ( M  x.  X ) )
32 oveq2 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( T ^ x )  =  ( T ^ X
) )
3331, 32oveq12d 6322 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) )  =  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) ) )
3433breq2d 4434 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) ) )
3530, 34raleqbidv 3040 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ X
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) ) )
3635imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ x
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) ) ) ) )
37 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
38 eluz2nn 11203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  NN )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4039nncnd 10631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
4140exp0d 12415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M ^ 0 )  =  1 )
4241oveq1d 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
0 )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
43 1m1e0 10684 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
4442, 43syl6eq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
0 )  -  1 )  =  0 )
4544oveq2d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( M ^ 0 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... 0 ) )
4645eleq2d 2493 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ 0 )  -  1 ) )  <-> 
k  e.  ( 0 ... 0 ) ) )
47 0le0 10705 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
4847a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  0 )
49 ostth.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
50 qabsabv.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
51 qrng.q . . . . . . . . . . . 12  |-  Q  =  (flds  QQ )
5251qrng0 24455 . . . . . . . . . . 11  |-  0  =  ( 0g `  Q )
5350, 52abv0 18056 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  0 )  =  0 )
5449, 53syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  0 )
5540mul01d 9838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  x.  0 )  =  0 )
5655oveq1d 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) )  =  ( 0  x.  ( T ^ 0 ) ) )
57 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
58 1re 9648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
59 nnq 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
6039, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
6151qrngbas 24453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
6250, 61abvcl 18049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
6349, 60, 62syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
64 ifcl 3953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  e.  RR )
6558, 63, 64sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )  e.  RR )
6657, 65syl5eqel 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
6766recnd 9675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
68 0nn0 10890 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
69 expcl 12295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  CC  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( T ^ 0 )  e.  CC )
7067, 68, 69sylancl 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T ^ 0 )  e.  CC )
7170mul02d 9837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  ( T ^ 0 ) )  =  0 )
7256, 71eqtrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) )  =  0 )
7348, 54, 723brtr4d 4453 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^
0 ) ) )
74 elfz1eq 11816 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  k  =  0 )
7574fveq2d 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
7675breq1d 4432 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^
0 ) )  <->  ( F `  0 )  <_ 
( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
7773, 76syl5ibrcom 226 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
7846, 77sylbid 219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ 0 )  -  1 ) )  ->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
7978ralrimiv 2838 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ 0 )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^
0 ) ) )
80 fveq2 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
8180breq1d 4432 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  <->  ( F `  j )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) ) ) )
8281cbvralv 3056 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  <->  A. j  e.  ( 0 ... (
( M ^ n
)  -  1 ) ) ( F `  j )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) ) )
8349ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  F  e.  A
)
84 elfzelz 11806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^
( n  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
8584ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
86 zq 11276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  QQ )
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  QQ )
8850, 61abvcl 18049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  A  /\  k  e.  QQ )  ->  ( F `  k
)  e.  RR )
8983, 87, 88syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
9039ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  NN )
91 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
9290, 91nnexpcld 12442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
n )  e.  NN )
9385, 92zmodcld 12122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  e.  NN0 )
9493nn0zd 11044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  e.  ZZ )
95 zq 11276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  ZZ  ->  (
k  mod  ( M ^ n ) )  e.  QQ )
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  e.  QQ )
9750, 61abvcl 18049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  QQ )  -> 
