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Theorem ostth2 24486
Description: - Lemma for ostth 24488: regular case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
Assertion
Ref Expression
ostth2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^c  a ) ) )
Distinct variable groups:    q, a, x, y, ph    J, a, y    A, a, q, x, y   
x, N, y    x, Q, y    F, a, q, y    R, a, q, y   
x, F
Allowed substitution hints:    Q( q, a)    R( x)    J( x, q)    K( x, y, q, a)    N( q, a)

Proof of Theorem ostth2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.4 . . . . 5  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
2 ostth.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
3 ostth2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4 eluz2b2 11220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
53, 4sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
65simpld 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 nnq 11266 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
86, 7syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
9 qabsabv.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
10 qrng.q . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  (flds  QQ )
1110qrngbas 24468 . . . . . . . . 9  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
129, 11abvcl 18062 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ )  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
132, 8, 12syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
14 ostth2.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
1513, 14rplogcld 23589 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR+ )
166nnred 10612 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
175simprd 469 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  N )
1816, 17rplogcld 23589 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR+ )
1915, 18rpdivcld 11347 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )  e.  RR+ )
201, 19syl5eqel 2533 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
2120rpred 11330 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
2220rpgt0d 11333 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  R )
236nnnn0d 10914 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2410, 9qabvle 24474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( F `  N
)  <_  N )
252, 23, 24syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  N )
266nnne0d 10642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
2710qrng0 24470 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  =  ( 0g `  Q )
289, 11, 27abvgt0 18066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ  /\  N  =/=  0 )  ->  0  <  ( F `  N
) )
292, 8, 26, 28syl3anc 1271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 N ) )
3013, 29elrpd 11327 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR+ )
3130reeflogd 23584 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  =  ( F `  N ) )
326nnrpd 11328 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
3332reeflogd 23584 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  N ) )  =  N )
3425, 31, 333brtr4d 4404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  N ) ) )
3515rpred 11330 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR )
3632relogcld 23583 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
37 efle 14182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR  /\  ( log `  N )  e.  RR )  -> 
( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( log `  N )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( log `  N
) ) ) )
3835, 36, 37syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( log `  N )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( log `  N
) ) ) )
3934, 38mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( log `  N ) )
4018rpcnd 11332 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
4140mulid1d 9646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  1 )  =  ( log `  N
) )
4239, 41breqtrrd 4400 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  1 ) )
43 1red 9644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
4435, 43, 18ledivmuld 11380 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( F `  N
) )  /  ( log `  N ) )  <_  1  <->  ( log `  ( F `  N
) )  <_  (
( log `  N
)  x.  1 ) ) )
4542, 44mpbird 240 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )  <_ 
1 )
461, 45syl5eqbr 4407 . . 3  |-  ( ph  ->  R  <_  1 )
47 0xr 9673 . . . 4  |-  0  e.  RR*
48 1re 9628 . . . 4  |-  1  e.  RR
49 elioc2 11686 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( R  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( R  e.  RR  /\  0  < 
R  /\  R  <_  1 ) ) )
5047, 48, 49mp2an 683 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( R  e.  RR  /\  0  < 
