Theorem ostth2 22845

Description: - Lemma for ostth 22847: regular case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )
padic.j	|- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
ostth.k	|- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
ostth.1	|- ( ph -> F e. A )
ostth2.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
ostth2.3	|- ( ph -> 1 < ( F ` N ) )
ostth2.4	|- R = ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) )

Assertion

Ref	Expression
ostth2	|- ( ph -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) )

Distinct variable groups:   q, a, x, y, ph   J, a, y   A, a, q, x, y   x, N, y   x, Q, y   F, a, q, y   R, a, q, y   x, F

Allowed substitution hints:   Q( q, a)   R( x)   J( x, q)   K( x, y, q, a)   N( q, a)

Proof of Theorem ostth2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth2.4	. . . . 5 |- R = ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) )
2		ostth.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. A )
3		ostth2.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4		eluz2b2 10923	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
5	3, 4	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
6	5	simpld 456	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
7		nnq 10962	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. QQ )
9		qabsabv.a	. . . . . . . . 9 |- A = (AbsVal ` Q )
10		qrng.q	. . . . . . . . . 10 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
11	10	qrngbas 22827	. . . . . . . . 9 |- QQ = ( Base ` Q )
12	9, 11	abvcl 16889	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ N e. QQ ) -> ( F ` N ) e. RR )
13	2, 8, 12	syl2anc 656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
14		ostth2.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( F ` N ) )
15	13, 14	rplogcld 22037	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) e. RR+ )
16	6	nnred 10333	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. RR )
17	5	simprd 460	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < N )
18	16, 17	rplogcld 22037	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` N ) e. RR+ )
19	15, 18	rpdivcld 11040	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) ) e. RR+ )
20	1, 19	syl5eqel 2525	. . . 4 |- ( ph -> R e. RR+ )
21	20	rpred 11023	. . 3 |- ( ph -> R e. RR )
22	20	rpgt0d 11026	. . 3 |- ( ph -> 0 < R )
23	6	nnnn0d 10632	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN0 )
24	10, 9	qabvle 22833	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ N e. NN0 ) -> ( F ` N ) <_ N )
25	2, 23, 24	syl2anc 656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ N )
26	6	nnne0d 10362	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N =/= 0 )
27	10	qrng0 22829	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 = ( 0g ` Q )
28	9, 11, 27	abvgt0 16893	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. A /\ N e. QQ /\ N =/= 0 ) -> 0 < ( F ` N ) )
29	2, 8, 26, 28	syl3anc 1213	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( F ` N ) )
30	13, 29	elrpd 11021	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR+ )
31	30	reeflogd 22032	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) = ( F ` N ) )
32	6	nnrpd 11022	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR+ )
33	32	reeflogd 22032	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` N ) ) = N )
34	25, 31, 33	3brtr4d 4319	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) <_ ( exp ` ( log ` N ) ) )
35	15	rpred 11023	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) e. RR )
36	32	relogcld 22031	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` N ) e. RR )
37		efle 13398	. . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` ( F ` N ) ) e. RR /\ ( log ` N ) e. RR ) -> ( ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( log ` N ) <-> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) <_ ( exp ` ( log ` N ) ) ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( log ` N ) <-> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) <_ ( exp ` ( log ` N ) ) ) )
39	34, 38	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( log ` N ) )
40	18	rpcnd 11025	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` N ) e. CC )
41	40	mulid1d 9399	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. 1 ) = ( log ` N ) )
42	39, 41	breqtrrd 4315	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( ( log ` N ) x. 1 ) )
43		1red 9397	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
44	35, 43, 18	ledivmuld 11072	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) ) <_ 1 <-> ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( ( log ` N ) x. 1 ) ) )
45	42, 44	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) ) <_ 1 )
46	1, 45	syl5eqbr 4322	. . 3 |- ( ph -> R <_ 1 )
47		0xr 9426	. . . 4 |- 0 e. RR*
48		1re 9381	. . . 4 |- 1 e. RR
