Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ostth2lem1 24456
 Description: Lemma for ostth2 24475, although it is just a simple statement about exponentials which does not involve any specifics of ostth2 24475. If a power is upper bounded by a linear term, the exponent must be less than one. Or in big-O notation, for any . (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ostth2lem1.1
ostth2lem1.2
ostth2lem1.3
Assertion
Ref Expression
ostth2lem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem ostth2lem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10679 . . . . . 6
2 ostth2lem1.2 . . . . . . 7
32adantr 467 . . . . . 6
4 remulcl 9624 . . . . . 6
51, 3, 4sylancr 669 . . . . 5
6 simpr 463 . . . . . 6
7 1re 9642 . . . . . . 7
8 ostth2lem1.1 . . . . . . . 8
98adantr 467 . . . . . . 7
10 difrp 11337 . . . . . . 7
117, 9, 10sylancr 669 . . . . . 6
126, 11mpbid 214 . . . . 5
135, 12rerpdivcld 11369 . . . 4
14 expnbnd 12401 . . . 4
1513, 9, 6, 14syl3anc 1268 . . 3
16 nnnn0 10876 . . . . . 6
17 reexpcl 12289 . . . . . 6
189, 16, 17syl2an 480 . . . . 5
1913adantr 467 . . . . 5
2012rpred 11341 . . . . . . . . . . . 12
2120adantr 467 . . . . . . . . . . 11
22 nnre 10616 . . . . . . . . . . . 12
2322adantl 468 . . . . . . . . . . 11
2421, 23remulcld 9671 . . . . . . . . . 10
2524, 18remulcld 9671 . . . . . . . . 9
268ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10
27 2nn 10767 . . . . . . . . . . . 12
28 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12
29 nnmulcl 10632 . . . . . . . . . . . 12
3027, 28, 29sylancr 669 . . . . . . . . . . 11
31 nnnn0 10876 . . . . . . . . . . 11
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10
3326, 32reexpcld 12433 . . . . . . . . 9
3430nnred 10624 . . . . . . . . . 10
352ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10
3634, 35remulcld 9671 . . . . . . . . 9
37 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . 14
387a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
39 0lt1 10136 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
4137, 38, 9, 40, 6lttrd 9796 . . . . . . . . . . . . 13
429, 41elrpd 11338 . . . . . . . . . . . 12
43 nnz 10959 . . . . . . . . . . . 12
44 rpexpcl 12291 . . . . . . . . . . . 12
4542, 43, 44syl2an 480 . . . . . . . . . . 11
46 peano2re 9806 . . . . . . . . . . . . 13
4724, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12
4824ltp1d 10537 . . . . . . . . . . . 12
4916adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13
5042adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14
5150rpge0d 11345 . . . . . . . . . . . . 13
52 bernneq2 12399 . . . . . . . . . . . . 13
5326, 49, 51, 52syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12
5424, 47, 18, 48, 53ltletrd 9795 . . . . . . . . . . 11
5524, 18, 45, 54ltmul1dd 11393 . . . . . . . . . 10
5623recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13
57562timesd 10855 . . . . . . . . . . . 12
5857oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11
5926recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12
6059, 49, 49expaddd 12418 . . . . . . . . . . 11
6158, 60eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10
6255, 61breqtrrd 4429 . . . . . . . . 9
63 ostth2lem1.3 . . . . . . . . . . . 12
6463ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . 11
6564ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10
66 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12
67 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . 12
6866, 67breq12d 4415 . . . . . . . . . . 11
6968rspcv 3146 . . . . . . . . . 10
7030, 65, 69sylc 62 . . . . . . . . 9
7125, 33, 36, 62, 70ltletrd 9795 . . . . . . . 8
7221recnd 9669 . . . . . . . . 9
7318recnd 9669 . . . . . . . . 9
7472, 73, 56mul32d 9843 . . . . . . . 8
75 2cnd 10682 . . . . . . . . 9
7635recnd 9669 . . . . . . . . 9
7775, 76, 56mul32d 9843 . . . . . . . 8
7871, 74, 773brtr4d 4433 . . . . . . 7
7921, 18remulcld 9671 . . . . . . . 8
805adantr 467 . . . . . . . 8
81 nngt0 10638 . . . . . . . . 9
8281adantl 468 . . . . . . . 8
83 ltmul1 10455 . . . . . . . 8
8479, 80, 23, 82, 83syl112anc 1272 . . . . . . 7
8578, 84mpbird 236 . . . . . 6
8612rpgt0d 11344 . . . . . . . 8
8786adantr 467 . . . . . . 7
88 ltmuldiv2 10479 . . . . . . 7
8918, 80, 21, 87, 88syl112anc 1272 . . . . . 6
9085, 89mpbid 214 . . . . 5
9118, 19, 90ltnsymd 9784 . . . 4
9291nrexdv 2843 . . 3
9315, 92pm2.65da 580 . 2
94 lenlt 9712 . . 3
958, 7, 94sylancl 668 . 2
9693, 95mpbird 236 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  wrex 2738   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544   clt 9675   cle 9676   cmin 9860   cdiv 10269  cn 10609  c2 10659  cn0 10869  cz 10937  crp 11302  cexp 12272 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273 This theorem is referenced by:  ostth2lem4  24474
 Copyright terms: Public domain W3C validator