R  /\  R  <_  1 ) )
5121, 22, 46, 50syl3anbrc 1193 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  ( 0 (,] 1 ) )
5210, 9qabsabv 24478 . . . 4  |-  ( abs  |`  QQ )  e.  A
53 fvres 5861 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  QQ  ->  (
( abs  |`  QQ ) `
 y )  =  ( abs `  y
) )
5453oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  QQ  ->  (
( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^c  R )  =  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) )
5554mpteq2ia 4456 . . . . . 6  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^c  R ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) )
5655eqcomi 2460 . . . . 5  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^c  R ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^c  R ) )
579, 11, 56abvcxp 24464 . . . 4  |-  ( ( ( abs  |`  QQ )  e.  A  /\  R  e.  ( 0 (,] 1
) )  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) )  e.  A
)
5852, 51, 57sylancr 674 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) )  e.  A
)
59 eluzelz 11157 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  ZZ )
60 zq 11259 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  QQ )
61 fveq2 5847 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  z
) )
6261oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  y
)  ^c  R )  =  ( ( abs `  z )  ^c  R ) )
63 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^c  R ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^c  R ) )
64 ovex 6303 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  z )  ^c  R )  e.  _V
6562, 63, 64fvmpt 5931 . . . . . 6  |-  ( z  e.  QQ  ->  (
( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) ) `  z
)  =  ( ( abs `  z )  ^c  R ) )
6659, 60, 653syl 18 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) ) `  z
)  =  ( ( abs `  z )  ^c  R ) )
6766adantl 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) ) `  z
)  =  ( ( abs `  z )  ^c  R ) )
68 simpr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
69 eluz2b2 11220 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( z  e.  NN  /\  1  < 
z ) )
7068, 69sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( z  e.  NN  /\  1  < 
z ) )
7170simpld 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  NN )
7271nnred 10612 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  RR )
7371nnnn0d 10914 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  NN0 )
7473nn0ge0d 10917 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <_  z )
7572, 74absidd 13494 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( abs `  z )  =  z )
7675oveq1d 6290 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( abs `  z )  ^c  R )  =  ( z  ^c  R ) )
7772recnd 9655 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  CC )
7871nnne0d 10642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  =/=  0 )
7920rpcnd 11332 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
8079adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  e.  CC )
8177, 78, 80cxpefd 23668 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( z  ^c  R )  =  ( exp `  ( R  x.  ( log `  z ) ) ) )
82 padic.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
83 ostth.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
842adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  F  e.  A )
853adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
8614adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  ( F `  N ) )
87 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  ( F `
 z ) )  /  ( log `  z
) )  =  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )
88 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( F `  z
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 z ) )  =  if ( ( F `  z )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  z ) )
89 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  N )  /  ( log `  z
) )  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  z ) )
9010, 9, 82, 83, 84, 85, 86, 1, 68, 87, 88, 89ostth2lem4 24485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  <  ( F `  z )  /\  R  <_  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) ) ) )
9190simprd 469 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  <_  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) ) )
9290simpld 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  ( F `  z ) )
93 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( F `  N
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 N ) )  =  if ( ( F `  N )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  N ) )
94 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  z )  /  ( log `  N
) )  =  ( ( log `  z