49		elioc2 11354	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( R e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ 1 ) ) )
50	47, 48, 49	mp2an 667	. . 3 |- ( R e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ 1 ) )
51	21, 22, 46, 50	syl3anbrc 1167	. 2 |- ( ph -> R e. ( 0 (,] 1 ) )
52	10, 9	qabsabv 22837	. . . 4 |- ( abs |` QQ ) e. A
53		fvres 5701	. . . . . . . 8 |- ( y e. QQ -> ( ( abs |` QQ ) ` y ) = ( abs ` y ) )
54	53	oveq1d 6105	. . . . . . 7 |- ( y e. QQ -> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^c R ) = ( ( abs ` y ) ^c R ) )
55	54	mpteq2ia 4371	. . . . . 6 |- ( y e. QQ |-> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^c R ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) )
56	55	eqcomi 2445	. . . . 5 |- ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^c R ) )
57	9, 11, 56	abvcxp 22823	. . . 4 |- ( ( ( abs |` QQ ) e. A /\ R e. ( 0 (,] 1 ) ) -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) e. A )
58	52, 51, 57	sylancr 658	. . 3 |- ( ph -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) e. A )
59		eluzelz 10866	. . . . . 6 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. ZZ )
60		zq 10955	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ -> z e. QQ )
61		fveq2 5688	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( abs ` y ) = ( abs ` z ) )
62	61	oveq1d 6105	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( abs ` y ) ^c R ) = ( ( abs ` z ) ^c R ) )
63		eqid 2441	. . . . . . 7 |- ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) )
64		ovex 6115	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` z ) ^c R ) e. _V
65	62, 63, 64	fvmpt 5771	. . . . . 6 |- ( z e. QQ -> ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ` z ) = ( ( abs ` z ) ^c R ) )
66	59, 60, 65	3syl 20	. . . . 5 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ` z ) = ( ( abs ` z ) ^c R ) )
67	66	adantl 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ` z ) = ( ( abs ` z ) ^c R ) )
68		simpr 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
69		eluz2b2 10923	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( z e. NN /\ 1 < z ) )
70	68, 69	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z e. NN /\ 1 < z ) )
71	70	simpld 456	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. NN )
72	71	nnred 10333	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. RR )
73	71	nnnn0d 10632	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. NN0 )
74	73	nn0ge0d 10635	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 <_ z )
75	72, 74	absidd 12905	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( abs ` z ) = z )
76	75	oveq1d 6105	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) ^c R ) = ( z ^c R ) )
77	72	recnd 9408	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. CC )
78	71	nnne0d 10362	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z =/= 0 )
79	20	rpcnd 11025	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. CC )
80	79	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R e. CC )
81	77, 78, 80	cxpefd 22116	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z ^c R ) = ( exp ` ( R x. ( log ` z ) ) ) )
82		padic.j	. . . . . . . . . . 11 |- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
83		ostth.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
84	2	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> F e. A )
85	3	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
86	14	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < ( F ` N ) )
87		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) = ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) )
88		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( F ` z ) <_ 1 , 1 , ( F ` z ) ) = if ( ( F ` z ) <_ 1 , 1 , ( F ` z ) )
89		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` N ) / ( log ` z ) ) = ( ( log ` N ) / ( log ` z ) )
90	10, 9, 82, 83, 84, 85, 86, 1, 68, 87, 88, 89	ostth2lem4 22844	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 < ( F ` z ) /\ R <_ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) ) )
91	90	simprd 460	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R <_ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) )
92	90	simpld 456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < ( F ` z ) )
93		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( F ` N ) <_ 1 , 1 , ( F ` N ) ) = if ( ( F ` N ) <_ 1 , 1 , ( F ` N ) )
94		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` z ) / ( log ` N ) ) = ( ( log ` z ) / ( log ` N ) )
95	10, 9, 82, 83, 84, 68, 92, 87, 85, 1, 93, 94	ostth2lem4 22844	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 < ( F ` N ) /\ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <_ R ) )
96	95	simprd 460	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <_ R )
97	21	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R e. RR )
98	59	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. ZZ )
