Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem1 Unicode version

Theorem ostth2lem1 21265
 Description: Lemma for ostth2 21284, although it is just a simple statement about exponentials which does not involve any specifics of ostth2 21284. If a power is upper bounded by a linear term, the exponent must be less than one. Or in big-O notation, for any . (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ostth2lem1.1
ostth2lem1.2
ostth2lem1.3
Assertion
Ref Expression
ostth2lem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem ostth2lem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10025 . . . . . 6
2 ostth2lem1.2 . . . . . . 7
32adantr 452 . . . . . 6
4 remulcl 9031 . . . . . 6
51, 3, 4sylancr 645 . . . . 5
6 simpr 448 . . . . . 6
7 1re 9046 . . . . . . 7
8 ostth2lem1.1 . . . . . . . 8
98adantr 452 . . . . . . 7
10 difrp 10601 . . . . . . 7
117, 9, 10sylancr 645 . . . . . 6
126, 11mpbid 202 . . . . 5
135, 12rerpdivcld 10631 . . . 4
14 expnbnd 11463 . . . 4
1513, 9, 6, 14syl3anc 1184 . . 3
16 nnnn0 10184 . . . . . 6
17 reexpcl 11353 . . . . . 6
189, 16, 17syl2an 464 . . . . 5
1913adantr 452 . . . . 5
2012rpred 10604 . . . . . . . . . . . 12
2120adantr 452 . . . . . . . . . . 11
22 nnre 9963 . . . . . . . . . . . 12
2322adantl 453 . . . . . . . . . . 11
2421, 23remulcld 9072 . . . . . . . . . 10
2524, 18remulcld 9072 . . . . . . . . 9
268ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
27 2nn 10089 . . . . . . . . . . . 12
28 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12
29 nnmulcl 9979 . . . . . . . . . . . 12
3027, 28, 29sylancr 645 . . . . . . . . . . 11
31 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . 11
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . 10
3326, 32reexpcld 11495 . . . . . . . . 9
3430nnred 9971 . . . . . . . . . 10
352ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
3634, 35remulcld 9072 . . . . . . . . 9
37 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
397a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
40 0lt1 9506 . . . . . . . . . . . . . . 15
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
4238, 39, 9, 41, 6lttrd 9187 . . . . . . . . . . . . 13
439, 42elrpd 10602 . . . . . . . . . . . 12
44 nnz 10259 . . . . . . . . . . . 12
45 rpexpcl 11355 . . . . . . . . . . . 12
4643, 44, 45syl2an 464 . . . . . . . . . . 11
47 peano2re 9195 . . . . . . . . . . . . 13
4824, 47syl 16 . . . . . . . . . . . 12
4924ltp1d 9897 . . . . . . . . . . . 12
5016adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
5143adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
5251rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . . 13
53 bernneq2 11461 . . . . . . . . . . . . 13
5426, 50, 52, 53syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
5524, 48, 18, 49, 54ltletrd 9186 . . . . . . . . . . 11
5624, 18, 46, 55ltmul1dd 10655 . . . . . . . . . 10
5723recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13
58572timesd 10166 . . . . . . . . . . . 12
5958oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11
6026recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12
6160, 50, 50expaddd 11480 . . . . . . . . . . 11
6259, 61eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10
6356, 62breqtrrd 4198 . . . . . . . . 9
64 ostth2lem1.3 . . . . . . . . . . . 12
6564ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . 11
6665ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
67 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12
68 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . 12
6967, 68breq12d 4185 . . . . . . . . . . 11
7069rspcv 3008 . . . . . . . . . 10
7130, 66, 70sylc 58 . . . . . . . . 9
7225, 33, 36, 63, 71ltletrd 9186 . . . . . . . 8
7321recnd 9070 . . . . . . . . . 10
7418recnd 9070 . . . . . . . . . 10
7573, 74, 57mul32d 9232 . . . . . . . . 9
76 2cn 10026 . . . . . . . . . . 11
7776a1i 11 . . . . . . . . . 10
7835recnd 9070 . . . . . . . . . 10
7977, 78, 57mul32d 9232 . . . . . . . . 9
8075, 79breq12d 4185 . . . . . . . 8
8172, 80mpbird 224 . . . . . . 7
8221, 18remulcld 9072 . . . . . . . 8
835adantr 452 . . . . . . . 8
84 nngt0 9985 . . . . . . . . 9
8584adantl 453 . . . . . . . 8
86 ltmul1 9816 . . . . . . . 8
8782, 83, 23, 85, 86syl112anc 1188 . . . . . . 7
8881, 87mpbird 224 . . . . . 6
8912rpgt0d 10607 . . . . . . . 8
9089adantr 452 . . . . . . 7
91 ltmuldiv2 9837 . . . . . . 7
9218, 83, 21, 90, 91syl112anc 1188 . . . . . 6
9388, 92mpbid 202 . . . . 5
9418, 19, 93ltnsymd 9178 . . . 4
9594nrexdv 2769 . . 3
9615, 95pm2.65da 560 . 2
97 lenlt 9110 . . 3
988, 7, 97sylancl 644 . 2
9996, 98mpbird 224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  wrex 2667   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951   clt 9076   cle 9077   cmin 9247   cdiv 9633  cn 9956  c2 10005  cn0 10177  cz 10238  crp 10568  cexp 11337 This theorem is referenced by:  ostth2lem4  21283 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338
 Copyright terms: Public domain W3C validator