Theorem ostth2 21284

Description: - Lemma for ostth 21286: regular case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )
padic.j	|- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
ostth.k	|- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
ostth.1	|- ( ph -> F e. A )
ostth2.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
ostth2.3	|- ( ph -> 1 < ( F ` N ) )
ostth2.4	|- R = ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) )

Assertion

Ref	Expression
ostth2	|- ( ph -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c a ) ) )

Distinct variable groups:   q, a, x, y, ph   J, a, y   A, a, q, x, y   x, N, y   x, Q, y   F, a, q, y   R, a, q, y   x, F

Allowed substitution hints:   Q( q, a)   R( x)   J( x, q)   K( x, y, q, a)   N( q, a)

Proof of Theorem ostth2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth2.4	. . . . 5 |- R = ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) )
2		ostth.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. A )
3		ostth2.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4		eluz2b2 10504	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
5	3, 4	sylib 189	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
6	5	simpld 446	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
7		nnq 10543	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. QQ )
9		qabsabv.a	. . . . . . . . 9 |- A = (AbsVal ` Q )
10		qrng.q	. . . . . . . . . 10 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
11	10	qrngbas 21266	. . . . . . . . 9 |- QQ = ( Base ` Q )
12	9, 11	abvcl 15867	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ N e. QQ ) -> ( F ` N ) e. RR )
13	2, 8, 12	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
14		ostth2.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( F ` N ) )
15	13, 14	rplogcld 20477	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) e. RR+ )
16	6	nnred 9971	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. RR )
17	5	simprd 450	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < N )
18	16, 17	rplogcld 20477	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` N ) e. RR+ )
19	15, 18	rpdivcld 10621	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) ) e. RR+ )
20	1, 19	syl5eqel 2488	. . . 4 |- ( ph -> R e. RR+ )
21	20	rpred 10604	. . 3 |- ( ph -> R e. RR )
22	20	rpgt0d 10607	. . 3 |- ( ph -> 0 < R )
23	6	nnnn0d 10230	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN0 )
24	10, 9	qabvle 21272	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ N e. NN0 ) -> ( F ` N ) <_ N )
25	2, 23, 24	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ N )
26	6	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N =/= 0 )
27	10	qrng0 21268	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 = ( 0g ` Q )
28	9, 11, 27	abvgt0 15871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. A /\ N e. QQ /\ N =/= 0 ) -> 0 < ( F ` N ) )
29	2, 8, 26, 28	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( F ` N ) )
30	13, 29	elrpd 10602	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR+ )
31	30	reeflogd 20472	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) = ( F ` N ) )
32	6	nnrpd 10603	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR+ )
33	32	reeflogd 20472	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` N ) ) = N )
34	25, 31, 33	3brtr4d 4202	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) <_ ( exp ` ( log ` N ) ) )
35	15	rpred 10604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) e. RR )
36	32	relogcld 20471	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` N ) e. RR )
37		efle 12674	. . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` ( F ` N ) ) e. RR /\ ( log ` N ) e. RR ) -> ( ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( log ` N ) <-> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) <_ ( exp ` ( log ` N ) ) ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( log ` N ) <-> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) <_ ( exp ` ( log ` N ) ) ) )
39	34, 38	mpbird 224	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( log ` N ) )
40	18	rpcnd 10606	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` N ) e. CC )
41	40	mulid1d 9061	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. 1 ) = ( log ` N ) )
42	39, 41	breqtrrd 4198	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( ( log ` N ) x. 1 ) )
43		1re 9046	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
44	43	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
45	35, 44, 18	ledivmuld 10653	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) ) <_ 1 <-> ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( ( log ` N ) x. 1 ) ) )
46	42, 45	mpbird 224	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) ) <_ 1 )
47	1, 46	syl5eqbr 4205	. . 3 |- ( ph -> R <_ 1 )
48		0xr 9087	. . . 4 |- 0 e. RR*
49		elioc2 10929	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( R e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ 1 ) ) )