( F `  (
k  mod  ( M ^ n ) ) )  e.  RR )
9883, 96, 97syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n ) ) )  e.  RR )
9990, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  QQ )
10083, 99, 62syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  M )  e.  RR )
101100, 91reexpcld 12438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 M ) ^
n )  e.  RR )
10285zred 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  RR )
103102, 92nndivred 10664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  / 
( M ^ n
) )  e.  RR )
104103flcld 12039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  ZZ )
105 zq 11276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) )  e.  QQ )
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  QQ )
10750, 61abvcl 18049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) )  e.  QQ )  -> 
( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  RR )
10883, 106, 107syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) )  e.  RR )
109101, 108remulcld 9677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  M ) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  e.  RR )
11098, 109readdcld 9676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( ( ( F `
 M ) ^
n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
11190nnred 10630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  RR )
112 nn0p1nn 10915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
113112ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN )
114113nnred 10630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  RR )
115111, 114remulcld 9677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( n  +  1
) )  e.  RR )
11666ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  T  e.  RR )
117 peano2nn0 10916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
118117ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN0 )
119116, 118reexpcld 12438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( T ^
( n  +  1 ) )  e.  RR )
120115, 119remulcld 9677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
121 nnq 11283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M ^ n )  e.  NN  ->  ( M ^ n )  e.  QQ )
12292, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
n )  e.  QQ )
123 qmulcl 11288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M ^ n
)  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) )  e.  QQ )  -> 
( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  QQ )
124122, 106, 123syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) )  e.  QQ )
125 qex 11282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  QQ  e.  _V
126 cnfldadd 18972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  +  =  ( +g  ` fld )
12751, 126ressplusg 15236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( QQ  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  Q
) )
128125, 127ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  +  =  ( +g  `  Q )
12950, 61, 128abvtri 18055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  QQ  /\  (
( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  QQ )  -> 
( F `  (
( k  mod  ( M ^ n ) )  +  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  <_  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( F `  (
( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) ) )
13083, 96, 124, 129syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( ( k  mod  ( M ^ n
) )  +  ( ( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )  <_  (
( F `  (
k  mod  ( M ^ n ) ) )  +  ( F `
 ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) ) )
13192nnrpd 11345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
n )  e.  RR+ )
132 modval 12103 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( M ^ n )  e.  RR+ )  ->  (
k  mod  ( M ^ n ) )  =  ( k  -  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )
133102, 131, 132syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  =  ( k  -  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )
134133oveq1d 6319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  mod  ( M ^
n ) )  +  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( k  -  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) )  +  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )
135102recnd 9675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  CC )
136 qcn 11284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  QQ  ->  (
( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  CC )
137124, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) )  e.  CC )
138135, 137npcand 9996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  -  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) ) )  +  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  k )
139134, 138eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  mod  ( M ^
n ) )  +  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  k )
140139fveq2d 5884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( ( k  mod  ( M ^ n
) )  +  ( ( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )  =  ( F `  k ) )
141 cnfldmul 18973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x.  =  ( .r ` fld )
14251, 141ressmulr 15247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( QQ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Q ) )
143125, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x.  =  ( .r `  Q )
14450, 61, 143abvmul 18054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( M ^ n )  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) )  e.  QQ )  ->  ( F `  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) ) )  =  ( ( F `  ( M ^ n ) )  x.  ( F `
 ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )
14583, 122, 106, 144syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( F `  ( M ^ n ) )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) )
14651, 50qabvexp 24460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( M ^ n ) )  =  ( ( F `
 M ) ^
n ) )
14783, 99, 91, 146syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( M ^ n ) )  =  ( ( F `  M ) ^ n ) )
148147oveq1d 6319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( M ^
n ) )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  M
) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) )
149145, 148eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  M
) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) )
150149oveq2d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( F `  (
( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )  =  ( ( F `  (
k  mod  ( M ^ n ) ) )  +  ( ( ( F `  M
) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) ) )
151130, 140, 1503brtr3d 4452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  (
( F `  (
k  mod  ( M ^ n ) ) )  +  ( ( ( F `  M
) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) ) )
152116, 91reexpcld 12438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( T ^
n )  e.  RR )
153115, 152remulcld 9677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  e.  RR )
154 nn0re 10884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
155154ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  RR )
156111, 155remulcld 9677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  n )  e.  RR )
157156, 152remulcld 9677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  e.  RR )
158111, 152remulcld 9677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( T ^ n ) )  e.  RR )
159 zmodfz 12123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M ^ n )  e.  NN )  -> 
( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  ( 0 ... ( ( M ^
n )  -  1 ) ) )
16085, 92, 159syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  -  1 ) ) )
161 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  -  1 ) ) ( F `  j
)  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) )
162 fveq2 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  ( k  mod  ( M ^ n
) )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n ) ) ) )
163162breq1d 4432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( k  mod  ( M ^ n
) )  ->  (
( F `  j
)  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  <->  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n ) ) )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )
164163rspcv 3179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  ( 0 ... ( ( M ^
n )  -  1 ) )  ->  ( A. j  e.  (
0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  ->  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  <_ 
( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n ) ) ) )
165160, 161, 164sylc 63 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n ) ) )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) )
166111, 101remulcld 9677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( ( F `  M ) ^ n
) )  e.  RR )
167101recnd 9675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 M ) ^
n )  e.  CC )
168108recnd 9675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) )  e.  CC )
169167, 168mulcomd 9670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  M ) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( F `  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  x.  ( ( F `
 M ) ^
n ) ) )
17050, 61abvge0 18050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  0  <_  ( F `  M ) )
17183, 99, 170syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  ( F `  M )
)
172100, 91, 171expge0d 12439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  (
( F `  M
) ^ n ) )
173104zred 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  RR )
174 elfzle1 11808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^
( n  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  0  <_  k )
175174ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  k
)
17692nnred 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
n )  e.  RR )
17792nngt0d 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <  ( M ^ n ) )
178 divge0 10480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <_  k )  /\  ( ( M ^
n )  e.  RR  /\  0  <  ( M ^ n ) ) )  ->  0  <_  ( k  /  ( M ^ n ) ) )
179102, 175, 176, 177, 178syl22anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  (
k  /  ( M ^ n ) ) )
180 flge0nn0 12059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( k  /  ( M ^ n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  NN0 )
181103, 179, 180syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  NN0 )
18251, 50qabvle 24459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) )  e.  NN0 )  -> 
( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  <_  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) )
18383, 181, 182syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) )  <_  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) )
184 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  +  1 ) )  -  1 ) ) )
185 0z 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  ZZ
18690, 118nnexpcld 12442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
( n  +  1 ) )  e.  NN )
187186nnzd 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
188 elfzm11 11871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( M ^ ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  +  1 ) )  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  0  <_  k  /\  k  <  ( M ^
( n  +  1 ) ) ) ) )
189185, 187, 188sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  0  <_ 
