Theorem ostth2 22898

Description: - Lemma for ostth 22900: regular case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )
padic.j	|- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
ostth.k	|- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
ostth.1	|- ( ph -> F e. A )
ostth2.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
ostth2.3	|- ( ph -> 1 < ( F ` N ) )
ostth2.4	|- R = ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) )

Assertion

Ref	Expression
ostth2	|- ( ph -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) )

Distinct variable groups:   q, a, x, y, ph   J, a, y   A, a, q, x, y   x, N, y   x, Q, y   F, a, q, y   R, a, q, y   x, F

Allowed substitution hints:   Q( q, a)   R( x)   J( x, q)   K( x, y, q, a)   N( q, a)

Proof of Theorem ostth2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth2.4	. . . . 5 |- R = ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) )
2		ostth.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. A )
3		ostth2.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4		eluz2b2 10939	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
5	3, 4	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
6	5	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
7		nnq 10978	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. QQ )
9		qabsabv.a	. . . . . . . . 9 |- A = (AbsVal ` Q )
10		qrng.q	. . . . . . . . . 10 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
11	10	qrngbas 22880	. . . . . . . . 9 |- QQ = ( Base ` Q )
12	9, 11	abvcl 16921	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ N e. QQ ) -> ( F ` N ) e. RR )
13	2, 8, 12	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
14		ostth2.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( F ` N ) )
15	13, 14	rplogcld 22090	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) e. RR+ )
16	6	nnred 10349	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. RR )
17	5	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < N )
18	16, 17	rplogcld 22090	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` N ) e. RR+ )
19	15, 18	rpdivcld 11056	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) ) e. RR+ )
20	1, 19	syl5eqel 2527	. . . 4 |- ( ph -> R e. RR+ )
21	20	rpred 11039	. . 3 |- ( ph -> R e. RR )
22	20	rpgt0d 11042	. . 3 |- ( ph -> 0 < R )
23	6	nnnn0d 10648	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN0 )
24	10, 9	qabvle 22886	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ N e. NN0 ) -> ( F ` N ) <_ N )
25	2, 23, 24	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ N )
26	6	nnne0d 10378	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N =/= 0 )
27	10	qrng0 22882	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 = ( 0g ` Q )
28	9, 11, 27	abvgt0 16925	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. A /\ N e. QQ /\ N =/= 0 ) -> 0 < ( F ` N ) )
29	2, 8, 26, 28	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( F ` N ) )
30	13, 29	elrpd 11037	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR+ )
31	30	reeflogd 22085	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) = ( F ` N ) )
32	6	nnrpd 11038	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR+ )
33	32	reeflogd 22085	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` N ) ) = N )
34	25, 31, 33	3brtr4d 4334	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) <_ ( exp ` ( log ` N ) ) )
35	15	rpred 11039	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) e. RR )
36	32	relogcld 22084	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` N ) e. RR )
37		efle 13414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` ( F ` N ) ) e. RR /\ ( log ` N ) e. RR ) -> ( ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( log ` N ) <-> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) <_ ( exp ` ( log ` N ) ) ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( log ` N ) <-> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) <_ ( exp ` ( log ` N ) ) ) )
39	34, 38	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( log ` N ) )
40	18	rpcnd 11041	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` N ) e. CC )
41	40	mulid1d 9415	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. 1 ) = ( log ` N ) )
42	39, 41	breqtrrd 4330	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( ( log ` N ) x. 1 ) )
43		1red 9413	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
44	35, 43, 18	ledivmuld 11088	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) ) <_ 1 <-> ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( ( log ` N ) x. 1 ) ) )
45	42, 44	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) ) <_ 1 )
46	1, 45	syl5eqbr 4337	. . 3 |- ( ph -> R <_ 1 )
47		0xr 9442	. . . 4 |- 0 e. RR*
48		1re 9397	. . . 4 |- 1 e. RR
49		elioc2 11370	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( R e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ 1 ) ) )
50	47, 48, 49	mp2an 672	. . 3 |- ( R e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ 1 ) )
51	21, 22, 46, 50	syl3anbrc 1172	. 2 |- ( ph -> R e. ( 0 (,] 1 ) )