50	48, 43, 49	mp2an 654	. . 3 |- ( R e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ 1 ) )
51	21, 22, 47, 50	syl3anbrc 1138	. 2 |- ( ph -> R e. ( 0 (,] 1 ) )
52	10, 9	qabsabv 21276	. . . 4 |- ( abs |` QQ ) e. A
53		fvres 5704	. . . . . . . 8 |- ( y e. QQ -> ( ( abs |` QQ ) ` y ) = ( abs ` y ) )
54	53	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( y e. QQ -> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^ c R ) = ( ( abs ` y ) ^ c R ) )
55	54	mpteq2ia 4251	. . . . . 6 |- ( y e. QQ |-> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^ c R ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c R ) )
56	55	eqcomi 2408	. . . . 5 |- ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c R ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^ c R ) )
57	9, 11, 56	abvcxp 21262	. . . 4 |- ( ( ( abs |` QQ ) e. A /\ R e. ( 0 (,] 1 ) ) -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c R ) ) e. A )
58	52, 51, 57	sylancr 645	. . 3 |- ( ph -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c R ) ) e. A )
59		eluzelz 10452	. . . . . 6 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. ZZ )
60		zq 10536	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ -> z e. QQ )
61		fveq2 5687	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( abs ` y ) = ( abs ` z ) )
62	61	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( abs ` y ) ^ c R ) = ( ( abs ` z ) ^ c R ) )
63		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c R ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c R ) )
64		ovex 6065	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` z ) ^ c R ) e. _V
65	62, 63, 64	fvmpt 5765	. . . . . 6 |- ( z e. QQ -> ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c R ) ) ` z ) = ( ( abs ` z ) ^ c R ) )
66	59, 60, 65	3syl 19	. . . . 5 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c R ) ) ` z ) = ( ( abs ` z ) ^ c R ) )
67	66	adantl 453	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c R ) ) ` z ) = ( ( abs ` z ) ^ c R ) )
68		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
69		eluz2b2 10504	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( z e. NN /\ 1 < z ) )
70	68, 69	sylib 189	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z e. NN /\ 1 < z ) )
71	70	simpld 446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. NN )
72	71	nnred 9971	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. RR )
73	71	nnnn0d 10230	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. NN0 )
74	73	nn0ge0d 10233	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 <_ z )
75	72, 74	absidd 12180	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( abs ` z ) = z )
76	75	oveq1d 6055	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) ^ c R ) = ( z ^ c R ) )
77	72	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. CC )
78	71	nnne0d 10000	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z =/= 0 )
79	20	rpcnd 10606	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. CC )
80	79	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R e. CC )
81	77, 78, 80	cxpefd 20556	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z ^ c R ) = ( exp ` ( R x. ( log ` z ) ) ) )
82		padic.j	. . . . . . . . . . 11 |- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
83		ostth.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
84	2	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> F e. A )
85	3	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
86	14	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < ( F ` N ) )
87		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) = ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) )
88		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( F ` z ) <_ 1 , 1 , ( F ` z ) ) = if ( ( F ` z ) <_ 1 , 1 , ( F ` z ) )
89		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` N ) / ( log ` z ) ) = ( ( log ` N ) / ( log ` z ) )
90	10, 9, 82, 83, 84, 85, 86, 1, 68, 87, 88, 89	ostth2lem4 21283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 < ( F ` z ) /\ R <_ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) ) )
91	90	simprd 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R <_ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) )
92	90	simpld 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < ( F ` z ) )
93		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( F ` N ) <_ 1 , 1 , ( F ` N ) ) = if ( ( F ` N ) <_ 1 , 1 , ( F ` N ) )
94		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` z ) / ( log ` N ) ) = ( ( log ` z ) / ( log ` N ) )
95	10, 9, 82, 83, 84, 68, 92, 87, 85, 1, 93, 94	ostth2lem4 21283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 < ( F ` N ) /\ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <_ R ) )
96	95	simprd 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <_ R )
97	21	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R e. RR )
98	59	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. ZZ )