k  /\  k  <  ( M ^ ( n  +  1 ) ) ) ) )
190184, 189mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  0  <_ 
k  /\  k  <  ( M ^ ( n  +  1 ) ) ) )
191190simp3d 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  <  ( M ^ ( n  + 
1 ) ) )
19290nncnd 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  CC )
193192, 91expp1d 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
( n  +  1 ) )  =  ( ( M ^ n
)  x.  M ) )
194191, 193breqtrd 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  <  (
( M ^ n
)  x.  M ) )
195 ltdivmul 10486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
( M ^ n
)  e.  RR  /\  0  <  ( M ^
n ) ) )  ->  ( ( k  /  ( M ^
n ) )  < 
M  <->  k  <  (
( M ^ n
)  x.  M ) ) )
196102, 111, 176, 177, 195syl112anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  /  ( M ^
n ) )  < 
M  <->  k  <  (
( M ^ n
)  x.  M ) ) )
197194, 196mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  / 
( M ^ n
) )  <  M
)
19890nnzd 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
199 fllt 12047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  /  ( M ^ n ) )  e.  RR  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( k  /  ( M ^ n ) )  <  M  <->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  <  M ) )
200103, 198, 199syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  /  ( M ^
n ) )  < 
M  <->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  <  M ) )
201197, 200mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  <  M )
202173, 111, 201ltled 9789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  <_  M )
203108, 173, 111, 183, 202letrd 9798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) )  <_  M )
204108, 111, 101, 172, 203lemul1ad 10552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) )  x.  (
( F `  M
) ^ n ) )  <_  ( M  x.  ( ( F `  M ) ^ n
) ) )
205169, 204eqbrtrd 4443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  M ) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  <_  ( M  x.  ( ( F `  M ) ^ n
) ) )
20690nnnn0d 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
207206nn0ge0d 10934 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  M
)
208 max1 11486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( F `  M
)  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
209100, 58, 208sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  M )  <_  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) ) )
210209, 57syl6breqr 4463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  M )  <_  T
)
211 leexp1a 12336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  M )  e.  RR  /\  T  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( F `  M )  /\  ( F `  M
)  <_  T )
)  ->  ( ( F `  M ) ^ n )  <_ 
( T ^ n
) )
212100, 116, 91, 171, 210, 211syl32anc 1273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 M ) ^
n )  <_  ( T ^ n ) )
213101, 152, 111, 207, 212lemul2ad 10553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( ( F `  M ) ^ n
) )  <_  ( M  x.  ( T ^ n ) ) )
214109, 166, 158, 205, 213letrd 9798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  M ) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  <_  ( M  x.  ( T ^ n
) ) )
21598, 109, 157, 158, 165, 214le2addd 10238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( ( ( F `
 M ) ^
n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  <_  ( ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^
n ) )  +  ( M  x.  ( T ^ n ) ) ) )
216 nn0cn 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  CC )
217216ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  CC )
218 1cnd 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  1  e.  CC )
219192, 217, 218adddid 9673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( n  +  1
) )  =  ( ( M  x.  n
)  +  ( M  x.  1 ) ) )
220192mulid1d 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
221220oveq2d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  n )  +  ( M  x.  1 ) )  =  ( ( M  x.  n
)  +  M ) )
222219, 221eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( n  +  1
) )  =  ( ( M  x.  n
)  +  M ) )
223222oveq1d 6319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  =  ( ( ( M  x.  n )  +  M
)  x.  ( T ^ n ) ) )
224192, 217mulcld 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  n )  e.  CC )
225152recnd 9675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( T ^
n )  e.  CC )
226224, 192, 225adddird 9674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( M  x.  n )  +  M )  x.  ( T ^ n
) )  =  ( ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n ) )  +  ( M  x.  ( T ^ n ) ) ) )
227223, 226eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  =  ( ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n ) )  +  ( M  x.  ( T ^ n ) ) ) )
228215, 227breqtrrd 4449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( ( ( F `
 M ) ^
n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  <_  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) ) )
229 max2 11488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
230100, 58, 229sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  1  <_  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) ) )
231230, 57syl6breqr 4463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  1  <_  T
)
232 nn0z 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
233232ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
234 uzid 11179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
235233, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  n ) )
236 peano2uz 11218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
237235, 236syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  n ) )