52	10, 9	qabsabv 22890	. . . 4 |- ( abs |` QQ ) e. A
53		fvres 5716	. . . . . . . 8 |- ( y e. QQ -> ( ( abs |` QQ ) ` y ) = ( abs ` y ) )
54	53	oveq1d 6118	. . . . . . 7 |- ( y e. QQ -> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^c R ) = ( ( abs ` y ) ^c R ) )
55	54	mpteq2ia 4386	. . . . . 6 |- ( y e. QQ |-> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^c R ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) )
56	55	eqcomi 2447	. . . . 5 |- ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^c R ) )
57	9, 11, 56	abvcxp 22876	. . . 4 |- ( ( ( abs |` QQ ) e. A /\ R e. ( 0 (,] 1 ) ) -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) e. A )
58	52, 51, 57	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) e. A )
59		eluzelz 10882	. . . . . 6 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. ZZ )
60		zq 10971	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ -> z e. QQ )
61		fveq2 5703	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( abs ` y ) = ( abs ` z ) )
62	61	oveq1d 6118	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( abs ` y ) ^c R ) = ( ( abs ` z ) ^c R ) )
63		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) )
64		ovex 6128	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` z ) ^c R ) e. _V
65	62, 63, 64	fvmpt 5786	. . . . . 6 |- ( z e. QQ -> ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ` z ) = ( ( abs ` z ) ^c R ) )
66	59, 60, 65	3syl 20	. . . . 5 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ` z ) = ( ( abs ` z ) ^c R ) )
67	66	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ` z ) = ( ( abs ` z ) ^c R ) )
68		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
69		eluz2b2 10939	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( z e. NN /\ 1 < z ) )
70	68, 69	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z e. NN /\ 1 < z ) )
71	70	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. NN )
72	71	nnred 10349	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. RR )
73	71	nnnn0d 10648	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. NN0 )
74	73	nn0ge0d 10651	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 <_ z )
75	72, 74	absidd 12921	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( abs ` z ) = z )
76	75	oveq1d 6118	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) ^c R ) = ( z ^c R ) )
77	72	recnd 9424	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. CC )
78	71	nnne0d 10378	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z =/= 0 )
79	20	rpcnd 11041	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. CC )
80	79	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R e. CC )
81	77, 78, 80	cxpefd 22169	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z ^c R ) = ( exp ` ( R x. ( log ` z ) ) ) )
82		padic.j	. . . . . . . . . . 11 |- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
83		ostth.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
84	2	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> F e. A )
85	3	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
86	14	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < ( F ` N ) )
87		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) = ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) )
88		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( F ` z ) <_ 1 , 1 , ( F ` z ) ) = if ( ( F ` z ) <_ 1 , 1 , ( F ` z ) )
89		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` N ) / ( log ` z ) ) = ( ( log ` N ) / ( log ` z ) )
90	10, 9, 82, 83, 84, 85, 86, 1, 68, 87, 88, 89	ostth2lem4 22897	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 < ( F ` z ) /\ R <_ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) ) )
91	90	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R <_ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) )
92	90	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < ( F ` z ) )
93		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( F ` N ) <_ 1 , 1 , ( F ` N ) ) = if ( ( F ` N ) <_ 1 , 1 , ( F ` N ) )
94		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` z ) / ( log ` N ) ) = ( ( log ` z ) / ( log ` N ) )
95	10, 9, 82, 83, 84, 68, 92, 87, 85, 1, 93, 94	ostth2lem4 22897	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 < ( F ` N ) /\ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <_ R ) )
96	95	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <_ R )
97	21	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R e. RR )
98	59	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. ZZ )
99	98, 60	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. QQ )
100	9, 11	abvcl 16921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. A /\ z e. QQ ) -> ( F ` z ) e. RR )
101	84, 99, 100	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( F ` z ) e. RR )
102	9, 11, 27	abvgt0 16925	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. A /\ z e. QQ /\ z =/= 0 ) -> 0 < ( F ` z ) )
103	84, 99, 78, 102	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 < ( F ` z ) )
104	101, 103	elrpd 11037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( F ` z ) e. RR+ )