)  /  ( log `  N ) )
9510, 9, 82, 83, 84, 68, 92, 87, 85, 1, 93, 94ostth2lem4 24485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  <  ( F `  N )  /\  (
( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  <_  R ) )
9695simprd 469 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( log `  ( F `  z ) )  / 
( log `  z
) )  <_  R
)
9721adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  e.  RR )
9859adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  ZZ )
9998, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  QQ )
1009, 11abvcl 18062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  A  /\  z  e.  QQ )  ->  ( F `  z
)  e.  RR )
10184, 99, 100syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
1029, 11, 27abvgt0 18066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  A  /\  z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 )  ->  0  <  ( F `  z
) )
10384, 99, 78, 102syl3anc 1271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <  ( F `  z ) )
104101, 103elrpd 11327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR+ )
105104relogcld 23583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  ( F `  z
) )  e.  RR )
10671nnrpd 11328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  RR+ )
107106relogcld 23583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  z )  e.  RR )
108 ef0 14155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( exp `  0 )  =  1
10970simprd 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  z )
110106reeflogd 23584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  ( log `  z
) )  =  z )
111109, 110breqtrrd 4400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  ( exp `  ( log `  z ) ) )
112108, 111syl5eqbr 4407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  0 )  <  ( exp `  ( log `  z
) ) )
113 0re 9629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
114 eflt 14181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( log `  z )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( log `  z )  <->  ( exp `  0 )  <  ( exp `  ( log `  z
) ) ) )
115113, 107, 114sylancr 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 0  <  ( log `  z
)  <->  ( exp `  0
)  <  ( exp `  ( log `  z
) ) ) )
116112, 115mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <  ( log `  z ) )
117116gt0ne0d 10166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  z )  =/=  0
)
118105, 107, 117redivcld 10423 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( log `  ( F `  z ) )  / 
( log `  z
) )  e.  RR )
11997, 118letri3d 9763 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( R  =  ( ( log `  ( F `  z
) )  /  ( log `  z ) )  <-> 
( R  <_  (
( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  /\  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  <_  R ) ) )
12091, 96, 119mpbir2and 933 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  =  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) ) )
121120oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( R  x.  ( log `  z
) )  =  ( ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  x.  ( log `  z
) ) )
122105recnd 9655 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  ( F `  z
) )  e.  CC )
123107recnd 9655 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  z )  e.  CC )
124122, 123, 117divcan1d 10372 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  x.  ( log `  z
) )  =  ( log `  ( F `
 z ) ) )
125121, 124eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( R  x.  ( log `  z
) )  =  ( log `  ( F `
 z ) ) )
126125fveq2d 5851 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  ( R  x.  ( log `  z ) ) )  =  ( exp `  ( log `  ( F `  z )
) ) )
127104reeflogd 23584 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  z )
) )  =  ( F `  z ) )
12881, 126, 1273eqtrd 2489 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( z  ^c  R )  =  ( F `  z ) )
12967, 76, 1283eqtrrd 2490 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  z )  =  ( ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) ) `  z
) )
13010, 9, 2, 58, 129ostthlem1 24476 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^c  R ) ) )
131 oveq2 6283 . . . . 5  |-  ( a  =  R  ->  (
( abs `  y
)  ^c  a )  =  ( ( abs `  y )  ^c  R ) )
132131mpteq2dv 4461 . . . 4  |-  ( a  =  R  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  a ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) ) )
133132eqeq2d 2461 . . 3  |-  ( a  =  R  ->  ( F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^c 
a ) )  <->  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) ) ) )
134133rspcev 3117 . 2  |-  ( ( R  e.  ( 0 (,] 1 )  /\  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^c  R ) ) )  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^c  a ) ) )
