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Theorem ostth2 23566
Description: - Lemma for ostth 23568: regular case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
Assertion
Ref Expression
ostth2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^c  a ) ) )
Distinct variable groups:    q, a, x, y, ph    J, a, y    A, a, q, x, y   
x, N, y    x, Q, y    F, a, q, y    R, a, q, y   
x, F
Allowed substitution hints:    Q( q, a)    R( x)    J( x, q)    K( x, y, q, a)    N( q, a)

Proof of Theorem ostth2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.4 . . . . 5  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
2 ostth.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
3 ostth2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4 eluz2b2 11153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
53, 4sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
65simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 nnq 11194 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
9 qabsabv.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
10 qrng.q . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  (flds  QQ )
1110qrngbas 23548 . . . . . . . . 9  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
129, 11abvcl 17268 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ )  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
132, 8, 12syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
14 ostth2.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
1513, 14rplogcld 22758 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR+ )
166nnred 10550 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
175simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  N )
1816, 17rplogcld 22758 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR+ )
1915, 18rpdivcld 11272 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )  e.  RR+ )
201, 19syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
2120rpred 11255 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
2220rpgt0d 11258 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  R )
236nnnn0d 10851 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2410, 9qabvle 23554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( F `  N
)  <_  N )
252, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  N )
266nnne0d 10579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
2710qrng0 23550 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  =  ( 0g `  Q )
289, 11, 27abvgt0 17272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ  /\  N  =/=  0 )  ->  0  <  ( F `  N
) )
292, 8, 26, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 N ) )
3013, 29elrpd 11253 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR+ )
3130reeflogd 22753 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  =  ( F `  N ) )
326nnrpd 11254 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
3332reeflogd 22753 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  N ) )  =  N )
3425, 31, 333brtr4d 4477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  N ) ) )
3515rpred 11255 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR )
3632relogcld 22752 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
37 efle 13713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR  /\  ( log `  N )  e.  RR )  -> 
( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( log `  N )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( log `  N
) ) ) )
3835, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( log `  N )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( log `  N
) ) ) )
3934, 38mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( log `  N ) )
4018rpcnd 11257 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
4140mulid1d 9612 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  1 )  =  ( log `  N
) )
4239, 41breqtrrd 4473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  1 ) )
43 1red 9610 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
4435, 43, 18ledivmuld 11304 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( F `  N
) )  /  ( log `  N ) )  <_  1  <->  ( log `  ( F `  N
) )  <_  (
( log `  N
)  x.  1 ) ) )
4542, 44mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )  <_ 
1 )
461, 45syl5eqbr 4480 . . 3  |-  ( ph  ->  R  <_  1 )
47 0xr 9639 . . . 4  |-  0  e.  RR*
48 1re 9594 . . . 4  |-  1  e.  RR
49 elioc2 11586 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( R  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( R  e.  RR  /\  0  < 
R  /\  R  <_  1 ) ) )
5047, 48, 49mp2an 672 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( R  e.  RR  /\  0  < 
R  /\  R  <_  1 ) )
5121, 22, 46, 50syl3anbrc 1180 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  ( 0 (,] 1 ) )
5210, 9qabsabv 23558 . . . 4  |-  ( abs  |`  QQ )  e.  A
53 fvres 5879 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  QQ  ->  (
( abs  |`  QQ ) `
 y )  =  ( abs `  y
) )
5453oveq1d 6298 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  QQ  ->  (
( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^c  R )  =  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) )
5554mpteq2ia 4529 . . . . . 6  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^c  R ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) )
5655eqcomi 2480 . . . . 5  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^c  R ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^c  R ) )
579, 11, 56abvcxp 23544 . . . 4  |-  ( ( ( abs  |`  QQ )  e.  A  /\  R  e.  ( 0 (,] 1
) )  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) )  e.  A
)
5852, 51, 57sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) )  e.  A
)
59 eluzelz 11090 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  ZZ )
60 zq 11187 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  QQ )
61 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  z
) )
6261oveq1d 6298 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  y
)  ^c  R )  =  ( ( abs `  z )  ^c  R ) )
63 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^c  R ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^c  R ) )
64 ovex 6308 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  z )  ^c  R )  e.  _V
6562, 63, 64fvmpt 5949 . . . . . 6  |-  ( z  e.  QQ  ->  (
( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) ) `  z
)  =  ( ( abs `  z )  ^c  R ) )
6659, 60, 653syl 20 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) ) `  z
)  =  ( ( abs `  z )  ^c  R ) )
6766adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) ) `  z
)  =  ( ( abs `  z )  ^c  R ) )
68 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
69 eluz2b2 11153 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( z  e.  NN  /\  1  < 
z ) )
7068, 69sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( z  e.  NN  /\  1  < 
z ) )
7170simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  NN )
7271nnred 10550 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  RR )
7371nnnn0d 10851 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  NN0 )
7473nn0ge0d 10854 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <_  z )
7572, 74absidd 13216 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( abs `  z )  =  z )
7675oveq1d 6298 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( abs `  z )  ^c  R )  =  ( z  ^c  R ) )
7772recnd 9621 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  CC )
7871nnne0d 10579 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  =/=  0 )
7920rpcnd 11257 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
8079adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  e.  CC )
8177, 78, 80cxpefd 22837 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( z  ^c  R )  =  ( exp `  ( R  x.  ( log `  z ) ) ) )
82 padic.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
83 ostth.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
842adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  F  e.  A )
853adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
8614adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  ( F `  N ) )
87 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  ( F `
 z ) )  /  ( log `  z
) )  =  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )
88 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( F `  z
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 z ) )  =  if ( ( F `  z )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  z ) )
89 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  N )  /  ( log `  z
) )  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  z ) )
9010, 9, 82, 83, 84, 85, 86, 1, 68, 87, 88, 89ostth2lem4 23565 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  <  ( F `  z )  /\  R  <_  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) ) ) )
9190simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  <_  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) ) )
9290simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  ( F `  z ) )
93 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( F `  N
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 N ) )  =  if ( ( F `  N )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  N ) )
94 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  z )  /  ( log `  N
) )  =  ( ( log `  z
)  /  ( log `  N ) )
9510, 9, 82, 83, 84, 68, 92, 87, 85, 1, 93, 94ostth2lem4 23565 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  <  ( F `  N )  /\  (
( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  <_  R ) )
9695simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( log `  ( F `  z ) )  / 
( log `  z
) )  <_  R
)
9721adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  e.  RR )
9859adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  ZZ )
9998, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  QQ )
1009, 11abvcl 17268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  A  /\  z  e.  QQ )  ->  ( F `  z
)  e.  RR )
10184, 99, 100syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
1029, 11, 27abvgt0 17272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  A  /\  z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 )  ->  0  <  ( F `  z
) )
10384, 99, 78, 102syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <  ( F `  z ) )
104101, 103elrpd 11253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR+ )
105104relogcld 22752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  ( F `  z
) )  e.  RR )
10671nnrpd 11254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  RR+ )
107106relogcld 22752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  z )  e.  RR )
108 ef0 13687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( exp `  0 )  =  1
10970simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  z )
110106reeflogd 22753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  ( log `  z
) )  =  z )
111109, 110breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  ( exp `  ( log `  z ) ) )
112108, 111syl5eqbr 4480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  0 )  <  ( exp `  ( log `  z
) ) )
113 0re 9595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
114 eflt 13712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( log `  z )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( log `  z )  <->  ( exp `  0 )  <  ( exp `  ( log `  z
) ) ) )
115113, 107, 114sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 0  <  ( log `  z
)  <->  ( exp `  0
)  <  ( exp `  ( log `  z
) ) ) )
116112, 115mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <  ( log `  z ) )
117116gt0ne0d 10116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  z )  =/=  0
)
118105, 107, 117redivcld 10371 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( log `  ( F `  z ) )  / 
( log `  z
) )  e.  RR )
11997, 118letri3d 9725 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( R  =  ( ( log `  ( F `  z
) )  /  ( log `  z ) )  <-> 
( R  <_  (
( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  /\  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  <_  R ) ) )
12091, 96, 119mpbir2and 920 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  =  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) ) )
121120oveq1d 6298 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( R  x.  ( log `  z
) )  =  ( ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  x.  ( log `  z
) ) )
122105recnd 9621 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  ( F `  z
) )  e.  CC )
123107recnd 9621 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  z )  e.  CC )
124122, 123, 117divcan1d 10320 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  x.  ( log `  z
) )  =  ( log `  ( F `
 z ) ) )
125121, 124eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( R  x.  ( log `  z
) )  =  ( log `  ( F `
 z ) ) )
126125fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  ( R  x.  ( log `  z ) ) )  =  ( exp `  ( log `  ( F `  z )
) ) )
127104reeflogd 22753 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  z )
) )  =  ( F `  z ) )
12881, 126, 1273eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( z  ^c  R )  =  ( F `  z ) )
12967, 76, 1283eqtrrd 2513 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  z )  =  ( ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) ) `  z
) )
13010, 9, 2, 58, 129ostthlem1 23556 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^c  R ) ) )
131 oveq2 6291 . . . . 5  |-  ( a  =  R  ->  (
( abs `  y
)  ^c  a )  =  ( ( abs `  y )  ^c  R ) )
132131mpteq2dv 4534 . . . 4  |-  ( a  =  R  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  a ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) ) )
133132eqeq2d 2481 . . 3  |-  ( a  =  R  ->  ( F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^c 
a ) )  <->  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^c  R ) ) ) )
134133rspcev 3214 . 2  |-  ( ( R  e.  ( 0 (,] 1 )  /\  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^c  R ) ) )  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^c  a ) ) )
13551, 130, 134syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^c  a ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    |` cres 5001   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492    x. cmul 9496   RR*cxr 9626    < clt 9627    <_ cle 9628   -ucneg 9805    / cdiv 10205   NNcn 10535   2c2 10584   NN0cn0 10794   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081   QQcq 11181   RR+crp 11219   (,]cioc 11529   ^cexp 12133   abscabs 13029   expce 13658   Primecprime 14075    pCnt cpc 14218   ↾s cress 14490  AbsValcabv 17260  ℂfldccnfld 18207   logclog 22686    ^c ccxp 22687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-ioc 11533  df-ico 11534  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-mod 11964  df-seq 12075  df-exp 12134  df-fac 12321  df-bc 12348  df-hash 12373  df-shft 12862  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-limsup 13256  df-clim 13273  df-rlim 13274  df-sum 13471  df-ef 13664  df-sin 13666  df-cos 13667  df-pi 13669  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-mulg 15867  df-subg 16000  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-cring 16998  df-oppr 17068  df-dvdsr 17086  df-unit 17087  df-invr 17117  df-dvr 17128  df-drng 17193  df-subrg 17222  df-abv 17261  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-fbas 18203  df-fg 18204  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cld 19302  df-ntr 19303  df-cls 19304  df-nei 19381  df-lp 19419  df-perf 19420  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-haus 19598  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-fil 20098  df-fm 20190  df-flim 20191  df-flf 20192  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576  df-cncf 21133  df-limc 22021  df-dv 22022  df-log 22688  df-cxp 22689
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