99	98, 60	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. QQ )
100	9, 11	abvcl 15867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. A /\ z e. QQ ) -> ( F ` z ) e. RR )
101	84, 99, 100	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( F ` z ) e. RR )
102	9, 11, 27	abvgt0 15871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. A /\ z e. QQ /\ z =/= 0 ) -> 0 < ( F ` z ) )
103	84, 99, 78, 102	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 < ( F ` z ) )
104	101, 103	elrpd 10602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( F ` z ) e. RR+ )
105	104	relogcld 20471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` ( F ` z ) ) e. RR )
106	71	nnrpd 10603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. RR+ )
107	106	relogcld 20471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` z ) e. RR )
108		ef0 12648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( exp ` 0 ) = 1
109	70	simprd 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < z )
110	106	reeflogd 20472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` ( log ` z ) ) = z )
111	109, 110	breqtrrd 4198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < ( exp ` ( log ` z ) ) )
112	108, 111	syl5eqbr 4205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` 0 ) < ( exp ` ( log ` z ) ) )
113		0re 9047	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
114		eflt 12673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ ( log ` z ) e. RR ) -> ( 0 < ( log ` z ) <-> ( exp ` 0 ) < ( exp ` ( log ` z ) ) ) )
115	113, 107, 114	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 0 < ( log ` z ) <-> ( exp ` 0 ) < ( exp ` ( log ` z ) ) ) )
116	112, 115	mpbird 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 < ( log ` z ) )
117	116	gt0ne0d 9547	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` z ) =/= 0 )
118	105, 107, 117	redivcld 9798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) e. RR )
119	97, 118	letri3d 9171	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R = ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <-> ( R <_ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) /\ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <_ R ) ) )
120	91, 96, 119	mpbir2and 889	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R = ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) )
121	120	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R x. ( log ` z ) ) = ( ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) x. ( log ` z ) ) )
122	105	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` ( F ` z ) ) e. CC )
123	107	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` z ) e. CC )
124	122, 123, 117	divcan1d 9747	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) x. ( log ` z ) ) = ( log ` ( F ` z ) ) )
125	121, 124	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R x. ( log ` z ) ) = ( log ` ( F ` z ) ) )
126	125	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` ( R x. ( log ` z ) ) ) = ( exp ` ( log ` ( F ` z ) ) ) )
127	104	reeflogd 20472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` ( log ` ( F ` z ) ) ) = ( F ` z ) )
128	81, 126, 127	3eqtrd 2440	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z ^ c R ) = ( F ` z ) )
129	67, 76, 128	3eqtrrd 2441	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( F ` z ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c R ) ) ` z ) )
130	10, 9, 2, 58, 129	ostthlem1 21274	. 2 |- ( ph -> F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c R ) ) )
131		oveq2 6048	. . . . 5 |- ( a = R -> ( ( abs ` y ) ^ c a ) = ( ( abs ` y ) ^ c R ) )
132	131	mpteq2dv 4256	. . . 4 |- ( a = R -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c a ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c R ) ) )
133	132	eqeq2d 2415	. . 3 |- ( a = R -> ( F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c a ) ) <-> F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c R ) ) ) )
134	133	rspcev 3012	. 2 |- ( ( R e. ( 0 (,] 1 ) /\ F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c R ) ) ) -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c a ) ) )
135	51, 130, 134	syl2anc 643	1 |- ( ph -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^ c a ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   E.wrex 2667   ifcif 3699   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   |` cres 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   x. cmul 8951   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   -ucneg 9248   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   QQcq 10530   RR+crp 10568   (,]cioc 10873   ^cexp 11337   abscabs 11994   expce 12619   Primecprime 13034   pCnt cpc 13165   ↾_s cress 13425  AbsValcabv 15859  ℂ_fldccnfld 16658   logclog 20405   ^ c ccxp 20406

This theorem is referenced by:  ostth  21286

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-abv 15860  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408