Theorem ostth2 23566

Description: - Lemma for ostth 23568: regular case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )
padic.j	|- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
ostth.k	|- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
ostth.1	|- ( ph -> F e. A )
ostth2.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
ostth2.3	|- ( ph -> 1 < ( F ` N ) )
ostth2.4	|- R = ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) )

Assertion

Ref	Expression
ostth2	|- ( ph -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) )

Distinct variable groups:   q, a, x, y, ph   J, a, y   A, a, q, x, y   x, N, y   x, Q, y   F, a, q, y   R, a, q, y   x, F

Allowed substitution hints:   Q( q, a)   R( x)   J( x, q)   K( x, y, q, a)   N( q, a)

Proof of Theorem ostth2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth2.4	. . . . 5 |- R = ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) )
2		ostth.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. A )
3		ostth2.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4		eluz2b2 11153	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
5	3, 4	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
6	5	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
7		nnq 11194	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. QQ )
9		qabsabv.a	. . . . . . . . 9 |- A = (AbsVal ` Q )
10		qrng.q	. . . . . . . . . 10 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
11	10	qrngbas 23548	. . . . . . . . 9 |- QQ = ( Base ` Q )
12	9, 11	abvcl 17268	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ N e. QQ ) -> ( F ` N ) e. RR )
13	2, 8, 12	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
14		ostth2.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( F ` N ) )
15	13, 14	rplogcld 22758	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) e. RR+ )
16	6	nnred 10550	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. RR )
17	5	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < N )
18	16, 17	rplogcld 22758	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` N ) e. RR+ )
19	15, 18	rpdivcld 11272	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) ) e. RR+ )
20	1, 19	syl5eqel 2559	. . . 4 |- ( ph -> R e. RR+ )
21	20	rpred 11255	. . 3 |- ( ph -> R e. RR )
22	20	rpgt0d 11258	. . 3 |- ( ph -> 0 < R )
23	6	nnnn0d 10851	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN0 )
24	10, 9	qabvle 23554	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ N e. NN0 ) -> ( F ` N ) <_ N )
25	2, 23, 24	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ N )
26	6	nnne0d 10579	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N =/= 0 )
27	10	qrng0 23550	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 = ( 0g ` Q )
28	9, 11, 27	abvgt0 17272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. A /\ N e. QQ /\ N =/= 0 ) -> 0 < ( F ` N ) )
29	2, 8, 26, 28	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( F ` N ) )
30	13, 29	elrpd 11253	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR+ )
31	30	reeflogd 22753	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) = ( F ` N ) )
32	6	nnrpd 11254	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR+ )
33	32	reeflogd 22753	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` N ) ) = N )
34	25, 31, 33	3brtr4d 4477	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) <_ ( exp ` ( log ` N ) ) )
35	15	rpred 11255	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) e. RR )
36	32	relogcld 22752	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` N ) e. RR )
37		efle 13713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` ( F ` N ) ) e. RR /\ ( log ` N ) e. RR ) -> ( ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( log ` N ) <-> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) <_ ( exp ` ( log ` N ) ) ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( log ` N ) <-> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) <_ ( exp ` ( log ` N ) ) ) )
39	34, 38	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( log ` N ) )
40	18	rpcnd 11257	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` N ) e. CC )
41	40	mulid1d 9612	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. 1 ) = ( log ` N ) )
42	39, 41	breqtrrd 4473	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( ( log ` N ) x. 1 ) )
43		1red 9610	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
44	35, 43, 18	ledivmuld 11304	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) ) <_ 1 <-> ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( ( log ` N ) x. 1 ) ) )
45	42, 44	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) ) <_ 1 )
46	1, 45	syl5eqbr 4480	. . 3 |- ( ph -> R <_ 1 )
47		0xr 9639	. . . 4 |- 0 e. RR*
48		1re 9594	. . . 4 |- 1 e. RR
49		elioc2 11586	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( R e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ 1 ) ) )
50	47, 48, 49	mp2an 672	. . 3 |- ( R e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ 1 ) )
51	21, 22, 46, 50	syl3anbrc 1180	. 2 |- ( ph -> R e. ( 0 (,] 1 ) )
52	10, 9	qabsabv 23558	. . . 4 |- ( abs |` QQ ) e. A
53		fvres 5879	. . . . . . . 8 |- ( y e. QQ -> ( ( abs |` QQ ) ` y ) = ( abs ` y ) )