105	104	relogcld 22084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` ( F ` z ) ) e. RR )
106	71	nnrpd 11038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. RR+ )
107	106	relogcld 22084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` z ) e. RR )
108		ef0 13388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( exp ` 0 ) = 1
109	70	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < z )
110	106	reeflogd 22085	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` ( log ` z ) ) = z )
111	109, 110	breqtrrd 4330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < ( exp ` ( log ` z ) ) )
112	108, 111	syl5eqbr 4337	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` 0 ) < ( exp ` ( log ` z ) ) )
113		0re 9398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
114		eflt 13413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ ( log ` z ) e. RR ) -> ( 0 < ( log ` z ) <-> ( exp ` 0 ) < ( exp ` ( log ` z ) ) ) )
115	113, 107, 114	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 0 < ( log ` z ) <-> ( exp ` 0 ) < ( exp ` ( log ` z ) ) ) )
116	112, 115	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 < ( log ` z ) )
117	116	gt0ne0d 9916	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` z ) =/= 0 )
118	105, 107, 117	redivcld 10171	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) e. RR )
119	97, 118	letri3d 9528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R = ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <-> ( R <_ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) /\ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <_ R ) ) )
120	91, 96, 119	mpbir2and 913	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R = ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) )
121	120	oveq1d 6118	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R x. ( log ` z ) ) = ( ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) x. ( log ` z ) ) )
122	105	recnd 9424	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` ( F ` z ) ) e. CC )
123	107	recnd 9424	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` z ) e. CC )
124	122, 123, 117	divcan1d 10120	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) x. ( log ` z ) ) = ( log ` ( F ` z ) ) )
125	121, 124	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R x. ( log ` z ) ) = ( log ` ( F ` z ) ) )
126	125	fveq2d 5707	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` ( R x. ( log ` z ) ) ) = ( exp ` ( log ` ( F ` z ) ) ) )
127	104	reeflogd 22085	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` ( log ` ( F ` z ) ) ) = ( F ` z ) )
128	81, 126, 127	3eqtrd 2479	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z ^c R ) = ( F ` z ) )
129	67, 76, 128	3eqtrrd 2480	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( F ` z ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ` z ) )
130	10, 9, 2, 58, 129	ostthlem1 22888	. 2 |- ( ph -> F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) )
131		oveq2 6111	. . . . 5 |- ( a = R -> ( ( abs ` y ) ^c a ) = ( ( abs ` y ) ^c R ) )
132	131	mpteq2dv 4391	. . . 4 |- ( a = R -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) )
133	132	eqeq2d 2454	. . 3 |- ( a = R -> ( F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) <-> F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ) )
134	133	rspcev 3085	. 2 |- ( ( R e. ( 0 (,] 1 ) /\ F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ) -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) )
135	51, 130, 134	syl2anc 661	1 |- ( ph -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2618   E.wrex 2728   ifcif 3803   class class class wbr 4304   e. cmpt 4362   |` cres 4854   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295   x. cmul 9299   RR*cxr 9429   < clt 9430   <_ cle 9431   -ucneg 9608   / cdiv 10005   NNcn 10334   2c2 10383   NN0cn0 10591   ZZcz 10658   ZZ>=cuz 10873   QQcq 10965   RR+crp 11003   (,]cioc 11313   ^cexp 11877   abscabs 12735   expce 13359   Primecprime 13775   pCnt cpc 13915   ↾_s cress 14187  AbsValcabv 16913  ℂ_fldccnfld 17830   logclog 22018   ^c ccxp 22019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-tpos 6757  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ioc 11317  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-fac 12064  df-bc 12091  df-hash 12116  df-shft 12568  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-limsup 12961  df-clim 12978  df-rlim 12979  df-sum 13176  df-ef 13365  df-sin 13367  df-cos 13368  df-pi 13370  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-mulg 15560  df-subg 15690  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-cring 16660  df-oppr 16727  df-dvdsr 16745  df-unit 16746  df-invr 16776  df-dvr 16787  df-drng 16846  df-subrg 16875  df-abv 16914  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-lp 18752  df-perf 18753  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-haus 18931  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-cncf 20466  df-limc 21353  df-dv 21354  df-log 22020  df-cxp 22021

This theorem is referenced by:  ostth  22900