Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvclteinc Structured version   Unicode version

Theorem orvclteinc 29317
Description: Preimage maps produced by the "lower than or equal" relation are increasing. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
dstfrv.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
orvclteinc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
orvclteinc.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
orvclteinc.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
orvclteinc  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐  <_  A )  C_  ( XRV/𝑐  <_  B ) )

Proof of Theorem orvclteinc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
2 dstfrv.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
31, 2rrvf2 29290 . . . 4  |-  ( ph  ->  X : dom  X --> RR )
4 ffun 5748 . . . 4  |-  ( X : dom  X --> RR  ->  Fun 
X )
53, 4syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  X )
6 simp2 1006 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR  /\  x  <_  A
)  ->  x  e.  RR )
7 orvclteinc.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
873ad2ant1 1026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR  /\  x  <_  A
)  ->  A  e.  RR )
9 orvclteinc.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
1093ad2ant1 1026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR  /\  x  <_  A
)  ->  B  e.  RR )
11 simp3 1007 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR  /\  x  <_  A
)  ->  x  <_  A )
12 orvclteinc.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
13123ad2ant1 1026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR  /\  x  <_  A
)  ->  A  <_  B )
146, 8, 10, 11, 13letrd 9800 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR  /\  x  <_  A
)  ->  x  <_  B )
15143expia 1207 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <_  A  ->  x  <_  B ) )
1615ss2rabdv 3542 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x  <_  A }  C_ 
{ x  e.  RR  |  x  <_  B }
)
17 sspreima 28249 . . 3  |-  ( ( Fun  X  /\  {
x  e.  RR  |  x  <_  A }  C_  { x  e.  RR  |  x  <_  B } )  ->  ( `' X " { x  e.  RR  |  x  <_  A }
)  C_  ( `' X " { x  e.  RR  |  x  <_  B } ) )
185, 16, 17syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' X " { x  e.  RR  |  x  <_  A }
)  C_  ( `' X " { x  e.  RR  |  x  <_  B } ) )
191, 2, 7orrvcval4 29306 . 2  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐  <_  A )  =  ( `' X " { x  e.  RR  |  x  <_  A } ) )
201, 2, 9orrvcval4 29306 . 2  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐  <_  B )  =  ( `' X " { x  e.  RR  |  x  <_  B } ) )
2118, 19, 203sstr4d 3507 1  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐  <_  A )  C_  ( XRV/𝑐  <_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    e. wcel 1872   {crab 2775    C_ wss 3436   class class class wbr 4423   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   "cima 4856   Fun wfun 5595   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   RRcr 9546    <_ cle 9684  Probcprb 29249  rRndVarcrrv 29282  ∘RV/𝑐corvc 29297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-er 7375  df-map 7486  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-ioo 11647  df-topgen 15342  df-top 19920  df-bases 19921  df-esum 28858  df-siga 28939  df-sigagen 28970  df-brsiga 29013  df-meas 29027  df-mbfm 29082  df-prob 29250  df-rrv 29283  df-orvc 29298
This theorem is referenced by:  dstfrvinc  29318  dstfrvclim1  29319
  Copyright terms: Public domain W3C validator