54	53	oveq1d 6298	. . . . . . 7 |- ( y e. QQ -> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^c R ) = ( ( abs ` y ) ^c R ) )
55	54	mpteq2ia 4529	. . . . . 6 |- ( y e. QQ |-> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^c R ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) )
56	55	eqcomi 2480	. . . . 5 |- ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^c R ) )
57	9, 11, 56	abvcxp 23544	. . . 4 |- ( ( ( abs |` QQ ) e. A /\ R e. ( 0 (,] 1 ) ) -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) e. A )
58	52, 51, 57	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) e. A )
59		eluzelz 11090	. . . . . 6 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. ZZ )
60		zq 11187	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ -> z e. QQ )
61		fveq2 5865	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( abs ` y ) = ( abs ` z ) )
62	61	oveq1d 6298	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( abs ` y ) ^c R ) = ( ( abs ` z ) ^c R ) )
63		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) )
64		ovex 6308	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` z ) ^c R ) e. _V
65	62, 63, 64	fvmpt 5949	. . . . . 6 |- ( z e. QQ -> ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ` z ) = ( ( abs ` z ) ^c R ) )
66	59, 60, 65	3syl 20	. . . . 5 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ` z ) = ( ( abs ` z ) ^c R ) )
67	66	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ` z ) = ( ( abs ` z ) ^c R ) )
68		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
69		eluz2b2 11153	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( z e. NN /\ 1 < z ) )
70	68, 69	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z e. NN /\ 1 < z ) )
71	70	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. NN )
72	71	nnred 10550	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. RR )
73	71	nnnn0d 10851	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. NN0 )
74	73	nn0ge0d 10854	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 <_ z )
75	72, 74	absidd 13216	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( abs ` z ) = z )
76	75	oveq1d 6298	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) ^c R ) = ( z ^c R ) )
77	72	recnd 9621	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. CC )
78	71	nnne0d 10579	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z =/= 0 )
79	20	rpcnd 11257	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. CC )
80	79	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R e. CC )
81	77, 78, 80	cxpefd 22837	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z ^c R ) = ( exp ` ( R x. ( log ` z ) ) ) )
82		padic.j	. . . . . . . . . . 11 |- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
83		ostth.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
84	2	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> F e. A )
85	3	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
86	14	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < ( F ` N ) )
87		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) = ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) )
88		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( F ` z ) <_ 1 , 1 , ( F ` z ) ) = if ( ( F ` z ) <_ 1 , 1 , ( F ` z ) )
89		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` N ) / ( log ` z ) ) = ( ( log ` N ) / ( log ` z ) )
90	10, 9, 82, 83, 84, 85, 86, 1, 68, 87, 88, 89	ostth2lem4 23565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 < ( F ` z ) /\ R <_ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) ) )
91	90	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R <_ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) )
92	90	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < ( F ` z ) )
93		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( F ` N ) <_ 1 , 1 , ( F ` N ) ) = if ( ( F ` N ) <_ 1 , 1 , ( F ` N ) )
94		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` z ) / ( log ` N ) ) = ( ( log ` z ) / ( log ` N ) )
95	10, 9, 82, 83, 84, 68, 92, 87, 85, 1, 93, 94	ostth2lem4 23565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 < ( F ` N ) /\ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <_ R ) )
96	95	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <_ R )
97	21	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R e. RR )
98	59	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. ZZ )
99	98, 60	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. QQ )
100	9, 11	abvcl 17268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. A /\ z e. QQ ) -> ( F ` z ) e. RR )
101	84, 99, 100	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( F ` z ) e. RR )
102	9, 11, 27	abvgt0 17272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. A /\ z e. QQ /\ z =/= 0 ) -> 0 < ( F ` z ) )
103	84, 99, 78, 102	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 < ( F ` z ) )
104	101, 103	elrpd 11253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( F ` z ) e. RR+ )
105	104	relogcld 22752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` ( F ` z ) ) e. RR )
106	71	nnrpd 11254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. RR+ )