99	98, 60	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. QQ )
100	9, 11	abvcl 16889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. A /\ z e. QQ ) -> ( F ` z ) e. RR )
101	84, 99, 100	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( F ` z ) e. RR )
102	9, 11, 27	abvgt0 16893	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. A /\ z e. QQ /\ z =/= 0 ) -> 0 < ( F ` z ) )
103	84, 99, 78, 102	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 < ( F ` z ) )
104	101, 103	elrpd 11021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( F ` z ) e. RR+ )
105	104	relogcld 22031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` ( F ` z ) ) e. RR )
106	71	nnrpd 11022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. RR+ )
107	106	relogcld 22031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` z ) e. RR )
108		ef0 13372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( exp ` 0 ) = 1
109	70	simprd 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < z )
110	106	reeflogd 22032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` ( log ` z ) ) = z )
111	109, 110	breqtrrd 4315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < ( exp ` ( log ` z ) ) )
112	108, 111	syl5eqbr 4322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` 0 ) < ( exp ` ( log ` z ) ) )
113		0re 9382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
114		eflt 13397	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ ( log ` z ) e. RR ) -> ( 0 < ( log ` z ) <-> ( exp ` 0 ) < ( exp ` ( log ` z ) ) ) )
115	113, 107, 114	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 0 < ( log ` z ) <-> ( exp ` 0 ) < ( exp ` ( log ` z ) ) ) )
116	112, 115	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 < ( log ` z ) )
117	116	gt0ne0d 9900	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` z ) =/= 0 )
118	105, 107, 117	redivcld 10155	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) e. RR )
119	97, 118	letri3d 9512	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R = ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <-> ( R <_ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) /\ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <_ R ) ) )
120	91, 96, 119	mpbir2and 908	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R = ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) )
121	120	oveq1d 6105	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R x. ( log ` z ) ) = ( ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) x. ( log ` z ) ) )
122	105	recnd 9408	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` ( F ` z ) ) e. CC )
123	107	recnd 9408	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` z ) e. CC )
124	122, 123, 117	divcan1d 10104	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) x. ( log ` z ) ) = ( log ` ( F ` z ) ) )
125	121, 124	eqtrd 2473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R x. ( log ` z ) ) = ( log ` ( F ` z ) ) )
126	125	fveq2d 5692	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` ( R x. ( log ` z ) ) ) = ( exp ` ( log ` ( F ` z ) ) ) )
127	104	reeflogd 22032	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` ( log ` ( F ` z ) ) ) = ( F ` z ) )
128	81, 126, 127	3eqtrd 2477	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z ^c R ) = ( F ` z ) )
129	67, 76, 128	3eqtrrd 2478	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( F ` z ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ` z ) )
130	10, 9, 2, 58, 129	ostthlem1 22835	. 2 |- ( ph -> F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) )
131		oveq2 6098	. . . . 5 |- ( a = R -> ( ( abs ` y ) ^c a ) = ( ( abs ` y ) ^c R ) )
132	131	mpteq2dv 4376	. . . 4 |- ( a = R -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) )
133	132	eqeq2d 2452	. . 3 |- ( a = R -> ( F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) <-> F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ) )
134	133	rspcev 3070	. 2 |- ( ( R e. ( 0 (,] 1 ) /\ F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ) -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) )
135	51, 130, 134	syl2anc 656	1 |- ( ph -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   E.wrex 2714   ifcif 3788   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   |` cres 4838   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   x. cmul 9283   RR*cxr 9413   < clt 9414   <_ cle 9415   -ucneg 9592   / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   QQcq 10949   RR+crp 10987   (,]cioc 11297   ^cexp 11861   abscabs 12719   expce 13343   Primecprime 13759   pCnt cpc 13899   ↾_s cress 14171  AbsValcabv 16881  ℂ_fldccnfld 17777   logclog 21965   ^c ccxp 21966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-drng 16814  df-subrg 16843  df-abv 16882  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-cxp 21968

This theorem is referenced by:  ostth  22847