13551, 130, 134syl2anc 671 1  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^c  a ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 986    = wceq 1447    e. wcel 1890    =/= wne 2621   E.wrex 2737   ifcif 3848   class class class wbr 4373    |-> cmpt 4432    |` cres 4813   ` cfv 5560  (class class class)co 6275   CCcc 9523   RRcr 9524   0cc0 9525   1c1 9526    x. cmul 9530   RR*cxr 9660    < clt 9661    <_ cle 9662   -ucneg 9847    / cdiv 10257   NNcn 10597   2c2 10647   NN0cn0 10858   ZZcz 10926   ZZ>=cuz 11148   QQcq 11253   RR+crp 11291   (,]cioc 11625   ^cexp 12265   abscabs 13307   expce 14124   Primecprime 14632    pCnt cpc 14796   ↾s cress 15132  AbsValcabv 18054  ℂfldccnfld 18980   logclog 23515    ^c ccxp 23516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1672  ax-4 1685  ax-5 1761  ax-6 1808  ax-7 1854  ax-8 1892  ax-9 1899  ax-10 1918  ax-11 1923  ax-12 1936  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4486  ax-sep 4496  ax-nul 4505  ax-pow 4553  ax-pr 4611  ax-un 6570  ax-inf2 8132  ax-cnex 9581  ax-resscn 9582  ax-1cn 9583  ax-icn 9584  ax-addcl 9585  ax-addrcl 9586  ax-mulcl 9587  ax-mulrcl 9588  ax-mulcom 9589  ax-addass 9590  ax-mulass 9591  ax-distr 9592  ax-i2m1 9593  ax-1ne0 9594  ax-1rid 9595  ax-rnegex 9596  ax-rrecex 9597  ax-cnre 9598  ax-pre-lttri 9599  ax-pre-lttrn 9600  ax-pre-ltadd 9601  ax-pre-mulgt0 9602  ax-pre-sup 9603  ax-addf 9604  ax-mulf 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1450  df-fal 1453  df-ex 1667  df-nf 1671  df-sb 1801  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3014  df-sbc 3235  df-csb 3331  df-dif 3374  df-un 3376  df-in 3378  df-ss 3385  df-pss 3387  df-nul 3699  df-if 3849  df-pw 3920  df-sn 3936  df-pr 3938  df-tp 3940  df-op 3942  df-uni 4168  df-int 4204  df-iun 4249  df-iin 4250  df-br 4374  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4469  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4732  df-so 4733  df-fr 4770  df-se 4771  df-we 4772  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-pred 5358  df-ord 5404  df-on 5405  df-lim 5406  df-suc 5407  df-iota 5524  df-fun 5562  df-fn 5563  df-f 5564  df-f1 5565  df-fo 5566  df-f1o 5567  df-fv 5568  df-isom 5569  df-riota 6237  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6518  df-om 6680  df-1st 6780  df-2nd 6781  df-supp 6902  df-tpos 6959  df-wrecs 7014  df-recs 7076  df-rdg 7114  df-1o 7168  df-2o 7169  df-oadd 7172  df-er 7349  df-map 7460  df-pm 7461  df-ixp 7509  df-en 7556  df-dom 7557  df-sdom 7558  df-fin 7559  df-fsupp 7870  df-fi 7911  df-sup 7942  df-inf 7943  df-oi 8011  df-card 8359  df-cda 8584  df-pnf 9663  df-mnf 9664  df-xr 9665  df-ltxr 9666  df-le 9667  df-sub 9848  df-neg 9849  df-div 10258  df-nn 10598  df-2 10656  df-3 10657  df-4 10658  df-5 10659  df-6 10660  df-7 10661  df-8 10662  df-9 10663  df-10 10664  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-ioc 11629  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11775  df-fzo 11908  df-fl 12021  df-mod 12090  df-seq 12207  df-exp 12266  df-fac 12453  df-bc 12481  df-hash 12509  df-shft 13140  df-cj 13172  df-re 13173  df-im 13174  df-sqrt 13308  df-abs 13309  df-limsup 13536  df-clim 13562  df-rlim 13563  df-sum 13763  df-ef 14131  df-sin 14133  df-cos 14134  df-pi 14136  df-struct 15133  df-ndx 15134  df-slot 15135  df-base 15136  df-sets 15137  df-ress 15138  df-plusg 15213  df-mulr 15214  df-starv 15215  df-sca 15216  df-vsca 15217  df-ip 15218  df-tset 15219  df-ple 15220  df-ds 15222  df-unif 15223  df-hom 15224  df-cco 15225  df-rest 15331  df-topn 15332  df-0g 15350  df-gsum 15351  df-topgen 15352  df-pt 15353  df-prds 15356  df-xrs 15410  df-qtop 15416  df-imas 15417  df-xps 15420  df-mre 15502  df-mrc 15503  df-acs 15505  df-mgm 16498  df-sgrp 16537  df-mnd 16547  df-submnd 16593  df-grp 16683  df-minusg 16684  df-mulg 16686  df-subg 16824  df-cntz 16981  df-cmn 17442  df-mgp 17734  df-ur 17746  df-ring 17792  df-cring 17793  df-oppr 17861  df-dvdsr 17879  df-unit 17880  df-invr 17910  df-dvr 17921  df-drng 17987  df-subrg 18016  df-abv 18055  df-psmet 18972  df-xmet 18973  df-met 18974  df-bl 18975  df-mopn 18976  df-fbas 18977  df-fg 18978  df-cnfld 18981  df-top 19931  df-bases 19932  df-topon 19933  df-topsp 19934  df-cld 20044  df-ntr 20045  df-cls 20046  df-nei 20124  df-lp 20162  df-perf 20163  df-cn 20253  df-cnp 20254  df-haus 20341  df-tx 20587  df-hmeo 20780  df-fil 20871  df-fm 20963  df-flim 20964  df-flf 20965  df-xms 21345  df-ms 21346  df-tms 21347  df-cncf 21920  df-limc 22832  df-dv 22833  df-log 23517  df-cxp 23518
This theorem is referenced by:  ostth  24488
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