107	106	relogcld 22752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` z ) e. RR )
108		ef0 13687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( exp ` 0 ) = 1
109	70	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < z )
110	106	reeflogd 22753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` ( log ` z ) ) = z )
111	109, 110	breqtrrd 4473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < ( exp ` ( log ` z ) ) )
112	108, 111	syl5eqbr 4480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` 0 ) < ( exp ` ( log ` z ) ) )
113		0re 9595	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
114		eflt 13712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ ( log ` z ) e. RR ) -> ( 0 < ( log ` z ) <-> ( exp ` 0 ) < ( exp ` ( log ` z ) ) ) )
115	113, 107, 114	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 0 < ( log ` z ) <-> ( exp ` 0 ) < ( exp ` ( log ` z ) ) ) )
116	112, 115	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 < ( log ` z ) )
117	116	gt0ne0d 10116	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` z ) =/= 0 )
118	105, 107, 117	redivcld 10371	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) e. RR )
119	97, 118	letri3d 9725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R = ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <-> ( R <_ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) /\ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <_ R ) ) )
120	91, 96, 119	mpbir2and 920	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R = ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) )
121	120	oveq1d 6298	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R x. ( log ` z ) ) = ( ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) x. ( log ` z ) ) )
122	105	recnd 9621	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` ( F ` z ) ) e. CC )
123	107	recnd 9621	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` z ) e. CC )
124	122, 123, 117	divcan1d 10320	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) x. ( log ` z ) ) = ( log ` ( F ` z ) ) )
125	121, 124	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R x. ( log ` z ) ) = ( log ` ( F ` z ) ) )
126	125	fveq2d 5869	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` ( R x. ( log ` z ) ) ) = ( exp ` ( log ` ( F ` z ) ) ) )
127	104	reeflogd 22753	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` ( log ` ( F ` z ) ) ) = ( F ` z ) )
128	81, 126, 127	3eqtrd 2512	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z ^c R ) = ( F ` z ) )
129	67, 76, 128	3eqtrrd 2513	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( F ` z ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ` z ) )
130	10, 9, 2, 58, 129	ostthlem1 23556	. 2 |- ( ph -> F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) )
131		oveq2 6291	. . . . 5 |- ( a = R -> ( ( abs ` y ) ^c a ) = ( ( abs ` y ) ^c R ) )
132	131	mpteq2dv 4534	. . . 4 |- ( a = R -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) )
133	132	eqeq2d 2481	. . 3 |- ( a = R -> ( F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) <-> F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ) )
134	133	rspcev 3214	. 2 |- ( ( R e. ( 0 (,] 1 ) /\ F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ) -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) )
135	51, 130, 134	syl2anc 661	1 |- ( ph -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   E.wrex 2815   ifcif 3939   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   |` cres 5001   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492   x. cmul 9496   RR*cxr 9626   < clt 9627   <_ cle 9628   -ucneg 9805   / cdiv 10205   NNcn 10535   2c2 10584   NN0cn0 10794   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081   QQcq 11181   RR+crp 11219   (,]cioc 11529   ^cexp 12133   abscabs 13029   expce 13658   Primecprime 14075   pCnt cpc 14218   ↾_s cress 14490  AbsValcabv 17260  ℂ_fldccnfld 18207   logclog 22686   ^c ccxp 22687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-ioc 11533  df-ico 11534  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-mod 11964  df-seq 12075  df-exp 12134  df-fac 12321  df-bc 12348  df-hash 12373  df-shft 12862  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-limsup 13256  df-clim 13273  df-rlim 13274  df-sum 13471  df-ef 13664  df-sin 13666  df-cos 13667  df-pi 13669  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-mulg 15867  df-subg 16000  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-cring 16998  df-oppr 17068  df-dvdsr 17086  df-unit 17087  df-invr 17117  df-dvr 17128  df-drng 17193  df-subrg 17222  df-abv 17261  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-fbas 18203  df-fg 18204  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cld 19302  df-ntr 19303  df-cls 19304  df-nei 19381  df-lp 19419  df-perf 19420  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-haus 19598  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-fil 20098  df-fm 20190  df-flim 20191  df-flf 20192  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576  df-cncf 21133  df-limc 22021  df-dv 22022  df-log 22688  df-cxp 22689

This theorem is referenced by:  ostth  23568