238116, 231, 237leexp2ad 12453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( T ^
n )  <_  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) )
23990, 113nnmulcld 10663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( n  +  1
) )  e.  NN )
240239nngt0d 10659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <  ( M  x.  ( n  +  1 ) ) )
241 lemul2 10464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T ^ n
)  e.  RR  /\  ( T ^ ( n  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M  x.  ( n  +  1
) ) ) )  ->  ( ( T ^ n )  <_ 
( T ^ (
n  +  1 ) )  <->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
242152, 119, 115, 240, 241syl112anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( T ^ n )  <_ 
( T ^ (
n  +  1 ) )  <->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
243238, 242mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) )
244110, 153, 120, 228, 243letrd 9798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( ( ( F `
 M ) ^
n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  <_  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ (
n  +  1 ) ) ) )
24589, 110, 120, 151, 244letrd 9798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) )
246245expr 619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( A. j  e.  (
0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  ->  ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  ( n  +  1
) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
247246ralrimdva 2844 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
24882, 247syl5bi 221 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
249248expcom 437 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ n
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) )  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  ( n  +  1 ) )  x.  ( T ^
( n  +  1 ) ) ) ) ) )
250249a2d 30 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) )  -> 
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
2519, 18, 27, 36, 79, 250nn0ind 11036 . . . 4  |-  ( X  e.  NN0  ->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) ) ) )
252251impcom 432 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ X
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) )
253 fveq2 5880 . . . . 5  |-  ( k  =  Y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  Y ) )
254253breq1d 4432 . . . 4  |-  ( k  =  Y  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) )  <->  ( F `  Y )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) ) )
255254rspccv 3180 . . 3  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) )  ->  ( Y  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  - 
1 ) )  -> 
( F `  Y
)  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) ) ) )
256252, 255syl 17 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( Y  e.  ( 0 ... (
( M ^ X
)  -  1 ) )  ->  ( F `  Y )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) ) )
2572563impia 1203 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN0 
/\  Y  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  Y )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   _Vcvv 3082   ifcif 3911   class class class wbr 4422    |-> cmpt 4481   ` cfv 5600  (class class class)co 6304   CCcc 9543   RRcr 9544   0cc0 9545   1c1 9546    + caddc 9548    x. cmul 9550    < clt 9681    <_ cle 9682    - cmin 9866   -ucneg 9867    / cdiv 10275   NNcn 10615   2c2 10665   NN0cn0 10875   ZZcz 10943   ZZ>=cuz 11165   QQcq 11270   RR+crp 11308   ...cfz 11790   |_cfl 12031    mod cmo 12101   ^cexp 12277   Primecprime 14619    pCnt cpc 14783   ↾s cress 15119   +g cplusg 15187   .rcmulr 15188  AbsValcabv 18041  ℂfldccnfld 18967   logclog 23500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4535  ax-sep 4545  ax-nul 4554  ax-pow 4601  ax-pr 4659  ax-un 6596  ax-cnex 9601  ax-resscn 9602  ax-1cn 9603  ax-icn 9604  ax-addcl 9605  ax-addrcl 9606  ax-mulcl 9607  ax-mulrcl 9608  ax-mulcom 9609  ax-addass 9610  ax-mulass 9611  ax-distr 9612  ax-i2m1 9613  ax-1ne0 9614  ax-1rid 9615  ax-rnegex 9616  ax-rrecex 9617  ax-cnre 9618  ax-pre-lttri 9619  ax-pre-lttrn 9620  ax-pre-ltadd 9621  ax-pre-mulgt0 9622  ax-pre-sup 9623  ax-addf 9624  ax-mulf 9625
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3302  df-csb 3398  df-dif 3441  df-un 3443  df-in 3445  df-ss 3452  df-pss 3454  df-nul 3764  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4219  df-int 4255  df-iun 4300  df-br 4423  df-opab 4482  df-mpt 4483  df-tr 4518  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6266  df-ov 6307  df-oprab 6308  df-mpt2 6309  df-om 6706  df-1st 6806  df-2nd 6807  df-tpos 6983  df-wrecs 7038  df-recs 7100  df-rdg 7138  df-1o 7192  df-oadd 7196  df-er 7373  df-map 7484  df-en 7580  df-dom 7581  df-sdom 7582  df-fin 7583  df-sup 7964  df-inf 7965  df-pnf 9683  df-mnf 9684  df-xr 9685  df-ltxr 9686  df-le 9687  df-sub 9868  df-neg 9869  df-div 10276  df-nn 10616  df-2 10674  df-3 10675  df-4 10676  df-5 10677  df-6 10678  df-7 10679  df-8 10680  df-9 10681  df-10 10682  df-n0 10876  df-z 10944  df-dec 11058  df-uz 11166  df-q 11271  df-rp 11309  df-ico 11647  df-fz 11791  df-fl 12033  df-mod 12102  df-seq 12219  df-exp 12278  df-struct 15120  df-ndx 15121  df-slot 15122  df-base 15123  df-sets 15124  df-ress 15125  df-plusg 15200  df-mulr 15201  df-starv 15202  df-tset 15206  df-ple 15207  df-ds 15209  df-unif 15210  df-0g 15337  df-mgm 16485  df-sgrp 16524  df-mnd 16534  df-grp 16670  df-minusg 16671  df-subg 16811  df-cmn 17429  df-mgp 17721  df-ur 17733  df-ring 17779  df-cring 17780  df-oppr 17848  df-dvdsr 17866  df-unit 17867  df-invr 17897  df-dvr 17908  df-drng 17974  df-subrg 18003  df-abv 18042  df-cnfld 18968
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