Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth Unicode version

Theorem ostth 20804
 Description: Ostrowski's theorem, which classifies all absolute values on . Any such absolute value must either be the trivial absolute value , a constant exponent times the regular absolute value, or a positive exponent times the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q flds
qabsabv.a AbsVal
ostth.k
Assertion
Ref Expression
ostth
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,,   ,,   ,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,)   (,,,,)

Proof of Theorem ostth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qrng.q . . . . . . 7 flds
2 qabsabv.a . . . . . . 7 AbsVal
3 padic.j . . . . . . 7
4 ostth.k . . . . . . 7
5 simpl 443 . . . . . . 7
6 1re 8853 . . . . . . . . . . . 12
76ltnri 8945 . . . . . . . . . . 11
8 ax-1ne0 8822 . . . . . . . . . . . . 13
91qrng1 20787 . . . . . . . . . . . . . 14
101qrng0 20786 . . . . . . . . . . . . . 14
112, 9, 10abv1z 15613 . . . . . . . . . . . . 13
128, 11mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12
1312breq2d 4051 . . . . . . . . . . 11
147, 13mtbiri 294 . . . . . . . . . 10
1514adantr 451 . . . . . . . . 9
16 simprr 733 . . . . . . . . . 10
17 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11
1817breq2d 4051 . . . . . . . . . 10
1916, 18syl5ibcom 211 . . . . . . . . 9
2015, 19mtod 168 . . . . . . . 8
21 simprl 732 . . . . . . . . . 10
22 elnn1uz2 10310 . . . . . . . . . 10
2321, 22sylib 188 . . . . . . . . 9
2423ord 366 . . . . . . . 8
2520, 24mpd 14 . . . . . . 7
26 eqid 2296 . . . . . . 7
271, 2, 3, 4, 5, 25, 16, 26ostth2 20802 . . . . . 6
2827expr 598 . . . . 5
2928rexlimdva 2680 . . . 4
30 3mix2 1125 . . . 4
3129, 30syl6 29 . . 3
32 ralnex 2566 . . . 4
33 simpll 730 . . . . . . . . . 10
34 simplr 731 . . . . . . . . . . 11
35 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14
3635breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . 13
3736notbid 285 . . . . . . . . . . . 12
3837cbvralv 2777 . . . . . . . . . . 11
3934, 38sylib 188 . . . . . . . . . 10
40 simprl 732 . . . . . . . . . 10
41 simprr 733 . . . . . . . . . 10
42 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
43 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
441, 2, 3, 4, 33, 39, 40, 41, 42, 43ostth3 20803 . . . . . . . . 9
4544expr 598 . . . . . . . 8
4645reximdva 2668 . . . . . . 7
471, 2, 3padicabvf 20796 . . . . . . . . . . 11
48 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11
49 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . 15
5049oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14
5150mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . . . 13
5251eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . 12
5352rexrn 5683 . . . . . . . . . . 11
5447, 48, 53mp2b 9 . . . . . . . . . 10
5554rexbii 2581 . . . . . . . . 9
56 rexcom 2714 . . . . . . . . 9
5755, 56bitri 240 . . . . . . . 8
58 3mix3 1126 . . . . . . . 8
5957, 58sylbir 204 . . . . . . 7
6046, 59syl6 29 . . . . . 6
61 ralnex 2566 . . . . . . 7
62 simpl 443 . . . . . . . . . 10
63 simprl 732 . . . . . . . . . . 11
6463, 38sylib 188 . . . . . . . . . 10
65 simprr 733 . . . . . . . . . . 11
66 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14
6766breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . 13
6867notbid 285 . . . . . . . . . . . 12
6968cbvralv 2777 . . . . . . . . . . 11
7065, 69sylib 188 . . . . . . . . . 10
711, 2, 3, 4, 62, 64, 70ostth1 20798 . . . . . . . . 9
72 3mix1 1124 . . . . . . . . 9
7371, 72syl 15 . . . . . . . 8
7473expr 598 . . . . . . 7
7561, 74syl5bir 209 . . . . . 6
7660, 75pm2.61d 150 . . . . 5
7776ex 423 . . . 4
7832, 77syl5bir 209 . . 3
7931, 78pm2.61d 150 . 2
80 id 19 . . . 4
811qdrng 20785 . . . . 5
821qrngbas 20784 . . . . . 6
832, 82, 10, 4abvtriv 15622 . . . . 5
8481, 83ax-mp 8 . . . 4
8580, 84syl6eqel 2384 . . 3
861, 2qabsabv 20794 . . . . . 6
87 fvres 5558 . . . . . . . . . 10
8887oveq1d 5889 . . . . . . . . 9
8988mpteq2ia 4118 . . . . . . . 8
9089eqcomi 2300 . . . . . . 7
912, 82, 90abvcxp 20780 . . . . . 6
9286, 91mpan 651 . . . . 5
93 eleq1 2356 . . . . 5
9492, 93syl5ibrcom 213 . . . 4
9594rexlimiv 2674 . . 3
961, 2, 3padicabvcxp 20797 . . . . . . 7
9796ancoms 439 . . . . . 6
98 eleq1 2356 . . . . . 6
9997, 98syl5ibrcom 213 . . . . 5
10099rexlimivv 2685 . . . 4
10155, 100sylbi 187 . . 3
10285, 95, 1013jaoi 1245 . 2
10379, 102impbii 180 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 176   wo 357   wa 358   w3o 933   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  cif 3578   class class class wbr 4039   cmpt 4093   crn 4706   cres 4707   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc0 8753  c1 8754   clt 8883   cle 8884  cneg 9054   cdiv 9439  cn 9762  c2 9811  cuz 10246  cq 10332  crp 10370  cioc 10673  cexp 11120  cabs 11735  cprime 12774   cpc 12905   ↾s cress 13165  cdr 15528  AbsValcabv 15597  ℂfldccnfld 16393  clog 19928   ccxp 19929 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-abv 15598  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931
 Copyright terms: Public domain W3C validator